les nombres - Maths learning

CLASSE DE TROISIÈME
ACTIVITÉS NUMERIQUES.
LES NOMBRES
1. Les nombres entiers.
On a vu dans les classes précédentes :
• Les nombres entiers naturels, qui sont des entiers positifs. Leur symbole est .
`
• Les nombres relatifs : ce sont des entiers qui peuvent être négatifs ou positifs. Leur symbole est .
]
2. Les nombres décimaux.
Définition.
Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’un quotient d’un nombre entier relatif par une puissance de 10.
Le modèle est : 10n
a
A= , a est un entier relatif et n un entier naturel.
Remarque :
• 2
17 0,17
10 =
• 0
55
10 =, qui est également un entier naturel.
• 70 7
10
−=− , qui est également un entier relatif.
Retenons que les entiers naturels et les entiers relatifs sont contenus dans les nombres décimaux.
Mais attention la réciproque est fausse !
C'est-à-dire que tous les nombres décimaux ne sont pas des nombres entiers naturels ou des nombres
entiers relatifs.
A CHERCHER.
 Exercice 1.
Les nombres suivants sont-ils des nombres décimaux ?
0,18 ; 4
87
;
92
5
4
−
5
Page 1 sur 10
Les nombres | www.maths-learning.fr

CLASSE DE TROISIÈME
ACTIVITÉS NUMERIQUES.
3. Les nombres rationnels.
3.1 Définition.
Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’un quotient de deux entiers relatifs.
Le modèle est : a
A
b
= avec a et b nombres entiers relatifs et
0b≠
Exemples : 275 9
,, ,
34 8 11
−−
−−
3.2 Cas particuliers.
• Si 1 , alors 1
aa
b
b
==a=
qui est un nombre entier relatif (ou un entier naturel s’il est positif)
• Si divise alors a
ba
b=n
qui est un entier relatif (ou un entier naturel s’il est positif)
• Si ou se décompose à l’aide de 2 ou de 5, alors
10b=a
b est un nombre décimal.
Exemples :
2
21 21
20 2 5
=× Ici, 20 se décompose en un produit de puissances de 2 et de 5. Donc la division va tomber juste et
on obtiendra le nombre décimal 1,05.
16 2
8= Qui est un entier naturel.
3.3 On retiendra que :
Les nombres entiers (naturels et relatifs) sont contenus dans les nombres décimaux, qui sont contenus dans les
nombres rationnels.
Un nombre qui n’est pas un nombre rationnel est appelé nombre irrationnel.
Exemples : 5 ; ; cos30 ......π°
EXERCICE 2
 A chercher Les affirmations suivantes sont-elles vraies ?
1. 0,5 est un nombre rationnel.
2. Tout nombre entier est un nombre décimal.
3. 1
3est un nombre décimal.
Page 2 sur 10
Les nombres | www.maths-learning.fr

CLASSE DE TROISIÈME
ACTIVITÉS NUMERIQUES.
4. Tout nombre rationnel est un nombre décimal.
5. Tout nombre décimal est un nombre rationnel.
6. est un nombre rationnel.
π
4. Diviseurs d’un nombre entier relatif.
4.1 Définition.
Soient a et b deux entiers relatifs
()
0b≠
On dit que b est un diviseur de a s’il existe un entier n tel que :
abn=×
On dira que : b divise a, ou encore que a est un multiple de b.
Exemple :
24 3 8=× donc 3 et 8 sont des diviseurs de 24
Mais aussi :
24 2 12=× donc 2 et 12 sont des diviseurs de 24
Ou :
(
)
(
)
246=− ×−4
donc sont des diviseurs de 24
6 et 4−−
Ainsi, 24 possède donc plusieurs diviseurs (positifs ou négatifs).
Remarque :
• 1 est un diviseur de tous les nombres.
• Tout nombre entier non nul est un diviseur de 0.
4.2 Les critères de divisibilité.
Il faut connaître les critères de divisibilité élémentaires.
• Un nombre est divisible par 2, s’il se termine par : 0, 2, 4, 6 ou 8 (on dit qu’il est pair).
• Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres se divise par 3 (voir alors la table de
multiplication !).
• Un nombre est divisible par 5, s’il se termine par 0 ou par 5.
EXERCICE 3
 A chercher.
On considère deux nombres A et B composés de quatre chiffres qui s’écrivent de la façon
suivante :
74 5 ; 187AB==,,
1. Déterminer le chiffre manquant dans le nombre A afin qu’il soit divisible par 9
Page 3 sur 10
Les nombres | www.maths-learning.fr

CLASSE DE TROISIÈME
ACTIVITÉS NUMERIQUES.
2. Déterminer le chiffre manquant dans le nombre B afin qu’il soit divisible par 3 et 2. Donner toutes les
possibilités.
3. Simplifier alors la fraction
A
B. Donner tous les cas possibles.
4.3 Les nombres premiers.
On dit qu’un entier naturel est premier lorsqu’il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemple :
515=× donc 5 se divise par 1 et par 5 : c’est un nombre premier.
Mais : 1 n’est pas un nombre premier puisqu’il n’admet qu’un seul diviseur !
Remarque :
212=× donc 2 est un nombre premier et c’est le seul nombre premier pair (les autres nombres
premiers sont tous des nombres impairs)
Pourquoi les nombres premiers différents de 2 sont-ils tous impairs ?
EXERCICE 4
 A chercher.
Le crible d’Ératosthène.
Dans le tableau ci-dessous, barrer tous les multiples de 2, sauf 2.
Page 4 sur 10
Les nombres | www.maths-learning.fr

CLASSE DE TROISIÈME
ACTIVITÉS NUMERIQUES.
Page 5 sur 10
Les nombres | www.maths-learning.fr
Barrer ensuite tous les multiples de 3 sauf 3.
Faites de même avec tous les multiples de 5 sauf 5.
Faites de même avec tous les multiples du nombre non barré suivant, sauf ce nombre.
Recommencer pout tous les nombres non barrés.
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Que peut-on dire des nombres non barrés ?
4.4 Propriété des nombres entiers.
a) Tout nombre entier peut s’écrire sous la forme d’un produit de puissances de nombres premiers.
Exemples :
222
12 2 3 ; 35 5 7 ; 36 2 3=× =× =×
b) Présentation et méthode pour trouver cette décomposition.
• On divise 12 par son diviseur le plus petit
et on recopie le quotient 6 de la division
sous 12.
• On divise 6 par son diviseur le plus petit et
on recopie le quotient 3 sous 6
12 2
6 2
3 3
1
• On continue ainsi jusqu’à trouver 1 comme
quotient.
12
2
2 3=×