M2R - Alg`ebre commutative Grégory Berhuy

M2R - Alg`ebre commutative
Gr´egory Berhuy

Table des mati`eres
partie I. Cours 5
Chapitre I. Rappels et compl´ements sur les modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.1. Rappels.............................................................. 7
I.2. Modules libres....................................................... 12
I.3. Suites exactes........................................................ 15
I.4. Modules de type fini, modules noeth´eriens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I.5. Lemme de Nakayama................................................ 25
I.6. Modules projectifs................................................... 26
Chapitre II. Localisation.................................................... 33
II.1. Localisation de modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II.2. Localisation et suites exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II.3. L’application canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
II.4. Conservation de certaines propri´et´es par localisation . . . . . . . . . . . . . . . . 55
II.5. Modules projectifs et localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Chapitre III. Produit tensoriel de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
III.1. D´efinition et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
III.2. Propri´et´es ´el´ementaires du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
III.3. Produit tensoriel et suites exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
III.4. Extension des scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Chapitre IV. Extensions enti`eres d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
IV.1. ´ El´ements entiers................................................... 89
IV.2. Extensions enti`eres d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Chapitre V. Dimension de Krull d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
V.1. Espaces topologiques irr´eductibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
V.2. Spectre d’un anneau................................................ 103
V.3. Dimension de Krull................................................. 110
Chapitre VI. Modules stablement libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
VI.1. Modules stablement libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
VI.2. Vecteurs unimodulaires et modules stablement libres . . . . . . . . . . . . . . . 118
VI.3. Le th´eor`eme de Quillen-Suslin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
VI.4. Modules projectifs sur un anneau de polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
partie II. Exercices 139
Rappels et compl´ements sur les modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3

4 Table des mati`eres
Localisation..................................................................147
Produit tensoriel............................................................. 153
Extensions enti`eres d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Dimension de Krull.......................................................... 161
Modules stablement libres....................................................165
Index........................................................................ 171

Premi`ere partie
Cours