Elaboration et Application d`une Méthode de Faisceau

N° d’ordre : 3948
THESE
présentée à
L'Université des Sciences et Technologies de Lille
Pour obtenir le titre de
DOCTEUR
Spécialité : MICROONDES ET MICROTECHNOLOGIES
Par
Guillaume ANDRIEU
Elaboration et Application d’une Méthode de
Faisceau Equivalent pour l’Etude des Couplages
Electromagnétiques sur Réseaux de Câblages
Automobiles
Soutenue le 20 décembre 2006 devant la commission d’examen :
Président :
M. Michel Cauterman
Professeur à l’ENIB
Rapporteurs :
M. Marc Hélier
Professeur de l’université Pierre et Marie Curie
M Alain Reineix
Directeur de recherche CNRS
Directeur de thèse :
M. Bernard Démoulin
Professeur à l’université de Lille 1
Examinateurs :
M. Frédéric Bocquet
Ingénieur de Recherche RENAULT
M. Jean-Philippe Parmantier
Ingénieur – DEMR ONERA
M. Olivier Maurice
Ingénieur – CCR EADS
Remerciements
Cette thèse a été effectuée dans le cadre d'une convention CIFRE (Convention
Industrielle de Formation par la Recherche) qui a réuni la société Renault et le groupe
TELICE (Télécommunications, Interférences et Compatibilité Electromagnétique) du
laboratoire IEMN (Institut d’Electronique, de Microélectronique et de Nanotechnologie)
de l’université de Lille1. Ce travail a également fait l’objet d’une collaboration avec
l’équipe DEMR (Diffraction Electromagnétique et Radar) de l'ONERA (Office National
d'Etudes et de Recherches Aérospatiales).
Je tiens à commencer ces remerciements en exprimant toute ma reconnaissance et
ma gratitude à mon directeur de thèse, M. Bernard Démoulin, professeur et responsable
de l’équipe CEM du groupe Telice. Je le remercie profondément pour m’avoir toujours
accordé le temps nécessaire à l’avancée de mes travaux en me donnant de précieux
conseils. Il a ainsi contribué à mon épanouissement scientifique en me donnant le goût
du travail de recherche. Recevez donc l’expression de ma plus profonde gratitude.
L’encadrement de ce travail au sein de la société Renault a été réalisé par Frédéric
Bocquet, ingénieur de recherche, que je remercie fortement pour avoir marqué un intérêt
constant pour mon travail et m’avoir également aidé sur de nombreux aspects
administratifs. Je lui suis reconnaissant également pour son soutien, sa confiance et
l’autonomie qu’il m’a toujours accordé.
Cette thèse présente de nombreuses mesures expérimentales qui n’auraient pu
être effectuées sans l’aide précieuse de Lamine Koné, ingénieur de recherche au Telice.
Néanmoins, il serait injuste de ne pointer que les aspects expérimentaux dans l’aide que
m’a apportée Lamine. Merci donc pour tout.
Je remercie également très chaleureusement Jean-Philippe Parmantier de l’Onera
qui a toujours montré un grand enthousiasme par rapport à l’avancée de mes travaux.
Merci beaucoup Jean-Philippe pour tes nombreuses idées, ta rigueur scientifique, ta
gentillesse … et tes corrections pour les articles en anglais !
Je tiens ensuite à exprimer ma grande reconnaissance à M. Michel Cauterman,
professeur à l’école nationale d’ingénieurs de Brest (ENIB), pour avoir accepté d’assurer
la présidence du jury.
Je remercie également M. Marc Hélier, professeur de l’université Pierre et Marie
Curie, pour m’avoir fait l’honneur de juger mon travail en qualité de rapporteur.
M. Alain Reineix, directeur de recherche CNRS au laboratoire Xlim de Limoges, a
également accepté d’effectuer le travail de rapporteur, je l’en remercie chaleureusement.
Je n’oublie pas que c’est M. Reineix qui m’a conseillé de postuler pour ce sujet de thèse
à l’été 2003 puis qui, trois ans plus tard, m’a également proposé de continuer dans le
domaine de la CEM au sein du laboratoire Xlim.
Mes remerciements vont également à M. Olivier Maurice, ingénieur au CCR
d’EADS à Suresnes, qui a accepté d’évaluer cette thèse en qualité d’examinateur. Je le
remercie de l’intérêt qu’il a porté à mon travail et de la qualité scientifique des
commentaires et des remarques qu’il a fait.
Ce travail de recherche s’est déroulé en majeure partie au sein de l’équipe CEM-RF
du Technocentre Renault de Guyancourt. Je tiens donc ici à remercier chaleureusement
Anselmo Soria, pour m’avoir accueilli au sein de cette équipe et d’avoir mis tous les
moyens nécessaires à ma disposition pour la bonne avancée de mes travaux. Je
remercie également Péniamin Matossian, responsable de l’équipe CEM ainsi que tous
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les membres de l’équipe CEM-RF qui ont tous contribué, qu’ils soient ingénieurs,
techniciens, stagiaires à créer une ambiance de travail agréable chez Renault. Par peur
d’en oublier certains, je préfère ne pas citer tout le monde. Néanmoins, et au nom de la
solidarité entre thésards, il me semble important de remercier tout particulièrement les
différents doctorants que j’ai côtoyés au sein de l’équipe.
Je commence donc par Xavier Bunlon qui a, tout au long de mon travail, montré un
intérêt constant pour mes travaux. Ses remarques et ses conseils m’ont toujours été
d’un précieux secours. J’adresse ici, à ce grand œnologue, tous mes remerciements et
également tous mes encouragements pour réussir, avec l’aide de l’Onera, l’application
industrielle de ce travail.
Je remercie ensuite chaleureusement Madjid Mahmoudi, pour ses encouragements
constants tout au long de mon travail et sa bonne humeur communicatrice.
Malheureusement, malgré ses efforts, il n’a en revanche pas réussi à me convertir en
danseur de salsa! Mais ceci eut été un miracle…
En plus des remerciements qu’ils méritent pour leurs qualités humaines et leurs
encouragements à mon égard au cours de ma dernière année de travail, j’adresse mes
plus vifs encouragements aux thésards qui n’en ont pas encore terminé : Martine et
Loïs. Qu’ils sachent que je suis convaincu que les résultats de leurs travaux seront
brillants.
Il me paraît également important de remercier les secrétaires C. Alberola, C.
Saenger et la responsable des thèses Cifre M. Godefroid pour leur grand
professionnalisme.
Ce travail fut également réalisé au sein du groupe Telice de l’IEMN : j’en remercie
donc son directeur, le professeur Pierre Degauque. Je remercie ensuite tous les
permanents de l’équipe qui ont su m’accueillir chaleureusement : Sylvie Baranowski,
Marine Démoulin, Martine Liénard, Virginie Dégardin, Pierre Laly, Daniel Dégardin,
Philippe Mariage, Christian Semet et Jacques Baudet. J’adresse également une mention
spéciale à notre bédéphile, Emmanuelle Gillmann pour sa gentillesse.
Je remercie également les différents thésards de l’équipe qui ont tous permis de
créer une ambiance de travail sympathique et motivante : Sébastien Bazzoli, Marc
Olivas-Carrion, Youssef Bouri, Stéphane Egot, Andrea Cozza, Tarik Hammi, Samuel
Leman et Abdou Nasr. Je n’oublie bien sûr pas Nedim Ben Slimen sans qui la vie au
labo n’aurait pas été tout à fait la même !
Je remercie également les mécaniciens Jean-Claude et Christophe ainsi que
Jocelyne qui a assuré la reprographie de cette thèse.
Ce travail a également été réalisé grâce à l’aide de l’équipe DEMR de l’ONERA. Je
remercie ainsi tout particulièrement Solange Bertuol, spécialiste ès Cripte et Nutla pour
sa grande disponibilité et sa rapidité pour répondre à mes nombreux mails. Je fus
également touché par sa convivialité et son professionnalisme lors de mes deux visites
à Toulouse. Qu’elle sache que notre « bœuf » à la guitare tient toujours, peut-être lors
d’un prochain congrès CEM, si je progresse bien sûr !
Merci également à Isabelle Junqua, spécialiste ès RandomOP, qui n’a pas hésité à
décortiquer mes simulations pour trouver les éventuels problèmes permettant de réduire
l’écart entre mesure et simulation.
Je souhaite également remercier Johan Panh, mon responsable de stage de DESS
du CNES qui a su, au cours de l’été 2003, me donner goût à la CEM et détecter chez
moi la fibre du « chercheur ». Je garde un excellent souvenir de ce stage qui a fortement
contribué à mon envie de faire une thèse en CEM.
-4-
En dehors du monde professionnel, de nombreuses personnes ont contribué à la
réussite de ce travail en me permettant notamment de surmonter les moments difficiles
et en m’encourageant dans la dernière ligne droite. Je commencerai donc tout d’abord
par mes parents qui m’ont toujours soutenu pendant mes longues années d’étude. Je
remercie également les autres membres de ma famille : ma grand-mère, mes deux
soeurs Laurence et Raphaëlle, mon beau-frère Loïc, mes neveux Yann et Lucas et ma
petite nièce Anaëlle.
Mes remerciements suivants vont aux courageux (voire aux inconscients) qui n’ont
pas hésité à accomplir l’aller-retour Limoges – Lille en deux jours pour assister à ma
soutenance : Sabrina, Aurélien et Sébastien. Mes autres amis ont également contribué,
de près ou de loin, à la réussite de ce travail : Laurent, Angélique, Rub’s, Laëtitia,
Mickaël, Léo, Alexandra et bien sûr … le petit Rocky ! Merci donc à vous tous pour votre
soutien et pour m’avoir permis de me changer les idées pendant ces trois années.
Je termine mes remerciements envers celle qui a su accompagner les hauts et les
bas d’un thésard acariâtre tout au long de ces trois années grâce à sa gentillesse, sa
patience et sa générosité. Merci Céline.
"La science est une chose merveilleuse … tant qu’il ne faut pas en vivre !"
Albert Einstein
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Table des matières
INTRODUCTION GÉNÉRALE .....................................................................................................- 9 1 PRÉSENTATION DU CONTEXTE ET DES OUTILS DE SIMULATION ................................- 13 1.1 PRÉSENTATION DE LA CEM AUTOMOBILE ............................................................................... - 13 1.1.1 Présentation du contexte automobile.........................................................................- 13 1.1.2 La directive européenne 2004/104 ............................................................................- 14 1.1.3 Le cahier des charges CEM Renault .........................................................................- 17 1.1.4 Simulation numérique de tests d’immunité rayonnée ................................................- 18 1.2 OUTILS POUR LA SIMULATION ................................................................................................ - 19 1.2.1 Equations de Maxwell ................................................................................................- 19 1.2.2 Résolution numérique des équations de Maxwell......................................................- 21 1.2.3 Présentation de la Topologie de câblages .................................................................- 30 1.2.4 Présentation des logiciels utilisés ..............................................................................- 46 1.3 CONCLUSION DU CHAPITRE 1 ................................................................................................ - 50 2 PROBLÉMATIQUE DE LA MODÉLISATION DES COUPLAGES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
HAUTES FRÉQUENCES SUR UN FAISCEAU DE CÂBLES MULTICONDUCTEUR .............- 51 2.1 ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES PARTICULIÈRES ..................................................................... - 51 2.2 LIMITES FRÉQUENTIELLES DE L’APPROCHE COUPLÉE CODE 3D / LIGNES DE TRANSMISSION ........ - 52 2.2.1 Limites HF de la théorie des lignes de transmission..................................................- 52 2.2.2 Limites d’application des modèles de couplage champ-câble ...................................- 54 2.2.3 Pertes par rayonnement électromagnétique en HF ...................................................- 57 2.3 INFLUENCE DES IMPÉDANCES TERMINALES ............................................................................. - 59 2.4 MODÉLISATION DE FAISCEAUX MULTICONDUCTEUR EN MOM ................................................... - 62 2.4.1 Justification du choix de la MoM ................................................................................- 62 2.4.2 Discrétisation des éléments filaires et surfaciques en MoM ......................................- 62 2.4.3 Etude des performances de la MoM pour la modélisation de faisceaux de câbles
multiconducteur ......................................................................................................................- 62 2.5 QUANTIFICATION DES PERTES DIÉLECTRIQUES ENGENDRÉES PAR LES GAINES ISOLANTES ......... - 65 2.6 CONCLUSION DU CHAPITRE 2 ................................................................................................ - 72 3 EDIFICATION DE LA MÉTHODE DU FAISCEAU ÉQUIVALENT .........................................- 73 3.1 PRINCIPE ET OBJECTIFS DE LA MÉTHODE ................................................................................ - 73 3.2 RAPPELS SUR LA THÉORIE MODALE ........................................................................................ - 74 3.3 CONSTITUTION DE GROUPES DE CONDUCTEURS ..................................................................... - 75 3.3.1 Critère retenu pour la constitution des groupes .........................................................- 75 3.3.2 Détermination de la variable Zmc ................................................................................- 76 3.4 DÉTERMINATION DES MATRICES LINÉIQUES DU FAISCEAU RÉDUIT ............................................. - 78 3.4.1 Hypothèses simplificatrices........................................................................................- 78 3.4.2 Conventions adoptées pour les démonstrations ........................................................- 78 3.4.3 Détermination de la matrice inductance du faisceau réduit .......................................- 79 3.4.4 Détermination de la matrice capacité du faisceau réduit ...........................................- 83 3.5 CONSTRUCTION DE LA GÉOMÉTRIE DE SECTION DROITE DU FAISCEAU RÉDUIT ........................... - 85 3.6 CHARGES TERMINALES DU FAISCEAU RÉDUIT .......................................................................... - 87 -
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3.6.1 Charges reliées à la référence de masse ..................................................................- 87 3.6.2 Charges différentielles ...............................................................................................- 88 3.7 CONCLUSION DU CHAPITRE 3 ................................................................................................ - 91 4 VALIDATIONS NUMÉRIQUES ET EXPÉRIMENTALES DE LA MÉTHODE DU FAISCEAU
ÉQUIVALENT ............................................................................................................................- 93 4.1 PRÉCISIONS UTILES AUX PROTOCOLES DE VALIDATION ............................................................ - 93 4.2 VALIDATIONS NUMÉRIQUES ................................................................................................... - 94 4.2.1 Description du faisceau de référence.........................................................................- 94 4.2.2 Faible contraste de la valeur des charges terminales du faisceau de référence .......- 95 4.2.3 Fort contraste de la valeur des charges terminales du faisceau de référence...........- 98 4.2.4 Impact de la méthode sur les temps de calculs .......................................................- 107 4.2.5 Etude de l’influence de la non uniformité des faisceaux de câblages ......................- 108 4.3 VALIDATION EXPÉRIMENTALE EN CHAMBRE ANÉCHOÏQUE ....................................................... - 111 4.3.1 Description du dispositif expérimental......................................................................- 111 4.3.2 Modélisation du dispositif expérimental en MoM .....................................................- 113 4.3.3 Validation de la confrontation sur un faisceau multiconducteur ...............................- 118 4.4 VALIDATION EXPÉRIMENTALE EN CHAMBRE RÉVERBÉRANTE À BRASSAGE DE MODES ............... - 125 4.5 CONCLUSION DU CHAPITRE 4 .............................................................................................. - 128 5 EXTENSION DE LA MÉTHODE DU FAISCEAU ÉQUIVALENT AU CAS DE RÉSEAUX
ARBORESCENTS ...................................................................................................................- 129 5.1 PROCÉDÉ D’EXTENSION AU CAS DE RÉSEAU ARBORESCENT ................................................... - 129 5.2 VALIDATION NUMÉRIQUE ..................................................................................................... - 131 5.2.1 Présentation du cas test ..........................................................................................- 131 5.2.2 Comparaisons des courants induits aux extrémités des deux réseaux ...................- 132 5.2.3 Bilan des ressources informatiques nécessaires .....................................................- 133 5.3 MODÉLISATION D’UN RÉSEAU DE CÂBLES SIMPLIFIÉ INSTALLÉ SUR UNE MAQUETTE DE VÉHICULE- 134 5.3.1 Description du contexte topologique ........................................................................- 134 5.3.2 Modélisation de la structure en MoM .......................................................................- 137 5.3.3 Validation en chambre anéchoïque..........................................................................- 138 5.3.4 Analyses complémentaires sur le couplage Onde / Véhicule ..................................- 150 5.3.5 Validation en CRBM.................................................................................................- 154 5.4 CONCLUSION DU CHAPITRE 5 .............................................................................................. - 155 CONCLUSION GÉNÉRALE ....................................................................................................- 157 ANNEXE A...............................................................................................................................- 161 ANNEXE B...............................................................................................................................- 163 ANNEXE C...............................................................................................................................- 165 ANNEXE D...............................................................................................................................- 169 BIBLIOGRAPHIE.....................................................................................................................- 173 PUBLICATIONS DE L’AUTEUR .............................................................................................- 179 -
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Introduction générale
Introduction générale
Apparue dans les années 1980 sur quelques équipements sécuritaires (ABS,
Airbag,…), l’électronique occupe de nos jours une place en constante augmentation
dans le monde de l’automobile. Les équipements électroniques actuels concernent
désormais également l’amélioration du confort de conduite (aide au parking,…), la
préservation de l’environnement (calculateurs d’injection,…) ou l’augmentation du
confort de vie à bord du véhicule à travers les équipements multimédias (GPS,…). Tous
ces nouveaux équipements ont pour but de répondre aux attentes de la clientèle dans
un marché automobile de plus en plus concurrentiel et compétitif.
En parallèle au développement de l’électronique dans le domaine automobile, ces
dernières années ont également vu fortement augmenter le nombre de liaisons
radioélectriques présentes dans l’environnement du véhicule. Celles-ci proviennent des
applications contenues dans le véhicule mais aussi des appareils apportés par les
passagers (téléphone portable,…) ou présentes dans l’environnement pour d’autres
applications (radar,…). La figure 1 présente un panorama non exhaustif des applications
susceptibles de se trouver actuellement et dans un futur proche à bord des véhicules
RENAULT :
Aujourd’hui dans l’automobile
Radio satellite
(USA)
2300
Aujourd’hui, amené par le client
Demain, dans l’automobile
AM
FM
0,14 0,29
VSC
0,125
PO
1,7
0,5
87
108
890
960
1452
47 68
CB
174
230
26,9 27,4
470
862
866
100 kHz
1 MHz
10 MHz
TV analogiques
puis DVBT (TV numérique)
1492
GPS
1,57
1 GHzGalileo
100 MHz
DAB
5800
Bluetooth
Wifi
2400
2500
3600
1900
2700
6 GHz
UMTS
Signal d’alerte (IVHW)
SSPP : Système de surveillance de pression des pneus
VSC : Véhicule sans clé
PO : Petites ondes
Télépéage
DCS
1710
1880
GSM
SSPP
VSC
433
Boucle locale
Radio
Figure 1 : Panorama non exhaustif des liaisons radioélectriques susceptibles de se
trouver dans un véhicule RENAULT actuellement ou dans le futur
Malheureusement, cette augmentation du nombre de liaisons radioélectriques dans
l’environnement d’un véhicule automobile se traduit également par une augmentation
des risques liés à la Compatibilité Electromagnétique (CEM). En effet, chaque liaison
radioélectrique peut également être considérée en CEM comme une source potentielle
de perturbation capable de provoquer, par couplage électromagnétique sur le réseau de
câblages d’un véhicule, le dysfonctionnement d’un équipement électronique du véhicule.
-9-
Introduction générale
En effet, le réseau de câblages joue un rôle tout à fait particulier en CEM du fait qu’il
connecte tous les équipements électroniques du véhicule entre eux. Il peut ainsi, par
analogie, être assimilé à une antenne réceptrice ou émettrice des perturbations
électromagnétiques ainsi que le vecteur de propagation de ces perturbations. Les
incidents de type CEM pouvant être préjudiciables aux constructeurs automobiles en
terme de coût et d’image, une nouvelle problématique est donc apparue depuis
quelques années pour l’industrie automobile et plus généralement pour tous les secteurs
du monde du transport.
Cette problématique intervient dans un contexte où les constructeurs automobiles
sont soumis à des contraintes de plus en plus fortes afin de répondre au mieux aux
besoins des consommateurs. Ainsi, alors que la complexité du réseau de câblages des
nouveaux modèles de véhicules ne cesse d’augmenter, les constructeurs s'imposent
des délais de conception de plus en plus courts. De plus, dans le cadre d’une politique
de réduction des coûts, les constructeurs entendent également réduire le nombre de
phases très coûteuses utilisant des véhicules prototypes. Ces raisons ont naturellement
amené la modélisation numérique dans le domaine de la CEM au centre des
préoccupations de l’industrie automobile. Celle-ci a donc emboîté le pas des industries
militaire et aéronautique, pionnières dans ce domaine pour l’étude notamment de la
protection contre l’IEMN (Impulsion ElectroMagnétique Nucléaire), la foudre ou les
champs forts (HIRF – High Intensity Radiated Fields) ([1], [2], [3]).
Les premiers travaux réalisés par Renault dans le domaine de la simulation
numérique en CEM ont notamment permis de valider une approche couplée permettant
de calculer les niveaux de perturbations conduites ou rayonnées en entrée des
équipements électroniques sur le véhicule complet ([4], [5]). Cette approche utilise un
code de calcul tridimensionnel résolvant les équations de Maxwell dans l’espace et le
formalisme de la Topologie Electromagnétique développée au début des années 80
sous l’instigation de C.E. Baum ([6], [7], [8]), chercheur à l’Air Force Research
Laboratory. La Topologie Electromagnétique repose sur la décomposition d’un problème
complexe en plusieurs sous-problèmes élémentaires résolus séparément, le problème
global étant alors résolu à l’aide d’un formalisme de réseau. Dans le cas de réseaux de
câblages multiconducteur, la Topologie de câblages, dérivée de la Topologie
Electromagnétique, permet, à l’aide de la théorie des lignes de transmission (MTLN –
Multiconductor Transmission Line Network), de prendre en compte les phénomènes de
propagation et de couplages sur et entre tous les fils conducteurs du réseau.
Aujourd’hui, la modélisation numérique de l’agression électromagnétique d’un véhicule
entièrement câblé dans la bande de fréquence allant de 20 à 300MHz est rentrée dans
un processus industriel applicable au cours du développement des futurs modèles de la
gamme ([9]). L’objectif principal de ces modélisations numériques est de diminuer le
nombre d’essais à effectuer lors des phases d’homologation vis-à-vis des exigences
réglementaires (directive européenne, cahier des charges CEM RENAULT,…) en
préconisant les configurations « pire cas » à effectuer en priorité. La mesure reste donc
toujours indispensable afin de s’assurer de l’absence de dysfonctionnement des
équipements électroniques en présence d’une agression électromagnétique.
Ces dernières années, l’augmentation de la fréquence des perturbations
électromagnétiques pouvant potentiellement agresser le réseau de câblages encourage
désormais Renault à étendre les simulations numériques d’immunité vers les « hautes
fréquences » (HF). Cette volonté se heurte malheureusement à la limitation en
fréquence de la MTLN. En effet, ce formalisme, basé sur l’hypothèse de la propagation
des modes de type transverse électromagnétique (TEM) au sein des faisceaux de
câblages, ne convient plus lorsque la hauteur des conducteurs par rapport à la référence
de masse devient proche du cinquième de la longueur d’onde. La MTLN ne permet donc
pas d’intégrer les modes de propagation d’ordre supérieur ([10]) faisant leur apparition
- 10 -
Introduction générale
avec l’augmentation de la fréquence ainsi que les pertes par rayonnement
électromagnétique très importantes en hautes fréquences.
A ces fréquences, l’utilisation de codes de calculs tridimensionnels résolvant les
équations de Maxwell dans l’espace se révèle alors obligatoire. Malheureusement, ceuxci sont peu adaptés pour traiter le cas de faisceaux de câblages multiconducteur. En
effet, ils requièrent une discrétisation fine de chaque conducteur du faisceau en
segments dont la longueur est usuellement égale au dixième de la longueur d’onde. Les
temps de calculs deviennent alors prohibitifs dès que le nombre de conducteurs du
faisceau est important.
Les travaux de cette thèse sont donc axés sur la mise en œuvre de techniques de
simulation simplifiées permettant d’étudier les couplages électromagnétiques sur des
faisceaux de câblages multiconducteur à l’aide de codes de calculs tridimensionnels. Il
faut donc trouver des hypothèses simplificatrices permettant de diminuer la complexité
des faisceaux de câblages sans toutefois diminuer la précision des calculs. L’objectif
final est de prouver la faisabilité d’une telle approche sur un véhicule complet en vue
d’une application industrielle en HF.
Concrètement, Renault souhaite, comme en « basse fréquence », pouvoir effectuer
une comparaison entre différentes configurations d’illuminations sur le niveau de
perturbations induites en entrée des équipements électroniques. Il ne s'agit donc en
aucun cas de pouvoir prédire, en fonction du niveau de perturbation calculé en entrée
d’équipement, un éventuel dysfonctionnement des calculateurs électroniques. Ce serait,
à l'heure actuelle, trop ambitieux alors que beaucoup de paramètres ne sont pas encore
suffisamment maîtrisés sur les équipements eux-mêmes. Cependant, depuis quelques
années, de nombreux travaux sont réalisés pour la compréhension des phénomènes
provoquant le dysfonctionnement d’équipements électroniques placés en extrémité de
câblages ([11], [12], [13]).
Cette thèse, réalisée dans le cadre d’une convention CIFRE entre l’entreprise
RENAULT et le laboratoire TELICE de l’université des sciences et techniques de Lille et
également avec l’ONERA dans le cadre d’un partenariat, comporte deux phases
distinctes. Dans un premier temps, notre travail concerne le développement d’une
méthode simplifiée permettant de modéliser un faisceau de câblages multiconducteur,
définis comme une liaison de câbles point à point, en HF à l’aide de ressources
informatiques raisonnables. Dans un second temps, notre attention se portera sur
l’extension de cette méthode au cas de réseaux de câblages arborescents.
Pour la réussite de ce travail, il nous est apparu indispensable de réaliser des
mesures. Celles-ci doivent tout d’abord permettre de mettre en évidence et de
comprendre les phénomènes physiques importants se produisant sur les faisceaux de
câblages multiconducteur en HF puis de valider les méthodes de simulation mises en
œuvre.
Dans le premier chapitre de cette thèse, nous rappelons tout d’abord le contexte
industriel de ce travail. Pour cela, nous présentons les différents types de tests
d’immunité rayonnée réalisés sur véhicule complet ou sur équipements isolés pour
l’homologation et la validation des nouveaux modèles de véhicules. Ensuite, nous
présentons les simulations numériques d’immunité rayonnée effectuées par Renault à
l’heure actuelle sur la bande de fréquence 20 – 300 MHz. Enfin, nous procédons à une
description théorique des différentes méthodes de calculs tridimensionnelles ainsi que
de la Topologie Electromagnétique et de sa dérivée, la Topologie de câblages. Le
chapitre se termine par une présentation succincte des différents logiciels de calcul
utilisés au cours de ce travail.
Dans le second chapitre, nous mettons en évidence les limitations fréquentielles de
la méthodologie de couplage champ-câble utilisée en basse fréquence. Il s’agit ainsi de
- 11 -
Introduction générale
montrer en particulier la limitation de la MTLN lorsque la fréquence augmente. Ensuite,
nous montrons l’importance des pertes diélectriques ou des pertes par rayonnement
électromagnétique des faisceaux de câblages en hautes fréquences. Enfin, le chapitre
se termine par une mise en évidence de la difficulté de prise en compte des faisceaux
de câblages comprenant un grand nombre de conducteurs à l’aide de la méthode des
moments (MoM – Method of Moments).
Le troisième chapitre de ce manuscrit présente les fondements théoriques d’une
méthode que nous appelons « méthode du faisceau équivalent » développée au cours
de la thèse. Cette méthode permet de définir un faisceau équivalent contenant un
nombre réduit de « conducteurs équivalents » à partir d’un faisceau initial contenant un
grand nombre de conducteurs. Les quatre étapes nécessaires à la définition des
caractéristiques électriques et géométriques du faisceau équivalent sont présentées de
façon détaillée.
Dans le quatrième chapitre, nous procédons aux validations numériques puis
expérimentales de la méthode. Les validations numériques ont pour but de montrer
l’identité d’un faisceau initial et du faisceau correspondant appelé « faisceau réduit ». La
validation expérimentale permet ensuite de comparer, lors de tests d’immunité réalisés
sur une large bande de fréquence, le courant de mode commun mesuré aux extrémités
d’un faisceau multiconducteur au courant calculé par une méthode des moments aux
extrémités du faisceau réduit correspondant. Ces validations expérimentales sont
effectuées à l’intérieur de deux moyens d’essais : une chambre anéchoïque et une
chambre réverbérante à brassage de modes (CRBM).
Le cinquième et dernier chapitre présente tout d’abord les aménagements à
apporter à la méthode du faisceau équivalent pour l’étendre au cas de réseaux de
câblages arborescents de type automobile. A ce titre, une validation numérique est
effectuée sur un réseau de câblages arborescent placé sur un plan de masse infini.
Ensuite, nous présentons les résultats obtenus lors d’une campagne expérimentale
réalisée sur une maquette simplifiée de véhicule à l’échelle ½ et nous les comparons
aux résultats numériques obtenus par l’application de la méthode sur le réseau de
câblages placé à l’intérieur de la maquette.
Dans la conclusion de cette thèse, les principaux résultats obtenus sont rappelés de
façon synthétique ainsi que les perspectives scientifiques et industrielles soulevées par
ces travaux.
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Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
Chapitre 1
1 Présentation du contexte et des
outils de simulation
Ce chapitre présente le contexte de ce sujet de thèse ainsi que les moyens
numériques utilisés au cours de ce travail. Dans un premier temps, nous présentons le
contexte industriel de ce sujet de cette thèse à travers la description des textes
normatifs en vigueur dans la CEM automobile et de l’état de l’art de la simulation CEM
automobile réalisée actuellement chez RENAULT. Dans un second temps, nous
présentons les équations de Maxwell sous forme générale et les principes théoriques
des méthodes numériques tridimensionnelles (« 3D ») qui permettent de les résoudre.
Nous introduisons ensuite le formalisme de la Topologie de câblages à travers la
description du formalisme de la théorie des lignes de transmission et des modèles de
couplage champ-câble. Nous terminons ce chapitre par une présentation rapide des
différents logiciels de calcul utilisés au cours de ce travail.
1.1 Présentation de la CEM automobile
1.1.1 Présentation du contexte automobile
Les équipements électroniques d’une automobile sont connectés entre eux par des
faisceaux de câblages. Ces faisceaux, dont la complexité dépend de la gamme du
véhicule et de son niveau d’équipement, peuvent être d’une grande complexité. Par
exemple, certains faisceaux peuvent contenir plusieurs centaines de conducteurs,
notamment au niveau du tableau de bord où se trouve la majorité des équipements
électroniques. Ainsi, un véhicule peut contenir jusqu’à plusieurs kilomètres de fils
électriques mis bout à bout.
Malheureusement, ces faisceaux de câblages, en plus de propager les signaux
électriques utiles au fonctionnement des équipements électroniques, se comportent
comme autant de structures susceptibles d’émettre, d’induire ou de propager des
perturbations électromagnétiques. Dans le cas d’une perturbation électromagnétique
illuminant le véhicule, les courants parasites induits sur le réseau de câblages et guidés
jusqu’à l’entrée des équipements électroniques peuvent être à l’origine de
dysfonctionnements de ces équipements.
Le domaine qui est en charge d‘anticiper ces éventuels problèmes est la
compatibilité électromagnétique (CEM) qui caractérise l’aptitude d’un appareil ou d’un
système à fonctionner dans son environnement électromagnétique de façon
satisfaisante (immunité) sans produire lui-même des perturbations intolérables pour tout
ce qui se trouve dans cet environnement (émission).
- 13 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
Dans le domaine automobile, les constructeurs doivent donc s’assurer que les
véhicules mis en vente répondent aux trois critères suivants :
• le véhicule ne doit pas être la cause d’interférences avec des systèmes
électroniques extérieurs
• le véhicule ne doit pas être vulnérable (susceptible) aux perturbations
électromagnétiques extérieures
• les équipements électroniques du véhicule ne doivent pas interférer entre
eux
Ainsi, Renault, comme tous les constructeurs automobiles, doit vérifier la conformité
de ces nouveaux modèles de véhicules vis-à-vis de la directive européenne 2004/104
avant de pouvoir procéder à la mise sur le marché de ses véhicules. Cette directive
décrit des procédures de tests qui, associées à des niveaux de sévérité et de gravité,
visent à reproduire de façon non exhaustive l’ensemble des perturbations
électromagnétiques présentes dans l’environnement du véhicule.
En plus des exigences de la directive, Renault établit un cahier des charges CEM,
décrivant les procédures de tests nécessaires à la validation et à l’homologation interne
des équipements et du véhicule. Son objectif principal est de s’assurer de la satisfaction
des clients et donc de maintenir la bonne réputation de Renault sur le marché. En effet,
les niveaux de sévérité et de gravité imposés par ce cahier des charges sont bien plus
contraignants que les exigences de la directive européenne.
Les tests imposés par la directive et le cahier des charges CEM de Renault
s’appuient généralement sur des normes automobiles élaborées par des groupes de
travail internationaux réunissant les constructeurs, les fournisseurs et les représentants
des états.
Cette thèse étant axée sur l’immunité des véhicules vis-à-vis d’une perturbation
électromagnétique extérieure, nous ne présentons par la suite que les tests d’immunité
rayonnée imposés par la directive européenne et le cahier des charges CEM Renault
sur véhicules complets ou sur équipements isolés.
1.1.2 La directive européenne 2004/104
Dans le domaine de la CEM automobile, les constructeurs doivent respecter la
directive européenne 2004/104 publiée le 14 octobre 2004 au journal officiel de la
communauté européenne. Cette directive, appelée communément « directive CEM
automobile », est obligatoire pour tous les nouveaux modèles de véhicules.
La directive 2004/104 décrit les essais d’immunité, et les niveaux de sévérité
associés, à réaliser sur le véhicule complet (annexe VI) puis sur les sous-ensembles
électriques/électroniques (annexe IX) avant de procéder à l’homologation d’un nouveau
véhicule.
1.1.2.1 Tests d’immunité rayonnée sur véhicules
Les tests d’immunité rayonnée sur véhicules imposés par la directive
européenne, dans la bande de fréquence 20 MHz – 2 GHz, sont réalisés conformément
à la procédure de test décrite dans la norme ISO 11451-2. La figure 2 présente la
configuration des essais effectués en chambre anéchoïque (ceux-ci peuvent également
être réalisés en site ouvert) :
- 14 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
Figure 2 : Test d’immunité rayonnée sur un véhicule
Une antenne d’émission en polarisation verticale, placée généralement en face
du véhicule, est chargée de produire un champ électrique de 30 V/m sur au moins 90 %
des points de mesures et au minimum égal à 25 V/m sur chacun de ces points. Le
véhicule, situé sur un banc à rouleaux, est placé en condition de roulage à une vitesse
généralement égale à 50 km/h.
L’étalonnage du champ électrique est effectué, comme l’indique la figure 3, par la
méthode de substitution qui consiste à calibrer le champ électrique en l’absence du
véhicule :
Figure 3 : Calibrage du champ électrique (Méthode de substitution)
La puissance P0 à fournir à l’antenne d’émission pour obtenir le niveau de champ
électrique souhaité à l’endroit du point de référence est ainsi relevée à chaque
fréquence de mesure. Ensuite, le véhicule est illuminé par l’antenne d’émission en
entrée de laquelle on fournit la puissance P0 mesurée lors de la phase de calibrage.
L’objectif de ces essais est de vérifier, au moyen d’une caméra placée à l’intérieur
de la chambre, que les équipements électroniques sécuritaires du véhicule fonctionnent
correctement malgré un environnement électromagnétique fortement perturbé. La
perturbation électromagnétique ne doit pas entraîner, par exemple, une modification de
la vitesse du véhicule ou une défaillance d’une fonction électronique sécuritaire (blocage
du volant, déclenchement de l’Airbag,…). Un équipement est défini comme sécuritaire
- 15 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
lorsque sa fonction est liée à la commande directe du véhicule, à la protection du
conducteur, des passagers et des autres usagers de la route.
1.1.2.2 Tests d’immunité rayonnée sur équipements isolés
Les tests d’immunité rayonnée sur équipements isolés imposés par la directive
européenne, dans la bande de fréquence 20 MHz – 2 GHz, peuvent être réalisés à l’aide
de cinq moyens d’essais différents. Le tableau 1 indique, pour chaque moyen d’essais,
les niveaux de tests minimums sur toute la bande de fréquence préconisés par la
directive et la norme à laquelle se réfère la procédure de test :
Moyens d’essais
Niveaux de tests minimums
Normes
Chambre anéchoïque
25 V/m
ISO 11452-2
Cellule TEM
62,5 V/m
ISO 11452-3
Injection de courant (BCI)
50 mA
ISO 11452-4
Cellule stripline (150mm)
50 V/m
ISO 11452-5
Cellule stripline (800mm)
12,5 V/m
ISO 11452-5
Tableau 1 : Moyens d’essais possibles pour la réalisation de tests d’immunité
rayonnée sur équipements isolés
La figure 4 présente une vue schématique des essais effectués en chambre
anéchoïque sur équipements isolés :
Figure 4 : Test d’immunité rayonnée sur un équipement isolé
Une antenne d’émission, en polarisation verticale, illumine les équipements
électroniques sous tests (EUT). Les EUT, allumés et stimulés de manière à se trouver
dans des conditions normales de fonctionnement, sont disposés sur un plan de masse
métallique. Comme dans le cas des essais sur véhicules, le calibrage du champ est
réalisé à l’aide de la méthode par substitution.
L’EUT est déclaré conforme lorsque aucune dégradation de performance des
fonctions de l’équipement liées à l’immunité n’est constatée lors de ces essais. L’objectif
de ces tests est donc de vérifier la qualité de conception CEM de l’équipement et ainsi
d'anticiper les éventuels dysfonctionnements pouvant survenir sur les véhicules.
- 16 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
1.1.3 Le cahier des charges CEM Renault
Le cahier des charges CEM de Renault impose également des essais d’immunité
rayonnée sur véhicules et sur équipements isolés. Dans le processus de validation CEM
de Renault, les tests sur équipements sont réalisés en premier afin d’anticiper les
éventuels problèmes survenant lors des essais sur véhicules.
1.1.3.1 Tests d’immunité rayonnée sur véhicules
Les essais d’immunité rayonnée sur véhicules imposés par le cahier des charges
Renault s’appuient également sur la procédure de tests décrite par la norme
ISO 11451-2. Cependant, par rapport aux essais imposés par la directive européenne,
quelques différences apparaissent. En effet, les essais doivent être réalisés dans la
bande de fréquence 1 MHz - 2 GHz sur tous les équipements électroniques. Quatre
positions de l’antenne d’émission par rapport au véhicule (face avant, face arrière, côté
droit et gauche) sont testées en polarisation horizontale et verticale.
Les équipements électroniques sont classés en trois catégories selon leur niveau
de gravité vis-à-vis de la sécurité et du confort des usagers. Le tableau 2 répertorie le
niveau du champ électrique perturbateur requis suivant le niveau de gravité de
l’équipement :
Niveau de gravité
Niveau du champ
électrique perturbateur
0
30 V/m
1
50 V/m
2
100 V/m
Tableau 2 : Amplitude du champ électrique perturbateur suivant le niveau de gravité
de l’équipement
1.1.3.2 Tests d’immunité rayonnée sur équipements isolés
Les essais d’immunité rayonnée sur équipements isolés imposés par le cahier des
charges Renault sont effectués en chambre anéchoïque. Ils s’appuient également sur la
procédure de tests décrite par la norme ISO 11452-2.
Contrairement aux exigences de la directive européenne, les tests doivent être
pratiqués à la fois en polarisation verticale entre 200 MHz et 2 GHz et en polarisation
horizontale entre 400 MHz et 2 GHz.
Comme pour les essais sur véhicules, les équipements sont testés à trois niveaux
différents d’amplitude de champ électrique (60, 100 et 200 V/m) suivant leur degré de
criticité. Le lecteur remarquera que ces niveaux sont doublés par rapport aux niveaux
exigés lors des essais sur véhicule (cf tableau 2).
Il faut noter qu’il existe également un essai d’immunité rayonnée sur la bande de
fréquence 20 Hz-100 kHz qui consiste à générer un champ magnétique important au
voisinage de l’équipement.
- 17 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
1.1.4 Simulation numérique de tests d’immunité rayonnée
1.1.4.1 Rôle de la simulation numérique
Depuis quelques années, l’entreprise Renault s’est orientée vers la simulation
numérique afin de modéliser les tests d’immunité rayonnée préconisés par la directive
européenne ou son propre cahier des charges CEM ([4], [9]). Ce dernier préconise de
réaliser les tests d’immunité rayonnée sur véhicules complets pour quatre orientations
de l’antenne d’émission en polarisation horizontale et verticale soit huit configurations de
tests. Compte tenu du coût très élevé de ces tests et du nombre de véhicules important
à tester, l’objectif principal de la simulation numérique est de préconiser les quelques
configurations les plus pénalisantes (« pire cas ») à effectuer en priorité lors des tests
d’immunité rayonnée afin de réduire le nombre de tests effectués.
La détermination des configurations pire cas est effectuée en fonction des niveaux
de courant de mode commun calculés en entrée des équipements électroniques pour
chaque configuration de test.
1.1.4.2 Description de la chaîne de calcul
Pour la modélisation numérique de tests d’immunité rayonnée réalisée sur un
véhicule complet, il faut tout d’abord connaître la géométrie de toutes les parties
métalliques du véhicule créée à partir d’un logiciel de CAO (Conception Assistée par
Ordinateur). Celle-ci est alors discrétisée à l’aide d’un logiciel de maillage pour être prise
en compte lors d’un calcul 3D qui va permettre de déterminer les champs électriques
tangentiels présents sur tout le parcours du réseau de câblages du véhicule. Ce calcul,
réalisé en l’absence du réseau de câblages, est effectué par un code FDTD (Finite
Difference Time Domain).
Enfin, un code de calcul utilisant le formalisme de la théorie des lignes de
transmission est utilisé pour calculer les courants et tensions de mode communs induits
aux extrémités de chaque faisceau constituant le réseau de câblages. Pour cela, les
champs électriques tangentiels calculés par le code 3D sont transformés en générateurs
de tension équivalents, sources du modèle de lignes, à l’aide du modèle de couplage
champ-câble d’Agrawal ([14], [15]).
1.1.4.3 Exemple de cas traité actuellement chez Renault
Renault réalise actuellement des simulations de tests d’immunité rayonnée pour
chaque nouveau modèle de véhicule sur la bande de fréquence 20 - 300 MHz. Par
exemple, pour la nouvelle LAGUNA, 6 architectures différentes du véhicule ont été
modélisées et illuminées par trois ondes planes d’orientation et de polarisation
différentes.
Les figures 5 à 7 présentent quelques vues numériques du maillage du véhicule et
du réseau de câblages qu’il contient :
- 18 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
Figure 5 : Maillage FDTD du véhicule et
localisation du réseau de câblages
Figure 6 : Zoom sur la
planche de bord du
véhicule
Figure 7 : Zoom sur
le compartiment
moteur du véhicule
Pour ce véhicule, la longueur totale des faisceaux de câblages est de 112 m tandis
que la longueur des conducteurs mis bout à bout est proche de 2 km. Chaque faisceau
de câblages contient en moyenne 20 conducteurs. Un faisceau de câblages situé au
niveau de la planche de bord contient néanmoins 230 conducteurs.
Ces modélisations ont permis de comparer, pour chaque illumination, le courant de
mode commun en entrée de cinq équipements électroniques considérés comme
sécuritaires : l’Airbag, l’ABS, le calculateur d’injection, l’UCH (Unité Centrale Habitacle)
et l’UPC (Unité de Protection et de Commutation) dont les positions au sein du réseau
de câblages sont précisées sur la figure 8 :
Figure 8 : Position des équipements électroniques sécuritaires testés
1.2 Outils pour la simulation
1.2.1 Equations de Maxwell
Au 19ème siècle, James Clerk Maxwell a énoncé un système de quatre équations
aux dérivées partielles couplées qui résument à elles seules les propriétés de
l’électromagnétisme. Ce système d’équations, qui constitue une synthèse harmonieuse
des diverses lois expérimentales découvertes par ses prédécesseurs (lois de
l’électrostatique, du magnétisme, de l’induction,…) fut publié dans sa forme définitive en
1873 dans l'ouvrage Electricity and Magnetism.
1.2.1.1 Equations générales
Les équations générales de Maxwell relient, dans un milieu caractérisé par sa
conductivité σ (exprimé en S/m), sa permittivité ε (F/m), et sa perméabilité µ (H/m), les
- 19 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
r
r
champs électrique E (V/m) et magnétique H (A/m) aux termes
qui sont les
r sources
3
2
densités volumiques de charges ρ ( Cb / m ) et de courant J ( A / m ). Toutes ces
r
équations font intervenir deux autres grandeurs : l'induction électrique D (Cb/m²), et
r
l'induction magnétique B (Wb/m²) qui caractérisent l’influence des champs électrique et
magnétique au sein d’un milieu ou d’un matériau. Elles s’écrivent, dans le cas d’un
milieu linéaire homogène isotrope :
r
r
D = εE
r
r
B = µH
(Eq. 1)
(Eq. 2)
La permittivité et la perméabilité d’un milieu sont généralement exprimées de façon
relative, par rapport à leurs valeurs dans le vide :
εr =
ε
ε0
avec ε 0 =
µr =
µ
µ0
avec µ 0 =
1
.10 −9 F/m, permittivité du vide
36.π
(Eq. 3)
1
.10 −9 H/m, perméabilité du vide
36.π
(Eq. 4)
L’équation de Maxwell-Faraday indique que l’intégrale du champ électrique autour
d’une boucle fermée est égale à la dérivée négative par rapport au temps du flux de
l’induction magnétique à travers cette boucle :
r
r
∂B
rot E = −
∂t
→
(Eq. 5)
L’intégrale du champ magnétique autour d’une boucle fermée est égale à la somme
du courant traversant la boucle, d’après l’équation de Maxwell-Ampère :
r
r r ∂D
rot H = J +
∂t
→
(Eq. 6)
La troisième équation indique que le flux de l’induction magnétique à travers une
surface fermée est toujours nul :
r
divB = 0
(Eq. 7)
L’équation de Maxwell-Gauss, indique que le flux de l’induction électrique à travers
une surface fermée est égal à la densité de charge à l’intérieur de la surface :
r
divD = ρ
(Eq. 8)
De plus, l’équation de conservation de la charge permet de relier les termes
sources entre eux :
r ∂ρ
=0
divJ +
∂t
(Eq. 9)
1.2.1.2 Equations en régime harmonique
Dans ce cas, les grandeurs sont exprimées en notations complexes car elles
varient de façon sinusoïdale en fonction du temps. Les équations de Maxwell
fréquentielles deviennent alors :
- 20 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
U ( M , t ) = U ( M , t ).e jωt avec ( j 2 = −1 )
(Eq. 10)
Les équations de Maxwell étant linéaires et homogènes, il est possible de
s’affranchir des exponentielles temporelles. Le système d’équations de Maxwell en
régime harmonique s’écrit donc :
→
rot E + jωµ H = 0
→ r
r r
rot H − jωεE = J
r
divB = 0
r ρ
divE =
(Eq. 11)
(Eq. 12)
(Eq. 13)
(Eq. 14)
ε
Quant à l’équation de conservation de la charge, elle devient :
r
divJ + jωρ = 0
(Eq. 15)
1.2.2 Résolution numérique des équations de Maxwell
Les méthodes de calculs résolvant les équations de Maxwell de façon numérique
dans un espace en 3 dimensions sont nombreuses. Celles-ci sont généralement
appelées méthodes tridimensionnelles ou 3D.
Il existe tout d’abord les méthodes dites « intégrales » car elles résolvent les
équations de Maxwell exprimées sous la forme intégrale. Elles ne nécessitent
généralement pas de mailler le volume de calcul total mais seulement les structures
filaires et les surfaces. Ces méthodes, résolues par la méthode des moments (MoM –
Method of Moments), sont présentées au cours du paragraphe 1.2.2.1.
Il existe ensuite les méthodes dites « différentielles » qui résolvent les équations
aux dérivées partielles. Ces méthodes sont souvent qualifiées de volumiques car elles
travaillent généralement sur un volume englobant l’objet à traiter et fermé par des
frontières absorbantes simulant l’espace libre. Les plus connues sont les méthodes de
type différences finies (FDTD - Finite Difference Time Domain), présentées au cours du
paragraphe 1.2.2.2, et de type éléments finis (FEM - Finite Element Method). Les
méthodes de type éléments finis [16] n’étant pas adaptées à notre sujet, nous ne les
présentons pas dans ce document. En effet, le temps de calcul augmente très
rapidement lorsque la fréquence ou la taille de la structure augmentent.
Il existe également des méthodes « asymptotiques » dont les plus connues sont
l’optique physique (OP), la théorie géométrique de la diffraction (GTD) [17], la théorie
uniforme de la diffraction (UTD) [18]. Ces méthodes, en simplifiant les équations de
Maxwell à l’aide d’hypothèses hautes fréquences ([19], [20], [21], [22]), permettent de
traiter efficacement les objets surdimensionnés par rapport à la longueur d’onde.
Cependant, ces méthodes ne sont pas présentées dans ce document car elles ont peu
de chances de converger vers la solution exacte à l’intérieur d’une cavité telle que la
structure diffractante d’un véhicule. En effet, ces techniques sont mieux adaptées au
calcul de domaines externes pour lesquels le nombre de réflexions des ondes reste
limité.
- 21 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
Il faut préciser qu’il n’existe pas une famille de méthodes qui surclasse les autres
pour tous les types de problèmes possibles. Le choix de la méthode la plus appropriée
dépend donc de la nature du problème à résoudre ([23]).
1.2.2.1 Méthodes intégrales
1.2.2.1.1 Principe général
Les méthodes intégrales, proposées par Harrington [24] dans les années 1960,
permettent de résoudre les équations de Maxwell dans le domaine fréquentiel. Le
principe de ces méthodes peut être expliqué simplement à l’aide de la figure 9 :
Source
électromagnétique
quelconque
Champ rayonné par
la surface S
( E ray , H ray )
( Einc , H inc )
J
Objet de
surface S
Figure 9 : Description d’un problème résolu par une méthode intégrale
Une source électromagnétique (définie par le couple
de courant
J
Einc , H inc ) induit une densité
à la surface d’un objet de surface S. Cette densité de courant
J
crée à
son tour un champ électromagnétique rayonné ( E ray , H ray ) qui, additionné au champ
incident provenant de la source, constitue le champ total présent dans l’environnement :
r
r
r
Etot = Einc + Eray
r
r
r
H tot = H inc + H ray
La relation entre la densité de courant
J
(Eq. 16)
(Eq. 17)
induite sur la surface de l’objet, inconnue
du problème, et le champ électromagnétique incident ( Einc , H inc ) est exprimée à l’aide
d’une équation intégrale de frontière qui, une fois exprimée sous la forme d’un système
linéaire d’équations, peut être résolue par la méthode des moments.
1.2.2.1.2 Equations intégrales
Les démonstrations complètes des formules intégrales de rayonnement donnant, à
partir des équations de Maxwell, la forme générale des champs électromagnétiques
rayonnés par une densité surfacique de courant J sont présentées dans l’annexe A.
Ainsi, les champs électromagnétiques rayonnés au point d’observation r par la densité
de courant J circulant sur une surface S (à laquelle appartient le point r’) s’écrivent
sous la forme générale suivante :
- 22 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
Eray (r ) = −
j
(
)
H ray (r ) =
1
(
)
r r
r r
 2


 k ∫∫ J (r ').G (r , r ′) ds + ∇ ∇.∫∫ J (r ').G (r , r ′) ds  
4πωε  S
 S

µ
rot A =
k 2 = εµω 2 . Ces équations
r r
espace libre G (r , r ′) :
où
1
4π
∫∫ (J (r ').G (r , r ') ).ds
(Eq. 18)
(Eq. 19)
S
font également apparaître la fonction de Green en
(− jk
r r
r −r ′
e
r r
G (r , r ′) = r r
r − r′
)
(Eq. 20)
En appliquant certaines conditions aux limites [25], ces formules intégrales de
rayonnement permettent alors de formuler le problème à résoudre.
1.2.2.1.2.1 Equation intégrale de type EFIE
Le champ électrique tangentiel étant toujours nul à la surface d’un matériau
conducteur, l’EFIE (Electrical Field Integral Equation) impose la condition aux limites
suivante sur toute surface métallique S contenant le point r’ :
[E
inc
]
(r ' ) + E ray (r ' ) tan = 0
(Eq. 21)
Cette condition permet alors d’obtenir la forme générale de l’EFIE établissant la
relation entre le champ électrique incident
Einc (r ') = +
(
Einc
et la densité de courant surfacique J :
)
(
)
r r
r r
 2


 k ∫∫ J (r ').G (r , r ′) ds + ∇ ∇.∫∫ J (r ').G (r , r ′) ds  
4πωε  S

 S
j
(Eq. 22)
L'EFIE peut être appliquée aux objets ouverts ou fermés, aux surfaces infiniment
minces ainsi qu’aux structures filaires.
1.2.2.1.2.2 Equation intégrale de type MFIE
La seconde possibilité consiste à imposer la condition aux limites suivante sur la
surface des matériaux :
[
]
n ∧ H inc (r ' ) + H ray (r ' ) = J (r ' )
(Eq. 23)
Cette condition permet d’établir la forme générale de la MFIE (Magnetic Field
Integral Equation) établissant la relation entre le champ magnétique incident
densité de courant surfacique
J
H inc
et la
sur la surface de l’objet :
n ∧ H inc (r ' ) = J (r ' ) − n ∧
1
4π
∫∫ (J (r ').G (r , r ') ).ds
(Eq. 24)
S
La MFIE ne peut s'appliquer qu'à des surfaces fermées ne contenant pas de
structure filaire.
- 23 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
1.2.2.1.2.3 Equation intégrale de type CFIE
La condition aux limites exprimée par l’équation 25 permet d’établir la forme
générale de la CFIE (Combined Field Integral Equation) qui est une combinaison linéaire
de l’EFIE et de la MFIE :
[
]
[ (
)]
α Einc ( r ' ) + E ray ( r ' ) tan + (1 − α )η n ∧ H inc ( r ' ) + H ray ( r ' ) = (1 − α )η J ( r ' )
(Eq. 25)
où α est un nombre compris entre 0 et 1. Logiquement, cette formulation ne peut être
utilisée que dans le cas où la MFIE peut elle-même être appliquée.
1.2.2.1.2.4 Forme générale d’une équation intégrale
Les trois équations intégrales peuvent être écrites sous la forme générale suivante :
()
r r
L J = X inc
(Eq. 26)
où X inc représente le champ électromagnétique incident. Le terme L est appelé
opérateur intégro-différentiel. Le paragraphe suivant présente la méthode des moments
qui permet de résoudre ce type d’équations. Il faut également préciser que la notion
d’impédance de surface permet de prendre en compte les pertes surfaciques pour
chacune de ces trois formulations ([26]).
1.2.2.1.3 Méthode des moments (MoM)
1.2.2.1.3.1 Principe de la méthode
L’application de la méthode des moments ([27], [28], [29]) sur une structure
conductrice nécessite au préalable la discrétisation (maillage) de cette structure en
éléments sous-dimensionnés par rapport à la longueur d’onde d’excitation. Les éléments
filaires sont discrétisés en segments et les surfaces en triangles. La densité de courant
J sur une structure complexe correspond donc à la somme d’un nombre fini de termes
égal au nombre d’inconnues du système :
( )
r
r N
J = ∑α n f n
n =1
Dans cette expression, les fonctions
(Eq. 27)
fn ,
appelées fonctions de base, sont
pondérées par des coefficients αn qui sont alors les nouvelles inconnues du problème.
En injectant cette expression dans l’équation intégrale, le problème à résoudre s’écrit
ainsi :
N
∑α
n =1
n
(L( f )) = X
n
inc
(Eq. 28)
Cette unique équation, contenant N inconnues, ne peut pas être résolue en l’état.
Pour cela, il faut effectuer le produit scalaire de cette équation avec N fonctions φ m , afin
d’obtenir un système de N équations à N inconnues. Ces fonctions, appelées fonctions
tests ou de pondération, sont indépendantes et doivent être judicieusement choisies.
Par exemple, la méthode de Galerkin, qui est la plus couramment utilisée, préconise de
choisir les fonctions tests égales aux fonctions de base. Pour la kième fonction test,
l’équation intégrale s’écrit alors sous la forme suivante :
- 24 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
( )
r r
< φk , L f n > =< φk , X inc >
N
∑α
n =1
n
(Eq. 29)
La généralisation de cette équation aux N fonctions test permet d’obtenir le système
matriciel linéaire suivant :
( fr ) >
(f )>
r
 < φ1 , L

r
 < φ2 , L

M

r
< φ , L
 2
r
1
1
(f )>
r
1
( fr ) >
(f )>
r
< φ1 , L
r
< φ2 , L
O
L
r
2
2
( f ) >  α
r
L < φ1 , L
O
M
O
M
r
L < φ2 , L
r
  < φ1 , X inc > 

 
 α 2   < φ2 , X inc > 
 M  = 

M

r   
α
f N >  N   < φ N , X inc > 
N
1
(Eq. 30)
( )
Ce système peut également être noté sous la forme condensée suivante :
[Z ][. I ] = [V ]
(Eq. 31)
Dans ce système, la matrice [Z] est appelée matrice interaction du système. Elle
quantifie l’interaction de toutes les inconnues du système entre elles. Le vecteur [I]
contient les amplitudes αn de la densité de courant sur toutes les inconnues du système
tandis que le vecteur [V] correspond à l’excitation appliquée à la structure. La résolution
de ce système consiste alors à inverser la matrice d’interaction [Z] afin de déterminer la
densité de courant sur chaque élément du système :
[I ] = [Z ] .[V ]
−1
(Eq. 32)
1.2.2.1.3.2 Temps de calculs et espace mémoire requis
Le temps de calcul nécessaire à la résolution d’un système complexe par la MoM,
est principalement dominé par le temps nécessaire aux phases d’assemblage de la
matrice [Z] (proportionnel à N2 où N est le nombre d’inconnues du problème) et
d’inversion de celle-ci (proportionnel à N3). De plus, la résolution du système étant
réalisée dans le domaine fréquentiel, ces opérations doivent être réalisées pour chaque
point de fréquence souhaité.
L’espace mémoire requis par la MoM dépend du nombre d’inconnues du système à
résoudre. Chaque arête d’un triangle est associée à une inconnue. Cependant, chaque
arête délimitant la séparation entre deux triangles (hormis pour les triangles situés en
extrémités d’une surface), chaque triangle est donc associé à environ 1,5 fonction de
base. Une inconnue est également associée à chaque jonction entre deux segments ou
pour chaque point de connexion entre un segment et un triangle. Ainsi, dans le cas d’un
système comprenant X triangles et Y segments, le nombre d’inconnues N du système
peut être évalué à l’aide de l’équation 33 :
N ≈ 1,5 X + Y
(Eq. 33)
L’espace mémoire E requis pour stocker la matrice [Z] de dimension N2 dépend
donc du nombre k d’octets servant à exprimer chaque terme numérique :
E ≈ (1,5 X + Y ) * k
2
(Eq. 34)
Ainsi, en MoM, un raffinement par deux du pas de maillage multiplie le nombre
d’inconnues par 4, la mémoire nécessaire par 16 tout comme le temps nécessaire à
l’assemblage de la matrice [Z]. Le temps d’inversion de la matrice [Z] est alors multiplié
par 64.
- 25 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
1.2.2.1.4 Fast Multipole Method (FMM)
La méthode des moments, résolvant de façon rigoureuse les équations issues du
formalisme intégral, est néanmoins limitée en hautes fréquences dans le cas de
problème de grande taille à cause du temps de calcul qu’elle nécessite et de l’espace
mémoire qu’elle requiert pour stocker la matrice d’interaction [Z]. Ces dernières années
ont ainsi vu apparaître de nombreuses méthodes permettant de réduire à la fois le
temps nécessaire à l’assemblage et à l’inversion de la matrice [Z]. De toutes ces
méthodes, la Fast Multipole Method (FMM) est aujourd’hui la plus largement utilisée
([30], [31], [32]).
La détermination de la matrice d’interaction [Z], à l’aide de la MoM, consiste à
calculer les interactions entre tous les éléments du problème pris deux à deux. Afin de
réduire la complexité de cette phase d’assemblage, la FMM regroupe les éléments du
système en paquets d’éléments. Les termes relatifs à deux éléments appartenant au
même paquet ou à deux paquets géographiquement proches sont calculés de façon
rigoureuse. En revanche, les termes relatifs à deux éléments appartenant à deux
paquets géographiquement éloignés sont calculés de façon approchée. Pour cela, on
calcule tout d’abord la fonction de radiation de chaque paquet d’éléments qui
correspond, de façon simplifiée, à l’influence globale du paquet d’éléments. Ensuite, on
calcule la fonction de transfert entre deux paquets d’éléments éloignés. Enfin, la phase
de reconstruction permet de calculer l’effet du premier paquet d’éléments sur chaque
élément du second paquet.
La figure 10 présente schématiquement le traitement de deux paquets d’éléments
géographiquement éloignés en FMM :
3 - Reconstruction
Eléments
2 - Transfert
1 - Radiation
Paquet n°1
Paquet n°2
Figure 10 : Traitement de deux paquets d’éléments éloignés par la méthode FMM
La FMM est généralement utilisée en multi-niveaux. Elle est alors désignée dans la
littérature par l’acronyme MLFMA (Multi Level Fast Multiple Algorithm). Dans ce cas, le
système complexe à traiter est découpé de façon récursive en paquets de plus en plus
petits. La figure 11 présente un exemple de découpage à trois niveaux sur une structure
complexe :
Niveau 0
Niveau 1
Niveau 2
Figure 11 : Illustration du découpage multi-niveaux
- 26 -
Niveau 3
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
Dans le cas de la FMM multi-niveaux, le temps d’assemblage de la matrice
d’interaction [Z] et l’espace mémoire requis pour le stockage de cette matrice deviennent
alors proportionnels à N*(lnN), où N est le nombre d’inconnues de la structure.
Une fois la matrice [Z] assemblée, la résolution du système d’équations linéaires est
réalisée à l’aide d’un algorithme itératif. Cet algorithme consiste à résoudre un système
Ax=b en calculant, à partir d’une valeur initiale x0, une suite de solutions approchées qui
convergent vers la solution x du problème et permet de réduire sensiblement le temps
de calcul. Il faut cependant évoquer les problèmes possibles de convergence dans le
cas de volumes très fermés.
1.2.2.2 Différences finies dans le domaine temporel
La méthode des différences finies dans le domaine temporel (Finite Difference Time
Domain ou FDTD) a été introduite en 1966 par Yee ([33]). Elle est aujourd’hui très
utilisée en raison de son efficacité et de sa robustesse. Cette méthode effectue une
résolution temporelle des équations de Maxwell dans un volume décrit par un système
de coordonnées cartésiennes. La méthode résout le système d’équations différentielles
présenté sur les équations 35 à 40 (où les paramètres µ, ε et σ sont considérés comme
indépendants du temps) :
∂H x 1  ∂E y ∂E z
−
= 
∂t
∂y
µ  ∂z



(Eq. 35)
1  ∂E z ∂E x 
−


µ  ∂x
∂z 
(Eq. 36)
∂H z 1  ∂E x ∂E y 

= 
−
∂t
∂x 
µ  ∂y
(Eq. 37)

∂E x 1  ∂H z ∂H y
−
− σE x 
= 
∂t
∂z
ε  ∂y

(Eq. 38)
∂H y
∂t
∂E y
=
1  ∂H x ∂H z

−
− σE y 

ε  ∂z
∂x

(Eq. 39)

∂E z 1  ∂H y ∂H x
= 
−
− σE z 
∂t
∂y
ε  ∂x

(Eq. 40)
∂t
=
Le volume de calcul est ainsi découpé en mailles élémentaires parallélépipédiques
le plus souvent cubiques. Chaque maille est repérée par le triplet d’entiers
(i, j, k ) = (i∆x, j∆y, k∆z ) où ∆x, ∆y et ∆z sont respectivement les pas de discrétisations
suivant les directions Ox, Oy et Oz. Dans ce maillage, les grandeurs dépendantes du
temps et de l’espace, c’est-à-dire les champs électrique et magnétique, sont discrétisées
selon le modèle suivant :
F n (i, j , k ) = F (i∆x, j∆y, k∆z , n∆t )
(Eq. 41)
où n est un entier et ∆x le pas temporel de calcul. A partir de là, on peut remplacer les
dérivations qui apparaissent dans le système précédent par des termes de différences
finies centrées dans le cas du schéma de Yee :
- 27 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
∂F n (i, j , k ) F n (i + 1 2 , j , k ) − F n (i − 1 2 , j , k )
=
+ a (∆x 2 )
∂x
∆x
∂F n (i, j , k ) F
=
∂t
n+ 1
2
(i, j, k ) − F
n− 1
∆t
2
(i, j, k ) + b(∆t )
2
(Eq. 42)
(Eq. 43)
où a et b sont des nombres réels.
Ces termes sont obtenus à l’aide de développements de Taylor d’ordre deux, ce qui
conduit à un système en espace et en temps d'ordre deux. En appliquant ce formalisme
aux équations de Maxwell, les inconnues de chaque maille, qui sont les composantes
des champs électrique et magnétique, sont disposées comme indiqué sur la figure 12 :
(i+1,j+1,k+1)
Hx
Ez
Hy
Ey
z
Hz
y
(i,j,k)
Ex
(i+1,j,k)
x
Figure 12 : Schéma de Yee sur une maille élémentaire
Les composantes du champ électrique ( E x , E y , E z ) sont situées au milieu des
arêtes de chaque maille et colinéaires à celles-ci. Les composantes du champ
magnétique ( H x , H y , H z ) sont situées au centre des faces et orientées normalement
par rapport à celles-ci.
Le calcul des inconnues s’effectue selon un schéma temporel itératif, appelé
« saute-mouton » (ou « leap frog » en anglais), à des intervalles de temps successifs
espacés de ∆t/2. Ainsi, les composantes du champ électrique sont calculées aux
instants t n = n ∆t tandis que les composantes du champ magnétique sont calculées aux
instants t n +1 2 = (n + 1 2 ) ∆t . Ainsi, les résultats obtenus à un instant donné dépendent
des résultats obtenus à l’instant précédent.
La stabilité du modèle est assurée si la condition CFL (Courant, Friedrich, Levy),
reliant le pas de discrétisation temporelle et les pas de discrétisation spatiaux, est
respectée :
- 28 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
c.dt <
1
1
1
1
+ 2 + 2
2
dx
dy
dz
(Eq. 44)
où c est la vitesse de la lumière dans le vide.
Le volume de calcul étant fini, il faut imposer des conditions aux limites sur les
faces des mailles délimitant celui-ci ([34], [35]). Des couches absorbantes, censées
représenter l’espace libre, vont ainsi annuler la réflexion des ondes sortantes vers
l’intérieur du volume de calcul. Si la structure est illuminée par une agression
électromagnétique quelconque, l’agression sera simulée à l’aide d’une surface
équivalente utilisant le principe de Huygens entourant le système.
Ces couches sont ensuite entourées d’une paroi métallique servant à délimiter le
volume de calcul. La figure 13 résume donc la structure du volume de calcul utilisé en
FDTD :
Couches
absorbantes
Surface
métallique
ferrmée
Volume de
calcul
Objet à
traiter
Surface de
Huygens
Figure 13 : Schéma descriptif du volume de calcul utilisé en FDTD
L’espace mémoire nécessaire à la résolution d’un problème à l’aide de la méthode
FDTD est proportionnel au nombre de cellules contenues dans le volume de calcul
tandis que le temps de calcul est proportionnel au nombre de cellules et au nombre
d’itérations temporelles.
Cette méthode temporelle présente également l’avantage de pouvoir couvrir une
large bande de fréquence à l’aide d’un seul calcul. Les résultats obtenus peuvent ainsi
être convertis dans le domaine fréquentiel après calcul de la transformée de Fourier des
données de sortie temporelles.
La fréquence maximale du calcul impose le pas de discrétisation spatial minimal.
Généralement, le critère adopté est de choisir un pas spatial égal à λ min 10 . Ainsi, plus
la fréquence maximale est élevée, plus les pas spatial et temporel sont faibles, d’où une
augmentation sensible du temps de calcul. A titre d’exemple, lorsque l’on décide de
réduire par deux le pas de maillage dans les trois directions de l’espace, la mémoire
nécessaire est alors multipliée par un facteur 8 et le temps de calcul par un facteur 16.
- 29 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
1.2.3 Présentation de la Topologie de câblages
1.2.3.1 Présentation de la Topologie Electromagnétique
Aujourd’hui, dans les domaines automobile et aéronautique, le calcul des niveaux
de perturbations induits sur un réseau de câblages en fonction d’une agression
électromagnétique quelconque est aujourd’hui réalisé à l’aide du formalisme de la
Topologie Electromagnétique. Ce formalisme, dont les bases théoriques ont été initiées
aux Etats-Unis au début des années 80 par les travaux de Carl E. Baum de l’Air Force
Research Laboratory ([6], [7], [8]), est adapté pour la modélisation numérique des
couplages électromagnétiques sur systèmes complexes (véhicule automobile, avion,
hélicoptère,…). Nous présentons les principes généraux de la Topologie
Electromagnétique dans les paragraphes suivants.
1.2.3.1.1 Principe de l’approche topologique
La modélisation d’un système complexe par l’approche topologique est basée sur la
décomposition du système en plusieurs sous-systèmes simples résolus séparément.
Des approximations dûment justifiées sur les transferts d’énergie entre les différents
sous-systèmes permettent alors de résoudre le problème global à l’aide du formalisme
général des réseaux électriques.
1.2.3.1.2 Volumes, diagrammes et graphes topologiques
Lors de l’étude d’un système de grande dimension, la première étape consiste à
découper la structure en plusieurs sous-structures appelées « volumes topologiques ».
Ce découpage est effectué en observant la géométrie de la structure, les parois
métalliques (« surfaces topologiques ») servant de limites entre deux volumes
topologiques. La figure 14 présente un exemple de structure complexe contenant
plusieurs volumes topologiques :
V1
V2
V3
Figure 14 : Exemple de découpage topologique naturel
Il faut préciser que chaque volume topologique peut également contenir des sousvolumes appelés sous-volumes propres.
La notion de « diagramme topologique » permet alors de représenter de façon
schématique les différents volumes topologiques d’une structure complexe. La figure 15
présente le « diagramme topologique » correspondant au découpage topologique
présenté figure 14 :
V1
V2
V3
Figure 15 : Diagramme topologique associé à la structure précédente
- 30 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
Le graphe topologique est la forme duale du diagramme topologique. Par sa plus
grande simplicité, le graphe topologique permet une analyse plus rapide d’un système
complexe. Les volumes topologiques sont représentés par des noeuds et les transferts
d’énergie à travers les surfaces topologiques par des arêtes. La figure 16 présente le
« graphe topologique » correspondant au découpage topologique présenté figure 14 :
V1
V2
V3
Figure 16 : Graphe topologique associé à la structure précédente
Le formalisme de la théorie des graphes permet ensuite la description informatique
d’un diagramme ou d’un graphe topologique associée à l’étude de la structure
complexe.
1.2.3.2 Modèle des lignes de transmission
La détermination des niveaux de couplage en CEM ne peut s’affranchir du rôle
primordial joué par les réseaux de câblages. En effet, ils constituent une antenne de
réception susceptible de capter les différentes agressions électromagnétiques présentes
dans l’environnement et de les guider directement jusqu’à l’entrée des équipements
électroniques. Ils constituent également une source rayonnante, grâce aux signaux
utiles et parasites qu’ils peuvent véhiculer.
Pour appliquer le formalisme de la Topologie Electromagnétique dans le domaine
de la CEM automobile, la Topologie de câblages basée sur le formalisme des réseaux
de lignes de transmission multiconducteur a été développée. A notre connaissance, la
Topologie de câblages est la seule application quantitative de la Topologie
Electromagnétique dans une gamme de fréquence allant du continu au GHz.
La théorie des lignes de transmission multiconducteur appliquée à des réseaux
(MTLN – Multiconductor Transmission Line network) est basée sur l’hypothèse de la
propagation exclusive d’ondes transverses électromagnétiques (TEM ou quasi-TEM) le
long d’un faisceau de câblages. L’hypothèse fondamentale de la MTLN est que la
distance entre les deux conducteurs, supports de la propagation de l’onde, est faible par
rapport à la longueur d’onde. Le principal intérêt de ce modèle réside dans sa facilité
d’utilisation et dans un temps de résolution relativement court par rapport à la résolution
du problème à l’aide d’un code de calcul 3D.
1.2.3.2.1 Modèle de ligne de transmission monofilaire
Une ligne monofilaire est une ligne composée d’un conducteur unique et d’un
élément de référence (conducteur ou plan de masse) séparés par un milieu diélectrique.
La MTLN permet de modéliser une section de longueur infinitésimale de la ligne
soumise à un champ électromagnétique sous la forme du schéma électrique présenté
figure 17 :
- 31 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
Vs(z).dz
+
L.dz
R.dz
Is(z).dz
V(z)
G.dz
z
V(z+dz)
C.dz
z+dz
Figure 17 : Schéma électrique équivalent d’une section de ligne infinitésimale d’une ligne
de transmission monofilaire
Les paramètres linéiques (définis par unité de longueur) composant ce schéma sont
la résistance R, l’inductance L, la capacité C et la conductance G. Les sources linéiques
de tension et de courant correspondent à une source externe ou localisée sur la ligne.
Les lois des mailles et des nœuds permettent d’obtenir les équations de propagation des
tensions et courants le long de la ligne :
∂V ( z )
= − Z .I ( z ) + V s ( z )
∂z
(Eq. 45)
∂I ( z )
= −Y .V ( z ) + I s ( z )
∂z
(Eq. 46)
où les grandeurs Z et Y dépendent des paramètres linéiques de la ligne :
Z = R + jLω
(Eq. 47)
Y = G + jCω
(Eq. 48)
En différentiant les deux équations de propagation précédentes et en les
combinant, on obtient les équations des télégraphistes en tension et en courant :
∂ 2V ( z )
∂V s ( z )
Z
Y
V
z
−
=
.
.
(
)
− Z .I s ( z )
∂z 2
∂z
(Eq. 49)
∂ 2 I ( z)
∂I s ( z )
− Y .Z .I ( z ) =
− Y .V s ( z )
2
∂z
∂z
(Eq. 50)
Les solutions des équations 49 et 50 sont de la forme :
V ( z ) = Vi .e −γzr + Vr .e + γz
(Eq. 51)
I ( z ) = I i .e −γzr + I r .e + γz
(Eq. 52)
Ces solutions font apparaître la constante de propagation complexe γ de la ligne :
γ = α + jβ = Z .Y = ( R + jLω ).(G + jCω )
(Eq. 53)
La partie réelle α (népers/m) correspond à l’atténuation le long de la ligne tandis
que la partie imaginaire β (rad/m) est la constante de phase.
On définit également l’impédance caractéristique Zc de la ligne qui correspond au
rapport de la tension et du courant en tout point de la ligne :
- 32 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
Zc =
Vi
=
Ii
R + jLω
G + jCω
Z
=
Y
(Eq. 54)
1.2.3.2.2 Modèle de lignes de transmission multifilaires
Les lignes ou faisceaux multiconducteur sont composés de plusieurs conducteurs
et d’une référence séparés par un milieu diélectrique. La généralisation du schéma
électrique équivalent d’une ligne monofilaire au cas d’un faisceau multiconducteur
aboutit au schéma électrique équivalent présenté figure 18 :
V1s(z).dz
I1(z)
I2(z)
V2s(z).dz
I3(z)
V1(z)
V3s(z).dz
V2(z)
I1(z+dz)
I2(z+dz)
[Z]
I3(z+dz)
I1s(z)dz I2s(z)dz I3s(z)dz
[Y]
V3(z)
V1(z+dz)
V2(z+dz)
V3(z+dz)
z
Figure 18 : Schéma électrique équivalent d’une section de ligne infinitésimale d’une ligne
de transmission multiconducteur
Pour le premier conducteur du faisceau, l’équation de Kirchhoff en tension s’écrit :
n
∂V1 ( z )
= − Z11.I1 ( z ) − ∑ Z1i .I i ( z ) + V1s ( z )
∂z
i=2
(Eq. 55)
Les deux premiers termes traduisent les contributions respectives de l’impédance
linéique du conducteur 1 et des couplages avec les conducteurs voisins. Le troisième
terme correspond à la fem (force électromotrice) linéique due à l’induction magnétique
provoquée par l’onde résultante.
La forme matricielle de l’équation de Kirchhoff en tension s’obtient en généralisant
cette équation à tous les autres conducteurs du faisceau :
∂[V ( z )]
= −[Z ][
. I ( z )] + V s ( z )
∂z
[
]
(Eq. 56)
Par dualité, la forme matricielle de l’équation de Kirchhoff en courant s’écrit :
∂[I ( z )]
= −[Y ][
. V ( z )] + I s ( z )
∂z
[
]
(Eq. 57)
Les équations 56 et 57 permettent d’écrire l’équation d’onde sous forme matricielle :
[
]
[
[
]
[
∂ 2 [V ( z )]
∂ V s ( z)
[
][
][
]
Z
.
Y
.
V
(
z
)
− [Z ]. I s ( z )
−
=
∂z
∂z 2
∂ 2 [I ( z )]
∂ I s ( z)
. Z ][
. I ( z )] =
− [Y ]. V s ( z )
− [Y ][
2
∂z
∂z
- 33 -
]
(Eq. 58)
]
(Eq. 59)
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
Par analogie avec le cas de la ligne monofilaire, la matrice de constante de
propagation [γ] et la matrice impédance caractéristique [Zc] peuvent être définies :
[γ ] = [Z ][. Y ]
(Eq. 60)
[Z C ] = [γ ][. Y ]−1 = [γ ]−1 .[ Z ]
(Eq. 61)
Un changement de variable permet alors de définir les vecteurs onde [V(z)]+ et
[V(z)]- en fonction des vecteurs tension [V(z)] et courant [I(z)] usuels :
[V ( z )]+ = [V ( z )] + [Z c ][. I ( z )]
[V ( z )]− = [V ( z )] − [Z c ][. I ( z )]
(Eq. 62)
(Eq. 63)
Le vecteur [V(z)]+ correspond à une onde progressive et le vecteur [V(z)]- à une
onde rétrograde. Cette transformation permet d’écrire l’équation de Kirchhoff en tension
sous la forme de deux équations différentielles du premier ordre indépendantes. Ces
équations, appelées équations de Kirchhoff en ondes, séparent les ondes progressives
des ondes rétrogrades :
∂[V ( z )]+
+ [γ ][
. V ( z )]+ = V s ( z ) +
∂z
]
(Eq. 64)
∂[V ( z )]−
− [γ ][
. V ( z )]− = V s ( z ) −
∂z
(Eq. 65)
[
[
]
Il faut noter que la même opération pour l’équation de Kirchhoff en courant donnera
les mêmes équations en ondes. Un autre changement de variable z ' = l − z pour l’onde
rétrograde [V(z)]- permet alors de considérer les deux extrémités de la ligne comme les
points de départ de deux ondes progressives de directions de propagation opposées.
Les solutions des équations de Kirchhoff en ondes, pour une ligne de longueur L, se
résument alors aux relations :
[V ( z = L)]+ = e
−[γ ]. L
L
[
]
(Eq. 66)
[
]
(Eq. 67)
.[V ( z = 0)]+ + ∫ e −[γ ].( L − z ) . V s ( z ) + .dz
0
[V ( z ' = L)]+ = e
−[γ ]. L
L
.[V ( z ' = 0)]+ + ∫ e −[γ ].( L − z ') . V s ( z ' ) + .dz
0
1.2.3.3 L’approche topologique d’un réseau de câblages
multiconducteur
En Topologie de câblages, un faisceau multiconducteur est modélisé par un tube
unique sur lequel se propage une onde progressive et une onde rétrograde. Ce tube
constitue à la fois le support d’agression et de propagation des perturbations. Il est
terminé par des jonctions qui vont permettre de connecter des charges (impédances
équivalentes d’extrémité) ou bien d’interconnecter des tubes entre eux afin de créer un
réseau de lignes de transmission multiconducteur. Les tubes et les jonctions
correspondent respectivement aux nœuds et aux arêtes du graphe topologique. Le fait
de représenter un faisceau multiconducteur sous forme d’un tube unique simplifie la
représentation graphique des réseaux de câblages.
- 34 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
1.2.3.3.1 Représentation d’un réseau de câblages
Un réseau de câblages est représenté sous forme de jonctions et de tubes sur
lesquels se propagent une onde progressive et une onde rétrograde. Pour faciliter la
mise en équation du réseau, on fait appel aux notions de supervecteur (vecteur de
vecteurs) et de supermatrice (matrice de matrices).
Les sources d’agression peuvent être localisées (source de tension ou de courant)
ou réparties (perturbation électromagnétique dans l’environnement) sur un ou plusieurs
tubes du réseau. La figure 19 présente un exemple de représentation d’un réseau de
câblages multiconducteur obtenu à l’aide du logiciel CRIPTE :
Figure 19 : Représentation topologique d’un réseau de câblages
multiconducteur
1.2.3.3.2 Les tubes
Au point de coordonnée z, les deux ondes se propageant sur un tube sont
calculées en fonction des tensions et courants présents sur les différents conducteurs
du faisceau :
[W (z )] = [V (z )]+ = [V (z )] + [Z c ].[I (z )]
(Eq. 68)
La figure 20 présente la représentation des ondes progressive et rétrograde sur un
tube :
W1(z=0)
1
Jonction 1
W1(z=L)
2
Tube
W2(z’=L)
W2(z’=0)
Jonction 2
Figure 20 : Définition des ondes se propageant sur un tube
La propagation d’une onde le long d’un tube repéré par l’indice i s’écrit sous la
forme suivante :
[Wi (L )] = [Γi ].[Wi (0)] + [W s ]
i
- 35 -
(Eq. 69)
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
où l’on définit les termes suivants :
• le vecteur des ondes progressives [Wi(0)] en z=0
• le vecteur des ondes progressives [Wi(L)] en z=L
[W ] représentant l’agression extérieure
s
•
le vecteur d’ondes sources
•
la matrice de propagation [Γ] du tube
i
1.2.3.3.3 Les jonctions
Une jonction n d’un réseau de câblages est caractérisée par sa matrice de
répartition [Sj]n reliant les ondes entrantes aux ondes sortantes de la jonction. Une
jonction peut être représentée par un fichier de paramètres Z, Y ou S.
Il existe deux types de jonctions. Les jonctions « idéales » permettent de connecter
directement les tubes, et donc les conducteurs, entre eux. Les jonctions terminales de
type circuit qui permettent de prendre en compte des éléments linéaires de type
résistance, inductance et capacité. Celles-ci permettent ainsi de définir des réseaux
d’impédances d’extrémités complexes reliant les conducteurs du tube à la référence de
masse ou reliant directement deux conducteurs du tube (charges différentielles).
Une jonction, repérée par l’indice n, est définie par la relation suivante :
[W (0)] = [S ] .[W (L )]
n
n
j n
(Eq. 70)
où l’on définit les termes suivants :
• la matrice caractéristique [Sj]n de la jonction n
• le vecteur des ondes entrantes [W(0)]n de la jonction n
• le vecteur des ondes sortantes [W(L)]n de la jonction n
1.2.3.3.4 L’équation BLT
La généralisation de l’équation de propagation sur un tube à l’ensemble du réseau
de câblages s’écrit :
[[W (L )]] = [[Γ]].[[W (0)]] + [[W s ]]
(Eq. 71)
Dans cette équation sont définis :
• le supervecteur des ondes sortantes des jonctions [[W(0)]]
• le supervecteur des ondes entrantes des jonctions [[W(L)]]
• le supervecteur d’ondes sources [[WS]]
• la supermatrice de propagation [[Γ]]
L’équation de répartition généralisée du réseau de câblages, où [[S]] désigne la
supermatrice de répartition du réseau, s’écrit :
[[W (0)]] = [[S ]].[[W (L )]]
(Eq. 72)
La combinaison des deux relations précédentes permet d’aboutir à l’équation BLT
caractéristique du réseau portant l’acronyme de ses promoteurs (Baum, Liu,
Tesche) [36] :
([I ] − [[S ]].[[Γ]]).[[W (0)]] = [[S ]].[[W s ]]
(Eq. 73)
où [I] est la matrice identité.
L’inconnue de cette équation est le supervecteur d’ondes sortantes caractérisant
les ondes issues des jonctions. La solution de l’équation BLT s’obtient par inversion,
soit :
- 36 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
[[W (0)]] = ([I ] − [[S ]].[[Γ]])−1.[[S ]].[[W s ]]
(Eq. 74)
Une fois le supervecteur d’ondes sortantes [[W(0)]] déterminé, les paramètres
tension et courant assignés à chaque conducteur du réseau peuvent être calculés
simplement.
1.2.3.4 Matrice des paramètres linéiques
L’application du formalisme de la MTLN à un réseau de câblages nécessite la
connaissance préalable des matrices de paramètres linéiques [R], [L], [C], [G] de
chaque faisceau multiconducteur du réseau. Ces matrices servent à la construction de
la supermatrice de propagation [[Γ]] du réseau.
1.2.3.4.1 Analyse physique des matrices de paramètres linéiques
Dans cette partie, les relations entre les paramètres physiques des différents
conducteurs d’un faisceau et les termes présents au sein des matrices linéiques [R], [L],
[C] et [G] du formalisme MTLN sont définies. Les matrices de paramètres primaires d’un
faisceau contenant N conducteurs ont une taille égale à N*N. Cependant, ces
paramètres primaires sont toujours définis par rapport à un conducteur de référence
constitué le plus souvent d’un plan de masse ou du blindage d’un câble. Ainsi, le
système comprend N+1 conducteurs.
Dans les démonstrations suivantes, les paramètres physiques entre les différents
conducteurs sont identifiés par l’indice p.
1.2.3.4.1.1 Matrice inductance [L]
La forme générale de la matrice [L] d’un faisceau multiconducteur est définie à
partir de la figure 21 qui présente l’exemple d’un faisceau comprenant 3 conducteurs :
I1(z)
L11p
I2(z)
V1(z)
M 12p
M 1p−ref
p
23
M
M 2p−ref
p
3− ref
I2(z+dz)
V1(z+dz)
I3(z+dz)
L33p
V2(z)
V3(z)
M 13p
L22p
M
I3(z)
I1(z+dz)
p
Lref
V2(z+dz)
Iretour(z)
V3(z+dz)
z
Figure 21 : Inductances physiques dans un faisceau contenant 3 conducteurs
Dans cette figure, plusieurs types de termes inductifs sont définis :
Liip
•
chaque terme
•
chaque terme
correspond à l’inductance propre du conducteur d’indice i
M ijp
correspond à l’inductance mutuelle des conducteurs
d’indices i et j
•
chaque terme
M ip−ref
correspond à l’inductance mutuelle entre le
conducteur d’indice i et la référence
•
le terme
p
Lref
correspond à l’inductance propre de la référence.
- 37 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
En négligeant les pertes résistives des conducteurs, la première équation des
télégraphistes permet d’introduire la matrice inductance de ce faisceau :
∂[V ( z )]
= − j.ω [L][
. I ( z )]
∂z
(Eq. 75)
L’hypothèse fondamentale du modèle de ligne de transmission consiste à
considérer que le courant de retour circulant sur le plan de masse est égal au courant de
mode commun du faisceau multiconducteur. Pour l’exemple décrit sur la figure 21, cette
hypothèse s’écrit :
I retour = I 1 + I 2 + I 3
(Eq. 76)
Cette hypothèse permet d’obtenir après simplification les relations suivantes :
∂V1
p
p
= jω (L11p + Lref
− 2 M 1p− ref )I 1 + jω (M 12p + Lref
− M 1p− ref − M 2p− ref )I 2
∂x
p
+ jω (M 13p + Lref
− M 1p− ref − M 3p− ref )I 3
(Eq. 77)
∂V2
p
p
= jω (M 12p + Lref
− M 1p− ref − M 2p− ref )I 1 + jω (L22p + Lref
− 2 M 2p− ref )I 2
∂x
p
+ jω (M 23p + Lref
− M 2p− ref − M 3p− ref )I 3
(Eq. 78)
∂V3
p
= jω (M 13p + Lref
− M 1p− ref − M 3p− ref )I 1
∂x
p
p
+ jω (M 23p + Lref
− M 2p−ref − M 3p− ref )I 2 + jω (L33p + Lref
− 2M 3p− ref )I 3
(Eq. 79)
−
−
−
La matrice de ligne inductance [L] du faisceau peut être obtenue à l’aide d’une
identification terme à terme des équations 77, 78 et 79. Chaque terme de la matrice [L]
est donc défini en fonction des inductances propres et mutuelles des conducteurs du
faisceau. Ainsi, les termes diagonaux et extradiagonaux de la matrice [L] peuvent être
exprimés par les relations générales suivantes :
p
Lii = Liip + Lref
− 2 M ip− ref
(Eq. 80)
p
Lij = M ijp + Lref
− M ip− ref − M jp− ref
(Eq. 81)
1.2.3.4.1.2 Matrice résistance [R]
Les pertes résisitives d’un faisceau multiconducteur sont contenues dans la
matrice [R] du formalisme MTLN. Par analogie avec les termes de la matrice [L], les
termes de la matrice [R] dépendent des résistances propres et mutuelles des
différents conducteurs et de la référence :
Rii = Riip + Rrefp − 2 Rip− ref
(Eq. 82)
Rij = Rijp + Rrefp − Rip−ref − R jp− ref
(Eq. 83)
1.2.3.4.1.3 Matrice capacité [C]
La matrice capacité d’un faisceau multiconducteur relie les charges électriques aux
tensions entre conducteurs :
- 38 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
[q] = [C ][. V ]
(Eq. 84)
L’exemple d’un faisceau comprenant 3 conducteurs, présenté figure 22, est à
nouveau utilisé pour définir la forme générale de la matrice [C] d’un faisceau
multiconducteur :
V12
1
V13
2
C12p
C 23p
C13p
V1
V23
3
C11p
p
11
C
V2
V3
C33p
Figure 22 : Définition des capacités physiques dans un faisceau à 3 conducteurs
Les charges sur chaque conducteur peuvent être exprimées en fonction des
différences de potentiel et des capacités physiques présentes entre les différents
conducteurs du faisceau :
(
)
q1 = C11p .V1 + C12p .V12 + C13p .V13 = C11p + C12p + C13p .V1 − C12p .V2 − C13p .V3
(
)
q 2 = C 22p .V2 − C12p .V12 + C 23p .V23 = −C12p .V1 + C12p + C 22p + C 23p .V2 − C 23p .V3
(
)
q3 = C 33p .V3 − C13p .V13 − C 23p .V23 = −C13p .V1 − C 23p .V2 + C13p + C 23p + C 33p .V3
(Eq. 85)
(Eq. 86)
(Eq. 87)
La matrice [C] du faisceau à trois conducteurs peut être obtenue à l’aide d’une
identification terme à terme des équations 85, 86 et 87 :
C11
[C ] = C 21
C31
C12
C 22
C32
C13  C11p + C12p + C13p

C 23  = 
− C12p

C33  
− C13p
− C12p
C12p + C 22p + C 23p
−C
p
23
− C13p
− C 23p



p
p
p
C13 + C 23 + C33 
(Eq. 88)
La forme générale des termes diagonaux et extradiagonaux de la matrice [C] d’un
faisceau multiconducteur peut être déduite de l’équation précédente :
N
Cii = ∑ Cijp
(Eq. 89)
C ij = −C ijp
(Eq. 90)
j =1
1.2.3.4.1.4 Matrice conductance [G]
La matrice [G] d’un faisceau multiconducteur permet de tenir compte des pertes
diélectriques provoquées par les gaines isolantes enrobant les conducteurs. Par
analogie avec la matrice capacité, les termes diagonaux et extradiagonaux des termes
de la matrice [G] peuvent s’écrire dans le cas général :
- 39 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
N
Gii = ∑ Gijp
(Eq. 91)
G ij = −G ijp
(Eq. 92)
j =1
1.2.3.4.2 Détermination des matrices linéiques
1.2.3.4.2.1 Calcul analytique
Ce paragraphe présente les formules analytiques permettant de caractériser les
matrices de paramètres primaires d’un faisceau multiconducteur.
1.2.3.4.2.1.1 Matrice inductance [L]
En utilisant l’approximation des fils minces, selon laquelle le diamètre des
conducteurs est supposé petit par rapport à la distance les séparant, des formules
analytiques simples permettent de déterminer les inductances propres et mutuelles de
conducteurs situés au-dessus d’un plan de référence infini, parfaitement conducteur.
Lii =
Lij =
µ 0  4.hi 

. ln
2π  d i 
µ 0  4.hi .h j
. ln 1 +
d ij2
2π 
(Eq. 93)




(Eq. 94)
Dans ces équations, les paramètres hi et hj correspondent respectivement à la
hauteur des conducteurs d’indice i et j par rapport à la référence. Le paramètre dij
correspond à la distance entre les conducteurs i et j.
Les formules analytiques sont très utiles pour calculer la matrice [L] d’un faisceau
multiconducteur du fait que le calcul d’une inductance propre ou mutuelle ne dépend pas
de son environnement électrique, c’est à dire de la présence d’autres conducteurs ou de
milieux diélectriques différents du milieu ambiant. Cependant, la précision de ces
formules analytiques diminue lorsque le rayon des différents conducteurs devient faible
devant leurs distances respectives.
1.2.3.4.2.1.2 Matrice résistance [R]
La matrice résistance [R] d’un faisceau multiconducteur sert à exprimer les pertes
résistives des conducteurs. Celles-ci sont composées des pertes statiques constantes
avec la fréquence et des pertes par effet de peau augmentant avec la fréquence. Cette
matrice peut être caractérisée à l’aide de formules analytiques que nous présentons cidessous.
Les pertes statiques correspondent à la résistance linéique d’un conducteur en
basse fréquence. Ces pertes très faibles et donc généralement négligées dépendent de
la résistivité ρ (Ω.m), de la section (m2) et de la longueur (m) du conducteur :
Rstatique =
ρ .l
s
(Eq. 95)
A titre d’exemple, la résistance d’un conducteur de cuivre de longueur 1m, de
résistivité 1,7.10-8 Ω.m et de section 1mm2 est égale à 17mΩ.
Les pertes par effet de peau proviennent du fait, qu’en hautes fréquences, le
courant ne circule pas de manière homogène sur toute la section d’un conducteur. Ainsi,
- 40 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
la densité de courant décroît de façon exponentielle lorsque l’on s’éloigne de la surface
de ce conducteur.
Une grandeur appelée épaisseur de peau et notée δ traduit la diminution de la
section conductrice du conducteur comme l’indique la figure 23 :
d
δ
Figure 23 : Epaisseur de peau dans un conducteur cylindrique
L’épaisseur de peau d’un conducteur de résistivité ρ et de perméabilité relative µr à
la fréquence f est déterminée par la relation suivante :
1
δ=
µ 0 .µ r . f
ρ
(Eq. 96)
La diminution de la section conductrice utilisée par le courant pour se propager le
long du fil, entraîne une augmentation de la résistance du conducteur. L’expression de
la section efficace pour un conducteur cylindrique s’écrit :
S effective = π .δ .(d − δ )
(Eq. 97)
La résistance linéique d’un conducteur, en HF, prenant en compte les pertes par
effet de peau, devient :
RHF = ρ
1
S effective
=ρ
1
π .δ .(d − δ )
(Eq. 98)
L’équation précédente montre que les pertes par effet de peau sont
proportionnelles à la racine de la fréquence.
A titre de comparaison avec les pertes statiques, la résistance du conducteur de
cuivre de longueur 1m, de résistivité 1,7.10-8 Ω.m et de section 1mm2 tenant compte des
pertes par effet de peau devient égale à 1,31Ω à la fréquence de 1GHz.
1.2.3.4.2.1.3 Matrice capacité [C]
L’expression analytique de la capacité d’un fil, de diamètre d, situé à une hauteur h
par rapport à un plan infini, parfaitement conducteur, s’écrit :
C=
2π .ε 0 .ε r
 4.h 
ln

 d 
(Eq. 99)
D’après le théorème des images électriques, cette capacité est identique à celle
existant entre deux fils séparés par une distance 2h. Malheureusement, cette formule
analytique n’est plus valable lorsque le nombre de conducteurs est strictement supérieur
à deux car la capacité entre deux conducteurs dépend fortement de son environnement
électrique et donc de la présence d’autres conducteurs. La solution consiste alors à
- 41 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
calculer la matrice [C] à partir du calcul préalable de la matrice [L] et de l’inversion de
cette matrice :
[C ] =
1
[L]−1
2
v
(Eq. 100)
Cette relation est toutefois subordonnée à l’égalité de toutes les vitesses de
propagation, condition qui n’est vérifiée qu’en présence d’un milieu environnant
homogène. Dans un milieu hétérogène, la détermination rigoureuse de la matrice [C]
nécessite une résolution numérique à l’aide d’un algorithme de calcul électrostatique.
1.2.3.4.2.1.4 Matrice conductance [G]
La matrice conductance d’un faisceau multiconducteur sert à prendre en compte
les pertes diélectriques dues aux gaines diélectriques enrobant les conducteurs.
Contrairement aux pertes ohmiques, ces pertes sont assez difficiles à évaluer et sont
donc bien souvent négligées dans les modèles.
Cependant, la relation analytique suivante permet d’exprimer la matrice [G] à partir
de la matrice [C] du faisceau et de la tangente de pertes tanδ du milieu diélectrique :
[G ] = ω. tan δ .[C ]
(Eq. 101)
Malheureusement, cette formule, dont la démonstration complète est présentée
dans l’annexe B, n’est valable que dans le cas d’un milieu diélectrique homogène. De
plus, la tangente de pertes d’un milieu diélectrique est supposée constante sur toute la
bande de fréquence alors que dans la réalité, cette valeur est bien souvent mal connue
et est, de plus, dépendante des conditions environnementales (température,
humidité,…).
1.2.3.4.2.2 Caractérisation numérique
Dans le cadre d’une démarche numérique exacte, les formules analytiques sont
insuffisantes. Un calcul à l’aide d’une méthode électrostatique constitue donc la seule
technique suffisamment rapide et efficace permettant de traiter le cas d’un faisceau
multiconducteur.
Cette approche consiste à déterminer tout d’abord la matrice capacité [C]0 du
faisceau multiconducteur en l’absence de diélectriques. La matrice inductance [L] est
ensuite calculée à l’aide de la relation suivante :
[L] =
1
[C ]0−1
2
c
(Eq. 102)
Dans le cas où la ligne ne contient pas de diélectrique, la matrice capacité [C]
recherchée est égale à la matrice capacité [C]O. Dans le cas contraire, un nouveau
calcul en présence des diélectriques est effectué.
1.2.3.4.2.3 Caractérisation expérimentale
Il est également possible de déterminer les matrices de paramètres primaires d’un
faisceau multiconducteur à l’aide de mesures. Les deux techniques les plus couramment
utilisées sont la méthode directe et la méthode utilisant un analyseur de réseau.
La méthode directe consiste à mesurer un par un les différents paramètres
primaires du faisceau multiconducteur par des mesures de courants et de tensions. On
détermine tout d’abord les termes propres (éléments diagonaux des matrices) puis les
termes mutuels (éléments extra-diagonaux).
- 42 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
La deuxième méthode consiste à utiliser un analyseur de réseau. La connaissance
des relations de passage entre les paramètres S mesurés et les impédances ramenées
en extrémité de ligne permet ensuite de calculer les termes des matrices linéiques.
Malheureusement, la détermination expérimentale des matrices de paramètres
primaires devient extrêmement fastidieuse et donc inenvisageable pour des faisceaux
de câbles comprenant un nombre important de conducteurs. En effet, le nombre de
mesures à effectuer pour un faisceau contenant N conducteurs croît en N2. Pour cette
raison, la caractérisation expérimentale de matrices linéiques de faisceaux
multiconducteur n’a pas été effectuée au cours de cette thèse.
1.2.3.4.3 Termes sources du modèle
Lors de l’utilisation du formalisme de la MTLN, il faut exprimer la perturbation
électromagnétique réelle agressant le réseau de câblages à l’aide de générateurs
perturbateurs équivalents de tension et ou de courant. Cette opération est effectuée à
l’aide d’un des trois modèles de couplage champ-câble existants : les modèles
d’Agrawal, de Taylor et de Rachidi. Ces trois modèles sont théoriquement équivalents
mais ont été développés pour des applications différentes. Ils sont basés sur les mêmes
approximations faites à partir des équations de Maxwell et assimilent les champs
électromagnétiques incidents agressant la ligne à des générateurs de tension et ou de
courant équivalents. Ces générateurs sont distribués sur tout le réseau de câblages
agressé et placés à intervalles réguliers sur celui-ci (généralement tous les λ /10).
Nous détaillons ici le principe théorique de ces trois modèles de couplage ainsi que
leurs conditions d’application.
1.2.3.4.3.1 Modèle de couplage champ-câble d’Agrawal
Dans ce modèle [15], les équations des télégraphistes s’écrivent sous la forme
suivante :
dV dif ( z )
+ Z .I ( z ) = Vs ( z )
dz
(Eq. 103)
dI ( z )
+ Y .V dif ( z ) = 0
dz
(Eq. 104)
Les inconnues des équations des télégraphistes sont alors la tension diffractée
Vdif(z) et le courant total Itot(z) le long de la ligne dans ce modèle. La tension diffractée
correspond à la tension induite le long de la ligne par les générateurs perturbateurs
équivalents. Pour connaître la tension totale recherchée, il faut donc lui rajouter la
tension naturelle d’espace libre induite par le champ électromagnétique incident.
Dans le modèle d’Agrawal, les générateurs de tension perturbateurs équivalents
sont calculés à partir du champ électrique incident :
V s ( z ) = E zinc ( x, z ) − E zinc (0, z )
(Eq. 105)
Le modèle d’Agrawal, représenté figure 24, comprend un générateur de tension par
cellule élémentaire :
- 43 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
Einc
(Einctg(h,z)- Einctg (0,z)).∆z
k
inc
H
I(L)
V1
V2
h
Z1
x
y
I(0)
Z2
∆z
z
Figure 24 : Modèle de couplage équivalent d’Agrawal
Lors de l’utilisation de ce modèle et quelles que soient les charges d’extrémités de
la ligne, il faut rajouter les deux sources de tension perturbatrices équivalentes V1 et V2
sur les deux brins verticaux situés aux extrémités de la ligne, ce qui permet de rester
cohérent avec la loi de Faraday dans la boucle que constitue la ligne de transmission :
h
V1 = ∫ E xinc ( x,0).dx
(Eq. 106)
0
h
V2 = ∫ E xinc ( x, l ).dx
(Eq. 107)
0
La tension totale Vtot en extrémité de ligne est alors calculée en retranchant les
sources de tension situées sur les brins verticaux à la tension diffractée :
h
V (0) = V dif (0) − V1 = V dif (0) − ∫ E xinc ( x,0).dx
0
h
V ( L) = V dif ( L) − V2 = V dif ( L) − ∫ E xinc ( x, L).dx
0
(Eq. 108)
(Eq. 109)
1.2.3.4.3.2 Modèle de couplage champ-câble de Taylor
Les équations des télégraphistes prennent, dans ce modèle [37], la forme générale
suivante :
dV ( z )
+ Z .I ( z ) = Vs ( z )
dz
(Eq. 110)
dI ( z )
+ Y .V ( z ) = I s ( z )
dz
(Eq. 111)
Les inconnues des équations des télégraphistes sont alors la tension totale Vtot(z) et
le courant total Itot(z) le long de la ligne. Les générateurs de courant et de tension
perturbateurs équivalents sont calculés respectivement à partir des composantes du
champ électrique et magnétique incident :
h
Vs( z ) = + jωµ 0 ∫ H yinc ( x, z ).dx
0
h
Is( z ) = − jωC ∫ E xinc ( x, z ).dx
0
(Eq. 112)
(Eq. 113)
où C représente la capacité linéique de la ligne.
Le modèle de Taylor, représenté figure 25, comprend un générateur de tension et
un générateur de courant équivalent par cellule élémentaire :
- 44 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
Einc
Vs.∆z
k
I(0)
I(L)
inc
H
V(0)
Z1
h
Is.∆z
Z2
V(L)
x
y
∆z
z
Figure 25 : Modèle de couplage équivalent de Taylor
1.2.3.4.3.3 Modèle de couplage champ-câble de Rachidi
Dans ce modèle [38], considéré comme la version duale du modèle d’Agrawal, les
équations de propagation des télégraphistes prennent la forme suivante :
dV ( z )
+ Z .I dif ( z ) = 0
dz
(Eq. 114)
dI dif ( z )
+ Y .V ( z ) = I
dz
(Eq. 115)
Les inconnues des équations des télégraphistes sont la tension totale Vtot(z) et le
courant diffracté Idif(z) le long de la ligne. Le courant diffracté est défini comme étant le
courant induit sur la ligne par les générateurs perturbateurs équivalents. Il diffère du
courant total recherché car il ne prend pas en compte le courant induit par le champ
électromagnétique incident au niveau de la ligne dans le milieu environnant.
Les générateurs de courant perturbateurs équivalents sont calculés à partir du
champ magnétique incident :
I s ( z) = −
µ0
L
∫
h
0
∂H xinc ( x, z )
.dx
∂y
(Eq. 116)
où L représente l’inductance linéique de la ligne.
Le courant diffracté ne se différencie du courant total que par la conductivité du
milieu ambiant. Le courant total Itot recherché est alors calculé à chaque extrémité de la
ligne à partir des relations suivantes où Is1 et Is2 sont les générateurs de courant
équivalents de la première et de la dernière cellule élémentaire de la ligne de
transmission.
I ( 0) =
− V ( 0)
+ I s1
Z1
(Eq. 117)
I ( L) =
− V ( L)
+ I s2
Z2
(Eq. 118)
Le modèle de Rachidi, représenté figure 26, comprend un générateur de courant
par cellule élémentaire :
- 45 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
Einc
k
Hinc
V(0)
x
y
I(0)
Z1
Is1
I(L)
Is2
h
Is.∆z
z
Z2
V(L)
∆z
Figure 26 : Modèle de couplage équivalent de Rachidi
1.2.3.4.3.4 Généralisation
multiconducteur
des
modèles
aux
faisceaux
Dans le cas d’un faisceau de câbles multiconducteur, l’application des trois modèles
de couplage champ-câble est possible au moyen d’une approximation. Elle consiste à
considérer que le champ électromagnétique incident est identique pour tous les
conducteurs du faisceau et suppose donc que la dimension transversale du câble reste
petite par rapport à la longueur d’onde. Pour des câbles industriels contenant un grand
nombre de conducteurs, cette approximation est impossible à vérifier mais est
considérée comme non rédhibitoire.
1.2.3.4.3.5 Comparaison des 3 modèles
Dans le cas de la simulation numérique de l’agression d’un réseau de câblages par
une perturbation électromagnétique quelconque, le modèle d’Agrawal est le plus utilisé
en raison de deux avantages principaux qu’il apporte vis-à-vis des deux autres
modèles [39].
Tout d’abord, c’est le seul modèle dont les générateurs perturbateurs équivalents
ne dépendent pas des caractéristiques de la ligne agressée. Ils sont en effet calculés
directement à partir des champs électriques tangentiels présents sur le parcours du
réseau de câblages. Ainsi, les caractéristiques physiques de la ligne étudiée peuvent
être modifiées sans qu’il soit nécessaire de recalculer les termes sources.
Ensuite, le modèle nécessite le calcul et le stockage d’une seule composante du
champ électromagnétique par cellule élémentaire. La quantité d’informations à stocker
est donc pratiquement divisée par deux par rapport aux deux autres modèles.
En revanche, pour la détermination expérimentale de termes sources, le modèle de
Taylor est souvent privilégié. En effet, la détermination du champ électrique tangentiel
au plan nécessaire au modèle d’Agrawal est très délicate.
1.2.4 Présentation des logiciels utilisés
Durant cette thèse, de nombreux logiciels de simulation ont été mis en oeuvre.
Nous avons utilisé principalement des outils développés à l’ONERA ainsi que des
logiciels commerciaux disponibles chez RENAULT. Une brève description des
fonctionnalités spécifiques des différents logiciels utilisés est présentée dans les
paragraphes suivants.
1.2.4.1 FEKO
Le logiciel FEKO, utilisé chez Renault depuis l’année 2002 et commercialisé par la
société EMSS, résout la formulation intégrale de type EFIE à l’aide de la méthode des
moments. FEKO propose un algorithme de résolution par inversion directe de type LU
- 46 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
ainsi qu’un algorithme de résolution de FMM accompagné d’un solveur itératif. Le
logiciel propose également des modules d'hybridation avec des méthodes
asymptotiques telles que l’optique physique ou la théorie uniforme de la diffraction
(UTD).
Les données de sorties possibles sont nombreuses : courants surfaciques,
paramètres S, calcul des champs en un point (champ proche) ou en champ lointain…
Pour notre application, un des principaux avantages du logiciel est qu’il permet de
prendre en compte une gaine diélectrique enrobant un élément filaire à l’aide de deux
techniques différentes présentées en détail dans le chapitre suivant.
1.2.4.2 CRIPTE
CRIPTE (Calcul sur Réseaux des Interactions Perturbatrices en Topologie
Electromagnétique) fut le premier logiciel fondé sur la théorie de la Topologie
Electromagnétique. Il fut développé à l’ONERA à la fin des années 80 suite aux travaux
de recherche de JP Parmantier [40]. L’objectif était d’utiliser la théorie de la Topologie
de câblages, dérivée de la Topologie Electromagnétique, pour le traitement de couplage
électromagnétique sur des réseaux de câblages multiconducteur complexes. Les
travaux menés par l’ONERA ont ainsi donné lieu à la programmation du code CRIPTE
avec une interface graphique depuis 1994. CRIPTE a fait l’objet de nombreuses
validations en comparant ses résultats à des mesures effectuées sur des systèmes
complexes (voilure d’avion Mirage III [41], avion EMPTAC de l’US Air Force [1] [3],…).
CRIPTE travaille dans le domaine fréquentiel et ne peut donc pas traiter de
modèles non-linéaires. Les sources peuvent être localisées (sources de tension ou de
courant) ou réparties (agression par une onde plane par exemple) sur l’ensemble du
réseau de câblages. Il est également possible de prendre en compte des champs
électromagnétiques incidents, issus de logiciels de calcul 3D, transformés en
générateurs perturbateurs de tension et de courants à l’aide de modèles de couplage
champ-câble.
Les résultats fournis par CRIPTE peuvent être les courants et tensions sur chaque
conducteur d’un réseau de câblages mais également des matrices de paramètres [S].
Ces dernières années, un module de calcul de rayonnement a également été intégré à
CRIPTE. Ce calcul est effectué à partir de la connaissance du courant sur chaque
conducteur élémentaire de chaque tube du réseau.
1.2.4.3 LAPLACE
Le code LAPLACE est un code de calcul électrostatique, développé à l’ONERA,
permettant de déterminer les matrices inductance [L] et capacité [C] d’une ligne de
transmission multiconducteur. Pour les calculer, le code résout, à l’aide de la méthode
des moments, la formulation intégrale de la coupe transversale (géométrie de section
droite) du faisceau multiconducteur. La géométrie de section droite du faisceau est donc
constituée de conducteurs isolés, entourés ou non de gaines diélectriques, plongés
dans l’air ambiant et situés au-dessus d’un plan de masse ou à l’intérieur d’un blindage.
Les matrices [L] et [C] du faisceau peuvent alors être prises en compte par le logiciel
CRIPTE.
1.2.4.4 NUTLA
Les codes de calcul utilisant le formalisme de la théorie des lignes de transmission
(CRIPTE par exemple) prennent uniquement en compte des faisceaux multiconducteur
uniformes où tous les conducteurs du faisceau ont une hauteur constante par rapport à
- 47 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
la référence de masse et une position inchangée par rapport aux autres conducteurs sur
tout le parcours du faisceau de câblages. Or, dans la réalité, les réseaux de câbles
présentent obligatoirement des non uniformités (hauteur variable, position aléatoire des
conducteurs au sein du faisceau, référence de masse non plane, …). Ainsi, à partir des
années 90, de nombreux travaux se sont consacrés à la modélisation de faisceaux non
uniformes ([42], [43], [44]).
Dans ce cadre, le code NUTLA (Non Uniform Transmission Lines Algorithm),
développé à l’ONERA dans le cadre de la thèse de C. Castanié [45], tente de prendre
en compte l’effet des non uniformités d’un faisceau multiconducteur dans le cadre de la
Topologie Electromagnétique. Pour cela, un faisceau multiconducteur non uniforme est
discrétisé en tronçons uniformes reliés entre eux par des jonctions idéales (sans pertes).
Le comportement du faisceau initial est alors calculé en chaînant les matrices de
transfert des différents tronçons.
NUTLA permet, par exemple, de générer des faisceaux multiconducteur torsadés
(dont tous les conducteurs présentent une rotation régulière vis-à-vis du centre du
faisceau) ou aléatoires corrélés (où la section d’un tronçon dépend de la section du
tronçon précédent) qui sont physiquement les plus réalistes.
Il est ainsi possible de calculer la réponse fréquentielle des faisceaux créés par
NUTLA à une agression de type localisée ou répartie. Les résultats de sortie du logiciel
correspondent soit aux courants et tensions situés en tout point de chaque conducteur
du faisceau soit à une matrice de paramètres S pouvant ensuite être insérée sous forme
de jonctions dans CRIPTE.
1.2.4.5 RandomOP
RANDOMOP est un code de calcul développé à l’ONERA qui permet, à l’aide d’une
méthode appelée « méthode réciproque » ([46], [47], [48], [49]) que nous avons utilisée
au cours de ce travail, de calculer les contraintes (tension et courant) induites sur un
système placé en chambre réverbérante ou soumis à une agression électromagnétique
haute fréquence (de type champs forts ou micro-ondes de forte puissance). Il faut
préciser que RandomOP possède une autre option appelée « Power Balance » que
nous ne développerons pas dans ce manuscrit.
La méthode réciproque repose sur le théorème de réciprocité que nous rappelons
brièvement. Soit un premier état « de référence », présenté figure 27 où une structure
quelconque est illuminée par des sources électriques Jref et magnétiques Mref créant,
dans un volume V délimité par la surface fermée S, les champs électrique
magnétique
H ref
:
(Jref, Mref)
(Eref, Href)
Volume V de
frontière S
fermée
I
Z1
Z2
Figure 27 : Etat de référence
- 48 -
E ref
et
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation
Cet état correspond à l’illumination de la structure en chambre réverbérante à
brassage de modes (CRBM).
Soit un deuxième état, présenté figure 28, dit « état d’émission » où la structure
émet dans le même volume les champs électrique
Eémis et magnétique H émis
:
(Eémis, Hémis)
+
-
V0
(Jémis, Mémis)
Z1
Z2
Figure 28 : Etat d’émission
Le théorème de réciprocité, sous hypothèse de linéarité des 2 états, s’écrit de la
manière suivante :
(
∫∫ (E
émis
)
∧ H ref − E ref ∧ H émis .dS
)
S
= ∫∫∫ H émis .M ref − Eémis .J ref − H ref .M émis + Eref .J émis .dV
(Eq. 119)
V
En introduisant le générateur de tension V0 de l’état d’émission et le courant I induit
sur la structure dans l’état de référence tels qu’ils sont décrits sur les figures 27 et 28, on
peut écrire la relation suivante après quelques développements :
I =−
(
)
1
.∫∫ Eémis ∧ H inc − Einc ∧ H émis .n.dS
V0 S
(Eq. 120)
Si l’on restreint maintenant la surface S à la surface du câble, l’équation 120
devient :
I =−
1
.∫ I émis .Einc .dl
V0 I
(Eq. 121)
Le terme I émis , obtenu à l’aide d’un code de calcul 3D ou de lignes de transmission,
correspond aux courants induits le long de la structure par le générateur de tension V0
dans l’état d’émission. Pour comparer aux mesures réalisées en CRBM, le générateur
de tension V0 doit être placé à l’endroit où la mesure a été effectuée en CRBM.
Le terme E inc est obtenu à l’aide du logiciel RandomOP par la génération du
spectre d’ondes planes aléatoires censé représenter l’environnement électromagnétique
présent dans une CRBM. Chaque onde plane aléatoire dépend de trois variables
aléatoires que sont l’amplitude, l’incidence et la polarisation :
- 49 -
Chapitre 1 – Présentation du contexte et des outils de simulation

− E θj . sin (θ j )
N
− j .k .r 
E inc (r ) = ∑ e
.− E ϕj . sin (ϕ j ) + E θj . cos(ϕ j ). cos(θ j )
j =1
− E ϕ . cos(ϕ ) + E θ . sin (ϕ ). cos(θ )
j
j
j
j
j

j
Dans cette expression, le vecteur d’onde
kj
(Eq. 122)
s’écrit :
 cos(θ j )
2.π 
kj =
.cos(ϕ j ). sin (θ j )
λ 
 sin (ϕ j ). sin (θ j )
(Eq. 123)
Les densités de probabilités des variables aléatoires sont choisies de façon à ce
que chaque onde plane élémentaire se propage de n’importe quel point de la sphère
unité avec la même probabilité. Chaque onde plane est ainsi définie par six variables
aléatoires dont les densités de probabilités sont les suivantes :
- ϕj suit une densité de probabilité uniforme entre 0 et 2π
- θj=acos(1-2α) où α suit une densité de probabilité uniforme entre 0 et 1
- Eθ=Mθ.ejφ(θ) où (Mθ)2 suit une loi du χ2 à 2 degrés de liberté et φ(θ) une densité
de probabilité uniforme entre 0 et 2π
- Eϕ=Mϕ.ejφ(ϕ) où (Mϕ)2 suit une loi du χ2 à 2 degrés de liberté et φ(ϕ) une densité
de probabilité uniforme entre 0 et 2π
Une fois les termes I émis et E inc connus, il est alors possible de procéder au calcul
de l’intégrale de réciprocité. Il faut préciser que lorsque l’on souhaite un calcul de
courant à l’endroit de la mesure en CRBM, il est impératif d’avoir placé sur la structure
un générateur de tension lors du calcul d’émission et inversement.
1.3 Conclusion du chapitre 1
Ce premier chapitre a permis tout d’abord de présenter le rôle de la simulation
numérique CEM d’immunité réalisée actuellement chez Renault sur chaque nouveau
modèle de véhicule. Un exemple de calcul réalisé actuellement a permis notamment de
montrer les bandes de fréquences concernées par ces calculs (20 - 300 MHz) et de
définir les observables.
Ensuite, les méthodes tridimensionnelles résolvant les équations de Maxwell aptes
à traiter le couplage d’une onde électromagnétique sur une structure diffractante de
grande dimension ont été présentées théoriquement. Il s’agit des méthodes intégrales
résolues par la méthode des moments et des méthodes différences finies.
Nous avons ensuite présenté les avantages de la Topologie de câblages en
montrant que ce formalisme était parfaitement adapté au traitement « basse fréquence »
de réseaux de câbles complexes.
Dans la suite de ce manuscrit, nous allons maintenant aborder les problèmes posés
par la réalisation de calculs d’immunité en « hautes fréquences ».
- 50 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
Chapitre 2
2 Problématique
de
la
modélisation des couplages
électromagnétiques
hautes
fréquences sur un faisceau de
câbles multiconducteur
En « basse fréquence », les niveaux de perturbation induits sur un réseau de
câblages multiconducteur par une perturbation électromagnétique quelconque sont
généralement calculés à l’aide d’une approche couplée utilisant un code tridimensionnel
(3D) et un modèle de lignes de transmission. A l’aide de quelques configurations
canoniques, nous proposons de mettre en évidence les limitations fréquentielles de
cette approche. L’utilisation d’un code de calcul 3D semblant alors nécessaire en
« hautes fréquences », nous présentons sur un exemple simple les problèmes
engendrés par cette nouvelle approche.
2.1 Ondes électromagnétiques particulières
Ce chapitre présente de nombreuses simulations numériques relatant le couplage
électromagnétique entre une onde plane et un faisceau de câblages. Par souci de clarté,
nous nous sommes limités à des ondes planes particulières présentées ci-dessous. En
effet, trois polarisations remarquables de l’onde incidente sont généralement
distinguées.
Dans le cas du couplage hybride présenté figure 29, la direction de propagation de
l’onde perturbatrice est parallèle à l’axe du conducteur :
r
E
r
H
Extrémité 1
Extrémité 2
r
k
z=0
z=L
z
Figure 29 : Illumination d’un faisceau de câblages en couplage hybride
Cette orientation permet de reproduire les conditions d’essais obtenues en cellule
TEM. Dans ce cas, c’est l’action simultanée des champs électrique et magnétique qui
induit des courants et tensions sur la ligne. Sur la figure 29, nous avons également porté
- 51 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
les conventions utilisées pour dissocier les deux extrémités de n’importe quel faisceau
de câblages, défini comme une liaison de câbles point à point.
Dans le cas du couplage électrique présenté figure 30, la direction de propagation
de l’onde plane est parallèle au plan et perpendiculaire à l’axe du conducteur :
r
E
r
k
Extrémité 1
Extrémité 2
r
H
z=0
z
z=L
Figure 30 : Illumination d’un faisceau de câblages en couplage électrique
La composante électrique de l’onde, normale au plan, est alors à l’origine de
l’induction sur la ligne.
Dans le cas du couplage magnétique présenté figure 31, la direction de propagation
de l’onde plane est normale au plan et perpendiculaire à la direction des conducteurs :
r
H
Extrémité 1 r
k
z=0
r
E
Extrémité 2
z=L
z
Figure 31 : Illumination d’un faisceau de câblages en couplage magnétique
La composante magnétique de l’onde, tangentielle au plan, est alors à l’origine de
l’induction sur la ligne.
Il est à noter que toute onde plane d’incidence quelconque peut être considérée
comme la combinaison linéaire de ces trois ondes particulières.
2.2 Limites fréquentielles de l’approche couplée
code 3D / lignes de transmission
2.2.1 Limites HF de la théorie des lignes de transmission
Dans la modélisation numérique des tests d’immunité rayonnée effectuée par
Renault en « basse fréquence » (f < 300 MHz), les courants et tensions aux extrémités
des conducteurs constituant le réseau de câblages sont calculés à l’aide de la théorie
des lignes de transmission (MTLN : Multiconductor Transmission Line Network). Les
sources du modèle de lignes sont des générateurs de tension obtenus après application
du modèle de couplage champ-câble d’Agrawal. Ces générateurs sont calculés à partir
des champs électriques tangentiels aux parcours des câbles calculés au préalable par
un code de calcul 3D.
Les deux lignes monofilaires présentées figure 32 sont utilisées afin de démontrer
la limitation fréquentielle de la MTLN :
- 52 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
rayon=1mm
L=1m
10Ω
h=3 ou
10cm
1kΩ
I(0)
Figure 32 : Caractéristiques des deux lignes monofilaires testées
Les deux lignes, disposées sur un plan de masse infini, sont illuminées par une
onde plane d’amplitude 3 V/m en couplage hybride.
Le courant I(0) à la première extrémité de la ligne est calculé à l’aide de la théorie
des lignes de transmission et de la méthode des moments (MoM – Method of Moments)
jusqu’à la fréquence de 2 GHz. Sur ces deux lignes monofilaires, le calcul MoM est
considéré comme le résultat de référence afin de juger de la qualité du calcul MTLN sur
toute la bande de fréquence. Les résultats obtenus pour chaque ligne sont présentés sur
les figures 33 et 34 :
Figure 33 : Ligne de hauteur 3cm
Figure 34 : Ligne de hauteur 10cm
Pour ces calculs, comme dans tout le second chapitre, les simulations MTLN et
MoM ont été respectivement réalisées à l’aide des logiciels CRIPTE et FEKO présentés
au cours du premier chapitre.
Pour chacune des deux lignes, la MTLN constitue un modèle tout à fait satisfaisant
en basse fréquence pour calculer le courant induit sur une ligne monofilaire illuminée par
une onde électromagnétique quelconque. Toutefois, les deux courbes s’écartent l’une
de l’autre à une fréquence d’environ 900 MHz pour la ligne de hauteur 3 cm et d’environ
300 MHz pour la ligne de hauteur 10 cm mettant ainsi en évidence la limite fréquentielle
de la MTLN. Trois raisons permettent d’expliquer cette limite.
Tout d’abord, la non prise en compte du rayonnement de la ligne en MTLN ne
permet pas d’observer l’atténuation des résonances de la ligne observée en MoM.
Ensuite, la prise en compte des parties verticales d’une ligne de transmission dans
le formalisme MTLN explique le décalage des fréquences de résonance observées sur
les deux lignes par rapport au calcul de référence. En effet, les brins verticaux sont
- 53 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
considérés en MTLN comme des lignes de transmission placées en extrémités de la
section horizontale de la ligne [50] comme l’indiquent les figures 35 et 36 :
Evertical1 Ehorizontal Ehorizontal2 Ehorizontal3 Evertical2
Ehorizontal Ehorizontal Ehorizontal3
Evertical1
I(0)
L
h
Evertical2
I(L)
Figure 35 : Agression réelle d’une ligne de
transmission
I(0)
L
h
I(L)
h
Figure 36 : Prise en compte de l’agression
d’une ligne de transmission par le
formalisme MTLN
Enfin, aux fréquences limites mentionnées plus haut, l’hypothèse fondamentale de
la MTLN qui impose que la distance entre la ligne et la référence de masse soit
inférieure au cinquième de la longueur d’onde est proche d’être remise en cause.
Lorsque cette hypothèse n’est plus respectée (2 GHz pour la ligne de hauteur 3 cm et
600 MHz pour la ligne de hauteur 10 cm), la propagation des modes d’ordre supérieur,
jusqu’alors évanescente, devient entretenue et la MTLN qui ne considère que la
propagation de modes de type TEM ne peut alors les prendre en compte.
Dans ce manuscrit, on désigne donc par l’acronyme BF (basses fréquences) la
bande de fréquence où le formalisme de la MTLN peut être appliqué de façon correcte
et par HF (hautes fréquences) la bande de fréquence où le formalisme de la MTLN ne
peut pas être appliqué.
2.2.2 Limites d’application des modèles de couplage champcâble
2.2.2.1 Approximation effectuée par ces modèles
Dans un véhicule automobile, les équipements électroniques placés aux extrémités
du réseau de câblages présente généralement une géométrie complexe. Ils sont, dans
la pratique, composés de parties métalliques et plastiques. Dans la simulation
d’immunité BF réalisée chez Renault, la géométrie des équipements électroniques est
prise en compte de façon simplifiée lors du calcul des champs électriques tangentiels le
long des parcours de câbles par un code 3D comme l’indique la figure 37. En revanche,
la figure 38 montre que la géométrie des équipements électroniques est modélisée à
l’aide de brins verticaux lors de l’application du modèle de lignes :
- 54 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
Equipement
électronique
Agression
électromagnétique
quelconque
Etan
Etan
I(0)
h
L
I(L)
Figure 37 : Etape 1 – Calcul 3D des champs
électriques tangentiels à la ligne
Z1
I(0)
L
h
I(L)
Z2
Figure 38 : Etape 2 – Calcul MTLN du
courant aux extrémités de la ligne
Il faut étudier l’impact de cette hypothèse simplificatrice sur toute la bande de
fréquence. Dans les paragraphes suivants, et par souci de simplification, un exemple
d’équipement électronique est symbolisé à l’aide d’une équerre conductrice.
2.2.2.2 Mise en évidence de l’influence de terminaisons
métalliques complexes
La première étape de ce travail consiste à étudier l’influence de terminaisons
métalliques complexes sur le courant induit aux extrémités d’une ligne monofilaire. Pour
cela, nous définissons les deux structures représentées sur les figures 39 et 40 :
I(0)
10Ω
L=1m
h=3cm
L=1m
I(L)
10Ω
I(0)
1kΩ
Figure 39 : Structure n°1
h=3cm
1kΩ
I(L)
Figure 40 : Structure n°2
La structure n°1 est une ligne monofilaire de rayon 1mm dont le raccordement au
plan de masse est effectué à l’aide de deux brins verticaux. La structure n°2 est une
ligne monofilaire de rayon identique et dont le raccordement au plan de masse est
effectué à l’aide de deux équerres métalliques de hauteur 12cm et de largeur 8cm.
L’illumination des deux structures est réalisée par une onde plane d’amplitude 3V/m
orientée en couplage hybride. La figure 41 présente le courant I(0) induit sur chacune de
ces deux structures et calculé par la MoM jusqu’à 1 GHz :
- 55 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
Figure 41 : Comparaison du courant I(0) induit sur les deux structures
L’influence des deux équerres métalliques est très faible sur le courant I(0) jusqu’à
environ 200 MHz. En revanche, à partir de cette fréquence, les écarts entre les deux
simulations deviennent très importants et peuvent atteindre ensuite plusieurs dizaines
de dB. A ces fréquences, le champ électromagnétique agressant la ligne est fortement
perturbé par la présence des deux équerres.
Cet exemple simple met en évidence l’influence très importante d’un équipement
électronique à la géométrie complexe sur le courant induit aux extrémités d’un faisceau
de câbles lorsque la fréquence augmente.
2.2.2.3 Mise en évidence des limites d’utilisation des modèles
de couplage champ-câble
La deuxième étape de ce travail consiste à étudier si l’utilisation d’un modèle de
couplage champ-câble permet de tenir compte de l’effet des équerres métalliques de la
structure n°2 (cf figure 40) au-dessus de 200 MHz.
Le champ électrique tangentiel au parcours de la ligne horizontale de la structure
n°2 est donc calculé à l’aide de la MoM en l’absence de la ligne. Ensuite, le courant
induit I(0) aux extrémités de la ligne est calculé par la MTLN après application du
modèle de couplage champ-câble d’Agrawal. Le courant obtenu est comparé au courant
de référence calculé lorsque la structure n°2 est modélisée entièrement en MoM. Les
deux courants obtenus sont présentés sur la figure 42 pour une illumination hybride de
la ligne identique au paragraphe précédent :
- 56 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
Figure 42 : Comparaison du courant I(0) calculé en MoM et à l’aide d’une
approche couplée MoM-MTLN
La figure 42 permet de constater que l’utilisation du modèle de couplage champcâble d’Agrawal permet de reproduire l’allure du courant I(0) calculé de manière exacte
par la MoM jusqu’à 400 MHz. Rappelons nous que la structure n°1 du paragraphe
précédent (cf figure 39) ne permettait pas de modéliser correctement le courant I(0) audessus de 200 MHz. En revanche, au-dessus de 400MHz, cette approche demeure
insuffisante du fait de l’utilisation de la MTLN lors de l’approche couplée.
2.2.3 Pertes par rayonnement électromagnétique en HF
Au cours du paragraphe 2.2.1, nous avons évoqué que la MTLN engendrait des
erreurs en HF par rapport aux méthodes rigoureuses basées sur la résolution des
équations de Maxwell en ne prenant pas en compte le rayonnement électromagnétique
des faisceaux de câbles. Pour valider cette hypothèse, nous souhaitons mettre en
évidence la forte augmentation du rayonnement électromagnétique d’un faisceau de
câblages de façon expérimentale et numérique lorsque la fréquence augmente.
Pour réaliser cela, nous étudions les deux lignes monofilaires dont les
caractéristiques principales sont présentées sur la figure 43 :
L=80cm
50Ω
h=3 ou 10cm
rayon=1mm
50Ω
Figure 43 : Caractéristiques des deux lignes monofilaires utilisées
Ces deux lignes ne contenant pas de gaines isolantes sont placées sur un plan de
masse fini de longueur 1m et de largeur 60cm.
Les paramètres S de chaque ligne ont été mesurés entre les deux extrémités de
chaque ligne à l’analyseur de réseau puis calculés à l’aide de la MoM. Le coefficient de
- 57 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
pertes de la ligne peut être calculé à partir des paramètres S11 et S21 à l’aide de la
relation 124 :
Pertes(%) =
Pdissipée
Pincidente
(
2
* 100 = 1 − S11 − S 21
2
)*100
(Eq. 124)
Ce coefficient exprime le pourcentage de la puissance rayonnée par une ligne de
transmission en fonction de la puissance incidente fournie de cette ligne. En effet, les
deux lignes ne contenant pas de gaines diélectriques, l’énergie non absorbée sur l’un
des deux ports de la ligne ne peut qu’avoir été dissipée dans l’espace sous forme de
rayonnement électromagnétique.
Les figures 44 et 45 présentent la comparaison du coefficient de pertes obtenu en
mesure et en simulation pour chaque ligne :
Figure 44 : Ligne n°1 (hauteur = 3cm)
Figure 45 : Ligne n°2 (hauteur = 10cm)
En dessous de 150 MHz pour la ligne n°1 et de 100 MHz pour la ligne n°2, le
rayonnement de la ligne est très faible. L’utilisation de la MTLN à ces fréquences ne
génère donc pas une erreur importante par rapport à un calcul utilisant une méthode
tridimensionnelle exacte.
Le rayonnement électromagnétique de chaque ligne se manifeste ensuite de façon
significative à la première résonance en demi-longueur d’onde de chaque ligne située
aux alentours de 150 MHz. Par exemple, pour la ligne n°2, la puissance rayonnée à
cette fréquence correspond à environ 13¨% de la puissance fournie en entrée de la
ligne. Ainsi, l’atténuation des résonances du courant induit sur une ligne par une
perturbation extérieure peut s’expliquer par le rayonnement électromagnétique de la
ligne à ces fréquences particulières.
Aux fréquences supérieures à la résonance fondamentale de la ligne, la puissance
rayonnée augmente significativement jusqu’à atteindre à la fréquence de 2 GHz environ
40 % de la puissance fournie à l’entrée de la première ligne et 60 % de la seconde.
Ainsi, à ces fréquences, l’utilisation de la MTLN n’étant plus du tout adaptée, nous
choisissons donc d’utiliser un code de calcul 3D prenant en compte le rayonnement
électromagnétique de chaque ligne.
- 58 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
2.3 Influence des impédances terminales
Dans ce paragraphe, des simulations numériques permettent de mettre en
évidence l’influence des charges terminales sur le courant induit par une perturbation
électromagnétique aux extrémités d’une ligne monofilaire puis d’un faisceau
multiconducteur.
2.3.1.1 Ligne monofilaire
La figure 46 présente les caractéristiques géométriques de la ligne monofilaire
étudiée :
rayon=0,5mm
L=1m
Z1
h=2cm
Z2
I(0)
Figure 46 : Caractéristiques de la ligne monofilaire étudiée
Le tableau 3 présente les quatre configurations de charges connectées
successivement aux extrémités de la ligne :
n°1
n°2
n°3
n°4
Z1
CC (courtcircuit)
CC
50Ω
200Ω
Z2
CC
CO
(circuit
ouvert)
50Ω
50Ω
Tableau 3 : Configurations de charges terminales de la ligne
La figure 47 présente le courant I(0) issu d’un calcul MTLN induit par une onde
plane d’amplitude 3V/m en couplage hybride pour chaque configuration de charges :
- 59 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
Figure 47 : Comparaison du courant I(0) calculé par la
MTLN pour chaque configuration de charges
Cette figure montre l’influence très importante des charges d’extrémités sur le
courant induit aux extrémités d’une ligne monofilaire illuminée par une onde plane.
Lorsque la ligne est court-circuitée à ses deux extrémités (configuration n°1) autorisant
le passage du courant, les résonances de la ligne (148, 244, 348 MHz) sont très
marquées. De plus, elles se produisent lorsque la longueur L de la ligne est égale à un
multiple de la demi-longueur d’onde d’excitation tel que l’indique l’équation suivante :
L = k.
λ
2
avec k nombre entier
(Eq. 125)
Lorsqu’un circuit ouvert est placé à une extrémité de la ligne bloquant le passage
du courant (configuration n°2), les résonances de la ligne (72, 216, 360 MHz) très
prononcées se produisent lorsque la longueur L de la ligne est égale aux valeurs
décrites par l’équation 126 :
L = (2k + 1).
λ
4
avec k nombre entier
(Eq. 126)
Dans ces deux premiers cas, les conditions de charges étant extrêmes, l’onde se
propageant le long de la ligne est réfléchie en totalité à ses extrémités provoquant
l’apparition d’ondes stationnaires et donc de résonances très prononcées aux extrémités
de la ligne.
En revanche, lorsque la ligne est chargée par des résistances proches de
l’impédance caractéristique de la ligne, les résonances sont fortement atténuées
(configurations n°3 et 4). La ligne est alors bien adaptée et l’énergie est majoritairement
absorbée par les impédances terminales au lieu de subir des réflexions multiples à ses
extrémités.
2.3.1.2 Faisceau multiconducteur
Dans ce paragraphe, la ligne monofilaire du paragraphe précédent est remplacée
par un faisceau de câbles contenant quatre conducteurs de rayon 0,5mm. Les autres
- 60 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
paramètres géométriques (longueur et hauteur) sont inchangés. Le tableau 4 présente
les conditions de charges terminales appliquées à chaque conducteur du faisceau :
N° du conducteur
1
2
3
4
Extrémité 1
CC
CC
50Ω
CC
Extrémité 2
CC
CO
50Ω
1pF
Tableau 4 : Configuration de charges terminales du faisceau multiconducteur
La figure 48 présente le courant de mode commun ainsi que les courants sur
chaque conducteur induit à la première extrémité du faisceau par une onde plane
d’amplitude 3V/m en couplage hybride. Il faut préciser que le courant de mode commun
est défini comme la somme algébrique des courants induits sur chaque conducteur.
Figure 48 : Comparaison du courant de mode commun et du courant
sur chaque conducteur calculés par la MTLN à l’extrémité du faisceau
La valeur du courant de mode commun induit sur le faisceau est très proche du
courant induit sur le premier conducteur du faisceau court-circuité à ses deux
extrémités. Le deuxième conducteur influence également le courant de mode commun
du faisceau aux fréquences correspondant à ses résonances propres. En revanche, les
deux derniers conducteurs du faisceau ont très peu d’influence sur le courant de mode
commun du faisceau car ils sont chargés par des impédances terminales du même
ordre de grandeur que l’impédance caractéristique du faisceau.
Cette simulation numérique permet donc de tirer deux enseignements majeurs :
• le courant de mode commun d’un faisceau multiconducteur est
principalement dépendant du courant induit sur les conducteurs chargés par
des impédances terminales de valeurs extrêmes (court-circuit ou circuit
ouvert) très éloignées de l’impédance caractéristique de mode commun du
faisceau.
• le comportement basse impédance d’un faisceau multiconducteur est
assuré lorsqu’un seul conducteur de ce faisceau est chargé par une faible
impédance à chaque extrémité. Le courant de mode commun d’un faisceau
multiconducteur est ainsi moins dépendant des charges terminales qu’une
ligne monofilaire.
- 61 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
2.4 Modélisation de faisceaux multiconducteur en
MoM
2.4.1 Justification du choix de la MoM
Compte tenu des résultats obtenus au cours du paragraphe 2.2, la modélisation de
faisceaux de câblages multiconducteur en HF doit être effectuée à l’aide d’un code de
calcul 3D résolvant de façon numérique les équations de Maxwell.
Nous avons choisi, au cours de notre thèse, d’utiliser la MoM plutôt que la FDTD
pour effectuer ce genre de calculs. Ce choix a été effectué en comparant les forces et
les faiblesses de ces deux méthodes par rapport à l’application industrielle visée. En
effet, on rappelle que l’objectif final de ce travail de thèse est de modéliser des
configurations de tests d’immunité rayonnée sur un véhicule entièrement câblé.
L’avantage principal de la MoM par rapport à la FDTD est de ne pas nécessiter le
maillage entier du volume de calcul, ce qui est intéressant vis-à-vis du temps de calcul
total. De plus, l’utilisation de la FMM multi-niveaux permet de réduire considérablement
le temps de calcul dans le cas de structures complexes.
La MoM permet, de plus, de réaliser un maillage des structures filaires plus
conformes à la réalité que la FDTD où les fils doivent être situés sur les arêtes des
mailles.
2.4.2 Discrétisation des éléments filaires et surfaciques en
MoM
La résolution d’un problème en MoM nécessite au préalable la discrétisation
(maillage) des éléments filaires en segments et des éléments surfaciques en triangles.
Ce maillage doit respecter certains critères que nous présentons ci-dessous.
Le premier critère impose que chaque élément filaire soit discrétisé en segments de
longueur sous-dimensionnée par rapport à la longueur d’onde. En pratique, un
découpage des éléments filaires en λ/10 est généralement préconisé.
Le deuxième critère nécessite que la longueur de chaque segment soit plus de cinq
fois supérieure à son rayon afin de respecter l’approximation des fils minces. Il s’agit
ainsi d’une limitation haute fréquence de la MoM.
Le troisième critère concerne la dimension des arêtes des triangles surfaciques. En
général, il est conseillé que la longueur de chaque arête soit inférieure au sixième de la
longueur d’onde.
2.4.3 Etude des performances de la MoM pour la
modélisation de faisceaux de câbles multiconducteur
2.4.3.1 Description du cas test
Dans ce paragraphe, l’objectif est d’étudier les performances de la MoM lors de la
modélisation de faisceaux de câblages multiconducteur. L’éprouvette de test est
constituée de quatre faisceaux multiconducteur comprenant respectivement un, quatre,
sept et dix conducteurs plongés dans un milieu homogène. La figure 49 présente la
description schématique de la géométrie de section droite du faisceau de dix
conducteurs et la figure 50 une vue de la modélisation de ce faisceau en MoM :
- 62 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
1,3mm
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Rayons des
conducteurs
=0,5mm
3cm
Figure 49 : Géométrie de section droite du
faisceau de 10 conducteurs
Figure 50 : Modélisation du faisceau de
dix conducteurs en MoM
La ligne monofilaire contient uniquement le conducteur 1, le faisceau à quatre
conducteurs les conducteurs 1 à 4 et ainsi de suite. Les conducteurs de ces quatre
faisceaux, de longueur 1m et de rayon 0,5mm, sont placés à 3cm au-dessus d’un plan
de masse infini. L’écart séparant deux conducteurs voisins est, comme l’indique la figure
de 0,3mm.
Le tableau 5 recense la configuration des impédances terminales placées aux
extrémités de chaque conducteur :
N° du
conducteur
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Extrémité 1
50Ω
110Ω
50kΩ
2Ω
2kΩ
50Ω
1Ω
3nH
2pF
500Ω
Extrémité 2
10kΩ
5Ω
200Ω 400Ω 10Ω
50Ω
1pF
4pF
100kΩ
10nH
Tableau 5 : Configuration de charges terminales des quatre faisceaux testés
Les réseaux d’impédances connectés aux extrémités du faisceau sont constitués
d’éléments fortement disproportionnés par rapport à l’impédance caractéristique de
mode commun du faisceau. Ce choix a été établi de manière à mieux faire ressortir la
diversité des couplages mutuels exercés entre les conducteurs.
2.4.3.2 Analyse de la précision de la MoM
La modélisation des quatre faisceaux de câbles a été effectuée en MTLN et en
MoM jusqu’à la fréquence de 500MHz où la longueur d’onde est de 60cm. En raison de
la bande de fréquence étudiée et compte tenu de la hauteur des faisceaux de câbles par
rapport à la référence de masse, le calcul MTLN est considéré comme le résultat de
référence sur toute la bande de fréquence. Il permet donc d’évaluer la précision de la
modélisation MoM sur le calcul du courant de mode commun aux extrémités du
faisceau.
Pour les simulations MoM, les conducteurs sont maillés longitudinalement en
segments de longueur 1cm. Les conducteurs sont ainsi largement surmaillés sur toute la
bande de fréquence. Les éventuels écarts présents entre les deux simulations ne
peuvent donc pas être imputés à un maillage insuffisant des conducteurs.
Les figures 51 à 54 comportent le courant de mode commun calculé à la première
extrémité des quatre faisceaux lorsque ceux-ci sont illuminés par une onde plane en
couplage hybride d’amplitude 3V/m :
- 63 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
Figure 51 : Ligne monofilaire
Figure 52 : Faisceau de 4 conducteurs
Figure 53 : Faisceau de 7 conducteurs
Figure 54 : Faisceau de 10 conducteurs
Les quatre figures mettent en évidence la bonne corrélation des deux simulations
pour chacun des faisceaux malgré une légère dérive au niveau des résonances lorsque
le nombre de conducteurs augmente. Les deux calculs étant dans tous les cas très
proches en dessous de 100MHz où le rayonnement du faisceau est faible, ces écarts à
plus hautes fréquences correspondent à la prise en compte du rayonnement du faisceau
par le calcul MoM.
En conclusion, la MoM permet de calculer avec précision le courant de mode
commun d’un faisceau multiconducteur comprenant au moins dix conducteurs y compris
lorsque les conducteurs du faisceau sont très proches les uns des autres.
2.4.3.3 Analyse des ressources informatiques nécessaires à
l’exécution du calcul
Dans ce paragraphe, nous analysons les ressources informatiques nécessaires aux
simulations MoM présentées dans le paragraphe 2.4.3.2 et réalisées sur un ordinateur
de processeur 2,66 GHz et disposant d’une mémoire RAM de 1,5 Go.
Le tableau 6 présente le temps de calcul total ainsi que les temps nécessaires à la
phase d’assemblage et d’inversion de la matrice d’interaction [Z] pour chacun des quatre
faisceaux. L’espace mémoire requis par le logiciel est également présent dans le
- 64 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
tableau. Ces données correspondent à 301 itérations de fréquences réparties
uniformément entre 1MHz et 1GHz :
Nombre de
conducteurs
du faisceau
Nombre
d’inconnues
du problème
Temps de
calcul
total (s)
Assemblage
de la matrice
[Z] (s)
Inversion de
la matrice [Z]
(s)
Espace
mémoire
requis (Mo)
1
107
30,3
28,9
0,9
0,2
4
428
494
460
27,9
2,9
7
749
1533
1398
122
8,8
10
1070
3205
2853
327
17,8
Tableau 6 : Temps de calculs et espace mémoire requis pour la modélisation des
quatre faisceaux de câblages en MoM
Le temps de calcul en MoM est principalement dominé par le temps nécessaire à
l’assemblage et à l’inversion de la matrice d’interaction [Z]. Ces données permettent de
vérifier que la phase d’assemblage est proportionnelle à N2 et que la phase d’inversion
est proportionnelle à N3, N étant le nombre d’inconnues du problème. L’espace mémoire
requis est également proportionnel à N2. Sur ces quatre exemples, les autres phases du
calcul (vérification de la géométrie, calcul du second membre,…) n’entraînent pas de
temps de calcul significatif.
Ainsi, le temps de calcul total est de 30 secondes dans le cas de la ligne monofilaire
et de plus de 53 minutes dans le cas du faisceau de dix conducteurs soit une
multiplication par un facteur supérieur à 100, l’espace mémoire requis augmentant dans
les mêmes proportions. Cet exemple simple illustre le fait que la modélisation précise de
la complexité du réseau de câblages d’un véhicule automobile, bien que théoriquement
réalisable, est totalement inenvisageable sur les ordinateurs actuels.
2.5 Quantification
des
pertes
diélectriques
engendrées par les gaines isolantes
Les gaines isolantes, entourant chaque conducteur d’un faisceau de câblages et
assurant une protection à la fois électrique, mécanique, chimique et thermique,
engendrent également des pertes diélectriques. Compte tenu de la densité importante
de gaines isolantes présentes dans un faisceau multiconducteur automobile, nous avons
tenté de les chiffrer sur une large bande de fréquence. Ensuite, nous avons vérifié que
la MoM était capable de les prendre en compte en HF.
2.5.1.1 Définition des grandeurs caractéristiques d’un milieu
diélectrique
Un milieu purement diélectrique est un milieu isolant de conductivité nulle où aucun
courant de conduction ne peut circuler. En réalité, les gaines diélectriques entourant les
conducteurs d’un faisceau automobile ont une faible conductivité qui va engendrer des
pertes appelées communément « pertes diélectriques ».
Un milieu diélectrique peut être défini à l’aide de deux paramètres que sont la
permittivité relative, noté εr, et la tangente de pertes, noté tanδ.
- 65 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
La permittivité relative εr d’un milieu diélectrique est définie par rapport à la
permittivité absolue ε de ce milieu et de celle du vide ε0, soit :
εr =
1
ε
où ε 0 =
.10 −9 pF/m
ε0
36π
(Eq. 127)
Lorsque les pertes diélectriques se manifestent, et pour une excitation sinusoïdale,
εr est une grandeur complexe exprimée par la convention suivante :
ε = ε '− jε ' '
(Eq. 128)
La tangente de pertes du milieu diélectrique est alors définie par le rapport des
parties imaginaire et réelle de la permittivité relative complexe :
tan δ =
ε ''
ε'
(Eq. 129)
En pratique, la permittivité relative et la tangente de pertes d’une gaine diélectrique
sont des grandeurs souvent mal connues puisqu’elles ne participent pas aux données
fonctionnelles des conducteurs. De plus, d’un point de vue physique, la tangente de
pertes peut varier en fonction de différents facteurs tels que la fréquence, la
température, l’humidité, la pression atmosphérique…Ceci explique pourquoi les pertes
diélectriques sont bien souvent négligées dans les modèles basses fréquences.
2.5.1.2 Détermination expérimentale des caractéristiques d’une
gaine isolante
2.5.1.2.1 Permittivité relative (εr)
Pour déterminer expérimentalement la permittivité relative d’une gaine isolante
enrobant un conducteur, la méthode proposée consiste à enrober la gaine isolante d’un
câble coaxial d’un blindage métallique externe comme l’indique la figure 55 :
Gaine isolante (tenue mécanique)
Blindage externe rajouté
Gaine diélectrique
Conducteur central
Figure 55 : Section du câble coaxial créé
Le blindage du câble coaxial est maintenu fermement à l’aide d’un ruban adhésif
isolant afin d’assurer l’homogénéité du milieu présent entre le conducteur central et le
blindage.
L’objectif est de mesurer la partie imaginaire de l’impédance ramenée par le câble
coaxial de longueur L à l’entrée de l’appareil de mesure (l’autre extrémité du câble
coaxial étant court-circuitée). La figure 56 présente la mesure obtenue pour un câble de
longueur 705mm :
- 66 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
Figure 56 : Mesure de la partie imaginaire de l’impédance
ramenée par le câble coaxial
Théoriquement, l’impédance ramenée par le câble coaxial considéré comme sans
pertes peut s’écrire :
Z = j.Z coaxial . tan (β .L )
(Eq. 130)
Ainsi, la première fréquence de résonance f0 intervient lorsque le terme tan (βL) est
maximal, c'est-à-dire lorsque le cosinus de ce terme est nul. Après quelques calculs
simples, la vitesse de propagation v de l’onde TEM se propageant le long du câble
coaxial peut ainsi être exprimée en fonction de f0 et de L :
v = 4. f 0 .L
(Eq. 131)
Il est alors possible de déterminer la permittivité relative εr de la gaine isolante à
l’aide de la relation suivante :
v=
c
(Eq. 132)
εr
où c représente la vitesse de propagation dans le vide.
Les résultats obtenus pour notre échantillon sont les suivants :
f 0 = 63,4 MHz
(Eq. 133)
v = 1,78.108 m.s −1
(Eq. 134)
ε r = 2,8
(Eq. 135)
Pour la suite de cette thèse, la valeur de référence utilisée pour définir la permittivité
relative εr d’une gaine isolante d’un câble automobile sera donc 2,8.
2.5.1.2.2 Tangente de pertes (tan δ)
Pour déterminer expérimentalement la tangente de pertes d’une gaine diélectrique
enrobant un conducteur, on mesure l’admittance du câble coaxial utilisé précédemment,
la deuxième extrémité du câble étant cette fois-ci placée en circuit ouvert. L’admittance
- 67 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
ramenée à l’entrée de l’appareil de mesure par le câble coaxial, qui n’est plus considéré
comme sans pertes, s’écrit alors :
Ymesure =
1
.
Z coaxial + Z ch arg e .(th(γ .L ))
Z coaxial Z ch arg e + Z coaxial .(th(γ .L ))
(Eq. 136)
Dans le cas où la longueur de la ligne est faible devant la longueur d’onde,
l’admittance mesurée peut s’écrire sous la forme suivante :
Ymesure = Ycoaxial .(γ .L )
(Eq. 137)
L’admittance du câble coaxial Ycoaxial peut être exprimée simplement en fonction de
sa capacité linéique C et de sa conductance G :
Ycoaxial = G + j.C.ω
(Eq. 138)
D’après la démonstration théorique présentée dans l’annexe B, la tangente de
pertes d’un milieu diélectrique homogène est égale à :
tan δ =
G
C.ω
(Eq. 139)
Cette relation permet de déterminer la tangente de pertes de la gaine diélectrique à
partir de la mesure directe de l’admittance du câble coaxial :
tan δ =
Re(Ycoaxial ) Re(Ylmesure )
=
Im(Ycoaxial ) Im(Ymesure )
(Eq. 140)
La figure 57 montre l’échantillon connecté à l’analyseur de réseau :
Figure 57 : Vue du montage expérimental
La figure 58 présente la tangente de pertes mesurée sur la bande de fréquence
allant de 1 à 400 MHz pour deux échantillons du câble coaxial de longueurs respectives
20 puis 90 mm :
- 68 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
Figure 58 : Tangente de pertes du câble coaxial mesurée pour
deux longueurs de l’échantillon
La courbe noire représentant la tangente de pertes obtenue pour l’échantillon de
longueur 20mm est très bruitée en dessous de 100 MHz en raison du sousdimensionnement trop important de l’échantillon par rapport à la longueur d’onde. En
revanche, entre 100 et 350MHz, la tangente de pertes obtenue apparaît clairement non
bruitée autour d’une valeur de 0,02 (ou 2%). Au-delà de 350 MHz, la longueur de
l’échantillon ne pouvant plus être considérée comme faible devant la longueur d’onde
d’excitation, les phénomènes de propagation au sein de l’échantillon entraînent
l’apparition de résonances qui interdisent l’application de cette méthode simple, basée
sur une approximation basse fréquence.
Pour le second échantillon de longueur 90mm où la tangente de pertes est
représentée par la courbe rouge, celle-ci, proche de celle mesurée sur le premier
échantillon, peut être lue de manière convenable sur la bande de fréquence 50-150
MHz.
Cette méthode de mesures a ainsi permis de caractériser, de manière précise, la
tangente de pertes d’une gaine diélectrique enrobant un conducteur de type automobile
jusqu’à la fréquence de 300MHz. Malheureusement, et pour des raisons techniques
évidentes, il n’a pas été possible de la mesurer pour des fréquences supérieures.
Néanmoins, pour la suite de cette thèse, la valeur moyenne de référence utilisée pour
définir la tangente de pertes d’une gaine diélectrique sera donc égale à 0,02.
Il faut préciser cependant que les valeurs de εr et de tan δ mesurées dans ces deux
paragraphes ne concernent que le type de câbles utilisé pour ces mesures. En effet, il
n’est pas exclu qu’il y ait une grande dispersion de ces valeurs sur d’autres modèles de
câbles. Pour vérifier cela, il faudrait réaliser une analyse exhaustive sur un grand
nombre de câbles utilisés dans le secteur automobile.
2.5.1.3 Effet de la gaine isolante enrobant un conducteur
2.5.1.3.1 Méthode expérimentale
Après avoir mesuré les caractéristiques d’une gaine isolante de câble automobile,
nous regardons l’effet de cette gaine sur le courant induit sur le câble par une
perturbation électromagnétique. Lors de la mesure effectuée en chambre anéchoïque,
- 69 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
une antenne log-périodique placée à une distance de trois mètres illumine le faisceau en
couplage électrique.
L’éprouvette de test, présentée figure 59, est constituée d’une ligne monofilaire,
court-circuitée à ses deux extrémités, de longueur 76cm, de hauteur 3 cm et située sur
un plan de masse fini :
Figure 59 : Ligne monofilaire sous test
A l’aide d’une sonde de courant, le courant I(0) induit sur la première extrémité du
câble est mesuré lorsque celui-ci est enrobé de la gaine isolante ou lorsqu’il en est
dépourvu. La figure 60 présente les résultats obtenus jusqu’à 1 GHz :
Figure 60 : Effet de la gaine isolante sur le courant I(0) mesuré sur la ligne
Les mesures montrent clairement que la gaine diélectrique isolante a pour effet de
réduire sensiblement les fréquences de résonance de la ligne. En effet, sur la mesure
pratiquée avec le conducteur nu, la fréquence de résonance fondamentale de la ligne se
situe à 201 MHz et passe à 194 MHz avec la gaine diélectrique.
Compte tenu de la valeur des charges d’extrémités très inférieures à l’impédance
caractéristique de la ligne, cette résonance fondamentale se produit lorsque la
fréquence est telle que sa demi-longueur d’onde coïncide avec la longueur de la ligne.
La fréquence de résonance fondamentale de la ligne peut ainsi être reliée à la vitesse
de propagation v et à la longueur du conducteur par l’équation 141 :
v = λ fondamental . f fondamental = 2.L. f fondamental
- 70 -
(Eq. 141)
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
Ainsi, la vitesse de propagation est diminuée d’environ 5 % lorsque la gaine
diélectrique est présente. Ce résultat semble tout à fait concordant avec les propriétés
diélectriques de la gaine. Il faut également ajouter que le décalage des fréquences de
résonance devient de plus en plus important lorsque l’ordre des résonances augmente.
Le deuxième effet lié à la présence de la gaine est malheureusement peu mis en
évidence sur la figure 60. En effet, la gaine isolante devrait théoriquement provoquer,
par le biais de sa tangente de pertes, une atténuation des résonances. Seules les trois
dernières résonances de la ligne montrent une légère atténuation du courant mesuré.
2.5.1.3.2 Modélisation numérique
Dans ce paragraphe, les caractéristiques de la mesure du paragraphe précédent
sont reproduites numériquement en MoM. La seule différence avec la configuration
expérimentale est que l’amplitude de la perturbation électromagnétique est constante et
égale à 3V/m. Précisons également que la gaine isolante modélisée a une épaisseur de
0,5mm, une permittivité relative εr de 2,8 et une tangente de pertes de 0,02.
Le logiciel FEKO prend en compte la gaine isolante d’une structure filaire par le
biais de deux aménagements de la MoM n’ayant pas d’impact significatif sur le temps de
calcul.
Le premier, dérivé des travaux de Popovic ([51], [52]), consiste à insérer une
inductance linéique fictive répartie sur toute la longueur du conducteur et à ajuster la
capacité linéique de ce conducteur en modifiant son rayon. Cependant, ce procédé
exclut la prise en compte de pertes diélectriques lorsque le conducteur est situé dans
l’air car il impose que la tangente de pertes de la gaine diélectrique soit identique à celle
du milieu environnant.
Le second procédé [53] introduit, sur toute la longueur du conducteur, un terme
supplémentaire représentant la densité de courant de polarisation engendrée par la
gaine diélectrique. Ce procédé ne peut pas être appliqué lorsque la perméabilité relative
µr de la gaine est différente de celle du milieu environnant. Cette restriction n’étant guère
problématique, nous avons choisi de présenter les résultats obtenus à l’aide de ce
procédé dans ce manuscrit.
L’évolution fréquentielle du courant I(0) induit sur la première extrémité de la ligne
est présentée sur la figure 61 :
Figure 61 : Effet de la gaine isolante sur le courant I(0) calculé sur la ligne
- 71 -
Chapitre 2 – Problématique de la modélisation des couplages électromagnétiques
hautes fréquences sur un faisceau de câbles multiconducteur
Cette figure met parfaitement en évidence les deux effets théoriques engendrés par
la présence d’une gaine diélectrique isolante autour d’un conducteur.
La fréquence fondamentale de la ligne passe de 146 MHz à 138 MHz lorsqu’on
enlève la gaine diélectrique. La modification de la vitesse de propagation d’environ 5%
observée en mesures est donc correctement restituée par la simulation.
De plus, l’amortissement des résonances prévu par la théorie est bien reproduit par
ces modélisations numériques sur notre exemple. Ainsi, l’atténuation sur l’amplitude du
courant induit est de 6% pour la fréquence fondamentale et de 26 % pour la troisième
fréquence de résonance de la ligne.
Ces résultats numériques prouvent que le logiciel FEKO est capable de prendre en
compte numériquement les effets engendrés par la présence d’une gaine isolante
enrobant un conducteur.
2.6 Conclusion du chapitre 2
Ce second chapitre a permis de définir la problématique scientifique de ce travail.
Ainsi, nous avons tout d’abord mis en évidence les limites fréquentielles de l’approche
couplée utilisant un calcul 3D et un modèle de lignes de transmission pour déterminer
les niveaux de perturbation induits sur un réseau de câblages multiconducteur. Cette
approche, très intéressante en basse fréquence en terme de temps de calculs, devient
limitée en hautes fréquences du fait de l’utilisation du modèle de lignes basé sur
l’approximation de la propagation unique de modes de type TEM et ne prenant donc pas
en compte l’apparition de modes de propagation d’ordre supérieur ainsi que le
rayonnement électromagnétique des faisceaux de câbles.
Ainsi, pour modéliser des faisceaux de câblage en HF, l’utilisation unique d’un code
3D devient inévitable. Après avoir écarté les méthodes volumiques de type différences
finies (FDTD) ou éléments finis (FEM), notre choix s’est porté sur la méthode intégrale
de type EFIE résolue par la méthode des moments (MoM – Method of Moments). Celleci est en effet capable de modéliser les couplages mutuels entre les conducteurs d’un
faisceau de câblages tout en prenant en compte le rayonnement électromagnétique et
les pertes diélectriques du faisceau. Malheureusement, l’utilisation de ce type de
méthodes 3D requiert des temps de calculs prohibitifs avec une application industrielle
sur un réseau de câblages réaliste.
Nous allons donc, dans le chapitre suivant, élaborer une méthode permettant de
réduire les temps de calculs inhérents à la modélisation de faisceaux de câblages
multiconducteur sans toutefois diminuer la précision des calculs.
- 72 -
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
Chapitre 3
3 Edification de la méthode du
faisceau équivalent
Ce troisième chapitre est consacré à l’édification des principes théoriques d’une
méthode intitulée « méthode du faisceau équivalent » permettant de réduire les temps
de calculs nécessaires à la prise en compte de faisceaux multiconducteur en MoM.
Cette méthode consiste à définir, pour chaque faisceau multiconducteur un faisceau
réduit contenant un nombre limité de « conducteurs équivalents ». Nous détaillons dans
ce chapitre les quatre étapes permettant de définir les caractéristiques du faisceau
réduit relatif à un faisceau de câblages initial.
3.1 Principe et objectifs de la méthode
Dans le passé, la modélisation de faisceaux de câblages en HF a été un domaine
peu abordé. Néanmoins, quelques travaux ont cherché à étendre la bande de fréquence
d’utilisation de la MTLN en y intégrant les pertes par rayonnement ([54], [55], [56], [57]).
Mais ce genre d’approche ne peut pas permettre de corriger les insuffisances de la
MTLN sur une large bande de fréquence. De plus, si l’intégration d’une résistance de
rayonnement paraît concevable sur une ligne monofilaire, on peut s’interroger sur
l’extension de ce principe aux faisceaux multiconducteur.
Comme nous l’avons évoqué au cours du chapitre précédent, notre choix pour la
modélisation de faisceaux de câblages multiconducteur en hautes fréquences s’est
porté sur l’emploi de codes de calcul 3D, et de la MoM en particulier. Cependant, il
convient de réduire le temps de calcul nécessaire à l’application de la MoM pour
permettre la modélisation d’un réseau de câblages de type industriel.
Ainsi, la méthode proposée au cours de ce chapitre utilise le principe de conducteur
équivalent déjà utilisé par le passé pour des applications différentes ([41], [58], [59]). Le
principe de la méthode consiste donc à définir à partir d’un faisceau multiconducteur
complexe un faisceau « réduit » comprenant entre un et quatre conducteurs seulement.
Les figures 62 et 63 présentent respectivement un faisceau de dix conducteurs et le
faisceau réduit correspondant comprenant seulement trois conducteurs appelés
« conducteurs équivalents » :
Figure 62 : Géométrie de section droite
d’un faisceau de 10 conducteurs
Figure 63 : Géométrie de section droite
du faisceau réduit correspondant
contenant 3 conducteurs équivalents
- 73 -
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
Les conducteurs équivalents du faisceau réduit représentent chacun l’effet d’un
certain nombre de conducteurs du faisceau initial. Précisons que la méthode présentée
au cours de ce chapitre ne peut être appliquée qu’au cas de faisceaux de câblages
multiconducteur simples, définis comme une liaison de câbles point à point. Dans le
cinquième et dernier chapitre de ce manuscrit, nous traiterons de l’extension de cette
méthode aux réseaux arborescents.
La détermination des caractéristiques du faisceau réduit nécessite quatre étapes
détaillées successivement au cours de ce chapitre. L’objectif de cette procédure
consiste à définir un faisceau réduit dont le courant de mode commun induit à ses
extrémités par une perturbation électromagnétique extérieure soit identique au courant
de mode commun induit aux extrémités du faisceau initial. Le faisceau réduit peut alors
être modélisé par un code 3D à la place du faisceau initial. Du fait de la simplification de
la géométrie du faisceau initial et notamment de la réduction du nombre de conducteurs,
la méthode ne permet donc pas de connaître les tensions et courants induits par la
perturbation sur chaque conducteur du faisceau initial. Toutefois, on considère que les
dysfonctionnements engendrés par une perturbation électromagnétique quelconque sur
un équipement électronique peuvent être reliés principalement à l’amplitude des
courants et tensions de mode commun induits en extrémité du faisceau et donc en
entrée de l’équipement.
3.2 Rappels sur la théorie modale
La méthode étant en partie basée sur la théorie modale des lignes de transmission
multiconducteur ([60] [61]), nous présentons tout d’abord quelques rappels sur cette
théorie.
La théorie modale permet de connaître les caractéristiques des modes propres se
propageant au sein d’un faisceau multiconducteur, dont le nombre est égal au nombre
de conducteurs du faisceau. Pour cela, il faut diagonaliser les matrices linéiques définies
par le formalisme de la MTLN pour passer de la base réelle à la base modale.
Par exemple, la diagonalisation du produit des matrices inductance [L] et capacité
inverse [C]-1 d’un faisceau de câblages comprenant N conducteurs, permet de
2
déterminer la matrice Z c contenant les impédances caractéristiques (Z1, Z2,…, ZN)
des N modes propres se propageant sur le faisceau :
[ ]
Z12 0

0 Z22
−1
−1
−1
−1
2

[Zc ] = [Tx ] .[L][. C] .[Tx ] = [Ty ] .[C] .[L].[Ty ] = 
M M

0 0
L 0

L 0
O M

K ZN2 
(Eq. 142)
De la même façon, la diagonalisation du produit des matrices inductance [L] et
capacité [C] permet d’obtenir la matrice de propagation [Γ2] contenant les vitesses de
propagation (v1, v2,…, vN) des N modes propres se propageant au sein du faisceau :
- 74 -
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
1 2
 v1
 0
−1
−1
2
[Γ ] = [Tv ] .[L][. C][. Tv ] = [Ti ] .[C][. L][. Ti ] = 
 M

 0
0
1 2
v2
M
0
0 

L 0 

O M 

K 1 2
vN 
L
(Eq. 143)
Il faut ici préciser qu’en très basse fréquence (TBF), ce sont les matrices [Z] et [Y]
définies par les équations 144 et 145 qu’il faudrait considérer :
[ Z ] = [ R] + jω[ L]
(Eq. 144)
[Y ] = [G ] + jω[C ]
(Eq. 145)
En considérant les conducteurs sans pertes, les matrices [Z] et [Y], purement
imaginaires, se réduisent aux matrices [L] et [C].
Les matrices de passage [Ti] et [Tv] contenant les vecteurs propres de ces produits
de matrices, permettent de relier la base réelle et la base modale. Par exemple, elles
permettent d’exprimer sous forme matricielle les courants et tensions réels ([I], [V]) sur
les conducteurs du faisceau en fonction des courants et tensions relatifs à chaque mode
propre ([i],[v]) exprimés dans la base modale :
[ I ] = [Ti ].[i ]
(Eq. 146)
[V ] = [Tv ].[v]
(Eq. 147)
Ainsi, les courants et tensions réels présents sur chaque conducteur du faisceau
résultent de la superposition des contributions de chaque mode propre.
3.3 Constitution de groupes de conducteurs
3.3.1 Critère retenu pour la constitution des groupes
La première étape de la méthode consiste à répartir les conducteurs du faisceau
initial en quatre groupes en fonction du module des impédances terminales de mode
commun de chaque conducteur. Celles-ci sont en effet comparées à l’impédance
caractéristique de mode commun du faisceau définie par la variable Zmc. Les
impédances terminales de mode commun sont définies comme des impédances reliant
l’extrémité d’un conducteur à la référence de masse.
Il faut préciser qu’au cours de ce travail nous effectuons l’approximation que les
impédances terminales Zii connectées aux extrémités des conducteurs sont des charges
résistives qui ne varient donc pas avec la fréquence.
Le tableau 1 montre la règle édifiée pour établir la composition des différents
groupes de conducteurs :
- 75 -
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
Extrémité 1
Extrémité 2
Groupe 1
Z1i < Z mc
Z 2 i < Z mc
Groupe 2
Z1i < Z mc
Z 2 i > Z mc
Groupe 3
Z1i > Z mc
Z 2 i < Z mc
Groupe 4
Z1i > Z mc
Z 2 i > Z mc
Tableau 7 : Définition des quatre groupes de conducteurs en fonction des charges
terminales de chaque conducteur
Pour améliorer la compréhension du tableau, précisons que les charges terminales
de mode commun Zij correspondent aux charges reliant l’extrémité i du conducteur j à la
référence de masse.
Chaque charge terminale est donc comparée à l’impédance caractéristique de
mode commun Zmc du faisceau entier. Dans le paragraphe 3.3.2, nous présentons la
procédure permettant de déterminer cette grandeur sur tout type de faisceau
multiconducteur.
Les différents groupes de conducteurs, constitués lors de cette étape,
correspondent donc chacun à un conducteur équivalent du faisceau réduit. Ainsi,
chaque faisceau multiconducteur est modélisé par un faisceau réduit comprenant entre
un et quatre conducteurs équivalents suivant le contraste des charges terminales du
faisceau par rapport à Zmc.
L’étude des charges terminales pour constituer les groupes de conducteurs a pour
objectif de regrouper les conducteurs ayant une répartition de courant similaire sur toute
leur longueur (cf chapitre 2). Précisons enfin que l’approximation des charges résistives
permet de conserver la composition des groupes sur toute la bande de fréquence.
3.3.2 Détermination de la variable Zmc
L’impédance caractéristique de mode commun Zmc d’un faisceau multiconducteur
est déterminée à partir de la connaissance préalable de l’impédance caractéristique de
mode commun de chaque conducteur du faisceau dans la base modale notée zi.
L’impédance zi est déterminée à partir de l’analyse des matrices de vecteurs
propres [Tx] ou [Ty] définies dans l’équation 142. Prenons l’exemple d’une matrice de
passage [Tx] obtenue par la diagonalisation du produit des matrices [L][C]-1 d’un faisceau
de trois conducteurs :
− 0,1 
0,57 0,81
[Tx ] = 0,56 − 0,48 − 0,67
 0,6 − 0,32 0,74 
(Eq. 148)
Chaque colonne de la matrice [Tx] contient un vecteur propre relatif à un mode de
propagation du faisceau. Pour distinguer le vecteur propre relatif au mode commun, il
faut savoir que celui-ci possède deux propriétés particulières qui le distinguent des
autres. En effet, les termes qui le composent sont de même signe et de même ordre de
grandeur. Dans l’équation 148, le vecteur propre de la première colonne correspond
2
donc au mode commun. Il faut alors repérer dans la matrice Z c quelle impédance
[ ]
- 76 -
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
caractéristique dépend du vecteur propre relatif au mode commun. En remplaçant la
matrice [Tx] par sa valeur dans l’équation 142, on peut écrire :
− 0,1   Z12
0,57 0,81
[Z C2 ] = [Tx ]−1.[L][. C ]−1 .0,56 − 0,48 − 0,67 =  0
 0,6 − 0,32 0,74   0
0
Z 22
0
0

0
Z 32 
(Eq. 149)
Pour cet exemple, l’impédance zi de ce faisceau est donc égale à Z1. En effet, Z1
dépend directement des termes contenus dans la première colonne de la matrice [Tx]
donc des termes du vecteur propre relatif au mode commun.
Une fois l’impédance zi connue, il est aisé de déterminer Zmc. En effet, dans la base
modale, zi correspond au rapport des tensions Vmc et des courants Imc présentés sur la
figure 64 :
Imc
conducteur 1
Imc
Vmc
conducteur 2
Imc
Vmc
conducteur 3
Vmc
Figure 64 : Courants et tensions de mode commun dans la base
modale pour un faisceau de 3 conducteurs
Cette figure indique que la tension Vmc est identique sur chaque conducteur.
L’impédance caractéristique de mode commun du faisceau Zmc correspond donc à
l’impédance du faisceau lorsque tous les conducteurs du faisceau sont court-circuités
entre eux comme l’indique la figure 65 :
Imc
3Imc
conducteur 1
Imc
conducteur 2
Imc
conducteur 3
Vmc
Figure 65 : Signification physique de l’impédance
caractéristique de mode commun d’un faisceau
Sur cet exemple à 3 conducteurs, l’impédance caractéristique de mode commun du
faisceau s’écrit :
Z mc =
Vmc
z
= i
3.I mc 3
- 77 -
(Eq. 150)
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
Ainsi, dans le cas général d’un faisceau contenant N conducteurs, les grandeurs
Zmc et zi peuvent être reliées par l’équation 151 :
Z mc =
zi
N
3.4 Détermination des
faisceau réduit
(Eq. 151)
matrices
linéiques
du
La deuxième étape consiste à déterminer les matrices inductance et capacité du
faisceau réduit dans le formalisme de la MTLN.
3.4.1 Hypothèses simplificatrices
La première hypothèse consiste à définir le courant de chaque groupe de
conducteurs comme la somme des courants circulant sur chaque conducteur du groupe.
Dans le cas d’un groupe contenant N conducteurs, cette hypothèse s’écrit :
Imc = I1 + I2 +...+ IN
(Eq. 152)
La deuxième hypothèse consiste à considérer que tous les conducteurs d’un
groupe sont court-circuités entre eux, c'est-à-dire placés au même potentiel par rapport
à la référence de masse. Ainsi, une tension de groupe est définie pour chaque groupe
de conducteurs. Dans le cas d’un groupe contenant N conducteurs, cette hypothèse
s’écrit :
N
Vmc =V1 =V2 =...=VN =
∑V
i=1
i
(Eq. 153)
N
3.4.2 Conventions adoptées pour les démonstrations
Les paragraphes 3.4.3 et 3.4.4 présentent les démonstrations permettant d’établir
les formules générales des matrices linéiques inductance et capacité d’un faisceau
réduit contenant quatre conducteurs équivalents à partir d’un faisceau initial contenant N
conducteurs. Afin de clarifier les démonstrations, on définit à l’aide de la notion de
groupe définie dans le tableau 7 :
• les courants de chacun des quatre groupes de conducteurs par les notations
ICE1, ICE2, ICE3, ICE4
• les tensions de chacun des quatre groupes de conducteurs par les notations
VCE1, VCE2, VCE3, VCE4
Il est également préférable de changer la numérotation des conducteurs afin de
regrouper les indices des conducteurs appartenant à un même groupe. Les N
conducteurs du faisceau initial sont regroupés en quatre groupes où :
• les N1 conducteurs du premier groupe portent les indices allant de 1 à α
• les N2 conducteurs du deuxième groupe portent les indices allant de α+1 à β
• les N3 conducteurs du troisième groupe portent les indices allant de β+1 à γ
• les N4 conducteurs du quatrième groupe portent les indices allant de γ+1 à N
- 78 -
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
Les formules générales des matrices inductance et capacité du faisceau réduit sont
chacune illustrées à l’aide d’un exemple. L’exemple utilisé correspond à un faisceau de
sept conducteurs au sein duquel quatre groupes de conducteurs sont constitués comme
l’illustre la figure 66 :
2
1
6
Conducteurs du groupe 1
3
4
5
Conducteurs du groupe 2
7
Conducteurs du groupe 3
Conducteurs du groupe 4
Figure 66 : Constitution des groupes de conducteurs au
sein d’un faisceau initial de sept conducteurs
3.4.3 Détermination de la matrice inductance du faisceau
réduit
Dans le cas d’un faisceau de câblages contenant N conducteurs, l’équation
matricielle du formalisme MTLN reliant les matrices courant et tension à l’aide de la
matrice inductance s’écrit sous la forme suivante :
V1 
 L11 L12
V 
L L
∂  2
= − j.ω. 21 22
M
M
∂z M 
 

LN1 LN2
VN 
L L1N  I1 
L L2N  I2 
.
O M  M 
 
L LNN IN 
(Eq. 154)
La matrice inductance du faisceau réduit ne peut être déterminée simplement en
appliquant les hypothèses de la méthode. Il faut, en plus, apporter deux approximations
supplémentaires. Afin de les présenter, on exprime tout d’abord le courant Ii circulant sur
le conducteur du faisceau d’indice i en fonction du courant de mode commun noté Ici et
des courants de mode différentiel Idij circulant sur ce conducteur. En répétant l’opération
pour tous les conducteurs du faisceau, les courants de mode commun et de mode
différentiel circulant sur un faisceau multiconducteur peuvent être définis conformément
à la figure 67 :
z
…
…
Ic1
Id12
Ick
Id1k … Id(k-1)k Idk(k+1) …
IcN
Id1N
Id1k
z+dz
Id1N
conducteur 1
IdkN
conducteur k
…
IdkN
…
Id(N-1)N
conducteur N
Figure 67 : Courants de mode commun et de mode différentiel sur un faisceau
contenant N conducteurs
- 79 -
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
Le courant total sur le premier conducteur du faisceau se généralise ainsi :
N
I1 = I c1 + ∑ I d 1i
(Eq. 155)
i =2
De la même façon, le courant Ik circulant sur le kième conducteur et le courant IN
circulant sur le dernier conducteur du faisceau s’écrivent :
k −1
I k = I ck − ∑ I dik +
i =1
N
∑I
i = k +1
dki
(Eq. 156)
N −1
I N = I cN − ∑ I diN
(Eq. 157)
i =1
En additionnant le courant circulant sur chaque conducteur, le courant de mode
commun du faisceau correspond à la somme vectorielle des courants de mode commun
circulant sur chaque conducteur :
I mc = I1 + ... + I k + ... + I N = I c1 + ... + I ck + ... + I cN
(Eq. 158)
Dans la relation matricielle 154, chaque courant Ii peut être remplacé par les
relations établies en 155, 156, 157. En développant alors le système, la kième ligne du
système peut s’écrire sous la forme générale suivante :
N −1 N
∂V k
N

= − j.ω  ∑ (L ki .Ic i ) + ∑ ∑ (Id ij .(L ki − L kj ))
∂x
i =1 j = i +1
 i =1

(Eq. 159)
Ainsi, le différentiel de tension sur une portion infinitésimale du kième conducteur du
faisceau correspond à l’addition d’une somme de termes dépendant des courants de
mode commun Ici et d’une somme de termes dépendants des courants de mode
différentiel Idij circulant sur le faisceau multiconducteur.
La première somme correspond plus précisément à la somme du produit d’un
courant de mode commun circulant sur un conducteur du faisceau et d’un terme
appartenant à la ligne k de la matrice inductance.
La deuxième somme correspond plus précisément à la somme du produit d’un
courant de mode différentiel circulant sur le faisceau et d’une soustraction de deux
termes appartenant à la ligne k de la matrice inductance.
La première approximation réalisée dans le cadre de notre méthode consiste alors
à considérer chaque terme relatif à un courant de mode commun très supérieur à la
somme des termes relatifs aux courants de mode différentiel. Cette approximation peut
se généraliser ainsi :
N −1
Lki .Ic i >> ∑
∑ (Id .(L
N
i =1 j = i +1
ij
ki
− Lkj ))
(Eq. 160)
Deux raisons permettent de justifier cette approximation. Tout d’abord, on considère
que les courants de mode commun sont largement prépondérants dans le cas d’une
illumination par une onde électromagnétique quelconque. Ensuite, les termes constants
multipliant les courants de mode différentiel sont des soustractions de deux termes de la
matrice inductance d’ordre de grandeur similaire. Ils sont donc plus faibles que les
termes multipliant les courants de mode commun. L’approximation effectuée permet
d’aboutir au système matriciel suivant :
- 80 -
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
V1 
 L11 L12
V 
L L
∂  2
= − j.ω. 21 22
M
M
∂z M 
 

LN1 LN2
VN 
L L1N  Ic1 
L L2N  Ic2 
.
O M  M 
 
L LNN IcN 
(Eq. 161)
La seconde approximation consiste à considérer que la contribution au courant de
chaque groupe de conducteurs est identique pour tous les conducteurs du groupe. Cette
approximation s’écrit dans le cas d’un groupe de N conducteurs :
Ick =
Imc
N
(Eq. 162)
où Imc est le courant du groupe et Ick le courant de mode commun circulant sur le
conducteur k. Moyennant cette seconde approximation, le système matriciel
s’écrit désormais :
β
α L
∑ L1 j
1j
∑
∂V 1
j =1
j = α +1
.I CE1 +
.I CE 2 +
= − j.ω.
N2
∂x
 N1

γ
∑β L
j = +1
N3
1j
N
.I CE 3 +
∑γ L
j = +1
N4
1j


.I CE 4 


M
β
γ
N
α L

Lkj
L
L
∑
∑
∑
kj
kj
kj
∑

∂V k
= − j.ω. j =1 .I CE1 + j =α +1 .I CE 2 + j = β +1 .I CE 3 + j =γ +1 .I CE 4 
N4
∂x
N3
N2
 N1



M
β
γ
N
α L

L
L
L
∑
∑
∑
∑
Nj
Nj
Nj
Nj


∂V δ
= − j.ω. j =1 .I CE1 + j =α +1 .I CE 2 + j = β +1 .I CE 3 + j =γ +1 .I CE 4 
∂x
N2
N3
N4
 N1



(Eq. 163)
Les tensions de chaque conducteur appartenant à un même groupe étant égales,
l’insertion de cette propriété dans l’équation 163 mène au système suivant reliant les
tensions et courants des quatre groupes de conducteurs :
- 81 -
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
β
γ
N
α
α
α
α α L

L
L
Lij
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
ij
ij
ij
∑

∂V CE1
= − j.ω. i=1 j =12 .I CE1 + i=1 j =α +1 .I CE 2 + i=1 j =β +1 .I CE 3 + i=1 j =γ +1 .I CE 4 
N 1 .N 2
N 1 .N 3
N 1 .N 4
∂x
 N1



β α
β
β
β
γ
β
N


Lij
Lij
Lij
Lij
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑


∂V CE 2
= − j.ω. i=α +1 j =1 .I CE1 + i=α +1 j =α2+1 .I CE 2 + i=α +1 j =β +1 .I CE 3 + i=α +1 j =γ +1 .I CE 4 
N2
N 2 .N 3
∂x
N 2 .N 4
 N 1 .N 2



∂V CE 3
∂x
γ
β
γ
γ
γ
N
 γ α L.
 (Eq. 164)
L
L
L
∑ ∑ ij
∑ ∑ ij
∑ ∑ ij
 ∑ ∑ ij

= − j.ω. i=β +1 j =1
.I CE1 + i=β +1 j =α +1 .I CE 2 + i=β +1 j =β2+1 .I CE 3 + i=β +1 j =γ +1 .I CE 4 
N 2 .N 3
N3
N 3 .N 4
 N 1 .N 3



∂V CE 4
∂x
β
γ
N
N
N
N
 N α L

Lij
Lij
Lij
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
ij
 i=γ +1 j =1

= − j.ω.
.I CE1 + i=γ +1 j =α +1 .I CE 2 + i=γ +1 j =β +1 .I CE 3 + i=γ +1 j =γ 2+1 .I CE 4 
N 2 .N 4
N 3 .N 4
N4
 N 1 .N 4



Ainsi, à l’aide des hypothèses et des approximations énoncées plus haut, la matrice
inductance de dimension N peut être réduite en une matrice de dimension quatre dont
les coefficients relient les couplages magnétiques exercés sur et entre les conducteurs
équivalents :
VCE1 
 I CE1 
 L11red
V 
I 
L
∂  CE 2 
 21red
= − j.ω.[Lréduite ]. CE 2  avec [L
]
=
réduite




I CE 3
∂x VCE 3
 L31red





VCE 4 
 I CE 4 
L

41red
L12 red
L13red
L22 red
L23red
L32 red
L33 red
L42 red
L43red
L14 red 
L24 red 

L34 red 

L44 red 
(Eq. 165)
Ainsi, la matrice inductance du faisceau réduit correspondant à l’exemple décrit sur
la figure 66 s’écrit :
 L11 + L22 + L33 + 2.L12 + 2.L13 + 2.L23

9
 L +L +L +L +L +L
14
15
24
25
34
35

6

L16 + L26 + L36


3

L17 + L27 + L37

3

...
L44 + L55 + 2.L45
3
L46 + L56
2
L47 + L57
2
...
...
L66
L67

... 

... 


... 

L77 

(Eq. 166)
Les termes diagonaux de la matrice [Lréduite] correspondent à l’inductance propre
d’un conducteur équivalent du faisceau réduit par rapport à la référence de masse (ou à
l’inductance propre du groupe de conducteurs correspondant du faisceau initial). Ils
correspondent à la somme des inductances propres et des inductances mutuelles entre
tous les conducteurs du groupe divisée par le nombre de conducteurs du groupe au
carré.
- 82 -
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
Les termes extradiagonaux de la matrice [Lréduite] représentent l’inductance mutuelle
entre deux conducteurs équivalents du faisceau réduit (ou à l’inductance mutuelle des
deux groupes de conducteurs du faisceau initial correspondants). Ils correspondent à la
somme des inductances mutuelles entre les conducteurs de ces deux groupes pris deux
à deux divisée par la somme du nombre de conducteurs des deux groupes. Les
inductances mutuelles entre deux conducteurs d’un même groupe n’interviennent pas
dans les termes extradiagonaux.
3.4.4 Détermination de la matrice capacité du faisceau réduit
Dans le cas d’un faisceau de câblages contenant N conducteurs, l’équation
matricielle du formalisme MTLN reliant les matrices courant et tension à l’aide de la
matrice capacité, s’écrit sous la forme suivante :
I1 
C11 C12
I 
C C
∂ 2
= − j.ω. 21 22
M
M
∂z M 
 

CN1 CN2
IN 
L C1N  V1 
L C2N  V2 
.
O M  M 
 
L CNN VN 
(Eq. 167)
La détermination de la matrice capacité du faisceau réduit dépend de la nature du
milieu dans lequel sont plongés les conducteurs du faisceau initial.
3.4.4.1 En milieu homogène
Dans un milieu homogène, tous les conducteurs du faisceau sont plongés dans un
milieu diélectrique uniforme (air ou vide par exemple). Dans ce cas, les différents modes
se propagent à une vitesse v dépendant de la vitesse de la lumière dans le vide
(c=3.108m.s-1) et de la permittivité relative εr du milieu :
v=
C
(Eq. 168)
εr
La matrice capacité du faisceau réduit [Créduite] s’obtient alors simplement à l’aide de
la relation suivante :
[C
réduite
]=
1
−1
[
]
.
L
réduite
v2
(Eq. 169)
3.4.4.2 En milieu inhomogène
Dans ce cas, les conducteurs du faisceau de câblages sont plongés dans un milieu
diélectrique non uniforme comme, par exemple, dans le cas des câblages automobiles
où chaque conducteur est enrobé d’une gaine isolante. La matrice capacité du faisceau
réduit ne peut alors être déterminée simplement en appliquant la relation 169.
En remplaçant les tensions Vi sur chaque conducteur par les tensions VCEi de
chaque groupe, l’équation 167 peut s’écrire, après développement, sous la forme
suivante :
- 83 -
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
∂I 1
α
= j.ω.∑ C1 j .VCE1 +
∂x
 j =1
∂I k
α
= j.ω.∑ Ckj .VCE1 +
∂x
 j =1
∂I δ
α
= j.ω.∑ CNj .VCE1 +
∂x
 j =1
β
∑ C1 j .VCE 2 +
j =α +1
N

+
C
.
V
¨
C1 j .VCE 4 
∑
∑
1j
CE 3
j = β +1
j =γ +1

γ
M
β
∑ Ckj .VCE 2 +
j =α +1
N

+
C
.
V
¨
Ckj .VCE 4 
∑
∑
kj
CE 3
j = β +1
j =γ +1

γ
(Eq. 170)
M
β
∑α C
j = +1
Nj .VCE 2 +
γ
∑β C
j = +1
N

+
.
V
¨
CNj .VCE 4 
∑
Nj
CE 3
j =γ +1

En remplaçant les courants Ii par l’expression générale du courant sur chaque
groupe de conducteurs, le système matriciel peut être exprimé à l’aide d’un système
réduit de dimension quatre :
β
γ
α
α
α
N
∂I CE1

α α
= j.ω.∑∑ Cij .VCE1 + ∑ ∑ Cij .VCE 2 + ∑ ∑ Cij .VCE 3 + ∑ ∑ Cij .VCE 4 
∂x
i =1 j =α +1
i =1 j = β +1
i =1 j = γ +1

 i =1 j =1
β
β
β
γ
β
N
∂I CE 2

 β α
= j.ω. ∑ ∑ Cij .VCE1 + ∑ ∑ Cij .VCE 2 + ∑ ∑ Cij .VCE 3 + ∑ ∑ Cij .VCE 4 
∂x
i = α +1 j = α + 1
i =α +1 j = β +1
i =α +1 j = γ +1

i =α +1 j =1
γ
β
γ
γ
γ
N
∂I CE 3
 γ α

= j.ω. ∑ ∑ Cij .VCE1 + ∑ ∑ Cij .VCE 2 + ∑ ∑ Cij .VCE 3 + ∑ ∑ Cij .VCE 4 
∂x
i = β +1 j = α + 1
i = β +1 j = β +1
i = β +1 j = γ +1
i = β +1 j =1

(Eq. 171)
β
γ
N
N
N
N
∂I CE 4
 N α

= j.ω. ∑ ∑ Cij .VCE1 + ∑ ∑ Cij .VCE 2 + ∑ ∑ Cij .VCE 3 + ∑ ∑ Cij .VCE 4 
∂x
i = γ +1 j =α +1
i = γ +1 j = β +1
i = γ +1 j = γ +1
i =γ +1 j =1

Ainsi, en appliquant simplement les hypothèses de la méthode, un système
matriciel d’ordre N peut être réduit en un système matriciel de dimension égale au
nombre de conducteurs équivalents du faisceau réduit. Le système matriciel allégé
relatif au faisceau réduit fait apparaître la matrice capacité [Créduite] du faisceau réduit :
C11red
 I CE1 
VCE1 
C


V 
∂  I CE 2 
CE 2 avec

[Créduite ] =  21red
= j.ω.[C réduite ].
C31red
VCE 3 
∂x  I CE 3 





C 41red
 I CE 4 
VCE 4 
C12 red
C13 red
C 22 red
C 23 red
C32 red
C33 red
C 42 red
C 43 red
C14 red 
C 24 red 

C34 red 

C 44 red 
(Eq. 172)
La matrice [Créduite] correspondant à l’exemple décrit sur la figure 66 s’écrit :
C11 + C 22 + C33 + 2.C12 + 2.C13 + 2.C 23
 C +C +C +C +C +C
14
15
24
25
34
35


C16 + C 26 + C36

C17 + C 27 + C37

...
...
C 44 + C55 + 2.C 45
C 46 + C56
C 47 + C57
...
C66
C67
... 
... 

... 

C 77 
(Eq. 173)
Les termes diagonaux de la matrice [Créduite] sont relatifs à un conducteur
équivalent, c'est-à-dire à un groupe de conducteurs du faisceau initial. Pour le deuxième
groupe de conducteurs de l’exemple (qui regroupe les conducteurs 4 et 5 du faisceau
- 84 -
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
initial), le terme C22red, exprimé en fonction des capacités physiques présentes entre les
différents conducteurs s’écrit :
N
N
i =1
i =1
C 22 red = ∑ C 4pi + ∑ C5pi − 2.C 45p
(Eq. 174)
Ainsi, chaque terme diagonal de la matrice [Créduite] correspond à la somme des
capacités physiques de chaque conducteur du groupe avec tous les autres conducteurs
du faisceau à laquelle on soustrait les capacités physiques entre tous les conducteurs
du groupe.
Les termes extradiagonaux de la matrice [Créduite] représentent la capacité mutuelle
entre deux conducteurs équivalents, c'est-à-dire entre deux groupes de conducteurs du
faisceau initial. Dans notre exemple, le terme C12red correspond à la capacité mutuelle
p
entre les deux premiers groupes de conducteurs. Ainsi, la capacité physique C12 red
entre les deux premiers conducteurs équivalents s’exprime, en fonction des capacités
physiques présentes entre les différents conducteurs du faisceau initial, sous la forme
suivante :
C12p red = C14p + C15p + C 24p + C 25p + C34p + C35p
(Eq. 175)
La capacité physique entre deux conducteurs équivalents du faisceau réduit
correspond donc à la somme des capacités physiques présentes entre les conducteurs
de ces deux groupes pris deux à deux.
3.5 Construction de la géométrie de section droite
du faisceau réduit
La troisième étape de la méthode consiste à déterminer la géométrie de section
droite du faisceau réduit à l’aide des matrices de paramètres linéiques déterminées à
l’étape précédente. Il faut en effet rappeler que l’objectif final est de prendre en compte
le faisceau réduit dans un code de calcul 3D.
La procédure utilisée pour définir la géométrie de section droite du faisceau réduit
comprend plusieurs phases :
•
Phase n°1 :
La hauteur hi de chaque conducteur équivalent par rapport à la référence de masse
est déterminée. Ce choix est fait de façon arbitraire mais cohérente par rapport à la
géométrie de section droite du faisceau initial. En effet, il faut que la hauteur moyenne
des centres des conducteurs des faisceaux initial et réduit soit proche voire identique.
•
Phase n°2 :
Le rayon ri de chaque conducteur équivalent est calculé à l’aide de la formule
analytique donnant l’inductance propre Lii d’un conducteur situé au-dessus d’un plan de
masse en fonction de sa hauteur et de son rayon :
- 85 -
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
2.hi
ri =
(Eq. 176)
2 π . Lii
e
µ0
Le rayon ri du conducteur équivalent n°i dépend donc du terme diagonal Lii de la
matrice inductance du faisceau réduit [Lréduite].
•
Phase n°3 :
Les distances dij entre les différents conducteurs équivalents du faisceau réduit sont
calculées à partir de la formule analytique donnant l’inductance mutuelle Lij de deux
conducteurs situés au-dessus d’un plan de masse :
4.hi .h j
d ij =
4π . Lij
e
µ0
(Eq. 177)
−1
où hi et hj sont les hauteurs des deux conducteurs.
Ainsi, la distance entre les conducteurs équivalents n° i et j est calculée à l’aide du
terme extradiagonal Lij de la matrice inductance du faisceau réduit.
•
Phase n°4 :
Une fois les trois premières phases accomplies, la géométrie de section droite du
faisceau réduit est figée, à l’aide de formules analytiques, en parfait accord avec la
matrice inductance du faisceau réduit. Cependant, la matrice inductance du faisceau
réduit calculée à l’aide d’un code de calcul électrostatique ne sera pas identique à la
matrice inductance déterminée analytiquement.
Les différences entre les matrices inductance calculée de façon analytique ou
électrostatique s’expliquent par le caractère approché des formules analytiques. En
effet, les formules analytiques reposent sur l’approximation des fils minces. Celle-ci
préconise que le diamètre des différents conducteurs soit petit devant les distances
entre ces conducteurs. Or, dans le cas de câblages automobiles, cette condition n’est
bien souvent pas respectée.
Pour affiner la géométrie de section droite du faisceau réduit, on procède à une
dichotomie visant à trouver les rayons et distances de chaque conducteur équivalent qui
permettent de faire converger les matrices du faisceau réduit avec les matrices
déterminées à la deuxième étape (phase 4). A l’issue de cette phase, la géométrie de
section droite du faisceau réduit doit respecter totalement la matrice inductance [Lréduite].
Dans le cas où les conducteurs du faisceau initial sont plongés dans un milieu
homogène, la procédure pour la construction de la géométrie de section droite du
faisceau réduit est terminée. Dans le cas où les conducteurs du faisceau initial sont
enrobés de gaines diélectriques, deux phases supplémentaires doivent être réalisées.
•
Phase n°5 :
L’épaisseur des gaines isolantes enrobant chaque conducteur équivalent est fixée
afin d’éviter les chevauchements entre les différentes gaines.
•
Phase n°6 :
- 86 -
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
Une dichotomie permet de modifier la permittivité relative εr de chaque gaine
isolante afin d’atteindre la convergence sur les coefficients imposés dans la matrice
[Créduite]. Ainsi, pour le conducteur équivalent n°i, la valeur de εr dépendra du terme
diagonal Cii.
Les six phases de la construction de la géométrie de section droite d’un faisceau
réduit sont illustrées schématiquement sur les synoptiques des figures 68 à 73 :
Figure 68 : Phase 1 – Hauteur
des conducteurs équivalents
(CE) du faisceau fixée
Figure 69 : Phase 2 –
Calcul analytique du rayon
de chaque CE
Figure 70 : Phase 3 – Calcul
analytique de la distance
entre chaque CE
Figure 71 : Phase 4 –
Optimisation électrostatique
des rayons des CE et
distances entre CE
Figure 72 : Phase 5 –
Epaisseur de chaque
gaine diélectrique fixée
Figure 73 : Phase 6 – Calcul
de la permittivité relative de
chaque gaine diélectrique
3.6 Charges terminales du faisceau réduit
La quatrième et dernière étape consiste à définir les charges terminales de chaque
conducteur équivalent du faisceau réduit. On en distingue deux types :
• les charges reliant l’extrémité d’un conducteur à la référence de masse
• les charges différentielles reliant deux conducteurs entre eux
3.6.1 Charges reliées à la référence de masse
Les conducteurs du faisceau initial appartenant à un même groupe ont des charges
terminales du même ordre de grandeur vis-à-vis de l’impédance caractéristique Zc du
faisceau. De plus, la deuxième hypothèse de la méthode considère que ces conducteurs
sont placés au même potentiel vis-à-vis de la référence de masse. Ces remarques
permettent d’écrire la relation suivante pour tous les conducteurs i appartenant à un
même groupe :
- 87 -
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
VCE = Vi = Z i .I i
(Eq. 178)
Cette relation permet de connaître le courant ICE circulant sur un groupe de N
conducteurs :
N
1
VCE
1
1
1 

= VG .∑ = VCE . +
+ ... +
Z N 
i =1 Z i
i =1 Z i
 Z1 Z 2
N
I CE = ∑
(Eq. 179)
Ainsi, la charge terminale ZCE d’un conducteur équivalent à une de ses extrémités
correspond à la mise en parallèle des charges de tous les conducteurs du groupe à
cette même extrémité :
Z CE =
1
= Z1 // Z 2 // ... // Z N
1
1
1 

 +
+ ... +
Z
Z
Z
2
N 
 1
(Eq. 180)
La figure 74 présente le réseau de charges terminales connecté aux extrémités de
N conducteurs appartenant à un même groupe et du conducteur équivalent
correspondant :
V2
V1
I2
I1
Z1
…
Z2
VCE
VN
ICE
IN
ZCE
ZN
Z CE = Z 1 // Z 2 // ... // Z N
Figure 74 : Impédances terminales d’un groupe de conducteurs et du
conducteur équivalent correspondant
3.6.2 Charges différentielles
Deux types de charges différentielles doivent être distinguées. Nous présentons
tout d’abord l’impact de chaque type de charges sur le courant de mode commun d’un
faisceau multiconducteur puis la méthode permettant de prendre en compte l’effet de
ces charges au sein du faisceau réduit.
3.6.2.1.1 Charges différentielles reliant deux conducteurs du
même groupe
La figure 75 présente un réseau de charges terminales contenant trois charges Z12,
Z13 et Z23 reliant trois conducteurs appartenant à un même groupe :
- 88 -
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
V1
V2
I1
V3
I2
I3
Id13
Z13
Id23
Id12
Z12
Z1
Z23
Z3
Z2
Figure 75 : Réseau d’impédances terminales d’un groupe de trois
conducteurs contenant trois charges différentielles
La matrice admittance de ce réseau de charges terminales s’écrit ainsi :
 I1 
I 
 2
 I 3 
1
1
1
+
 +
 Z1 Z12 Z13
1
=
−

Z12

1

−

Z13
1
Z12
1
1
1
+
+
Z 2 Z12 Z13
1
−
Z 23
−

1

Z13
 V1 
1
.V 
−
  2
Z 23
 
1
1
1  V3 
+
+
Z 3 Z12 Z13 
−
(Eq. 181)
Pour ce groupe de conducteurs, les hypothèses de la méthode s’écrivent :
I mc = I 1 + I 2 + I 3
(Eq. 182)
Vmc = V1 = V2 = V3
(Eq. 183)
A l’aide de la matrice admittance et des hypothèses de la méthode, le courant de ce
groupe de conducteurs s’écrit :
I mc = I 1 + I 2 + I 3 =
V1 V2 V3
+
+
Z1 Z 2 Z 3
(Eq. 184)
Ainsi, en appliquant les hypothèses de la méthode, le courant de mode commun
d’un groupe de conducteurs ne dépend pas des éventuelles charges différentielles entre
les conducteurs du groupe. Les hypothèses de la méthode font disparaître les termes
relatifs aux charges différentielles.
Nous décidons donc de ne pas prendre en compte ce type de charges
différentielles dans notre méthode car elles n’interviennent pas sur le courant de mode
commun d’un groupe de conducteurs. Dans la réalité, ce type de charges différentielles
influe peu sur l’énergie captée par le groupe de conducteurs.
3.6.2.1.2 Charges différentielles reliant deux conducteurs de
groupes différents
La figure 76 présente un réseau de charges terminales contenant deux charges
différentielles Z13 et Z24 reliant des conducteurs appartenant à deux groupes différents :
- 89 -
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
Conducteurs
du groupe 1
V1
Conducteurs
du groupe 2
V3
V2
I1
I3
I2
I4
I13
Z13
I24
Z24
Z1
V4
Z3
Z2
Z4
Figure 76 : Réseau d’impédances terminales contenant deux charges différentielles
situées entre deux conducteurs appartenant à deux groupes différents
En effet, dans ce réseau, les conducteurs 1 et 2 appartiennent au premier groupe
de conducteurs et les conducteurs 3 et 4 au second. La matrice admittance de ce
réseau de charges terminales s’écrit :
1
1
Z + Z
1
13
 I1  
0
I  

2
 =
1
I3  
−

 
Z 13
I 4  

0


0
1
1
+
Z 2 Z 24
0
−
1
Z 24
−
1
Z 13
0
1
1
+
Z 1 Z 13
0



1  V1 
−
 
Z 24  V2 
.V 
0
  3
 V4 
1
1 
+
Z 2 Z 24 
0
(Eq. 185)
Dans cet exemple, les hypothèses de la méthode s’écrivent :
I CE1 = I 1 + I 2
(Eq. 186)
I CE 2 = I 3 + I 4
(Eq. 187)
VCE1 = V1 = V2
(Eq. 188)
VCE 2 = V3 = V4
(Eq. 189)
A l’aide de la matrice admittance et des hypothèses de la méthode, les courants de
mode commun de chaque groupe de conducteurs s’écrivent :
I CE1 = I 1 + I 2 =
 1
V1 V2
1 

+
+ (VCE1 − VCE 2 ).
+
Z1 Z 2
Z
Z
24 
 13
(Eq. 190)
I CE 2 = I 3 + I 4 =
 1
V3 V4
1 

+
+ (VCE 2 − VCE1 ).
+
Z3 Z4
Z
Z
24 
 13
(Eq. 191)
Ces deux équations permettent de conclure que le courant de mode commun d’un
groupe de conducteurs dépend à la fois des charges reliées directement à la référence
de masse (Z1, Z2, Z3 et Z4 dans notre exemple) et des charges différentielles placées
- 90 -
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
entre un conducteur du groupe et un conducteur appartenant à un autre groupe (Z13 et
Z24 dans notre exemple).
Dans notre exemple, le courant induit sur le premier conducteur équivalent est égal
au différentiel de tension entre les deux groupes de conducteurs (VCE1-VCE2) multiplié par
la mise en parallèle des charges différentielles entre les deux groupes. Pour prendre en
compte l’effet des charges différentielles sur le courant de mode commun du faisceau, le
réseau de charges à placer en extrémité des deux conducteurs équivalents du faisceau
réduit est illustré sur le schéma de la figure 77 :
VCE1
VCE2
ICE1
ICE2
Idiff
Zeq1
Zdiff
Zeq2
Figure 77 : Réseau d’impédances terminales à placer en
extrémité du faisceau réduit
Les impédances équivalentes du réseau de charges prennent alors les valeurs
suivantes :
Z eq1 =
1
1
+
= Z1 // Z 2
Z1 Z 2
(Eq. 192)
Z eq 2 =
1
1
+
= Z 3 // Z 4
Z3 Z4
(Eq. 193)
1
1
+
= Z13 // Z 24
Z13 Z 24
(Eq. 194)
Z diff =
En résumé, dans le cas général, la charge différentielle à placer entre deux
conducteurs équivalents d’un faisceau réduit est une charge équivalente égale à la mise
en parallèle des charges présentes entre les conducteurs appartenant à ces deux
groupes différents.
En conclusion du paragraphe 3.6, il est possible d’affirmer que notre méthode
permet de tenir compte de tous les types de réseaux de charges terminales résistives.
3.7 Conclusion du chapitre 3
Dans ce chapitre, nous avons édifié les principes théoriques d’une méthode
appelée «méthode du faisceau équivalent » permettant de prédire le comportement d’un
faisceau multiconducteur soumis à une perturbation électromagnétique quelconque
dans une large bande de fréquence. Pour cela, nous définissons donc un faisceau
« réduit », composé d’un nombre limité de conducteurs, qui peut alors être modélisé en
hautes fréquences à l’aide d’un code de calcul 3D avec des temps de calculs fortement
réduits.
- 91 -
Chapitre 3 – Edification de la méthode du faisceau équivalent
Les conducteurs du faisceau réduit sont appelés « conducteurs équivalents » et
sont chacun censés représenter le comportement d’un certain nombre de conducteurs
du faisceau initial groupés entre eux en fonction de leurs conditions de charges
terminales.
Dans le chapitre suivant, nous allons nous attacher à valider la méthode de façon
numérique et expérimentale sur quelques exemples représentatifs de faisceaux
multiconducteur tout en évaluant son impact sur la réduction des temps de calculs.
- 92 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
Chapitre 4
4 Validations
numériques
et
expérimentales de la méthode
du faisceau équivalent
Dans ce quatrième chapitre, nous procédons, dans un premier temps, à la
validation numérique de la méthode du « faisceau équivalent » sur un faisceau de
câblages multiconducteur. Il s’agit de valider dans le domaine des basses fréquences
les hypothèses émises au cours du troisième chapitre pour la création du faisceau
réduit.
Dans un second temps, nous présentons les validations expérimentales effectuées
à l’intérieur de deux moyens d’essais CEM que sont une chambre anéchoïque et une
chambre réverbérante à brassage de modes (CRBM). L’objectif est de mettre en
évidence les performances de la méthode sur une large bande de fréquence.
4.1 Précisions utiles aux protocoles de validation
Dans tous les résultats de simulation présentés dans ce chapitre, l’excitation est
réalisée à l’aide d’une onde plane d’amplitude 3V/m orientée en couplage hybride (cf
chapitre 2). Les extrémités du faisceau de câblages sont définies à l’aide des
conventions portées sur la figure 78 :
r
E
r
H
Extrémité 1
Extrémité 2
r
k
z=0
z=L
z
Figure 78 : Convention adoptée pour dissocier les extrémités d’un faisceau de câblages
Le faisceau étant orienté longitudinalement selon l’axe Oz, les extrémités 1 et 2
correspondent respectivement aux abscisses z=0 et z=L.
Les simulations MTLN ont été réalisées à l’aide du logiciel CRIPTE sur un
ordinateur dont la vitesse de processeur est de 866 MHz et disposant d’une mémoire
RAM de 1,5 Go. Les simulations MoM ont été réalisées à l’aide du logiciel FEKO sur un
ordinateur dont la vitesse du processeur est de 2,66 GHz et disposant d’une mémoire
RAM de 1,5 Go.
- 93 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
4.2 Validations numériques
4.2.1 Description du faisceau de référence
Le faisceau de référence contient 12 conducteurs uniformes de longueur 1 m. La
hauteur moyenne des conducteurs par rapport à la référence de masse est de 2 cm. Les
conducteurs ont un rayon de 0,5 mm, ce qui correspond à une section transversale de
0,78 mm2. Chaque conducteur est entouré d’une gaine diélectrique d’épaisseur 0,3 mm
et dont la perméabilité relative εr est égale à 2,8. La tangente de pertes des gaines
diélectriques est considérée comme nulle lors de ces validations. En effet, dans le cas
d’un faisceau en milieu inhomogène, la détermination rigoureuse de la matrice [G]
demande une résolution numérique similaire à celle utilisée pour le calcul de la matrice
[C] que nous ne pouvions mettre en œuvre.
La géométrie de section droite du faisceau de référence est présentée figure 79 :
5
8
4
6
7
2
1
3
9
10
11
12
h=30mm
Figure 79 : Géométrie de section droite du faisceau de
référence
Un calcul électrostatique, réalisé à l’aide du logiciel LAPLACE, permet de calculer
les matrices de paramètres linéiques de ce faisceau présentées ci-dessous :
798 572 555 564 513 512 473 477,9 506 549

798 464 529 566 451 413 575 550 505,8


808 507 445 573 582 408 438 499

829 589 560 474 481 449 459


833 467 412 565 461 442

835 594 408 408 441
[L] = 
837 372 386 430

823 495 442


794 563

791




- 94 -
506
446
553
442
408
460
474
393
461
567
804
458
531

395

431
471

381
nH / m
354

564
564

462
399

811
(Eq. 195)
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
- 2,5
- 0,1
0
- 2,1 - 14,1 - 2,6
0 
72,7 - 20,7 - 14,9 - 14,5 - 1,2

75,8
0
0
0
0
− 3,4 − 12,8
− 17,3 − 13,6 − 2,1
− 5,8 


68,5 − 1,7
0
0
0 
− 13,4 − 1,9
− 0,1 − 1,8 − 16,9


58
,
6
21
,
2
14
,
9
0
,
8
0
,
6
0
0
0
,
1
0,2 
−
−
−
−
−
−


55,3
− 1,3 − 0,5 − 15,2 − 0,1 − 0,1 − 0,1 − 0,7 


55,8 − 20,9 − 0,4 − 0,1 − 0,1 − 0,3 − 0,2 

[C ] = 
pF / m
49,8
− 0,2 − 0,2 − 0,3 − 3,8 − 0,2 


56
− 0,9 − 0,1 − 0,1 − 18,6



66,3 − 24,1 − 1,2 − 21,9


69,7 − 24,6 − 0,9 


53,7
− 0,5 


52,6 

(Eq. 196)
Un algorithme de diagonalisation du produit des matrices [L].[C] et [L].[C]-1 permet
d’extraire la vitesse de propagation du mode commun vmc ainsi que l’impédance
caractéristique de mode commun Zc du faisceau de référence :
v mc = 2,96.108 m.s −1
(Eq. 197)
Z c = 150,7Ω
(Eq. 198)
4.2.2 Faible contraste de la valeur des charges terminales
du faisceau de référence
4.2.2.1 Configuration des charges terminales
Pour cette première configuration, toutes les charges terminales sont inférieures à
l’impédance caractéristique de mode commun Zc du faisceau. Le tableau 8 présente les
charges terminales connectées aux extrémités de chaque conducteur du faisceau de
référence :
N° du
conducteur
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Extrémité 1
15Ω
20Ω
50Ω
35Ω
80Ω
5Ω
12Ω
75Ω
36Ω
45Ω
24Ω
50Ω
Extrémité 2
36Ω
40Ω
60Ω
70Ω
43Ω
90Ω
20Ω
15Ω
35Ω
46Ω
28Ω
95Ω
Tableau 8 : Impédances terminales connectées aux extrémités de chaque conducteur
du faisceau de référence
L’examen des charges terminales permet de déterminer qu’un seul groupe de
conducteurs est suffisant. Ainsi, le faisceau réduit ne contiendra qu’un seul conducteur
équivalent. En appliquant les règles énoncées dans le chapitre précédent, l’impédance
terminale du conducteur équivalent est égale à 1,7Ω à sa première extrémité et à 3Ω à
sa seconde extrémité.
4.2.2.2 Paramètres linéiques du conducteur équivalent
Dans le cas où le faisceau réduit ne comprend qu’un seul conducteur équivalent,
l’inductance linéique L du conducteur équivalent est égale à la somme des termes de la
matrice [L] du faisceau initial divisée par le nombre de termes de cette matrice (cf
chapitre 3) :
- 95 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
N
L=
N
∑∑L
ij
j =1 i =1
N
(Eq. 199)
2
De la même façon, la capacité linéique C du conducteur équivalent est égale à la
somme des termes de la matrice [C] du faisceau initial :
N
N
C = ∑ ∑ Cij
(Eq. 200)
j =1 i =1
Cependant, et dans le cas où le faisceau réduit ne contient qu’un seul conducteur
équivalent, les paramètres linéiques du conducteur équivalent peuvent être déterminés
directement par la théorie modale. Ainsi, en connaissant la vitesse de propagation vc et
l’impédance caractéristique Zc de mode commun du faisceau de référence, les
paramètres linéiques se déduisent aisément des relations suivantes :
L=
Zc
vmc
(Eq. 201)
C=
L
Z c2
(Eq. 202)
Dans ce cas particulier, la théorie modale assigne au conducteur équivalent les
caractéristiques exactes (vmc, Zc) du mode propre relatif au mode commun se
propageant au sein du faisceau initial. Rappelons toutefois que cette méthode
rigoureuse ne peut pas être appliquée lorsque le faisceau réduit contient plusieurs
conducteurs équivalents.
Le tableau 9 présente les paramètres linéiques du conducteur équivalent obtenus
pour chacune de ces deux méthodes ainsi que les vitesses de propagation
correspondantes :
Méthode du
faisceau équivalent
Approche
modale
L (nH/m)
510
509
C (pF/m)
22,9
22,4
vmc (m.s-1)
2,93.108
2,96.108
Tableau 9 : Comparaison des paramètres linéiques obtenus par les deux méthodes
Les paramètres linéiques contenus dans ce tableau sont peu différents pour chaque
méthode. La valeur de l’inductance linéique varie de 0,2% suivant la méthode utilisée.
Cette variation est de 2% sur la valeur de la capacité linéique entraînant un écart de
l’ordre de 1% sur la vitesse de propagation correspondante.
Ce cas simple de réduction d’un faisceau multiconducteur à un seul conducteur
équivalent permet donc de quantifier les approximations de la méthode décrite au
chapitre précédent pour l’obtention des paramètres linéiques en les comparant avec les
paramètres linéiques exacts calculés par la théorie modale. Ainsi, sur cet exemple, ces
approximations entraînent de faibles écarts sur les paramètres linéiques du conducteur
- 96 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
équivalent. Il faut pourtant vérifier l’impact de ces écarts sur le courant induit circulant
sur les faisceaux initial et réduit.
4.2.2.3 Géométrie de section droite du conducteur équivalent
Une fois les paramètres linéiques du conducteur équivalent déterminés, on peut
construire la géométrie de section droite du faisceau réduit de façon très simple. Après
avoir fixé la hauteur du conducteur équivalent par rapport au plan de masse à 2cm, son
rayon est calculé de façon analytique afin que son inductance linéique soit égale à L.
Ensuite, après avoir fixé la valeur de la permittivité relative εr de la gaine
diélectrique à la valeur de 2,8, son épaisseur est déterminée afin que la capacité
linéique de la gaine soit égale à C. Pour cela, une optimisation à l’aide d’un code de
calcul électrostatique est nécessaire.
Le tableau 10 présente les paramètres géométriques du conducteur équivalent
calculés suivant les paramètres linéiques obtenus par les deux méthodes :
Méthode du
faisceau équivalent
Approche modale
Rayon (mm)
3,10
3,12
Epaisseur de la gaine
diélectrique (mm)
0,64
0,33
Tableau 10 : Paramètres géométriques du conducteur équivalent obtenus pour
chacune des deux méthodes
4.2.2.4 Validation pour cette première configuration de charges
La figure 80 permet de comparer le courant, issu d’un calcul MTLN, calculé à la
première extrémité du faisceau de référence et des deux conducteurs équivalents créés
précédemment :
Figure 80 : Comparaison du courant induit à la première extrémité
du faisceau de référence et des deux faisceaux réduits
Comme on le pressentait, les courants induits à la première extrémité du faisceau
de référence et du conducteur équivalent déterminé par la théorie modale sont
strictement identiques.
- 97 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
De plus, le courant induit sur le conducteur équivalent défini à l’aide des hypothèses
décrites dans le chapitre précédent est très proche du courant de mode commun induit
sur le faisceau de référence. Ainsi, un léger décalage des fréquences de résonance se
produit à cause de l’incertitude sur la vitesse de propagation de ce conducteur
équivalent. La résonance fondamentale du faisceau de référence se situe à la fréquence
de 142MHz alors qu’elle se produit à 140MHz pour ce conducteur équivalent.
Cette première validation conforte la démarche décrite au chapitre précédent dans
le cas de charges terminales faiblement contrastées.
4.2.3 Fort contraste de la valeur des charges terminales du
faisceau de référence
4.2.3.1 Configuration des charges terminales
Dans ce second cas, l’objectif est de valider numériquement la méthode dans le cas
d’un faisceau connecté à des charges d’extrémités fortement contrastées par rapport à
son impédance caractéristique de mode commun Zc. Le tableau 11 présente donc les
charges terminales connectées aux extrémités de chaque conducteur du faisceau de
référence :
N° du
conducteur
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Extrémité 1
15Ω
36Ω
55Ω
2kΩ
800Ω
1kΩ
600Ω
4kΩ
48Ω
36Ω
25Ω
80Ω
Extrémité 2
46Ω
28Ω
85Ω
36Ω
60Ω
65Ω
80Ω
3kΩ
4kΩ
10kΩ
35kΩ
800Ω
Tableau 11 : Impédances terminales connectées aux extrémités de chaque
conducteur du faisceau de référence
L’impédance de mode commun du faisceau de référence étant égale à 150,7Ω, les
différents conducteurs sont, pour cette seconde configuration de charges, classés en
quatre groupes listés ci-dessous :
• Groupe 1 : conducteurs 1 à 3
• Groupe 2 : conducteurs 4 à 7
• Groupe 3 : conducteur 8
• Groupe 4 : conducteurs 9 à 12
Ainsi, pour cette configuration de charges, le faisceau réduit correspondant
comprendra quatre conducteurs équivalents. Le tableau 12 comporte la configuration de
charges terminales connectées aux extrémités de chaque conducteur équivalent du
faisceau réduit :
N° du conducteur équivalent
1
2
3
4
Extrémité 1
8,9Ω
226Ω
4kΩ
9,9Ω
Extrémité 2
14,4Ω
13,8Ω
3kΩ
615Ω
Tableau 12 : Impédances terminales connectées aux extrémités de chaque
conducteur équivalent du faisceau réduit
- 98 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
4.2.3.2 Matrices linéiques du faisceau réduit
En appliquant la méthode décrite au cours du paragraphe 3.4, les matrices de
paramètres linéiques [Lred] et [Cred] du faisceau réduit sont :
621 511 487 495

595 456 431

 nH / m
[Lred ] =

823 474


577 

(Eq. 203)
146 − 68,5 − 17,3 − 59,2

100 − 16,4 − 6,4 

 pF / m
[Cred ] =

56
− 19,7 


95,9 

(Eq. 204)
4.2.3.3 Géométrie de section droite du faisceau réduit
Dans le cas d’un faisceau réduit contenant plus de deux conducteurs équivalents, la
détermination de la géométrie de section droite du faisceau réduit correspondant
parfaitement aux matrices linéiques [Lred] et [Cred] est très délicate. Cette phase
nécessite en effet de nombreuses opérations d’optimisation à l’aide d’un code de calcul
électrostatique. Pour éviter cela, on utilise un faisceau réduit dont la géométrie de
section droite « approchée » est présentée figure 81 :
1
2
3
4
h=30mm
Figure 81 : Géométrie de section droite du faisceau réduit approché
Cette géométrie a été obtenue en appliquant uniquement les trois premières
phases de la procédure de construction de la géométrie de section droite d’un faisceau
réduit décrite au paragraphe 3.5. Ce faisceau réduit est constitué de quatre conducteurs
équivalents distants de 3mm et de rayon compris entre 0,8 et 1,2 mm. Chaque
conducteur équivalent est enrobé dans une gaine diélectrique de 0,1mm d’épaisseur et
de permittivité électrique relative εr égale à 2,8. Le logiciel LAPLACE permet de
déterminer les matrices de paramètres linéiques [Lapprochée] et [Capprochée] correspondant à
cette géométrie :
- 99 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
694 511 501 455

694 455 501

=
nH / m

674 491


674

(Eq. 205)
50,7 − 21,7 − 21,5 − 2,7 

− 2,7 − 21,5
50,7
=
pF / m

51,2 − 21,3


51,2 

(Eq. 206)
[Lapprochée ]
[C approchée ]
Les matrices linéiques de ce faisceau réduit ne correspondent donc pas aux
matrices linéiques [Lred] et [Cred] décrites sur les équations 203 et 204.
L’écart moyen terme à terme entre ces matrices est de 7,9% pour la
matrice inductance et de 75,2% pour la matrice capacité. De plus, la vitesse de
propagation du mode commun au sein de ce faisceau réduit égale à 2,98.108m.s-1 est
donc supérieure à celle du faisceau initial qui est de 2,96.108m.s-1.
L’utilisation de ce « faisceau réduit approché » doit donc permettre de montrer
l’importance de la géométrie de section droite d’un faisceau réduit contenant plus de
deux conducteurs équivalents. En effet, on veut savoir si celle-ci doit parfaitement
respecter ou non les matrices de paramètres linéiques déterminées par la méthode pour
que le courant de mode commun du faisceau réduit reflète correctement celui circulant
sur le faisceau initial.
Pour compléter cette étude, un second faisceau réduit qualifié par la suite de
« faisceau réduit fictif » est défini. Ce faisceau, dont les matrices linéiques sont égales
aux matrices [Lred] et [Cred], est créé à l’aide d’une fonctionnalité intéressante du logiciel
CRIPTE qui permet de créer un faisceau à partir de matrices inductance et capacité
rentrées par l’utilisateur. Ceci permet par exemple de réaliser un calcul MTLN sur un
faisceau multiconducteur dont les paramètres linéiques ont été mesurés. Dans ce cas, la
géométrie de section droite du faisceau est alors inconnue.
4.2.3.4 Validation pour cette seconde configuration de charges
Dans ce paragraphe, le faisceau de référence est connecté au réseau de charges
terminales décrit dans le tableau 11. Les faisceaux réduits sont eux connectés aux
charges terminales décrites dans le tableau 12.
La figure 82 présente la comparaison du courant de mode commun issu d’un calcul
MTLN induit à la première extrémité du faisceau de référence et des deux faisceaux
réduits contenant quatre conducteurs équivalents :
- 100 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
Figure 82 : Comparaison du courant induit à la première extrémité du faisceau de
référence et des deux faisceaux réduits contenant quatre conducteurs équivalents
Tout d’abord, on remarque que les courants induits sur le faisceau de référence et
le faisceau réduit fictif sont pratiquement identiques. Ainsi, dans le cas général, tout
faisceau réduit dont les matrices [L] et [C] sont égales aux matrices [Lred] et [Cred]
déterminées par la méthode du faisceau équivalent représente de façon très précise le
comportement du faisceau initial vis-à-vis du courant de mode commun. Les
approximations effectuées par la méthode pour la détermination des paramètres
linéiques du faisceau réduit ont une incidence très faible sur la dégradation des
résultats.
Ensuite, les courants induits sur le faisceau de référence et le faisceau réduit
approché sont proches mais différent légèrement. En effet, les fréquences de résonance
du faisceau réduit approché sont légèrement supérieures à celles qui se produisent sur
le faisceau de référence car la vitesse de propagation du mode commun se propageant
au sein des faisceaux est supérieure dans le cas du faisceau réduit. En dehors de ces
décalages de fréquence de résonance, le courant induit sur le faisceau réduit reproduit
bien l’allure du courant induit sur le faisceau de référence.
Ce résultat permet de conclure qu’il n’est pas nécessaire que la géométrie de
section droite du faisceau réduit respecte parfaitement les matrices [Lred] et [Cred]
déterminées par la méthode du faisceau équivalent. On formule ainsi l’hypothèse qu’un
écart sur ces matrices est tolérable à condition que les vitesses de propagation du mode
commun au sein des faisceaux initial et réduit soient identiques.
Pour étudier la validité de cette hypothèse, la géométrie du faisceau réduit
approché est modifiée afin que la vitesse de propagation du mode commun de ce
faisceau soit identique à celle du faisceau de référence. Pour atteindre cet objectif, il
suffit d’augmenter l’épaisseur des gaines diélectriques enrobant chaque conducteur
équivalent. Ainsi, lorsque l’épaisseur de chaque gaine diélectrique est égale à 0,3 mm,
la vitesse de propagation du mode commun au sein de ce faisceau réduit est égale à
2,96.108 m.s-1. La matrice capacité correspondant à cette nouvelle géométrie du
faisceau réduit (la matrice inductance [Lapprochée] restant inchangée) est présentée cidessous :
- 101 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
63,9 − 28,3 − 28,1 − 2,7 

63,9 − 2,7 − 28,1
 pF / m

[Capprochée ] = 
64,5 − 27,8


64,5 

(Eq. 207)
La figure 83 permet de comparer le courant de mode commun issu d’un calcul
MTLN induit à la première extrémité du faisceau de référence et du faisceau réduit
approché à la géométrie modifiée :
Figure 83 : Comparaison du courant induit à la première extrémité
du faisceau de référence et du faisceau réduit modifié
Le courant de mode commun des deux faisceaux est pratiquement identique. Ces
résultats valident donc l’hypothèse formulée précédemment. Ainsi, la géométrie de
section droite d’un faisceau réduit n’a pas besoin de respecter parfaitement les matrices
linéiques déterminées par la méthode du faisceau équivalent pour représenter de façon
correcte le comportement du faisceau initial vis-à-vis du courant de mode commun. Une
géométrie proche est suffisante si la vitesse de propagation du mode commun est
identique à celle du faisceau initial.
4.2.3.5 Influence des charges terminales sur le courant de
mode
commun
d’un
faisceau
de
câblages
multiconducteur
Dans ce paragraphe, on cherche à quantifier l’effet des charges terminales sur le
courant de mode commun d’un faisceau de câblages multiconducteur. Pour cela, le
courant de mode commun obtenu à la première extrémité du faisceau de référence est
comparé lorsque celui-ci est connecté aux charges terminales très peu contrastées du
tableau 8 (configuration n°1) puis aux charges terminales très contrastées du tableau 11
(configuration n°2). Les résultats du calcul MTLN sont présentés sur la figure 84 :
- 102 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
Figure 84 : Comparaison du courant de mode commun induit à la première
extrémité du faisceau de référence pour chaque configuration de charges
Le courant de mode commun induit à la première extrémité du faisceau de
référence est peu différent pour les deux configurations de charges terminales en
dehors des fréquences de résonance qui se produisent lorsque la longueur de la ligne
est un multiple de la demi-longueur d’onde d’excitation (L=λ/2, λ, 3λ/2,…). A ces
fréquences, le courant induit est très atténué pour la seconde configuration de charges
car certaines charges d’extrémités de forte valeur absorbent beaucoup d’énergie. Pour
la première configuration de charges, les résonances sont très marquées car les
charges faibles absorbent peu d’énergie. Comme l’indiquent les charges terminales du
faisceau réduit correspondant, le faisceau a alors une réponse de type « basse
impédance ».
Cependant, pour la seconde configuration de charges, le faisceau présente
également des résonances de type quart d’onde (L=λ/4, 3*λ/4, 5*λ/4,…) dues aux
charges terminales de forte valeur. Cependant, ces résonances s’atténuent rapidement
lorsque l’ordre des résonances augmente. Ainsi, la résonance quart d’onde du troisième
ordre, située vers 350 MHz, n’apparaît pratiquement plus sur la figure.
Au cours du troisième chapitre, nous avons montré que l’impédance terminale d’un
conducteur équivalent devait être égale à la mise en parallèle des impédances
terminales de tous les conducteurs du groupe. Ainsi, il suffit théoriquement qu’un seul
conducteur à chaque extrémité soit connecté à des résistances de faible valeur pour
assurer au faisceau un comportement de type « basse impédance ». Cette remarque
met notamment en relief l’importance du conducteur de masse électrique dans les
faisceaux réels.
4.2.3.6 Validation des hypothèses émises pour la prise en
compte des charges différentielles
L’objectif de cette partie est de valider numériquement les hypothèses effectuées
au cours du chapitre précédent pour la prise en compte au sein d’un faisceau réduit des
charges différentielles contenues dans le réseau de charges d’extrémités d’un faisceau
initial.
Les charges différentielles sont définies comme des charges reliant les extrémités
de deux conducteurs entre eux. Pour l’application de la méthode, deux types de charges
différentielles sont distingués suivant les conditions de charges des conducteurs qu’elles
relient.
- 103 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
4.2.3.6.1 Charges différentielles reliant
appartenant à un même groupe
deux
conducteurs
Les développements du chapitre précédent (cf paragraphe 3.6.2.1.1) ont démontré
que le courant de mode commun d’un groupe de conducteurs ne dépendait pas des
charges différentielles reliant deux conducteurs du groupe après application des
hypothèses de la méthode. Pour vérifier la validité de cette conclusion, le faisceau de
référence défini au paragraphe 4.2.1 est chargé par les charges terminales de mode
commun décrites dans le tableau 11 auxquelles sont ajoutées les charges différentielles
contenues dans le tableau 13 :
Extrémité 1
Extrémité 2
Groupe 1
Groupe 2
Z12=80Ω
Z13=50Ω
Z46=20Ω
Z47=150Ω
Z57=400Ω
Z67=5Ω
Z13=26Ω
Z45=38Ω
Z46=66Ω
Z67=20Ω
Groupe 3
Groupe 4
-
Z9-10=20Ω
Z9-11=140Ω
Z9-12=15Ω
Z10-12=28Ω
Z11-12=45Ω
-
Z9-10=200Ω
Z9-11=100Ω
Z10-11=50Ω
Z10-12=80Ω
Tableau 13 : Impédances différentielles reliant deux conducteurs du faisceau de
référence appartenant au même groupe
Il faut donc noter que les charges différentielles contenues dans le tableau 13
relient deux conducteurs appartenant à un même groupe de conducteurs. Pour faciliter
la lecture de ces données, les chiffres i et j portés en indices correspondent aux
numéros des conducteurs entre lesquels la résistance Zij est connectée.
Un calcul MTLN permet donc de comparer le courant de mode commun induit à la
première extrémité du faisceau de référence lorsque celui-ci contient ou non les charges
différentielles listées dans le tableau 13. La figure 85 présente les résultats obtenus :
Figure 85 : Etude de l‘effet sur le courant de mode commun du faisceau de
référence de la présence de charges différentielles reliant des conducteurs de
même groupe
- 104 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
La figure 85 met parfaitement en évidence la très faible influence de ce type de
charges différentielles sur le courant de mode commun d’un faisceau multiconducteur et
valide notre décision de ne pas les prendre en compte dans le réseau de charges
terminales connecté à chaque extrémité du faisceau réduit.
4.2.3.6.2 Charges différentielles reliant deux
appartenant à deux groupes différents
conducteurs
Il a été également été montré de façon théorique que le courant de mode commun
d’un faisceau multiconducteur dépendait des charges différentielles reliant deux
conducteurs appartenant à deux groupes de conducteurs différents. Il faut donc tenir
compte de ce type de charges différentielles dans le réseau de charges terminales
connecté aux extrémités du faisceau réduit.
Pour déterminer la charge différentielle à placer entre deux conducteurs équivalents
d’un faisceau réduit, il faut calculer la charge équivalente présente entre les deux
groupes de conducteurs. Celle-ci correspond à la mise en parallèle des charges
différentielles reliant deux conducteurs appartenant à ces deux groupes différents.
Dans un premier temps, l’objectif est de vérifier sur le faisceau de référence
connecté aux charges terminales décrites dans le tableau 11 que des charges
différentielles placées entre des conducteurs de groupes différents ont un effet sur le
courant de mode commun du faisceau. Ainsi, le tableau 14 présente des charges
différentielles correspondant à cette définition :
Entre
Groupes 1
et 2
Entre
Groupes
1 et 3
Entre
Groupes 1
et 4
Entre
Groupes
2 et 3
Z28=80Ω
-
Z48=26Ω
Z14=50Ω
Extrémité 1
Z26=12Ω
Z37=100Ω
Z15=26Ω
Extrémité 2
Z36=36Ω
Z24=100Ω
Z38=50Ω
Z1-10=29Ω
Z2-12=100Ω
Z58=36Ω
Entre
Groupes
2 et 4
Entre
Groupes 3 et
4
Z5-10=28Ω
Z8-10=46Ω
Z7-12=55Ω
Z8-12=500Ω
-
Z8-9=15Ω
Tableau 14 : Impédances différentielles reliant deux conducteurs du faisceau de
référence appartenant à deux groupes différents
La figure 86 présente la comparaison du courant de mode commun calculé par la
MTLN à chaque extrémité du faisceau de référence lorsque celui-ci contient ou non les
charges différentielles contenues dans le tableau 14 :
- 105 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
Figure 86 : Etude de l‘effet sur le courant de mode commun du faisceau de référence de la
présence de charges différentielles reliant des conducteurs de groupes différents
Ces résultats numériques permettent de confirmer que ces charges différentielles
ont une influence non négligeable sur le courant de mode commun d’un faisceau
multiconducteur. Ainsi, les résonances dues aux charges de forte impédance du
faisceau sont atténuées à cause de la diminution des contrastes d’impédances
terminales entre les conducteurs du faisceau.
Dans un second temps, l’objectif est de valider les solutions théoriques permettant
de tenir compte de l’effet de ce type de charges différentielles. En effet, le paragraphe
3.6.2.1.2 nous permet de définir les charges différentielles à placer entre les quatre
conducteurs équivalents (CE) du faisceau réduit contenues dans le tableau 15 :
Entre CE
n°1 et n°2
Entre CE
n°1 et n°3
Entre CE
n°1 et n°4
Entre CE
n°2 et n°3
Entre CE
n°2 et n°4
Entre CE
n°3 et n°4
Extrémité 1
Z12=9Ω
Z13=80Ω
-
Z23=26Ω
Z24=18Ω
Z34=42Ω
Extrémité 2
Z12=13Ω
Z13=50Ω
Z14=22Ω
Z23=36Ω
-
Z34=15Ω
Tableau 15 : Impédances différentielles reliant les conducteurs équivalents du faisceau
réduit
La figure 87 présente la comparaison du courant de mode commun calculé par la
MTLN à la première extrémité :
• du faisceau de référence chargé par les charges de mode commun du
tableau 11 et des charges différentielles du tableau 14
• du faisceau réduit approché composé de quatre conducteurs équivalents et
chargé par les charges de mode commun du tableau 12 et des charges
différentielles du tableau 15
- 106 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
Figure 87 : Validation de la prise en compte de charges différentielles reliant des
conducteurs de groupes différents au sein du faisceau réduit
Ces résultats numériques permettent de valider la bonne prise en compte des
charges différentielles reliant deux conducteurs appartenant à des groupes différents.
De façon générale, ces validations permettent de conclure que la méthode
proposée permet de tenir compte de tout type de réseaux de charges résistives aux
extrémités d’un faisceau de câblages multiconducteur.
4.2.4 Impact de la méthode sur les temps de calculs
4.2.4.1 Relevé des temps de calculs
Un des objectifs principaux de la méthode consiste à réduire sensiblement les
temps de calculs nécessaires à la modélisation de faisceaux multiconducteur. Le
tableau 16 présente donc les temps de calculs nécessaires à la modélisation par la
MTLN du faisceau initial et des faisceaux réduits comprenant un et quatre conducteurs
équivalents définis dans ce chapitre. Ce tableau est ensuite complété par les temps
nécessaires à la modélisation des deux faisceaux réduits en MoM :
Méthode de
calcul
Faisceau de
référence
Faisceau réduit
contenant 4 CE
Faisceau réduit
contenant 1 CE
MTLN
20,9 s
2,9 s
1s
268 s
19 s
MoM
Tableau 16 : Comparaison des temps de calculs nécessaires à la modélisation MTLN
et MoM du faisceau de référence et des deux types de faisceaux réduits
Précisons que les itérations concernent 1000 points de fréquences répartis
uniformément entre 1 MHz et 1 GHz.
4.2.4.2 Gain en MTLN
Le faisceau réduit contenant quatre conducteurs équivalents permet de diviser le
temps de calcul par un facteur supérieur à 7 par rapport au faisceau initial. La réduction
du temps de calcul est proche de 21 lorsque le faisceau réduit contient un seul
conducteur équivalent.
- 107 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
4.2.4.3 Gain en MoM
La modélisation en MoM du faisceau de référence n’a pas été réalisée compte tenu
de la complexité de ce faisceau. Néanmoins, un calcul approché permet de quantifier le
gain en temps de calcul obtenu par la modélisation de chaque faisceau réduit. On
estime ainsi à environ 440 le nombre d’éléments nécessaires à la modélisation du
faisceau de référence. Ce nombre n’est que de 37 pour le faisceau réduit contenant un
seul conducteur équivalent et de 148 pour celui contenant quatre conducteurs
équivalents.
Le calcul approché suivant permet de quantifier le gain en temps de calcul kx
obtenu lors de la phase d’assemblage de la matrice [Z] (proportionnel à N2 où N est le
nombre d’inconnues du problème) :
2
N 
kx ≈  ref 
 Nred 
(Eq. 208)
où Nref est le nombre d’inconnues du faisceau de référence et Nred le nombre
d’inconnues du faisceau réduit. Ce gain est environ de 140 pour le premier faisceau
réduit et de 9 pour le deuxième lors de la phase d’assemblage de la matrice [Z].
De la même façon, le gain en temps de calcul ky lors de la phase d’inversion de la
matrice [Z] (proportionnel à N3) peut être calculé à l’aide de la relation suivante :
3
 Nref 

ky ≈ 
N
 red 
(Eq. 209)
Ce gain est environ de 1700 pour le premier faisceau réduit et de 27 pour le
deuxième lors de la phase d’inversion de la matrice [Z].
La méthode permet donc de réduire considérablement les temps de calculs en
MoM.
4.2.4.4 Comparaison MTLN / MoM
Le tableau 16 montre également que le temps de calcul en MTLN est beaucoup
plus faible qu’en MoM pour la modélisation de chaque faisceau réduit. Ceci est tout à fait
logique car la diminution des temps de calculs constitue l’un des points forts de la
MTLN. Néanmoins, il faut rappeler ici que les simulations en MoM permettent de
modéliser la réponse des faisceaux de câblages à des fréquences où la MTLN ne peut
plus être appliquée.
4.2.5 Etude de l’influence de la non uniformité des faisceaux
de câblages
La méthode du faisceau équivalent décrite précédemment est limitée aux faisceaux
de câblages composés de conducteurs uniformes. Or, les faisceaux industriels sont
composés de conducteurs non uniformes pour lesquels la hauteur et la position de
chaque conducteur par rapport à la référence de masse suivent un caractère aléatoire
sur toute la longueur du faisceau.
- 108 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
Ce paragraphe présente donc une étude qui permet d’étudier l’influence de la non
uniformité d’un faisceau de câblages multiconducteur sur le courant de mode commun
induit par une perturbation électromagnétique quelconque en extrémité du faisceau.
Pour cela, nous avons utilisé le logiciel NUTLA (Non Uniform Transmission Line
Algorithm), développé à l’ONERA et décrit dans le premier chapitre de cette thèse.
Le faisceau de référence de cette étude, d’une longueur de 1m, est composé de
sept conducteurs uniformes de rayon 1mm. Chaque conducteur est enrobé d’une gaine
diélectrique d’épaisseur 1mm et de perméabilité relative εr égale à 2,8.
Les figures 88 et 89 présentent les deux faisceaux non uniformes que nous avons
créés avec NUTLA à partir de la géométrie de section droite du faisceau uniforme :
Figure 88 : Faisceau torsadé
Figure 89 : Faisceau aléatoire non corrélé
Les deux faisceaux générés par NUTLA sont discrétisés longitudinalement en
sections de longueur 2cm sur lesquelles les conducteurs sont supposés uniformes.
Le faisceau présenté figure 88 est un faisceau torsadé pour lequel tous les
conducteurs du faisceau sont en rotation régulière par rapport à l’axe du faisceau. Ainsi,
entre deux sections voisines, tous les conducteurs du faisceau subissent une rotation
identique par rapport au centre du faisceau. La géométrie de section droite d’une des
sections du faisceau torsadé est présentée figure 90.
Le faisceau présenté figure 89 est un faisceau aléatoire corrélé [62]. Dans ce cas,
la variation de la position d’un conducteur entre deux sections voisines est calculée de
façon aléatoire. Cependant, le faisceau est dit corrélé car la position d’un conducteur
dépend de sa position dans la section précédente afin d’assurer la cohérence du
faisceau créé. La géométrie de section droite d’une des sections du faisceau aléatoire
corrélé est présentée figure 91 :
Figure 90 : Géométrie de section
droite d’une section du faisceau
torsadé
Figure 91 : Géométrie de section
droite d’une section du faisceau
aléatoire corrélé
- 109 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
Il faut préciser que, pour chaque section créée pour chacun des deux faisceaux, la
hauteur moyenne des centres de chaque conducteur reste toujours égale à 2cm.
Le tableau 17 présente les charges terminales connectées aux extrémités des
conducteurs des trois faisceaux étudiés :
N° du
Conducteur
1
2
3
4
5
6
7
Extrémité 1
10Ω
80Ω
55Ω
100kΩ
1,5kΩ
700Ω
20Ω
Extrémité 2
10kΩ
200Ω
40Ω
2Ω
350Ω
900Ω
14Ω
Tableau 17 : Impédances terminales appliquées aux extrémités de chaque conducteur
des trois faisceaux étudiés
Les impédances d’extrémités sont volontairement très contrastées afin de
déséquilibrer les couplages entre les différents conducteurs. La figure 92 présente la
comparaison du courant de mode commun calculé à la première extrémité des trois
faisceaux lorsqu’ils sont illuminés par une onde plane d’amplitude 3V/m en couplage
hybride :
Figure 92 : Comparaison du courant de mode commun induit
à la première extrémité des trois faisceaux étudiés
Pour chaque extrémité, l’allure générale du courant de mode commun induit sur les
trois faisceaux est très proche. De plus, aucun effet majorant n’est observé. Cette étude
permet donc de conclure que la non uniformité d’un faisceau de câblages sur le courant
de mode commun induit à ses extrémités est faible dans le cas d’une illumination
globale et uniforme du faisceau et lorsque la hauteur moyenne du faisceau est
conservée. Ainsi, la méthode du faisceau équivalent apparaît apte à traiter des
faisceaux de câblages de type industriel à l’aide de faisceaux réduits composés de
conducteurs uniformes. Précisons que cette conclusion ne concerne pas le cas où une
source localisée serait placée sur un ou plusieurs conducteurs de chacun des trois
faisceaux.
- 110 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
4.3 Validation
anéchoïque
expérimentale
en
chambre
La validation expérimentale consiste à confronter sur une large bande de fréquence
des résultats d’expériences pratiquées sur un faisceau de câblages multiconducteur aux
résultats numériques issus de la modélisation de la même structure en MoM. Les
comparaisons portent sur le courant de mode commun induit aux extrémités d’un
faisceau de câblages multiconducteur par une perturbation électromagnétique
quelconque.
L’illumination du dispositif sous test a été réalisée à l’aide d’antennes large bande
situées à une distance de l’objet comprise entre trois et quatre mètres. Ces conditions
d’illumination s’éloignent donc de l’hypothèse de l’onde plane adoptée jusqu’à présent
lors des validations numériques. Nous avons donc pris la précaution de reproduire du
mieux possible le champ électromagnétique illuminant le dispositif en modélisant
l’antenne d’émission. Néanmoins, les parois de la chambre sont considérées comme
parfaitement absorbantes.
4.3.1 Description du dispositif expérimental
Une chambre anéchoïque est un moyen d’essai cherchant à représenter les
conditions d’espace libre. En effet, les parois intérieures de cette enceinte blindée (pour
protéger l’intérieur de la chambre de l’environnement électromagnétique extérieur) sont
recouvertes d’absorbants permettant d’éliminer les réflexions sur les parois.
La figure 93 reproduit schématiquement le dispositif expérimental adopté lors de
cette campagne expérimentale :
Câbles
blindés
Source
P0=13dBm
Antenne
d’émission
Sonde de
Faisceau
courant
multiconducteur
sous test
Support
isolant
Connecteur
Analyseur
de spectres
Figure 93 : Schéma descriptif du dispositif expérimental en chambre anéchoïque
Une source radiofréquence d’impédance interne 50Ω délivre une puissance P0
égale à 13dBm en entrée d’une antenne d’émission large bande chargée d’illuminer le
faisceau multiconducteur sous test. La source et l’antenne sont reliées à l’aide de deux
câbles blindés. L’antenne d’émission utilisée est une antenne log-périodique entre 100
MHz et 1 GHz puis une antenne cornet double ridge entre 1 et 3 GHz.
A environ trois mètres de l’antenne d’émission, le plan de masse métallique
supportant le faisceau sous test est placé sur un support isolant à environ 80 cm du
plancher métallique de la chambre. Il est donc plus juste de parler de chambre semianéchoïque car le plancher de la chambre n’est recouvert d’aucun absorbant. Le
courant induit par l’antenne d’émission aux extrémités du faisceau de câblages est
- 111 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
mesuré à l’aide d’une sonde de courant entourant le faisceau comme le montre la figure
94 :
Figure 94 : Positionnement de la sonde de mesure du
courant aux extrémités du faisceau sous test
La sonde de courant, reliée à un analyseur de spectres au moyen de deux autres
câbles blindés, mesure la tension Vmes délivrée par la sonde de courant. Le courant Imes
circulant sur le faisceau de câblages se déduit simplement de cette tension à l’aide de
l’impédance de transfert Zsonde de la sonde de courant, soit :
I mes (dBA) = Vmes (dBV ) − Z sonde (dBΩ )
(Eq. 210)
La variation fréquentielle de l’impédance de transfert de la sonde de courant est
tracée sur la figure 95 suivant les mesures effectuées par le constructeur :
Figure 95 : Impédance de transfert de la sonde de courant
Afin de compenser les pertes induites par l’atténuation linéique des quatre câbles
blindés utilisés, celles-ci ont été mesurées à l’aide d’un analyseur de réseau. Ainsi, la
somme des pertes engendrées par les quatre câbles blindés en fonction de la fréquence
est tracée sur la figure 96 :
- 112 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
Figure 96 : Pertes linéiques des quatre câbles blindés
La compensation de ces pertes linéiques est réalisée à l’aide de la formule portée
ci-dessous :
I mes _ corrigé (dBA) = I mes (dBA) + P(dB )
(Eq. 211)
Afin de pouvoir comparer les résultats expérimentaux aux résultats issus de la
simulation (où l’antenne d’émission est excitée par une source de tension de 1V et
d’impédance interne 50Ω), le courant mesuré Imes_corrigé a été corrigé au moyen du
facteur k exprimé ci-dessous :
I mes _ V =1V (dBA) = k * I mes _ corrigé (dBA) avec k =
1
P0 (W ) * 50Ω
(Eq. 212)
4.3.2 Modélisation du dispositif expérimental en MoM
4.3.2.1 Description des simulations effectuées
La figure 97 décrit les éléments pris en compte lors des simulations réalisées en
MoM :
Antenne
d’émission
Faisceau « réduit »
Imc
Plan de masse infini
et parfaitement
conducteur
Figure 97 : Schéma descriptif des simulations en MoM
L’antenne d’émission considérée en espace libre illumine le faisceau réduit de
câblages. Le sol de la chambre anéchoïque est modélisé à l’aide d’un plan de masse
infini et parfaitement conducteur. La modélisation de l’antenne d’émission impose de
mesurer précisément la position relative de l’antenne d’émission par rapport au faisceau
sous test et au plan de masse infini.
- 113 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
4.3.2.2 Modélisation des antennes d’émission
4.3.2.2.1 Antenne log-périodique
Les antennes de type log-périodique, à la fois directive et large-bande, sont
généralement utilisées lors des essais d'immunité sur véhicule ou sur équipement. Ces
antennes sont constituées d’une succession de dipôles alimentés en opposition de
phase comme l’indique la figure 98 :
Figure 98 : Schéma simplifié d’une antenne log-périodique
Les dimensions géométriques des différents dipôles ainsi que leurs écartements
obéissent à une loi de progression géométrique ([63], [64]) caractérisée par le facteur de
réduction τ :
τ=
xn +1 l n +1 d n +1
=
=
xn
ln
dn
(Eq. 213)
On définit également le facteur d’espacement σ et le demi-angle au sommet α à
l’aide des relations suivantes :
σ=
dn
2.l n
(Eq. 214)
1 − τ 

 4.σ 
α = arctan 
(Eq. 215)
La géométrie de l’antenne lui permet de fonctionner sur une gamme de fréquence
étendue. En effet, lorsque la longueur d'un dipôle est de l’ordre de la demi-longueur
d’onde, celui-ci entre en résonance.
L’antenne log-périodique du laboratoire Telice, utilisée lors des campagnes
expérimentales décrites dans ce manuscrit, est caractérisée par un facteur de réduction
τ de 0,86, un facteur d’espacement σ de 0,07 et un demi-angle au sommet α de 27,5°.
La figure 99 présente une photographie de cette antenne et la figure 100 une vue de la
même antenne modélisée en MoM :
- 114 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
Figure 99 : Antenne log-périodique du
laboratoire Telice
Figure 100 : Antenne modélisée en MoM
Dans la simulation, l’excitation de l’antenne est effectuée à l’aide d’une ligne de
transmission croisée, d’impédance caractéristique égale à 50Ω, permettant d’alimenter
les dipôles successifs en opposition de phase. Un générateur de tension d’impédance
interne 50Ω est placé à une extrémité de la ligne tandis qu’une impédance terminale de
valeur 50Ω est placée sur la seconde extrémité.
Afin de contrôler la validité du modèle d’antenne utilisé en MoM, nous avons réalisé
des comparaisons du diagramme de rayonnement des antennes réelle et simulée sur
quelques points de fréquences. Les mesures de diagramme de rayonnement ont été
effectuées pour l’antenne log-périodique ainsi que pour l’antenne cornet à l’aide du
moyen d’essai SG64 de la société Satimo utilisant la technique de balayage champ
proche [65]. Ce moyen d’essai, dénommé Base Champ Proche Sphérique (BCPS),
permet de mesurer, sur une sphère complète, l’amplitude et la phase des composantes
du champ électrique rayonné par le dispositif sous test en champ proche puis de
calculer le rayonnement en champ lointain selon la théorie de l’expansion modale qui
exprime le rayonnement d’une antenne en terme de combinaison de modes sphériques
pondérés [66].
Les figures 102 et 103 présentent la comparaison mesure / calcul du diagramme de
rayonnement de l’antenne log-périodique à la fréquence de 460 MHz selon les deux
plans de coupe définis par la figure 101 :
Figure 101 : Définition des
plans de coupe
Figure 102 : Plan ϕ=0°
- 115 -
Figure 103 : Plan ϕ=90°
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
Les comparaisons portent sur le module du champ électrique rayonné par l’antenne
d’émission en champ lointain. Ces données ont été normalisées par rapport à la valeur
maximale. A la fréquence de 460 MHz, le diagramme de rayonnement de l’antenne
modélisée en MoM est très proche du diagramme mesuré. Malheureusement, ces
comparaisons n’ont pu être réalisées qu’à quelques fréquences discrètes dans la bande
de fonctionnement de l’antenne.
4.3.2.2.2 Antenne cornet double ridge
Une antenne cornet est un guide d’ondes à section progressivement croissante se
terminant par une ouverture rayonnante. Le champ électrique présent dans le plan de
l’ouverture rayonne selon la théorie des ouvertures rayonnantes.
Dans le cas d’une antenne double ridge, les deux ridges, qui s’écartent lorsque l’on
se rapproche de l’ouverture, peuvent être assimilés à une ligne de transmission dont
l’impédance caractéristique varie de 50Ω au niveau de l’alimentation de l’antenne à
377Ω (impédance caractéristique d’une onde plane) au niveau de l’ouverture. Les deux
ridges servent ainsi à élargir la largeur de bande de l’antenne.
La figure 104 présente une photographie de l’antenne cornet du laboratoire Telice
et la figure 105 une vue de l’antenne que nous avons modélisée en MoM [67] :
Figure 104 : Antenne cornet du laboratoire
Telice
Figure 105 : Antenne modélisée en MoM
L’excitation de l’antenne simulée a été réalisée à l’aide d’un générateur de tension
de 1V et d’impédance interne 50Ω sur un élément filaire reliant les deux ridges.
Comme pour l’antenne log-périodique, la comparaison mesure / calcul du
diagramme de rayonnement de l’antenne cornet a pu être effectuée à quelques
fréquences discrètes. Les figures 107 et 108 présentent les résultats obtenus à la
fréquence de 2,4 GHz selon les deux plans de coupe définis par la figure 106 :
- 116 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
Figure 106 : Définition des
plans de coupe
Figure 107 : Plan ϕ = 0°
Figure 108 : Plan ϕ = 90°
Comme pour l’antenne log-périodique, le diagramme de rayonnement de l’antenne
cornet double-ridge modélisée en MoM est très proche de celui obtenu en mesure.
4.3.2.2.3 Validation complémentaire de l’amplitude du champ
électrique rayonné par les deux antennes
Les comparaisons des diagrammes de rayonnement mesuré et calculé de chaque
antenne ne renseignent pas sur l’amplitude du champ électrique rayonné en un point par
les antennes réelles et simulées. De plus, les confrontations n’ont été réalisées pour
chaque antenne qu’à quelques fréquences discrètes.
Pour compléter la validation des deux antennes modélisées en MoM, on réalise
donc une étape de calibration supplémentaire. Celle-ci consiste à comparer le courant
induit par chaque antenne d’émission sur une structure canonique constituée d’un
monopôle de hauteur 5cm placé sur un plan de masse métallique de 60cm de côté.
Cette structure simple permet ainsi de relier directement le courant induit sur le
monopôle au champ rayonné par l’antenne. Le monopôle réel est présenté sur la
figure 109 et la modélisation MoM de cette structure est présentée figure 110 :
Figure 109 : Monopôle réel
Figure 110 : Monopôle modélisé en MoM
Le monopôle est placé à quelques mètres de l’antenne d’émission lors de la
mesure réalisée en chambre anéchoïque. Il est ensuite placé à la même distance lors
des simulations.
Les comparaisons mesure / calcul du courant induit à la base du monopôle pour
chacune des deux antennes d’émission sont présentées sur la figure 111 :
- 117 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
Figure 111 : Courant induit sur le monopôle illuminé successivement par les deux
antennes large bande
En dessous de 1 GHz, la corrélation du courant induit en mesure et en simulation
par l’antenne log-périodique sur la base du monopôle est tout à fait satisfaisante. En
effet, l’allure générale du courant est correctement reproduite même si les écarts de
niveau obtenus peuvent atteindre environ 6 dB autour de 600 et de 950 MHz.
Entre 1 et 3 GHz, le courant calculé par la simulation reproduit correctement le
courant obtenu lors de la mesure en dépit d’un écart de niveau pratiquement constant
d’environ 6dB sur toute la bande de fréquence. Le courant calculé, inférieur au courant
mesuré, reproduit néanmoins correctement la résonance fondamentale quart-d’onde du
monopôle à la fréquence de 1,5 GHz.
Cette validation complémentaire a ainsi permis de quantifier l’incertitude sur le
champ électromagnétique rayonné par chaque antenne d’émission réelle et simulée en
un point de l’espace. Les écarts constatés, que l’on suppose principalement dus à une
modélisation imparfaite de l’antenne d’émission, peuvent également être en partie reliés
à l’hypothèse de départ qui consiste à assimiler la chambre anéchoïque à un milieu en
espace libre, c'est-à-dire à considérer comme parfaite l’absorption des parois de la
chambre.
4.3.3 Validation de la
multiconducteur
confrontation
sur
un
faisceau
4.3.3.1.1 Description du faisceau sous test
Le cas test, présenté sur la figure 112, est un faisceau de câblages contenant six
conducteurs de longueurs 76 cm :
- 118 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
Figure 112 : Faisceau de câblages sous test
Les conducteurs, identiques, ont un rayon de 0,5mm et sont entourés d’une gaine
diélectrique d’épaisseur 0,4mm. Ils sont tendus sur toute leur longueur et ont une
hauteur moyenne de 3cm par rapport à un plan de masse fini de longueur 100cm et de
largeur 60cm.
Les extrémités de chaque conducteur sont reliées à un connecteur supporté par
une équerre métallique, de hauteur 12cm et de largeur 8cm, censée représenter de
façon simplifiée la face avant d’un équipement électronique. Ces connecteurs
permettent de souder une charge de type CMS entre l’extrémité de chaque conducteur
et l’équerre métallique reliée au plan de masse.
Ainsi, afin de compléter le protocole de validation de la méthode, deux
configurations de charges terminales très différentes ont été testées. Dans la première,
tous les conducteurs du faisceau sont court-circuités à chaque extrémité. Dans ce cas,
le faisceau réduit ne comprend qu’un seul conducteur équivalent court-circuité à chaque
extrémité. En revanche, la deuxième configuration de charges comprend des charges
terminales, présentées dans le tableau 18, de valeurs plus contrastées :
N° du
Conducteur
1
2
3
4
5
6
Extrémité 1
51Ω
51Ω
51Ω
51Ω
51Ω
51Ω
Extrémité 2
20Ω
22Ω
13Ω
75kΩ
100kΩ 120kΩ
Tableau 18 : Deuxième configuration de charges terminales connectées aux
extrémités de chaque conducteur du faisceau sous test
Le faisceau réduit correspondant comprend, dans ce cas, deux conducteurs
équivalents. Le premier groupe de conducteurs regroupe les trois premiers conducteurs
et le deuxième groupe les trois derniers conducteurs du faisceau. Les charges
terminales du faisceau réduit sont détaillées dans le tableau 19 :
N° du Conducteur
1
2
Extrémité 1
17Ω
17Ω
Extrémité 2
6Ω
31,6kΩ
Tableau 19 : Configuration de charges terminales du faisceau réduit correspondant
4.3.3.1.2 Paramètres linéiques et géométriques des faisceaux
initial et réduits
Afin de déterminer la géométrie de section droite des deux faisceaux réduits, nous
avons créé une géométrie de section droite du faisceau initial à partir des
caractéristiques géométriques des conducteurs du faisceau initial. Cette géométrie
- 119 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
« fictive », où tous les conducteurs sont considérés parallèles et uniformes sur toute la
longueur du faisceau, est présentée sur la figure 113 :
4
1
2
5
3
6
h=30mm
Figure 113 : Géométrie de section droite du faisceau créé à
partir des caractéristiques géométriques du faisceau réel
Suite aux résultats de mesures du second chapitre, les valeurs de la permittivité
relative εr et de la tangente de pertes tanδ de chaque gaine diélectrique ont été fixées
respectivement à 2,8 et 0,02.
Un calcul électrostatique réalisé à l’aide du logiciel LAPLACE a permis de déduire
les matrices [L] et [C] présentées ci-dessous et correspondant à la géométrie de section
droite présentée sur la figure 113 :
922 659 553 608 636 563

904 659 665 633 633



922 608 563 636
[L] = 
 nH / m
938 545 545


908 651


908

49,5 − 18,8 − 0,6

79,2 − 18,8


49,5
[C ] = 




− 9,1 − 16,7 − 0,9 
− 20 − 10,6 − 10,6 

− 9,1 − 0,9 − 16,6 
 pF / m
43,6 − 0,7 − 0,7 
− 22,8
55

55 
(Eq. 216)
(Eq. 217)
Pour la première configuration de charges du faisceau initial, les paramètres
linéiques du conducteur équivalent, calculés après application des hypothèses de la
méthode, sont présentés ci-dessous :
L = 661nH / m
(Eq. 218)
C = 17,6 pF / m
(Eq. 219)
La géométrie de section droite du conducteur équivalent, construite en accord avec
les paramètres linéiques précédents, est présentée sur la figure 114 :
- 120 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
εr = 2,8
Epaisseur = 0,6mm
Rayon = 2,2mm
h=30mm
Figure 114 : Géométrie de section droite du faisceau réduit correspondant à la
première configuration de charges du faisceau initial
Pour la deuxième configuration de charges du faisceau initial, les matrices [L] et [C]
du faisceau réduit, contenant deux conducteurs équivalents, sont présentées cidessous :
[L] = 
721 616
 nH / m
616 693
(Eq. 220)
102 − 94,7
 pF / m
− 94,7 105 
(Eq. 221)
[C ] = 
La figure 115 présente la géométrie de section droite du faisceau réduit construite
suivant la procédure présentée au troisième chapitre en accord avec les matrices de
paramètres linéiques présentées ci-dessus :
εr = 2,8
épaisseur=0,16mm
εr = 2,8
épaisseur=0,09mm
rayon=1,59mm
1
2
rayon=1,12mm
d12=2,98mm
h=30mm
Figure 115 : Géométrie de section droite du faisceau réduit correspondant à la
seconde configuration de charges du faisceau initial
La figure 116 présente un exemple de maillage en MoM de la structure sous test
composée des deux conducteurs équivalents correspondant à la seconde configuration
de charges, des équerres métalliques et du plan de masse fini :
- 121 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
Figure 116 : Structure de test correspondant à la seconde configuration de
charges modélisée en MoM
4.3.3.1.3 Comparaison du courant de mode commun calculé et
mesuré
La confrontation mesure / simulation a été réalisée pour deux orientations
orthogonales du faisceau sous test illustrées par les figures 117 et 118 :
Figure 117 : Illumination n°1
Figure 118 : Illumination n°2
Pour la première position du faisceau sous test (illumination n°1), l’orientation
relative de l’antenne et du faisceau s’apparente à une illumination du faisceau sous test
en couplage hybride.
Pour la seconde position du faisceau sous test (illumination n°2), l’orientation
relative de l’antenne et du faisceau s’apparente à une illumination du faisceau sous test
en couplage électrique.
Les mesures sont réalisées dans la chambre anéchoïque du laboratoire Telice sur
la bande de fréquence 100MHz-3GHz. Il faut toutefois préciser qu’en dessous de
200MHz, l’absorption des parois de la chambre n’est pas satisfaisante. De plus, on
remarquera qu’aux fréquences les plus basses, l’antenne log-périodique adoptée en
émission fonctionne un peu hors bande puisque la fréquence de coupure basse donnée
par le constructeur est de 200 MHz.. La fréquence maximale de mesure est située à 3
GHz à cause de la limite de fonctionnement de la sonde utilisée pour mesurer le courant
aux extrémités du faisceau.
Les figures 119 et 120 présentent les résultats obtenus pour la première
configuration de charges pour chacune des deux illuminations. Sur chaque figure de
cette partie sont portés le courant de mode commun mesuré à la première extrémité du
- 122 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
faisceau réel et le courant de mode commun calculé sur le faisceau réduit à cette même
extrémité :
Figure 119 : Configuration de charges n°1 - Illumination n°1
Figure 120 : Configuration de charges n°1 - Illumination n°2
Pour cette première configuration de charges, où les conducteurs sont tous courtcircuités à chaque extrémité du faisceau, la simulation reproduit correctement en
dessous de la fréquence de 1 GHz les fréquences de résonance de la ligne notamment
la résonance fondamentale proche de 190 MHz. Le faisceau, de longueur 76cm, étant
court-circuité à ses deux extrémités, cette résonance correspond à une résonance en
demi-longueur d’onde. Celle-ci se serait produite à la fréquence de 197 MHz sans la
présence des gaines isolantes autour des conducteurs.
Une deuxième observation concerne l’atténuation des résonances lorsque la
fréquence augmente. Nous attribuons ce résultat, observé en mesures et en simulation,
au rayonnement de la ligne qui augmente avec la fréquence. Le rayonnement de la
ligne, que l’on peut assimiler à une résistance variable avec la fréquence, a pour effet
d’atténuer les résonances de la ligne comme une résistance classique. Ces atténuations
peuvent également s’expliquer en partie par les pertes diélectriques engendrées par la
- 123 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
présence de gaines isolantes enrobant les conducteurs. Ainsi, lorsque la fréquence
devient supérieure à 1 GHz, les résonances du faisceau sont peu marquées. A ces
fréquences, on observe un écart de niveau de quelques dB entre le niveau moyen des
courants mesurés ou calculés. Les courants mesurés étant plus élevés, nous
rapprochons ces observations des résultats déjà observés sur la mesure du monopôle
réalisée au paragraphe 4.3.2.2.3. Nous attribuons donc ces écarts à la modélisation de
l’antenne d’émission.
Les figures 121 et 122 présentent les résultats obtenus pour la seconde
configuration de charges pour chacune des deux illuminations :
Figure 121 : Configuration de charges n°2 - Illumination n°1
Figure 122 : Configuration de charges n°2 - Illumination n°2
Pour cette seconde configuration de charges plus contrastées (cf tableau 19) et
pour laquelle le faisceau réduit contient deux conducteurs équivalents, les résonances
de la ligne en dessous de la fréquence de 1 GHz sont plus atténuées que pour la
première configuration de charges. Ceci s’explique par la présence, aux extrémités des
conducteurs, de charges terminales de plus fortes valeurs qui absorbent de l’énergie et
donc atténuent les phénomènes d’ondes stationnaires le long de la ligne. A l’aide des
- 124 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
résultats de mesure, cette atténuation peut être chiffrée à 5 dB pour la première
illumination et 10 dB pour la seconde dans le cas de la résonance fondamentale.
Les résonances quart d’onde liées aux hautes impédances placées à la seconde
extrémité du faisceau sont pratiquement indiscernables car très atténuées en mesure et
en simulation. Ainsi, en hautes fréquences, le comportement « basse impédance » du
faisceau est bien privilégié.
4.3.3.1.4 Discussion critique sur la qualité des simulations
Les résultats numériques reproduisent, pour chaque configuration de charges et
chaque illumination, l’allure du courant mesuré de façon très satisfaisante. Ces résultats
sont extrêmement encourageants compte tenu de la difficulté de réaliser ce genre de
comparaisons sur des bandes de fréquences aussi élevées. En hautes fréquences, de
nombreux paramètres peuvent provoquer une dégradation de la corrélation entre les
résultats obtenus en mesure et en simulation. De plus, il faut noter que les résultats
comparés ici sont des mesures absolues et non normalisées ou faisant suite à une
calibration du champ par exemple.
Les difficultés de ce genre de comparaisons sont dues principalement à deux
facteurs. Tout d’abord, il y a les difficultés liées au surdimensionnement de l’objet par
rapport à la longueur d’onde. Par exemple, une erreur de mesure de quelques
centimètres sur la mesure de la position de l’antenne par rapport au faisceau ou au sol
de la chambre anéchoïque, sans conséquence en basse fréquence, peut amener des
écarts importants lorsque la fréquence augmente et que l’incertitude du positionnement
relatif devient comparable ou supérieure à la longueur d’onde.
Ensuite, les erreurs entre la mesure et la simulation proviennent directement des
bandes de fréquences auxquelles sont effectuées les mesures. Par exemple, au-dessus
de quelques centaines de MHz, la valeur nominale des charges résistives CMS utilisées
est modifiée par l’apparition d’éléments parasites qui peuvent modifier significativement
le coefficient de réflexion présent en extrémité de chaque conducteur.
Des erreurs importantes peuvent également être introduites par l’utilisation de la
sonde de courant dont la fréquence maximale d’utilisation est de 3 GHz. Par exemple,
nous n’avons pas pu mesurer par nos propres moyens l’impédance de transfert de la
sonde de courant. Il ne faut pas non plus négliger l’influence du couplage direct entre
l’onde émise par l’antenne d’émission et la sonde de courant.
Les quatre câbles coaxiaux utilisés pour ces validations peuvent également
provoquer des erreurs de mesures. L’onde émise par l’antenne d’émission provoque un
courant induit sur le blindage de chaque câble coaxial situé dans la chambre. Le
rayonnement électromagnétique dû au courant peut venir perturber directement la
sonde de mesure du courant. Dans le cas du câble reliant la sonde de courant à
l’analyseur de spectres, le courant de blindage, guidé jusqu’à la sonde de courant, peut
également se coupler sur le faisceau sous test et venir perturber la mesure du courant.
4.4 Validation
expérimentale
en
réverbérante à brassage de modes
chambre
Une chambre réverbérante à brassage de modes, désignée également sous
l’acronyme CRBM, est un moyen de mesures destiné aux hautes fréquences. Ce moyen
d’essai est utilisé en CEM depuis quelques années [68] pour des mesures d’immunité,
de rayonnement et d’efficacité de blindage. Une CRBM utilise les propriétés des cavités
électromagnétiques surdimensionnées par rapport à la longueur d’onde. Celles-ci
permettent, dans le cas de tests d’immunité [69], d’exposer un objet sous test à un
- 125 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
champ électrique considéré, grâce à l’utilisation d’un brasseur de modes, comme
homogène et isotrope au-dessus d’une fréquence minimale de fonctionnement. Dans ce
cas, l’isotropie du champ implique qu’il n’est plus nécessaire de faire subir au système
sous test une quelconque rotation puisque toutes ses faces sont illuminées par le champ
incident. De plus, la réflexion sur les parois de la CRBM permet d’atteindre des champs
d’amplitude élevée, malgré l’utilisation de sources de puissance relativement modestes.
L’objectif principal de ce travail consistant à étudier les couplages
électromagnétiques sur des faisceaux de câblages en hautes fréquences, il apparaît
logique d’utiliser une CRBM afin de bénéficier des nombreux avantages qu’offre ce
moyen d’essai dans ces bandes de fréquence.
Dans cette partie, nous comparons donc le courant de mode commun induit aux
extrémités du faisceau multiconducteur en mesure et en simulation. Le faisceau utilisé
est celui utilisé lors de la campagne expérimentale en chambre anéchoïque et présenté
sur la figure 112. Le dispositif expérimental est présenté figure 123 :
Brasseur
de modes
Antenne
d’émission
Sonde de
Faisceau
courant
multiconducteur
sous test
Support
isolant
Connecteur
Analyseur de
spectres
Câbles
blindés
Source
P0=13dBm
Figure 123 : Schéma descriptif du dispositif expérimental en CRBM
Une source HF délivre une puissance P0=13dBm en entrée de l’antenne d’émission
placée dans la CRBM. La sonde de courant, reliée à un analyseur de spectres, permet
de mesurer le courant de mode commun moyen sur un tour de brasseur induit aux
extrémités du faisceau sous test.
La simulation correspondante est effectuée à l’aide du programme de calcul
RandomOP dont la présentation détaillée a été effectuée au cours du premier chapitre
de ce document. Un calcul d’émission est tout d’abord réalisé en MoM. Une source de
tension de 1V est placée en extrémité d’un des conducteurs équivalents du faisceau
réduit. L’impédance interne de la source correspond à la charge terminale du
conducteur équivalent à l’extrémité duquel est positionnée la source. Le courant induit
par la source de tension est relevé, à chaque fréquence, sur les différents conducteurs
équivalents.
Le programme RandomOP permet ensuite de générer un spectre d’ondes planes
aléatoires censé représenter l’environnement électromagnétique présent dans la CRBM.
RandomOP calcule alors l’intégrale de réciprocité qui permet, en fonction des résultats
du calcul d’émission, de connaître le courant moyen induit sur le conducteur équivalent
à l’endroit où a été placé le générateur de tension. Il faut préciser que, dans le cas où le
faisceau réduit contient plus d’un conducteur équivalent, il faut répéter cette procédure
en plaçant successivement la source de tension sur chaque conducteur équivalent du
faisceau réduit. On additionne alors le courant moyen calculé sur chaque conducteur
équivalent par RandomOP pour connaître le courant de mode commun moyen.
- 126 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
RandomOP considérant que le faisceau sous test est illuminé par une densité
spectrale de puissance de 1W/m2 (soit 19,4V/m), il faut donc mesurer le champ
électrique moyen ECRBM présent dans la CRBM à chaque point de fréquence et corriger
le courant mesuré Imc à l’aide de la relation suivante :
I mc _ corrigé = I mc *
19,4
E CRBM
(Eq. 222)
Les figures 124 et 125 présentent la comparaison du courant de mode commun
obtenu à la première extrémité du faisceau sous test pour chacune des deux
configurations de charges :
Figure 124 : Configuration de charges n°1
Figure 125 : Configuration de charges n°2
Pour la première configuration de charges, où les conducteurs du faisceau sous
test sont court-circuités à chaque extrémité de la ligne, la simulation reproduit bien les
résonances du faisceau sous test observées en dessous de 1 GHz lors des mesures.
Au-dessus de 1 GHz, la simulation reproduit correctement la décroissance du niveau
moyen du courant mesuré. En revanche, l’atténuation des résonances observée de
façon très nette en mesures n’est pas reproduite par la simulation.
Pour la seconde configuration où les charges terminales sont plus contrastées (cf
tableau 19), les résultats obtenus en simulation reproduisent correctement l’évolution du
courant de mode commun moyen mesuré avec cependant un écart pratiquement
constant de l’ordre de 10dB entre la mesure et la simulation. Les impédances terminales
étant plus contrastées dans cette configuration de charges, les résonances du courant
calculées par la simulation sont dans ce cas bien atténuées.
Les résultats présentés sur ces différentes figures, correspondant à une illumination
à puissance constante sur toute la bande de fréquence, mettent parfaitement en
évidence l’importance de la résonance fondamentale d’un faisceau de câbles et la
décroissance du courant induit qui se produit généralement après celle-ci. En assimilant
un faisceau de câblages à une antenne, cette décroissance fréquentielle s’explique par
la diminution de la surface équivalente du faisceau qui est proportionnelle à la longueur
d’onde.
Ces résultats prospectifs encourageants constituent une approche intéressante
pour la comparaison des mesures réalisées en CRBM sur faisceaux de câbles.
Malheureusement, le manque de temps n’a pas permis d’améliorer la corrélation entre la
mesure et la simulation. Néanmoins, cette approche originale mérite d’être poursuivie
car la CRBM présente de nombreux avantages par rapport à la chambre anéchoïque
- 127 -
Chapitre 4 – Validations numériques et expérimentales de la méthode du faisceau
équivalent
pour la réalisation de mesures HF. Elle permet notamment de s’affranchir de la
connaissance de la position de l’objet sous test dans la CRBM ainsi que de la
modélisation de l’antenne d’émission large bande utilisée.
4.5 Conclusion du chapitre 4
Ce chapitre a permis de valider, sur un faisceau de câblages multiconducteur, la
méthode du faisceau équivalent. Tout d’abord, la validation numérique, effectuée sur la
partie basse du spectre fréquentiel à l’aide de calculs MTLN, a mis en évidence les
principaux avantages de la méthode. En particulier, la simplification du faisceau à
modéliser provoque une diminution sensible des moyens informatiques nécessaires
sans toutefois affecter la précision des calculs.
Les campagnes expérimentales effectuées en chambre anéchoïque puis en
chambre réverbérante à brassage de modes, permettent de valider la méthode sur une
plus large bande de fréquence incluant les « hautes fréquences » où la réalisation de
calculs MTLN n’est plus possible. Les difficultés inhérentes à la modélisation de
faisceaux multiconducteur surdimensionnés par rapport à la longueur d’onde n’ont ainsi
pas empêché de mettre en évidence la qualité des résultats numériques obtenus par la
simulation.
Si ces deux campagnes expérimentales sont très prometteuses pour la
modélisation numérique de faisceaux de câblages multiconducteur sur une large bande
de fréquence, il nous reste désormais à étendre le champ d’application de la méthode
au cas de réseaux de câblages arborescents pour pouvoir répondre aux attentes du
monde automobile.
- 128 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
Chapitre 5
5 Extension de la méthode du
faisceau équivalent au cas de
réseaux arborescents
Dans ce chapitre, nous proposons d’étendre la méthode du faisceau équivalent au
cas de réseau de câblages afin de pouvoir répondre aux attentes de l’industrie
automobile. Après avoir présenté la procédure permettant d’adapter la méthode, nous
procédons à la validation numérique de la méthode sur la partie basse du spectre. Nous
présentons ensuite une campagne expérimentale réalisée sur une maquette de véhicule
à échelle réduite. Celle-ci permet de valider, sur une large bande de fréquence, la
démarche entreprise au cours de ce travail sur une structure représentative du monde
automobile.
5.1 Procédé d’extension
arborescent
au
cas
de
réseau
Dans ce paragraphe, nous présentons une procédure qui a pour objectif d’étendre
la méthode du faisceau équivalent au cas de réseau de câblages. La procédure
présentée ci-dessous comporte cinq étapes qui permettent de définir un « réseau de
câblages réduit » à partir de n’importe quel réseau initial.
La première étape consiste à décrire le réseau sous une forme topologique comme
dans le cas de la Topologie de câblages. Par exemple, la figure 126 présente une
représentation simplifiée d’un réseau arborescent disposé sur un plan de masse infini.
La représentation est dite simplifiée car chaque trait noir correspond à un faisceau
multiconducteur :
- 129 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
branche
du réseau
N°2
Equipement
électronique
N°3
Plan de
masse
infini
N°1
Nœud du réseau
(bifurcation)
N°4
Figure 126 : Représentation simplifiée d’un réseau de câblages arborescent disposé sur
un plan de masse infini
Le réseau décrit sur la figure 126 contient deux nœuds et cinq branches qui, par
analogie, peuvent être assimilés respectivement aux jonctions et aux tubes décrits dans
le formalisme de la Topologie de câblages. Un nœud est un endroit où se produit une
dérivation au sein d’un ou plusieurs éléments d’un faisceau tandis qu’une branche
correspond à une partie d’un faisceau multiconducteur comprise entre deux nœuds ou
un nœud et une extrémité du réseau.
Dans la deuxième étape, il faut recenser le nombre de conducteurs effectuant un
parcours identique entre deux extrémités du réseau. Grâce à l’analyse de la valeur des
charges terminales de ces conducteurs, des groupes de conducteurs sont créés selon la
méthode décrite au cours du paragraphe 3.3. La généralisation de cette opération à tous
les parcours empruntés au sein du réseau par au moins un conducteur permet ainsi de
déterminer pour chaque branche du réseau les différents groupes de conducteurs.
Précisons que cette démarche peut amener à rassembler dans une même branche
plus de quatre conducteurs équivalents. En effet, en reprenant l’exemple de la figure
126, si quatre conducteurs équivalents sont nécessaires pour représenter le
comportement des conducteurs effectuant le parcours allant de la première extrémité du
réseau vers chacune des trois autres extrémités du réseau, le nombre de conducteurs
équivalents entre l’extrémité 1 et le premier nœud du réseau sera égal à douze.
La troisième étape permet de déterminer les matrices [L]red et [C]red relatives à
chaque branche du réseau réduit selon les groupes de conducteurs constitués à l’étape
précédente. Ces matrices sont obtenues à l’aide des hypothèses présentées dans le
paragraphe 3.4.
Lors de la quatrième étape, la géométrie de section droite de chaque branche du
réseau réduit est construite selon les matrices [L]red et [C]red déterminées à l’étape
précédente. Cette opération est effectuée selon la méthode décrite au paragraphe 3.5.
Dans la cinquième et dernière étape, les charges terminales à placer aux
extrémités de chaque conducteur équivalent du réseau réduit sont calculées
conformément aux instructions du paragraphe 3.6.
- 130 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
5.2 Validation numérique
5.2.1 Présentation du cas test
La figure 127 présente une vue schématique du réseau arborescent utilisé lors de
cette étape de validation numérique :
E=3V/m
Extrémité n°2
150cm
k
50cm
50cm
H
Onde plane en
incidence rasante
Imc1
Extrémité n°3
80cm
h=3cm
100cm
Extrémité n°1
Plan de
masse infini
Extrémité n°4
Figure 127 : Vue simplifiée du réseau arborescent
La figure 128 présente le modèle topologique associé à ce réseau :
Figure 128 : Modèle topologique associé au réseau
Ce réseau arborescent, situé sur un plan de masse infini, comprend 4 extrémités, 5
branches et 2 nœuds. Tous les conducteurs horizontaux du réseau sont situés à 3cm de
hauteur par rapport au plan de masse infini. Les terminaisons sont réalisées à l’aide de
brins verticaux reliant l’extrémité des conducteurs au plan de masse.
Des charges sont placées au niveau des jonctions terminales n°1, 5, 8 et 10 reliant
l’extrémité des brins verticaux au plan de masse infini. Afin de préserver la clarté de ce
document, la présentation exhaustive de ces charges terminales est réalisée dans
l’annexe C.
Le tableau 20 comporte le nombre de conducteurs présents sur chaque branche du
réseau initial et le nombre de conducteurs équivalents correspondants du réseau
réduit calculé après application de la procédure présentée au cours du paragraphe 5.1 :
- 131 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
Branche n°
Parcours
Réseau
initial
Réseau
réduit
1
Extrémité 1 – Nœud 1
16
4
2
Extrémité 2 – Nœud 1
14
4
3
Nœud 1 – Nœud 2
14
4
4
Nœud 2 – Extrémité 3
13
4
5
Nœud 2 – Extrémité 4
13
4
Tableau 20 : Nombre de conducteurs sur chaque branche des réseaux initial et réduit
La méthode permet ainsi, pour ce réseau et pour cette configuration particulière de
charges, de réduire par un facteur proche ou égal à quatre le nombre de conducteurs
sur chaque branche du réseau.
5.2.2 Comparaisons des courants induits aux extrémités
des deux réseaux
Comme dans le chapitre précédent, l’objectif de la validation numérique est de
montrer la bonne reproduction des courants de mode commun calculés par la méthode
du faisceau équivalent sur une gamme de fréquence allant de 10 à 500MHz au moyen
de simulations MTLN. L’induction provient d’une onde électromagnétique plane
d’amplitude 3V/m illuminant le réseau sous une incidence rasante et dirigée suivant l’axe
des z positifs (cf figure 128). Pour conforter l’analyse, la simulation du réseau réduit est
également entreprise en MoM.
Les figures 129 à 132 présentent la comparaison du courant de mode commun
induit sur les brins verticaux constituant chaque extrémité des réseaux initial et réduit :
Figure 129 : Extrémité n°1
Figure 130 : Extrémité n°2
- 132 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
Figure 131 : Extrémité n°3
Figure 132 : Extrémité n°4
Ces différentes figures montrent que les courants de mode commun calculés par le
formalisme MTLN à chaque extrémité des réseaux initial et réduit sont très proches, ce
qui semble démontrer l’extension possible de la méthode au cas des réseaux
arborescents.
La différence observée entre les simulations MTLN et MoM du réseau réduit
s’explique par plusieurs causes. Tout d’abord, le décalage des fréquences de résonance
a probablement pour origine la méthode différente adoptée dans les deux formalismes
pour tenir compte de la contribution des brins verticaux (cf chapitre 2). D’autre part,
l’amortissement des résonances observé sur le courant calculé par la MoM a pour
origine la prise en compte du rayonnement électromagnétique des conducteurs dans ce
formalisme.
5.2.3 Bilan des ressources informatiques nécessaires
Le tableau 21 compare les temps de calculs nécessaires à la simulation des deux
réseaux pour mille itérations de fréquence réparties uniformément entre 1MHz et 1GHz :
Méthode de calcul
Réseau initial
Réseau réduit
MTLN
104,4 s
7,7 s
MoM
Non effectué
3870 s
Tableau 21 : Comparaison des temps de calculs nécessaires à la simulation de
chaque réseau
Les temps de calculs contenus dans ce tableau permettent de mettre en évidence
trois faits principaux :
• le temps de calcul nécessaire à la modélisation du réseau réduit est divisé
par un facteur supérieur à 13 dans le cas d’un calcul MTLN par rapport au
réseau initial. Cette méthode présente donc un intérêt évident pour la
modélisation de réseaux arborescents dans des bandes de fréquences où la
MTLN peut être utilisée.
• les phases d’assemblage et d’inversion de la matrice [Z] sont
respectivement divisées par les facteurs 12 et 43 en MoM par l’utilisation du
réseau réduit selon un calcul approché réalisé conformément à celui réalisé
au cours du paragraphe 4.2.4. A titre d’exemple, le nombre d’inconnues
- 133 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
•
liées à la modélisation des réseaux initial et réduit en MoM est
respectivement estimé à 2100 et 600 à la fréquence de 1 GHz)
le temps de calcul nécessaire à la modélisation du réseau réduit de
câblages en MoM est plus de cinq cent fois supérieur au temps de calcul
nécessaire à la réalisation du calcul MTLN. Cependant, ce résultat doit être
relativisé dans le cas de la modélisation en MoM d’un test d’immunité
rayonnée sur un véhicule complet. En effet, dans ce cas, le test peut être
modélisé en un seul calcul prenant en compte la structure métallique du
véhicule et le réseau réduit contrairement aux basses fréquences où ce
calcul est réalisé en deux étapes (cf paragraphe 1.1.4.2). Cette unique
étape de calcul en hautes fréquences permet de compenser en partie le
temps supplémentaire engendré par la modélisation du réseau de câblages
à l’aide d’un code tridimensionnel.
5.3 Modélisation d’un réseau de câbles simplifié
installé sur une maquette de véhicule
5.3.1 Description du contexte topologique
5.3.1.1 Maquette véhicule
Renault a réalisé pour les besoins de mesures CEM la maquette d’un véhicule à
l’échelle 1/2. La maquette constituée d’une architecture en bois est recouverte de parois
de cuivre reproduisant de façon simplifiée la géométrie d’un véhicule. Les dimensions de
la maquette s’établissent comme suit :
• Longueur = 180cm
• Largeur = 80cm
• Hauteur = 70cm
Les photographies portées sur les figures 133 et 134 montrent les vues avant et
arrière de l’objet :
Figure 133 : Vue arrière de la maquette
Figure 134 : Vue avant de la maquette
Du point de vue de la topologie CEM, deux zones spécifiques peuvent être
distinguées : l’habitacle et le compartiment moteur. L’habitacle, qui comprend six
- 134 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
ouvertures (quatre fenêtres, pare-brise avant et pare-brise arrière) communique avec le
compartiment moteur au moyen de deux petites ouvertures. Le compartiment moteur, de
volume largement inférieur, comporte deux ouvertures situées sur le plancher et la face
avant.
Lors de cette campagne expérimentale, les fentes situées au niveau des portières
ont été bouchées à l’aide de ruban adhésif conducteur pour s’affranchir de la diffraction
électromagnétique qu’elles engendrent sur l’onde électromagnétique perturbatrice.
Cette maquette, qui constitue une bonne représentation d’un véhicule automobile
réel, présente deux avantages importants pour sa modélisation à l’aide d’un code de
calcul 3D par rapport à la caisse d’un véhicule réel. Tout d’abord, la taille réduite de la
maquette permet de diminuer sensiblement les temps de calculs. Ensuite, sa géométrie
simple permet de limiter l’incertitude due à la modélisation 3D de la structure.
5.3.1.2 Réseau de câblages
Le réseau de câblages disposé au sein de la maquette se compose de trois parties
distinctes.
Un premier faisceau de câblages (extrémités 1 et 2), de longueur 62cm, est
présenté sur la figure 135. Ce faisceau est composé de huit conducteurs distants de dix
centimètres de la surface du plancher du compartiment moteur. Compte tenu de
l’ouverture présente sur le plancher du compartiment moteur, l’hypothèse fondamentale
de la MTLN qui nécessite impérativement la présence d’une référence de masse n’est
pas respectée sur la majeure partie du faisceau. Cependant, à l’endroit de l’ouverture, le
sol de la chambre semi-anéchoïque peut être considéré comme la nouvelle référence de
masse.
Figure 135 : Premier faisceau de câblages
La figure 136 présente le deuxième faisceau de câblages comprenant cinq
conducteurs de longueur 48cm et situé dans la partie habitacle de la maquette. Une
extrémité (extrémité 3) du faisceau est placée sur la surface séparant l’habitacle du
compartiment moteur et la deuxième (extrémité 4) est fixée au pavillon de la maquette.
Le faisceau étant placé en face d’une grande ouverture constituée par le pare-brise
avant de la maquette, il n’y a donc pas de référence de masse sur toute la longueur du
faisceau au sens du formalisme MTLN :
- 135 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
Figure 136 : Deuxième faisceau de câblages
La figure 137 présente le « réseau arborescent » comprenant quatre extrémités (5,
6, 7 et 8) placées sur le plancher de la partie habitacle. Précisons, pour clarifier ce
document, que la terminologie « réseau de câblages » utilisée dans cette partie
correspond à l’ensemble des câblages présents dans la maquette, soit les deux
premiers faisceaux de câblages et le « réseau arborescent ».
Figure 137 : Réseau arborescent
La hauteur des faisceaux de câbles constituant le réseau arborescent est de trois
centimètres par rapport à la référence de masse constituée par le plancher de la
maquette. Le tableau 22 présente le nombre de conducteurs sur chaque parcours du
réseau arborescent ainsi que les distances entre chacune de ses quatre extrémités :
Parcours du faisceau
Extrémités
5-6
5-8
6-7
6-8
7-8
Nombre de conducteurs
5
3
2
2
4
Longueur du faisceau (cm)
106
73
59
89
66
Tableau 22 : Longueur de chaque faisceau composant le réseau arborescent
- 136 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
Les conducteurs du réseau arborescent, de diamètre 1mm et enrobés dans une
gaine diélectrique d’épaisseur 0,4mm, sont tous identiques. Comme dans le chapitre
précédent, des équerres métalliques placées en extrémités des câblages permettent de
représenter de façon simplifier la face avant d’un équipement électronique.
Les charges terminales utilisées sont des charges CMS dont la valeur nominale est
garantie jusqu’à quelques centaines de MHz. Pour préserver la clarté du document, la
description exhaustive de la valeur des charges terminales connectées aux extrémités
du réseau de câblages est effectuée dans l’annexe D.
5.3.2 Modélisation de la structure en MoM
5.3.2.1 Critères retenus pour la modélisation de la maquette
véhicule
La figure 138 présente le maillage en MoM de la structure métallique de la
maquette automobile :
Figure 138 : Maillage de la maquette automobile en MoM
Le pas de discrétisation spatial est choisi en fonction de la fréquence maximale de
travail fmax (qui correspond à la longueur d’onde minimale λmin). La longueur maximale de
chaque arête de triangle est ainsi fixée au huitième de la longueur d’onde minimale.
Du fait de la taille importante de la maquette par rapport à la longueur d’onde, la
modélisation numérique de la maquette en MoM, à l’aide du logiciel FEKO, a pu être
réalisée en utilisant l’algorithme de FMM multi-niveaux proposé par ce logiciel.
5.3.2.2 Modélisation du réseau réduit de câblages
Comme dans le cas des charges réelles, la description exhaustive de la valeur des
charges terminales connectées aux extrémités du réseau de câblages réduit dans la
simulation est également effectuée dans l’annexe D. En revanche, le tableau 23
présente le nombre de conducteurs équivalents sur chaque parcours du réseau réduit :
- 137 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
Parcours du faisceau
Extrémités
1-2
3-4
5-6
5-8
6-7
6-8
7-8
Nombre de conducteurs
4
1
2
2
1
1
2
Tableau 23 : Nombre de conducteurs du réseau « réduit » sur chaque parcours
Précisons que la détermination des matrices de paramètres linéiques de chaque
faisceau réduit a été effectuée en fonction du plan de masse le plus proche. Ainsi, pour
les deux premiers faisceaux de câblages, le plancher puis le pare-brise de la maquette
ont été considérés comme obturés par un plan parfaitement conducteur.
La figure 139 présente une vue de la modélisation en MoM du réseau réduit de
câblages placé à l’intérieur de la maquette :
Figure 139 : Modélisation du réseau réduit en MoM
Les conducteurs du réseau réduit sont discrétisés longitudinalement par des
segments de longueur égale au dixième de la longueur d’onde minimale (correspondant
à la fréquence maximale de calcul). Précisons également que nous avons pris les
valeurs mesurées au cours du deuxième chapitre sur un exemple de gaine isolante de
conducteurs automobiles (εr = 2,8 et tan δ = 0,02) pour modéliser les gaines isolantes
des différents conducteurs équivalents du réseau réduit.
5.3.3 Validation en chambre anéchoïque
5.3.3.1 Protocole expérimental adopté
Cette campagne expérimentale a été effectuée en chambre anéchoïque selon la
chaîne de mesures décrite au paragraphe 4.3.1. Les mesures de courant de mode
commun induit à chaque extrémité du réseau de câblages ont été effectuées pour deux
polarisations verticales de l’onde émise par les antennes d’émission présentées sur les
figures 140 et 141 :
- 138 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
Figure 140 : Première illumination
Figure 141 : Deuxième illumination
L’antenne d’émission illumine tout d’abord la face avant du véhicule (illumination
n°1) puis sa face latérale droite (illumination n°2). Ces deux figures montrent également
que, pour respecter au mieux les conditions de mesures, la maquette a été placée à une
hauteur de 20 cm au-dessus du plan métallique infini symbolisant le sol de la chambre
anéchoïque.
Les courbes recueillies au cours de ces campagnes de mesure et de simulation ont
été reproduites intégralement sur les figures 142 à 157. Le volume important de ces
résultats permettra d’affiner la confrontation et plus spécialement de discerner les
gammes de fréquence pour lesquelles on observe un bon accord entre la mesure et la
simulation ou au contraire l’apparition de certaines dérives.
Avant d’entamer les commentaires, on précisera que la gamme de fréquence
concernée par cette confrontation s’étend de 100 MHz à 2 GHz. Comme mentionné
dans le chapitre précédent, aux fréquences les plus basses, l’antenne log-périodique
adoptée en émission fonctionne un peu hors bande puisque la fréquence de coupure
basse donnée par le constructeur est de 200 MHz. De plus, au-dessous de 200 MHz,
l’absorption absolue des parois de la chambre anéchoïque ne peut être garantie. Il n’est
donc pas impossible que ces limites naturelles engendrent des erreurs.
Précisons également que la limite haute de cette étude située à 2 GHz a été fixée
par le fait qu’à des fréquences supérieures, les temps de calculs requis par la
modélisation en MoM de la structure sont trop importants. Signalons enfin que, comme
dans le chapitre précédent, à la fréquence de 1 GHz, l’antenne log-périodique est
remplacée par l’antenne cornet double ridge.
5.3.3.2 Premier faisceau de câblages
Les figures 142 à 145 représentent l’évolution fréquentielle du courant de mode
commun aux extrémités du premier faisceau de câblages (extrémités n°1 et 2) situé
dans la zone inférieure du compartiment moteur de la maquette véhicule pour chacune
des deux illuminations de la maquette :
- 139 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
Figure 142 : Extrémité n°1 - Illumination n°1
Figure 143 : Extrémité n°2 - Illumination n°1
- 140 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
Figure 144 : Extrémité n°1 - Illumination n°2
Figure 145 : Extrémité n°2 - Illumination n°2
Pour l’irradiation frontale de la maquette (figures 142 et 143), la simulation permet
de restituer correctement la résonance fondamentale de la ligne en demi-longueur
d’onde qui se produit à la fréquence de 230MHz, soit une longueur d’onde de 1,30m. Le
faisceau ayant une longueur de 62cm, celle-ci se produirait sans la présence des gaines
isolantes à la fréquence théorique de 240 MHz soit une variation d’environ 4% de la
vitesse de propagation le long de la ligne. Cette résonance en demi-longueur d’onde
très accentuée est principalement due aux faibles charges d’extrémités du premier
groupe de conducteurs de ce faisceau constitué des conducteurs 1 et 2 du faisceau réel.
En effet, les charges terminales du conducteur équivalent correspondant sont égales à
24Ω et 30Ω (cf annexe D).
La prédominance de la résonance fondamentale est ici très prononcée, que ce soit
en mesures ou en simulation, car son amplitude est supérieur d’au moins 15 dB au
niveau de toutes les autres résonances.
De manière générale, les simulations sont assez concordantes avec les mesures
jusqu’à 1 GHz. Toutefois, sur l’extrémité 2 principalement, le courant calculé dépasse
- 141 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
parfois de 20 dB le niveau du courant mesuré pour quelques résonances atypiques
situées à partir de 400 MHz.
Nous émettons deux hypothèses permettant d’expliquer ces phénomènes. Tout
d’abord, comme évoqué dans le paragraphe 4.4, l’effet des éléments parasites situés en
extrémité des conducteurs permet d’expliquer en partie l’atténuation des résonances
observées en mesures. Ensuite, nous pensons que les interférences constructives
prévues par la théorie et dues à la géométrie très régulière de la maquette soient
largement atténuées dans la réalité à cause des résistances de contact présentes
inévitablement aux jointures des différentes plaques de cuivre de la maquette et
considérées comme nulles dans la simulation.
Pour les fréquences supérieures à 1 GHz où l’antenne d’émission est désormais
l’antenne cornet, le courant calculé reproduit de façon très satisfaisante l’évolution du
courant mesuré dont le niveau moyen est toutefois supérieur de quelques dB. Le niveau
moyen du courant mesuré étant supérieur, nous considérons que ces écarts de niveau
peuvent être attribués à la modélisation de l’antenne cornet. Cette conclusion s’appuie
sur les résultats obtenus lors de l’étude effectuée sur le monopôle au cours du
paragraphe 4.3.2.2.3.
Pour l’irradiation latérale de la maquette (figures 144 et 145), la résonance
fondamentale du premier faisceau de câblages, révélée précédemment à la fréquence
de 230 MHz, est dans ce cas fortement atténuée d’environ 15 dB à cause de
l’atténuation engendrée par la caisse métallique. En effet, l’onde électromagnétique
rayonnée par l’antenne large bande arrive latéralement par rapport au compartiment
moteur de la maquette. En dehors de ce résultat, les principaux résultats évoqués dans
le cas de la première irradiation sont retrouvés.
5.3.3.3 Deuxième faisceau de câblages
Les courbes présentes sur les figures 146 à 149 représentent l’évolution
fréquentielle du courant de mode commun induit aux extrémités du second faisceau de
câblages, situé dans la partie habitacle de la maquette véhicule, pour chacune des deux
illuminations :
Figure 146 : Extrémité n°3 - Illumination n°1
- 142 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
Figure 147 : Extrémité n°4 - Illumination n°1
Figure 148 : Extrémité n°3 - Illumination n°2
- 143 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
Figure 149 : Extrémité n°4 - Illumination n°2
Rappelons tout d’abord que le faisceau réduit correspondant à ce second faisceau
comprend un seul conducteur équivalent connecté à des charges terminales égales à
5Ω (cf annexe D). Ces charges faibles ne limitant pas l’amplitude des résonances, il est
surprenant de constater que l’amplitude de la fréquence de résonance fondamentale de
ce faisceau, aux environs de 200 MHz, est atténuée d’environ 10 dB par rapport à celle
du premier faisceau. Ceci s’explique par l’absence de plan de masse sur toute la
longueur du faisceau empêchant ainsi la propagation du mode TEM caractéristique des
lignes de transmission. En effet, sur le premier faisceau, la référence de masse est
composée du plancher de la maquette et à l’endroit de l’ouverture par le sol de la
chambre anéchoïque.
De façon plus générale, à chaque extrémité et pour chaque illumination, l’accord
satisfaisant obtenu précédemment entre mesures et simulations sur ce second faisceau
est retrouvé. Cependant, quelques résonances exotiques, situées en dessous de la
fréquence de 1 GHz et dépassant parfois de 20 dB le niveau du courant mesuré, sont
observées en simulation.
Ces résultats permettent ainsi de souligner l’un des points forts de la méthode.
Celle-ci est en effet capable de prendre en compte des faisceaux éloignés de toute
référence de masse.
5.3.3.4 Réseau arborescent
Les figures 150 à 153 représentent l’évolution fréquentielle du courant de mode
commun mesuré et calculé aux extrémités du réseau arborescent situé sur le plancher
de l’habitacle dans le cas de l’illumination de la face avant de la maquette véhicule :
- 144 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
Figure 150 : Extrémité n°5 - Illumination n°1
Figure 151 : Extrémité n°6 - Illumination n°1
- 145 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
Figure 152 : Extrémité n°7 - Illumination n°1
Figure 153 : Extrémité n°8 - Illumination n°1
Sur ces quatre figures et principalement pour les extrémités 5 et 6, il est possible
d’observer des écarts de niveaux importants entre la mesure et la simulation pouvant
atteindre 30 dB en dessous de la fréquence de 800 MHz. Le niveau de la mesure étant
plus élevé sur ces bandes de fréquence, nous pensons que ces écarts s’expliquent par
un problème de mesure.
L’hypothèse que nous effectuons est que la perturbation émise par l’antenne
d’émission se couple sur le blindage du câble de mesure reliant la sonde de courant à
l’analyseur de spectres lors de son parcours extérieur à la maquette. Ainsi, le signal
parasite créé sur le blindage pourrait être guidé jusqu’à l’intérieur de la maquette. Il
viendrait alors se coupler au réseau arborescent et ainsi perturber la mesure. Cette
hypothèse expliquerait que ce phénomène se manifeste surtout dans la partie basse du
spectre lorsque les ouvertures de la maquette ont un pouvoir d’atténuation conséquent
sur la pénétration de l’onde directe émise par l’antenne d’émission. A plus hautes
fréquences, ce phénomène serait masqué par le couplage direct entre l’antenne
d’émission et le réseau arborescent.
- 146 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
Nous avons observé ce phénomène en phase de post-traitement des résultats
expérimentaux. Nous n’avons donc pas pu mettre en oeuvre une nouvelle série de
mesures. Pour éviter ce phénomène, l’utilisation d’une traversée coaxiale faisant contact
avec la masse métallique de la maquette aurait permis de supprimer cet effet.
Il faut préciser également que, pour les deux premiers faisceaux de câblages, nous
avons pu orienter le câble de mesure orthogonalement par rapport à la polarisation
principale du champ électrique rayonné par l’antenne afin de minimiser le couplage de
l’onde sur le câble de mesure.
Comme dans le cas des deux premiers faisceaux de câblages, des résonances
surévaluées entre 400 MHz et 1 GHz apparaissent à chaque extrémité du réseau
arborescent lors des simulations. Enfin, au-dessus de 1 GHz, le courant calculé
reproduit correctement l’allure du courant mesuré avec cependant un écart de niveau
pratiquement constant d’environ 15 dB dans le cas de l’extrémité n°6.
Les figures 154 à 157 présentent les mêmes résultats dans le cas de l’illumination
de la face latérale droite de la maquette véhicule :
Figure 154 : Extrémité n°5 - Illumination n°2
Figure 155 : Extrémité n°6 - Illumination n°2
- 147 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
Figure 156 : Extrémité n°7 - Illumination n°2
Figure 157 : Extrémité n°8 - Illumination n°2
Pour cette seconde illumination, les conclusions sont assez similaires à celles
effectuées dans le cas de la première illumination. Nous renvoyons donc le lecteur aux
commentaires effectués plus haut.
Cette campagne expérimentale a ainsi permis de mettre en évidence la simplicité
de mise en oeuvre de notre méthode afin de modéliser un réseau de câblages installé
au sein d’une structure complexe. Ainsi, hormis quelques phénomènes particuliers dont
nous avons tenté de donner une explication physique, la grande majorité des résultats
obtenus permet de reproduire de façon très encourageante la variation fréquentielle du
courant de mode commun mesuré aux extrémités du réseau de câblages jusqu’à la
fréquence de 2 GHz. En effet, il faut rappeler que l’objectif principal de la simulation
numérique consiste principalement à déterminer les ordres de grandeur des niveaux de
couplage induits aux extrémités des faisceaux de câbles.
En conclusion, la confrontation mesure théorie réalisée sur la maquette améliore le
champ d’investigation du domaine très peu couvert des prédictions de niveaux de
- 148 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
perturbations induites sur des structures surdimensionnées par rapport à la longueur
d’onde.
5.3.3.5 Bilan des ressources informatiques
Dans le cadre de cette étude, il paraît intéressant d’étudier les ressources
informatiques exigées par la modélisation de la maquette et du réseau réduit en MoM.
En effet, la mise en oeuvre industrielle des méthodes préconisées au cours de ce travail
sur un véhicule à échelle réelle est principalement conditionnée par le temps d’exécution
des calculs et par l’espace mémoire requis pour les exécuter. Ces critères deviennent
d’autant plus importants lorsque la simulation concerne des fréquences élevées
approchant les conditions de surdimensionnement du véhicule et du réseau de câblages
vis-à-vis de la longueur d’onde.
Le tableau 24 présente donc l’évolution du temps de calcul et de l’espace mémoire
requis pour la résolution du problème en fonction de la fréquence et du nombre
d’inconnues. De plus, afin de quantifier l’apport de la FMM (Fast Multipole Method), dont
les principes théoriques ont été expliqués au cours du premier chapitre, ces données
sont présentées avec et sans utilisation de la FMM.
Sans FMM
Avec FMM
fréquence
du calcul
(GHz)
Nombre
d’inconnues
Espace
mémoire
requis (Mo)
Temps de
calcul
Espace
mémoire
requis (Mo)
Temps de
calcul
0,1
671
7
13 s
6
20 s
0,5
4329
288
5 min 5 s
36
1 min 6 s
0,75
8834
1170
22 min17 s
79
2 min 24 s
1
15765
3700
4 h 4 min
141
4 min 13 s
1,5
34939
308
9 min 48 s
2
62384
563
18 min 39 s
Tableau 24 : Espace mémoire et temps de calculs nécessaires à la modélisation de la
structure en MoM avec ou sans utilisation de la FMM
Nous précisons tout d’abord que les résultats présentés à la fréquence de 1GHz
correspondent à l’illumination de la structure à l’aide de l’antenne log-périodique.
Ces résultats mettent en évidence l’apport considérable de la FMM sur la réduction
de l’espace mémoire et du temps de calcul nécessaires à la modélisation d’une structure
complexe. Par exemple, le temps de calcul à la fréquence de 2GHz (correspondant à un
système contenant 60 000 inconnues) avec utilisation de la FMM est légèrement
inférieur au temps de calcul sans utilisation de la FMM à la fréquence de 750 MHz,
l’espace mémoire requis étant, de plus divisé de moitié.
La FMM a donc permis de modéliser la maquette de véhicule jusqu’à la fréquence
de 2GHz avec un nombre de points de fréquence suffisant pour obtenir une description
fine de l’évolution du courant induit aux extrémités du réseau de câblages. Sans la
FMM, cette étude n’aurait pu être réalisée que jusqu’à la fréquence de 750 MHz environ.
Nous essayons d’effectuer un calcul simple permettant d’extrapoler ces résultats au
cas d’un véhicule réel. En effet, la maquette étant à l’échelle ½, il faut à chaque
fréquence environ huit fois plus d’inconnues pour décrire un véhicule réel par rapport à
la maquette. Etant donné que l’ordinateur utilisé était limité à des cas de 60 000
- 149 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
inconnues, nous estimons que la modélisation d’un véhicule réel ne pourrait être
possible que jusqu’à 750 MHz (où le nombre d’inconnues est d’environ 9000 sur la
maquette).
Cependant, ce calcul approché n’est valable que pour l’ordinateur utilisé. En
utilisant un ordinateur aux ressources plus performantes, cette fréquence maximale
pourrait être révisée à la hausse. De plus, compte tenu des progrès rapides des
capacités des ordinateurs ces dernières années, la bande de fréquence envisageable
devrait encore être étendue dans les années à venir. On rappelle qu’aujourd’hui,
Renault réalise des modélisations de tests d’immunité rayonnée sur les nouveaux
modèles de véhicules sur la bande de fréquence 20-300MHz.
5.3.4 Analyses complémentaires sur le couplage Onde /
Véhicule
Après les validations entreprises dans les paragraphes précédents sur la maquette
de véhicule, il nous a semblé intéressant d’analyser numériquement l’impact de la
diffraction électromagnétique engendrée par la carrosserie de la maquette véhicule sur
le courant induit sur le câblage et le champ électromagnétique présent dans
l’environnement des câbles.
5.3.4.1 Description des configurations étudiées
Nous désignons par l’appellation « structure n°1 » la maquette originale simulée
précédemment et présentée figure 158.
La configuration appelée « structure n°2 », présentée figure 159, reproduit la
géométrie de la maquette initiale avec cependant une obturation de toutes les
ouvertures excepté le pare-brise avant.
Dans la « structure n°3 », présentée figure 160, seul subsiste le plancher métallique
muni de l’ouverture disposée sous l’emplacement qu’occuperait le compartiment moteur.
Figure 158 : Structure n°1
Figure 159 : Structure n°2
Figure 160 : Structure n°3
Nous avons fait figurer sur ces trois figures les dimensions des ouvrants principaux
de chaque structure.
Pour comparer les données extraites des simulations avec une objectivité
satisfaisante, les simulations ont été réalisées sous deux illuminations de manière à
prendre en compte les phénomènes de diffraction introduits par les structures décrites
plus haut. La première reproduit l’irradiation d’une antenne large bande face à la partie
avant de la maquette véhicule et sous la condition de test pratiquée en chambre
anéchoïque décrite plus haut dans le chapitre. La seconde utilise une onde plane
d’amplitude 3V/m, d’incidence et de polarisation quelconques présentée sur la figure
161. Cette disposition, certes éloignée des conditions procurées par la première
- 150 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
illumination, procure l’avantage de permettre une expression plus exhaustive des
phénomènes de réflexion de l’onde incidente sur les parois de chaque structure :
Figure 161 : Orientation de l’onde plane dans le cas de
l’illumination de la structure n°1
5.3.4.2 Effet de la structure diffractante sur le courant induit
aux extrémités du réseau de câblages
Les figures 162 et 163 comparent le courant de mode commun recueilli sur la
première extrémité du premier faisceau contenu dans le compartiment moteur pour les
deux premières structures et pour chacune des deux illuminations :
Figure 162 : Antenne log-périodique –
Comparaison entre les structures 1 et 2
Figure 163 : Onde plane – Comparaison entre
les structures 1 et 2
Le courant induit sur le faisceau de câblages dans le cas de la structure n°2
présente une atténuation importante qu’on chiffre à plus de 40 dB sur la résonance
située à 200 MHz. Nous attribuons cette atténuation à l’obturation des ouvertures de la
structure n°2. En revanche, dès que la fréquence dépasse 500 MHz, soit une longueur
d’onde de 60 cm, les courbes convergent vers des niveaux similaires.
On attire l’attention du lecteur sur le confinement du faisceau dans le cas de la
structure n°2. En effet, l’onde perturbatrice illuminant le faisceau ne peut pénétrer dans
le compartiment moteur qu’au moyen des deux ouvertures de dimensions 20 cm * 10 cm
présentées sur la figure 164 :
- 151 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
Figure 164 : Vue du compartiment moteur de la
structure n°2 illuminée par une onde plane
Suite à ces résultats, nous formulons l’hypothèse qu’une structure diffractante a un
comportement d’écran électromagnétique lorsque la dimension de ses ouvrants est
faible devant la longueur d’onde de la perturbation électromagnétique extérieure. En
revanche, lorsque la dimension des ouvrants devient du même ordre de grandeur que la
longueur d’onde, les ouvrants deviennent transparents à la pénétration de l’onde
perturbatrice à l’intérieur de la structure diffractante.
Nous tentons de valider cette hypothèse à l’aide des figures 165 et 166 pour
lesquelles l’illumination a été entreprise sur les structures n°1 et n°3 :
Figure 165 : Antenne log-périodique –
Comparaison entre les structures 1 et 3
Figure 166 : Onde plane – Comparaison entre
les structures 1 et 3
Les hypothèses précédentes sont tout à fait confirmées par les courbes portées sur
ces deux figures. En effet, les deux ouvertures du compartiment moteur (de dimensions
respectives 60*10cm pour celle de la face avant et 40cm*28cm pour celle située sur le
plancher) suffisent à assurer une excellente pénétration de la perturbation extérieure
dans la partie compartiment moteur dès les basses fréquences. Ainsi, l’atténuation
observée sur la structure n°2 est bien provoquée par l’oblitération des deux ouvertures
du compartiment moteur.
Ces deux figures permettent également d’attribuer la résonance observée à la
fréquence de 200 MHz aux caractéristiques propres du faisceau de câblages plutôt qu’à
une résonance propre de la cavité. Ces différentes expériences numériques montrent
ainsi que les phénomènes d’ondes stationnaires établis à l’intérieur de la structure
- 152 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
diffractante n’accentuent pas le niveau moyen des perturbations induites en extrémités
des câbles. En effet, il suffit d’observer la valeur du courant induit sur le faisceau de
câbles dans le cas de la structure n°2, ne comprenant qu’une seule ouverture, pour se
rendre compte que les résonances propres de la caisse sont pratiquement
indiscernables. Les ouvrants, en facilitant les échanges d’énergie avec l’extérieur de
l’habitacle, contribuent à réduire ainsi le coefficient de qualité de chaque structure et le
stockage de l’énergie apportée par la perturbation.
5.3.4.3 Effet de la structure diffractante sur le champ électrique
présent dans la maquette
Pour conclure ces investigations numériques complémentaires, le champ électrique
est calculé à l’intérieur des trois structures définies précédemment vidées de leurs
câblages. La position du point de relevé de champ est précisée sur la figure 167 par
rapport au plancher de chacune des trois structures :
50cm
130cm
Compartiment
moteur
Habitacle
30cm
Point de
relevé de
champ
40cm
Vue de dessus
80cm
Ouverture
plancher
Figure 167 : Position des points de relevés de champs au sein de la maquette
Ce point localisé dans le compartiment moteur est distant de 7cm de l’ouverture
située sur le plancher métallique. Les figures 168 et 169 présentent les comparaisons du
module du champ électrique calculé en ce point pour chacune des trois structures.
L’illumination des trois structures est, dans ce cas, effectuée à l’aide de l’onde plane
dont l’orientation est définie sur la figure 161 et dont l’amplitude est égale à 3V/m :
Figure 168 : Comparaison structures 1 et 2
Figure 169 : Comparaison structures 1 et 3
Les résultats confirment les phénomènes observés sur l’induction des courants de
mode commun. La figure 168 montre clairement que l’obturation des ouvrants dans le
- 153 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
cas de la structure n°2 atténue le champ électrique présent dans le compartiment
moteur dans un rapport proche de 40 dB à la fréquence de 200 MHz. Pour cette
structure, on observe également des fluctuations d’amplitude faibles qu’on peut relier
aux résonances propres de la caisse.
La figure 169 montre que le niveau du champ calculé au-dessus du plancher
dépourvu de la caisse est proche de celui trouvé sur la maquette initiale confirmant
encore les hypothèses précédentes.
5.3.5 Validation en CRBM
Dans ce paragraphe, nous essayons de comparer des mesures réalisées en CRBM
à des simulations effectuées à l’aide de la méthode du faisceau équivalent sur la
maquette de véhicule. Le principe des mesures et des simulations réalisées a été
largement décrit au cours du chapitre précédent (cf paragraphe 4.4).
Les figures 170 et 171 présentent donc les comparaisons des courants de mode
commun obtenus en mesure et en simulation aux extrémités du second faisceau de
câblages (extrémités 3 et 4) sur la bande de fréquence 100 MHz- 2 GHz :
Figure 170 : Extrémité n°3
Figure 171 : Extrémité n°4
Rappelons tout d’abord que ce faisceau de câblages, composé de cinq conducteurs
de longueurs 48cm, est situé dans la partie habitacle de la maquette en face du parebrise. Le faisceau réduit correspondant ne contient qu’un seul conducteur équivalent
connecté à ses extrémités par deux impédances terminales de faibles valeurs égales à
6Ω (cf annexe D).
Les simulations effectuées à l’aide du logiciel RandomOP permettent de restituer
correctement la résonance fondamentale du faisceau à une fréquence proche de
200 MHz, les résonances observées en mesures en dessous de cette fréquence
correspondant à des erreurs de mesures dues à la limite de fonctionnement basse
fréquence de la CRBM.
La densité de puissance illuminant le faisceau sous test étant considérée comme
constante et égale à 1W/m2, la décroissance du courant de mode commun moyen
mesuré à chaque extrémité est correctement retranscrite par les simulations jusqu’à 2
GHz. Celles-ci font apparaître l’importance de la résonance fondamentale du faisceau
dont l’amplitude est supérieure de 15 dB aux amplitudes des résonances suivantes.
Ces résultats permettent de mettre en évidence les perspectives intéressantes
procurées par cette approche pour la modélisation de l’induction sur des faisceaux de
- 154 -
Chapitre 5 – Extension de la méthode du faisceau équivalent au cas de réseaux
arborescents
câblages placés à l’intérieur d’une structure complexe. En effet, la CRBM étant un
moyen d’essai totalement adapté au domaine des hautes fréquences, il nous apparaît
important de réaliser des simulations numériques permettant de comparer les résultats
obtenus avec ce moyen de mesures.
5.4 Conclusion du chapitre 5
Ce cinquième et dernier chapitre a porté sur l’extension de la méthode du faisceau
équivalent aux réseaux arborescents afin de répondre aux besoins de l’industrie
automobile. Ainsi, sur le même principe que dans le cas d’une liaison de câbles, un
« réseau réduit » est défini afin que son comportement soit théoriquement identique au
réseau initial vis-à-vis d’une agression extérieure. Dans ce cas, seuls les conducteurs
effectuant un parcours identique au sein du réseau peuvent être regroupés ensemble
suivant leurs configurations de charges terminales.
La validation numérique effectuée dans la partie basse du spectre sur un réseau
arborescent disposé sur un plan de masse infini a permis de mettre en évidence les
performances de la méthode en terme de précision des résultats et de réduction des
temps de calculs. Ainsi, cette méthode étendue s’annonce prometteuse sur une large
bande de fréquence allant de quelques MHz à plusieurs GHz.
Une campagne expérimentale a permis de tester la puissance de la méthode sur
une structure réaliste constituée d’une maquette de véhicule à échelle réduite. Les
comparaisons entre la mesure et la simulation ont été effectuées dans une large bande
de fréquence grâce à l’utilisation de méthodes numériques simplificatrices de type FMM.
Les résultats prometteurs obtenus ont néanmoins mis en évidence la difficulté de ce
genre de comparaisons sur des structures surdimensionnées par rapport à la longueur
d’onde. Des simulations numériques supplémentaires ont également mis en évidence le
rôle majeur joué par le câblage sur la détermination des niveaux de courants induits sur
le câblage par rapport à d’autres facteurs tels que la source ou la géométrie de la
structure diffractante.
- 155 -
- 156 -
Conclusion générale
Conclusion générale
Ce travail de recherche, réalisé dans le domaine de la Compatibilité
Electromagnétique (CEM), consistait à élaborer des méthodes numériques permettant
de modéliser l’induction d’une perturbation électromagnétique sur un réseau de
câblages de type industriel en « hautes fréquences » (HF). L’utilisation de la
modélisation numérique s’inscrit dans un cadre de diminution des coûts et des délais de
développement qui se traduit, au niveau CEM, par l’optimisation et la diminution du
nombre d’essais nécessaires à l’homologation d’un nouveau modèle de véhicule ainsi
que d’une suppression progressive des phases utilisant des véhicules prototypes. Nous
résumons ci-dessous les principaux apports scientifiques de cette thèse ainsi que les
perspectives soulevées dans le domaine de la modélisation numérique de réseaux de
câblages multiconducteur.
La modélisation de faisceaux de câblages multiconducteur en HF est une voie
assez peu explorée jusqu’à présent. En effet, l’utilisation d’une approche couplée
utilisant un code 3D et un modèle de lignes de transmission, généralement utilisée en
basses fréquences, est limitée aux fréquences supérieures par l‘utilisation du modèle de
lignes. La modélisation complète du faisceau par un code 3D se révèle également
impossible lorsque le nombre de conducteurs du faisceau augmente et que le temps de
calcul requis devient prohibitif (cf chapitre 2). Pour pallier ces problèmes et accéder aux
fréquences supérieures, la « méthode du faisceau équivalent » (cf chapitre 3) s’avère
une solution efficace et prometteuse. La diminution des temps de calculs due à la
réduction de la complexité des faisceaux rend envisageable la réalisation de calcul 3D à
des fréquences jusqu’alors inexplorées. La robustesse et la précision de cette méthode
approchée ont pu être validées au cours de validations numériques et expérimentales
effectuées sur quelques exemples canoniques (cf chapitre 4).
Les perspectives futures de la méthode concernent principalement sa validation sur
des faisceaux de type industriels. Par exemple, les faisceaux testés pourraient contenir
plusieurs centaines de conducteurs ou être connectés à des réseaux d’impédances
terminales composés d’éléments dépendants de la fréquence. Dans ce cas, la présence
d’éléments inductifs et capacitifs permettrait d’imaginer une composition des groupes de
conducteurs dépendante de la fréquence.
La suite de ce travail de recherche a consisté à démontrer la possibilité d’étendre la
méthode au cas de réseaux arborescents afin de répondre à la problématique
automobile. La procédure mise au point, validée numériquement sur un réseau
arborescent complexe (cf chapitre 5), permet ainsi d’envisager la modélisation d’un
réseau de câblages complexe en « hautes fréquences » à l’aide d’un code 3D.
Néanmoins, la mise en œuvre de cette méthode sur un réseau de câblages de type
industriel nécessite l’amélioration du processus de création du réseau réduit afin de
respecter au mieux la complexité du réseau au niveau des bifurcations notamment. Il
paraît également indispensable de mettre au point un algorithme permettant
d’automatiser la procédure de construction de la géométrie de section droite de chaque
branche du réseau réduit à partir de la connaissance de ses matrices de paramètres
linéiques.
Développée initialement pour des applications HF, la méthode semble également
prometteuse sur les bandes de fréquences inférieures. En effet, la réduction de la
- 157 -
Conclusion générale
complexité du réseau de câblages permet logiquement d’alléger les temps de calculs
indépendamment du traitement numérique utilisé. Ainsi, le réseau réduit défini par la
méthode pourrait être modélisé à la place du réseau initial lors des calculs d’immunité
effectués par Renault en BF et ainsi réduire les temps de calculs nécessaires à
l’application du modèle de lignes de façon considérable. Précisons qu’à l’heure actuelle,
la modélisation du réseau de câblages complet d’un véhicule dure près de 48h sur un
ordinateur pourtant performant.
A notre connaissance, la modélisation d’un réseau de câblages complexe placé au
sein d’une structure métallique de dimensions conséquentes n’avait pratiquement pas
été réalisée à des fréquences dépassant quelques centaines de MHz. Les données
recueillies lors de la campagne expérimentale menée sur une maquette de véhicule
jusqu’à la fréquence de 2 GHz (cf chapitre 5) ont révélé les comportements inhérents
aux structures surdimensionnées par rapport à la longueur d’onde. Par exemple, des
phénomènes d’interférences constructives sur la structure diffractante, prévus par la
théorie, auraient tendance à être lissés lors des mesures à cause des inévitables
défauts présentés par la structure réelle.
Sur ce type de structures, un simple examen visuel des résultats semble insuffisant
pour analyser la précision et la qualité des résultats numériques obtenus. Pour affiner ce
jugement, le développement ou l’utilisation d’outils statistiques permettrait certainement
de faciliter et de rationaliser l’analyse, voire le cas échéant le recours à des techniques
de traitement du signal.
A la suite de ce travail, la modélisation d’un véhicule réel entièrement câblé
apparaît désormais possible aux fréquences élevées. Néanmoins, la fréquence
maximale de la simulation reste toujours prioritairement dépendante de la puissance de
calcul de l’ordinateur utilisé à cause du critère de maillage en λ/10 de la structure.
Cependant, les progrès rapides effectués par les méthodes numériques existantes et les
performances des moyens de calcul permettent d’envisager de traiter ce type de
problèmes sur des bandes de fréquences inexplorées il y a encore quelques années.
Lors de ce travail, un calcul à une seule fréquence sur une structure comprenant 60 000
inconnues a pu être réalisé sur un ordinateur performant en moins de vingt minutes.
La méthode développée durant ce travail permet de consolider cet optimisme. En
effet, et contrairement aux basses fréquences, la réalisation d’un test d’immunité sur le
réseau de câblages d’un véhicule complet ne nécessite qu’un seul calcul 3D. Cette
unique étape de calcul permet de compenser en partie les temps de calculs supérieurs
engendrés par l’utilisation du code 3D pour la modélisation du réseau.
La décroissance fréquentielle de l’effet de la structure diffractante sur les couplages
électromagnétiques exercés sur le câblage ouvre des perspectives intéressantes dans
le domaine des « hautes fréquences ». Ainsi, la nécessité de modéliser l’intégralité d’un
véhicule réel pour connaître le niveau de perturbation induit à l’entrée d’un équipement
situé dans une zone particulière (habitacle, compartiment moteur, coffre,…) peut être
remise en question. Un découpage de la structure complexe en zones topologiques
modélisées séparément semble, à nos yeux, constituer une alternative sérieuse. Cette
approche simplifiée nous apparaît parfaitement adaptée aux objectifs et aux contraintes
de la simulation numérique pratiquée dans un cadre industriel dont l’objectif consiste
bien souvent à déterminer les ordres de grandeur des niveaux de couplage et leurs
évolutions en fonction de la fréquence.
La réalisation de calculs d’immunité sur véhicule en HF au niveau industriel
nécessite tout de même quelques étapes supplémentaires. Ainsi, une campagne
- 158 -
Conclusion générale
expérimentale réalisée sur une carcasse métallique de véhicule réel (caisse en blanc)
permettrait de se rapprocher progressivement d’un cas industriel réaliste. Cette
campagne faciliterait de plus l’étude de divers paramètres aux effets mal connus dans le
domaine des fréquences élevées. Citons par exemple les phénomènes de diffraction
électromagnétique engendrés par la présence de fentes entre la carrosserie et les
ouvrants de la caisse ou la complexification de la géométrie de la structure provenant du
design esthétique du véhicule. Sa taille supérieure devrait également apporter des
éclaircissements sur les phénomènes que nous pensons corrélés au
surdimensionnement par rapport à la longueur d’onde.
Une attention toute particulière doit également être apportée à la modélisation des
équipements électroniques placés aux extrémités des réseaux de câblages. A moyen
terme, les objectifs principaux devraient par exemple se concentrer sur la modélisation
des réseaux d’impédances (charges inductives, capacitives, non-linéaires,…) présentés
par les calculateurs de bord ou à l’étude attentive des mécanismes de conversion
modale du mode commun vers le mode différentiel provoqués par la dissymétrie de
leurs impédances d’entrée. Ces extensions devraient singulièrement améliorer la portée
des simulations théoriques afin de les transformer en outils d’observations des seuils de
dysfonctionnements d’équipements.
- 159 -
- 160 -
Annexe A – Détermination des formules intégrales de rayonnement
Annexe A
Démonstration des formules
intégrales de rayonnement
La troisième équation de Maxwell impose une divergence nulle du champ
B . Le champ magnétique correspond donc à un champ de rotationnels. Il
possible de définir la grandeur A , appelée potentiel vecteur, vérifiant la
magnétique
est donc
relation suivante :
B=∇∧ A
(Eq. 223)
En injectant cette relation dans l’équation de Maxwell-Faraday en régime
harmonique, le potentiel vecteur peut être relié au champ électrique
(
)
E
∇ ∧ E + jω A) = 0
:
(Eq. 224)
Un vecteur dont le rotationnel est nul signifie qu’il appartient à un champ de
gradient. Il existe donc une grandeur scalaire ϕ, appelée potentiel scalaire, permettant
d’écrire :
E + jω A = ∇.ϕ
(Eq. 225)
La jauge de Lorentz permet alors de relier les fonctions potentiel vecteur
potentiel scalaire ϕ :
ϕ=
j
ωµε
(∇.A)
A
et
(Eq. 226)
En injectant l’équation 226 dans 224, on obtient :
E = − jω A −
j
ωµε
( )
∇ ∇. A
Le potentiel vecteur A dû à une densité de courant surfacique
surface S s’écrit de façon générale :
µ
A=
4π
− jk r − r '

 e
∫∫S  J .
r − r'



.ds

où l’on peut introduire la fonction de Green en espace libre :
- 161 -
(Eq. 227)
J
circulant sur une
(Eq. 228)
Annexe A – Détermination des formules intégrales de rayonnement
(− jk
r r
r −r ′
e
r r
G (r , r ′) = r r
r − r′
)
(Eq. 229)
Le point r correspond au point d’observation et le point r’ appartient à la surface S.
Le champ électrique rayonné
Eray (r ) = −
Eray
par cette densité de courant
(
)
J
est donc égal à :
(
)
r r
r r
 2


 k ∫∫ J (r ').G (r , r ′) ds + ∇ ∇.∫∫ J (r ').G (r , r ′) ds  
4πωε  S
 S

j
(Eq. 230)
en posant :
k 2 = µεω 2
(Eq. 231)
L’expression générale du champ magnétique rayonné par une densité de courant
surfacique J se déduit, quant à elle, directement de la relation
l’équation 223 :
H ray (r ) =
1
µ
rot A =
1
4π
∫∫ (J (r ').G (r , r ') ).ds
S
- 162 -
B = µH
et de
(Eq. 232)
Annexe B – Tangente de pertes d’un milieu diélectrique homogène
Annexe B
Tangente de pertes d’un
diélectrique homogène
milieu
Dans cette annexe, on cherche à exprimer la tangente de pertes d’un milieu
diélectrique homogène entourant une ligne monofilaire en fonction de sa capacité
linéique C et de sa conductance linéique G.
La capacité linéique C d’une ligne monofilaire plongée dans un milieu diélectrique
homogène de permittivité relative εr peut être exprimée à l’aide de la formule analytique
présentée sur l’équation 233 :
C=
2π ε 0ε r
 2h 
ln 
 r 
(Eq. 233)
Dans le cas d’une excitation sinusoïdale, la permittivité relative εr d’un milieu
diélectrique peut être exprimée à l’aide de la notation complexe présentée sur
l’équation 234 :
ε r = ε '− jε "
(Eq. 234)
La tangente de pertes tanδ du milieu diélectrique peut alors être définie comme le
rapport des parties imaginaire et réelle de sa permittivité relative complexe :
tan δ =
ε"
ε'
(Eq. 235)
Le calcul de la conductance de la ligne de transmission peut être effectué, par
analogie, à partir de l’équation 233 en remplaçant la permittivité diélectrique relative εr
du milieu par son expression complexe défini dans l’équation 234. La formule de
capacité de la ligne monofilaire devient :
Ceq =
2π ε 0ε '
2π ε 0ε ' '
− j
 2h 
 2h 
ln 
ln 
 r 
 r 
(Eq. 236)
En identifiant l'admittance équivalente jωCeq à une partie de conductance G et une
partie capacitive jωC, on trouve :
jωCeq = jωC + G = jω
2π ε 0ε '
2π ε 0ε "
+ω
=Y
 2h 
 2h 
ln 
ln 
 r 
 r 
- 163 -
(Eq. 237)
Annexe B – Tangente de pertes d’un milieu diélectrique homogène
Le rapport des parties réelle et imaginaire de l’admittance équivalente Y de la ligne
est alors égal à la tangente de pertes du milieu diélectrique :
2πε 0 ε "
 2h 
ln 
G
 r  = tan δ
=
2πε 0 ε '
Cω
ω
 2h 
ln 
 r 
ω
- 164 -
(Eq. 238)
Annexe C – Configuration des charges terminales lors de la validation numérique
sur réseau arborescent
Annexe C
Configuration des charges terminales
lors de la validation numérique sur
réseau arborescent
Dans cette annexe, nous présentons, de façon exhaustive, les valeurs des charges
terminales placées en extrémité de chaque conducteur constituant le réseau
arborescent utilisé lors de la validation numérique de la méthode (cf paragraphe 5.2.1).
Les charges sont classées en fonction des conducteurs effectuant le même parcours.
Pour chaque parcours de conducteurs, nous présentons également les charges
terminales placées aux extrémités des conducteurs équivalents correspondants.
¾ Parcours n°1 (extrémité 1 – extrémité 2) :
N° du conducteur
Extrémité 1
Extrémité 2
1
50 Ω
26 Ω
2
26 Ω
33 Ω
3
38 Ω
42 Ω
4
92 Ω
40 Ω
5
54 Ω
50 kΩ
6
70 Ω
100 kΩ
7
20 Ω
75 kΩ
8
38 Ω
100 kΩ
N° du conducteur équivalent
Extrémité 1
Extrémité 2
1
10 Ω
8Ω
2
9Ω
19 kΩ
Tableau 25 : Charges placées aux extrémités des conducteurs reliant les extrémités 1
et 2 des réseaux initial et réduit
- 165 -
Annexe C – Configuration des charges terminales lors de la validation numérique
sur réseau arborescent
¾ Parcours n°2 (extrémité 1 – extrémité 3) :
N° du conducteur
Extrémité 1
Extrémité 3
1
12 Ω
28 Ω
2
9Ω
56 Ω
3
38 Ω
35 Ω
4
57 Ω
46 Ω
N° du conducteur équivalent
Extrémité 1
Extrémité 3
1
4Ω
10 Ω
Tableau 26 : Charges placées aux extrémités des conducteurs reliant les extrémités 1
et 3 des réseaux initial et réduit
¾ Parcours n°3 (extrémité 1 – extrémité 4) :
N° du conducteur
Extrémité 1
Extrémité 4
1
80 Ω
46 Ω
2
90 Ω
28 Ω
3
15 Ω
32 Ω
4
75 Ω
60 Ω
N° du conducteur équivalent
Extrémité 1
Extrémité 4
1
10 Ω
10 Ω
Tableau 27 : Charges placées aux extrémités des conducteurs reliant les extrémités 1
et 4 des réseaux initial et réduit
¾ Parcours n°4 (extrémité 2 – extrémité 3) :
N° du conducteur
Extrémité 2
Extrémité 3
1
95 Ω
100 kΩ
2
7Ω
80 kΩ
3
28 Ω
75 kΩ
N° du conducteur équivalent
Extrémité 2
Extrémité 3
1
5Ω
28 kΩ
Tableau 28 : Charges placées aux extrémités des conducteurs reliant les extrémités 2
et 3 des réseaux initial et réduit
- 166 -
Annexe C – Configuration des charges terminales lors de la validation numérique
sur réseau arborescent
¾ Parcours n°5 (extrémité 2 – extrémité 4) :
N° du conducteur
Extrémité 2
Extrémité 4
1
15 Ω
65 Ω
2
58 Ω
86 Ω
3
70 Ω
25 Ω
N° du conducteur équivalent
Extrémité 2
Extrémité 4
1
10 Ω
15 Ω
Tableau 29 : Charges placées aux extrémités des conducteurs reliant les extrémités 2
et 4 des réseaux initial et réduit
¾ Parcours n°6 (extrémité 3 – extrémité 4) :
N° du conducteur
Extrémité 3
Extrémité 4
1
28 Ω
23 Ω
2
70 Ω
72 Ω
3
45 Ω
70 Ω
4
90 Ω
150 kΩ
5
24 Ω
50 kΩ
6
39 Ω
30 kΩ
N° du conducteur équivalent
Extrémité 3
Extrémité 4
1
14 Ω
14 Ω
2
13 Ω
17 kΩ
Tableau 30 : Charges placées aux extrémités des conducteurs reliant les extrémités 3
et 4 des réseaux initial et réduit
- 167 -
- 168 -
Annexe D – Configuration des charges terminales lors de la campagne
expérimentale sur maquette de véhicule
Annexe D
Configuration des charges terminales
lors de la campagne expérimentale
sur maquette de véhicule
Dans cette annexe, nous présentons, de façon exhaustive, les valeurs des charges
terminales de type CMS placées en extrémité de chaque conducteur du réseau de
câblages de la maquette de véhicule. Ces charges sont classées en fonction des
conducteurs effectuant le même parcours. Pour chaque parcours de conducteurs, nous
présentons également les charges terminales placées aux extrémités des conducteurs
équivalents correspondants.
¾ Premier faisceau de câbles (extrémité 1 – extrémité 2) :
N° du conducteur
Extrémité 1
Extrémité 2
1
47 Ω
75 Ω
2
51 Ω
51 Ω
3
27 Ω
6,8 kΩ
4
22 Ω
7,5 kΩ
5
1,2 kΩ
39 Ω
6
820 Ω
56 Ω
7
15 kΩ
27 kΩ
8
16 kΩ
30 kΩ
N° du conducteur équivalent
Extrémité 1
Extrémité 2
1
24 Ω
30 Ω
2
12 Ω
3,6 kΩ
3
490 Ω
23 Ω
4
7,7 kΩ
14,2 kΩ
Tableau 31 : Charges placées aux extrémités des conducteurs reliant les extrémités 1
et 2 des réseaux initial et réduit
- 169 -
Annexe D – Configuration des charges terminales lors de la campagne
expérimentale sur maquette de véhicule
¾ Second faisceau de câbles (extrémité 3 – extrémité 4) :
N° du conducteur
Extrémité 3
Extrémité 4
1
22 Ω
82 Ω
2
33 Ω
91 Ω
3
62 Ω
43 Ω
4
68 Ω
16 Ω
5
47 Ω
18 Ω
N° du conducteur équivalent
Extrémité 3
Extrémité 4
1
6Ω
6Ω
Tableau 32 : Charges placées aux extrémités des conducteurs reliant les extrémités 3
et 4 des réseaux initial et réduit
¾ Réseau arborescent :
•
Parcours n°1 : extrémité 5 – extrémité 6
N° du conducteur
Extrémité 5
Extrémité 6
1
91 Ω
56 Ω
2
47 Ω
62 Ω
3
36 Ω
15 Ω
4
12 Ω
10 kΩ
5
22 Ω
1,8 kΩ
N° du conducteur équivalent
Extrémité 5
Extrémité 6
1
17 Ω
10 Ω
2
8Ω
1,5 kΩ
Tableau 33 : Charges placées aux extrémités des conducteurs reliant les extrémités 5
et 6 des réseaux initial et réduit
- 170 -
Annexe D – Configuration des charges terminales lors de la campagne
expérimentale sur maquette de véhicule
•
Parcours n°2 : extrémité 5 – extrémité 8
N° du conducteur
Extrémité 5
Extrémité 8
1
33 Ω
36 Ω
2
510 Ω
24 Ω
3
82 Ω
16 Ω
N° du conducteur équivalent
Extrémité 5
Extrémité 8
1
23 Ω
14 Ω
2
510 Ω
16 Ω
Tableau 34 : Charges placées aux extrémités des conducteurs reliant les extrémités 5
et 8 des réseaux initial et réduit
•
Parcours n°3 : extrémité 6 – extrémité 7
N° du conducteur
Extrémité 6
Extrémité 7
1
100 Ω
1,1 kΩ
2
56 Ω
910 Ω
N° du conducteur équivalent
Extrémité 6
Extrémité 7
1
36 Ω
500 Ω
Tableau 35 : Charges placées aux extrémités des conducteurs reliant les extrémités 6
et 7 des réseaux initial et réduit
•
Parcours n°4 : extrémité 6 – extrémité 8
N° du conducteur
Extrémité 6
Extrémité 8
1
5,1 kΩ
390 Ω
2
12 kΩ
3,9 kΩ
N° du conducteur équivalent
Extrémité 6
Extrémité 8
1
3,6 kΩ
350 Ω
Tableau 36 : Charges placées aux extrémités des conducteurs reliant les extrémités 6
et 8 des réseaux initial et réduit
- 171 -
Annexe D – Configuration des charges terminales lors de la campagne
expérimentale sur maquette de véhicule
•
Parcours n°5 : extrémité 7 – extrémité 8
N° du conducteur
Extrémité 7
Extrémité 8
1
43 Ω
180 kΩ
2
24 Ω
150 kΩ
3
20 Ω
82 Ω
4
33 Ω
75 Ω
N° du conducteur équivalent
Extrémité 7
Extrémité 8
1
15 Ω
82 kΩ
2
13 Ω
39 Ω
Tableau 37 : Charges placées aux extrémités des conducteurs reliant les extrémités 7
et 8 des réseaux initial et réduit
- 172 -
Bibliographie
Bibliographie
[1]
J.P. Parmantier, V. Gobin, F. Issac, I. Junqua, Y. Daudy, J.M. Lagarde
An Application of the Electromagnetic Topology Theory on the Test-Bed Aircraft, EMPTAC
Interaction Notes, Note 506, Novembre 1993
[2]
J.P. Parmantier, P. Degauque
Topology Based Modeling of Very Large Systems
Modern Radio Science 1996, Ed. J. Hamelin, Oxford University Press, pp 151-177
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Thèse de doctorat, Université des Sciences et Technologies de Lille, 21 février 2003
- 177 -
- 178 -
Publications de l’auteur
Publications de l’auteur
[1]
G. Andrieu, L. Koné, F. Bocquet, B. Démoulin, JP Parmantier
Intégration des réseaux de câbles dans la simulation CEM automobile
d’immunité en hautes fréquences
Actes du colloque CEM06, St-Malo, Avril 2006, pp 278-280
[2]
G. Andrieu, L. Koné, F. Bocquet, B. Démoulin, JP Parmantier
Method for the evaluation of high frequency coupling on cable harnesses
Proceedings EMC Europe 2006, Barcelona, September 2006, pp 1052-1057
[3]
G. Andrieu, L. Koné, F. Bocquet, B. Démoulin, JP Parmantier
Méthode d’évaluation des perturbations induites sur un faisceau de câbles
automobile en hautes fréquences
Actes du colloque Numélec 2006, Lille, Novembre 2006, pp 143-144
- 179 -
Elaboration et Application d’une Méthode de Faisceau Equivalent pour l’Etude des
Couplages Electromagnétiques sur Réseaux de Câblages Automobiles
Résumé :
Dans le domaine de la compatibilité électromagnétique (CEM) automobile, des outils numériques autorisent
actuellement la simulation de tests d’immunité sur le réseau de câblages d’un véhicule complet. Ainsi, les
niveaux de perturbation induits sur le réseau par une onde électromagnétique perturbatrice peuvent être
calculés numériquement à l’aide d’une approche couplée utilisant un code 3D et un modèle de ligne de
transmission. L’utilisation du modèle de ligne limite toutefois le champ d’application de cette approche aux
“basses fréquences“ (BF).
Pour accéder aux fréquences supérieures, nous avons développé une méthode dite du “faisceau
équivalent“. Celle-ci consiste à réduire un faisceau de câblages multiconducteur, défini comme une liaison
de câbles point à point, en un faisceau composé d’un nombre limité de “conducteurs équivalents“
représentant chacun le comportement d’un groupe de conducteurs du faisceau initial. La méthode a ensuite
été étendue au cas de réseaux arborescents afin de répondre à la problématique automobile.
Les validations numériques et expérimentales effectuées sur des faisceaux de câblages ont tout d’abord
permis d’illustrer la robustesse et la précision de la méthode. Ensuite, les résultats obtenus lors d’une
campagne expérimentale réalisée sur une maquette de véhicule à l’échelle ½ valide la pertinence de la
méthode proposée en vue d’une application industrielle sur véhicules réels. De plus, un seul calcul 3D est
nécessaire pour prendre en compte le réseau de câblages simplifié et la structure diffractante du véhicule
(carrosserie métallique) en “hautes fréquences“ (HF). Développée initialement pour des applications HF, la
méthode du faisceau équivalent paraît également prometteuse en BF afin de réduire la complexité de
réseaux de câblages installés sur des systèmes de grande dimension.
Mots-clés : Compatibilité Electromagnétique, Faisceau de Câblages Multiconducteur, Méthode des
Moments, Réseaux de Lignes de Transmission Multiconducteur, Topologie Electromagnétique
Development and Implementation of Equivalent Cable Harness Method for the Study of
Electromagnetic Coupling on Automotive Cable Networks
Abstract :
In nowadays automotive Electromagnetic Compatibility (EMC), some available numerical tools offer the
possibility to perform the simulation of immunity tests on the cable network of an entire car. Indeed, EM
induced perturbation levels on the network can be computed with a coupled approach between a 3D code
and a multiconductor transmission line network (MTLN) code. However, the MTLN use limits this approach
at “low frequencies” (LF).
In order to perform numerical computations on cable harnesses at “high frequencies” (HF), we developed a
method called “Equivalent Cable Harness Method”. It consists in modelling a multiconductor cable harness,
defined as a set of point-to-point cable links, in a simplified cable harness composed of a reduced number of
“Equivalent Conductors”, each one representing the behaviour of one group of conductors of the initial cable
harness. Then, the method has been extended to tree-like network cases representative of the automotive
problem.
First, numerical and experimental validations on numerous multiconductor cable harness configurations
illustrate the robustness and the precision of the method. Second, its pertinence in a future industrial
application on a complete vehicle is validated by the comparison with results obtained on a reference
experiment carried out on a simplified car structure. Indeed, only one 3D code computation is required at HF
to take into account the simplified cable network of the whole metallic structure. Initially developed for HF
problems, the “Equivalent Cable Harness Method” seems promising at LF to reduce the complexity of treelike cable networks installed on large dimension systems.
Keywords : Electromagnetic compatibility, Multiconductor cable harnesses, Method of moments,
Multiconductor Transmission Line Networks, Electromagnetic Topology
Elaboration et Application d’une Méthode de Faisceau Equivalent pour l’Etude des
Couplages Electromagnétiques sur Réseaux de Câblages Automobiles
Résumé :
Dans le domaine de la compatibilité électromagnétique (CEM) automobile, des outils numériques autorisent
actuellement la simulation de tests d’immunité sur le réseau de câblages d’un véhicule complet. Ainsi, les
niveaux de perturbation induits sur le réseau par une onde électromagnétique perturbatrice peuvent être
calculés numériquement à l’aide d’une approche couplée utilisant un code 3D et un modèle de ligne de
transmission. L’utilisation du modèle de ligne limite toutefois le champ d’application de cette approche aux
“basses fréquences“ (BF).
Pour accéder aux fréquences supérieures, nous avons développé une méthode dite du “faisceau
équivalent“. Celle-ci consiste à réduire un faisceau de câblages multiconducteur, défini comme une liaison
de câbles point à point, en un faisceau composé d’un nombre limité de “conducteurs équivalents“
représentant chacun le comportement d’un groupe de conducteurs du faisceau initial. La méthode a ensuite
été étendue au cas de réseaux arborescents afin de répondre à la problématique automobile.
Les validations numériques et expérimentales effectuées sur des faisceaux de câblages ont tout d’abord
permis d’illustrer la robustesse et la précision de la méthode. Ensuite, les résultats obtenus lors d’une
campagne expérimentale réalisée sur une maquette de véhicule à l’échelle ½ valide la pertinence de la
méthode proposée en vue d’une application industrielle sur véhicules réels. De plus, un seul calcul 3D est
nécessaire pour prendre en compte le réseau de câblages simplifié et la structure diffractante du véhicule
(carrosserie métallique) en “hautes fréquences“ (HF). Développée initialement pour des applications HF, la
méthode du faisceau équivalent paraît également prometteuse en BF afin de réduire la complexité de
réseaux de câblages installés sur des systèmes de grande dimension.
Mots-clés : Compatibilité Electromagnétique, Faisceau de Câblages Multiconducteur, Méthode des
Moments, Réseaux de Lignes de Transmission Multiconducteur, Topologie Electromagnétique
Development and Implementation of Equivalent Cable Harness Method for the Study of
Electromagnetic Coupling on Automotive Cable Networks
Abstract :
In nowadays automotive Electromagnetic Compatibility (EMC), some available numerical tools offer the
possibility to perform the simulation of immunity tests on the cable network of an entire car. Indeed, EM
induced perturbation levels on the network can be computed with a coupled approach between a 3D code
and a multiconductor transmission line network (MTLN) code. However, the MTLN use limits this approach
at “low frequencies” (LF).
In order to perform numerical computations on cable harnesses at “high frequencies” (HF), we developed a
method called “Equivalent Cable Harness Method”. It consists in modelling a multiconductor cable harness,
defined as a set of point-to-point cable links, in a simplified cable harness composed of a reduced number of
“Equivalent Conductors”, each one representing the behaviour of one group of conductors of the initial cable
harness. Then, the method has been extended to tree-like network cases representative of the automotive
problem.
First, numerical and experimental validations on numerous multiconductor cable harness configurations
illustrate the robustness and the precision of the method. Second, its pertinence in a future industrial
application on a complete vehicle is validated by the comparison with results obtained on a reference
experiment carried out on a simplified car structure. Indeed, only one 3D code computation is required at HF
to take into account the simplified cable network of the whole metallic structure. Initially developed for HF
problems, the “Equivalent Cable Harness Method” seems promising at LF to reduce the complexity of treelike cable networks installed on large dimension systems.
Keywords : Electromagnetic compatibility, Multiconductor cable harnesses, Method of moments,
Multiconductor Transmission Line Networks, Electromagnetic Topology