TD 4 Thermodynamique MP*

TD 4
Thermodynamique
MP*
❒ 1. Etude d’un cycle de transformations
Un fluide décrit le cycle ABC : L'évolution AB est adiabatique et réversible; l'évolution BC est isotherme et
réversible; l'évolution CA est isochore; les évolutions BC et CA ont lieu au contact d'une source dont la
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température est TB. On donne pA = 1 bar; VA = 2,0 L; TA = 290 K; VB =1,0L; R=8,314J.K- .
1- Représenter le cycle dans le diagramme P(V)
2- Le fluide est un gaz parfait de cœfficient isentropique γ = 1,40 constant. Calculer TB, l'entropie créée pour
un cycle ABC et conclure sur le sens de parcours du cycle. Quel est alors le signe du travail " reçu" par l'air?
3- Montrer que le sens de parcours et le signe du travail sont indépendant du fluide qui évolue.
❑ 2. Entrée d’air dans un récipient
L’air atmosphérique est assimilé à un gaz parfait diatomique, de pression et température constantes (1bar,
20°C). On fait le vide dans un récipient à parois bien isolées sur le plan thermique, indéformable, de volume
égal à 1 L. Il peut communiquer avec l’extérieur au moyen d’un robinet de petites dimensions.
1- On ouvre un bref instant le robinet, faisant entrer de l’air dans le récipient. Le robinet est ensuite refermé.
Quelle est la température de l’air entré dans le ballon ? Quelle est l’entropie créée par cette opération ?
2- On attend ensuite longtemps, de sorte que l’équilibre de température se refasse entre l’intérieur et
l’extérieur. Quelle est l’entropie créée par cette transformation ?
❒ 3. Moteur Diesel
On modélise le cycle thermodynamique par une succession de transformations réversibles : OA : admission
d’air AB : compression adiabatique. En B : injection de gaz-oil, le mélange s’enflamme spontanément (pas
besoin de bougie) BC : détente à pression constante. En C : arrêt de l’injection CD détente adiabatique DA
refroidissement isochore AO : échappement
a) Exprimer le rendement du moteur en fonction du taux de compression a = VA /VB du taux de détente b =
VA /VC et de γ .
b) Un moteur Diesel possède les caractéristiques suivantes : a = 27 ; b = 7 ; γ = 1,4 . La voiture équipée de ce
moteur consomme 8 L de carburants aux 100 km lorsqu’elle roule à la vitesse maximale 147 km/h
correspondant à N = 4500 tours min-1 pour l’arbre moteur.
On donne la masse volumique du gaz-oil ρ = 0,8 kg.L-1 et son pouvoir calorifique 46,8 kJ g-1.
Déterminer le rendement du moteur, la masse de carburant injectée à chaque cycle, la puissance maximale du
moteur Diesel.
On rappelle qu’un cycle étant précédé d’une phase d’admission et suivi d’une phase d’échappement, il
correspond à 2 aller-retour du piston, soit à 2 tours de l’arbre moteur.
❒ 4. Etude d’une pompe à chaleur
Une pompe à chaleur est utilisée dans un système de chauffage et asséchage de l’air d’un hall de piscine. À
cet effet, l’air chargé de vapeur d’eau, à la température T0, est aspiré dans un premier échangeur de chaleur
E1 d’où il ressort asséché à la température T1. L’air asséché passe dans un deuxième échangeur de chaleur E2
d’où il ressort à la température T2. La pompe à chaleur est disposée entre les sources E1(T1) et E2(T2). Son
efficacité est notée e. La pression de l’air est constante et égale à un bar. On note LVAP la chaleur latente
massique de vaporisation de l’eau et D le débit volumique d’eau condensée par le système. La capacité
thermique molaire à pression constante de l’air est notée CP.
Données numériques : LVAP = 2,5 kJ.kg–1 ; CP = 29,3 J.mol.K–1 ; D = 3,5 ℓ.h–1 ; e = 3,6 ; T0=300 K ; T1 =
291 K ; T2 = 313 K.
1- On note Q1 l’énergie thermique reçue par le fluide caloporteur de la pompe pendant une durée t de la part
de E1 et Q2 celle reçue de la part de E2,
a- Commenter la valeur numérique de e.
b- Exprimer le rapport Q1/Q2 en fonction de e.
2- On note n la quantité d’air humide qui traverse la pompe pendant la durée t.
a- Exprimer Q1 en fonction de n, t, CP, r, D, LVAP, T1 et T0.
b- Exprimer Q2.
c- En déduire le rapport n/t puis le débit volumique d’air (en m3.h–1) de l’installation. L’air, même humide,
est décrit par le modèle du gaz parfait.
d- Calculer l’efficacité globale de l’installation pour le réchauffement de l’air du hall.
❒ 5. Surfusion
Dans un tube à essais très bien isolé thermiquement, on observe une masse m0 = 30 g de phosphore en
surfusion à la température θ1. A cette température le phosphore devrait être à l’état solide, l’état observé est
un état métastable, il suffit alors d’introduire un germe de cristal pour faire cesser la surfusion .
Déterminer la température et la composition du système à l’équilibre final dans les deux cas suivants:
a- θ1 = 42°C
b- θ1 = 12,5°C.
Données: Température de fusion du phosphore θ0 = 44°C;
capacité thermique massique du phosphore solide 0, 795J.g-1.K-1 ;
capacité thermique massique du phosphore liquide 0,837 J.g-1.K-1
L’enthalpie massique de fusion du phosphore à θ0 vaut 20,9 J.g-1.
❒ 6. Détente d'un liquide dans le vide
On place une ampoule contenant m = 0,01 kg d’eau liquide dans une enceinte indéformable de volume V
maintenue au contact d’un thermostat à la température T0 = 373 K. Initialement, l’enceinte est vide et l’eau
dans l’ampoule est à la température T0 et sous une pression initiale p0 égale à la pression de vapeur saturante
Psat (T0) = 1,0 bar. On assimile la vapeur d’eau à un gaz parfait de masse molaire M = 18g.mol-1.
On donne l’enthalpie de vaporisation de l’eau Lv = 2,3.103 kJ.kg-1 à la température T0. On néglige le volume
massique de l’eau liquide devant le volume massique de la vapeur d’eau. On donne R=8,314J.K-1.mol-1.
1- Calculer la valeur particulière Vc du volume V pour que dans l’état d’équilibre final, l’eau soit à la
température T0 et à la pression de vapeur saturante Psat (T0) = 1,0 bar, avec un titre en vapeur xv = 1. Calculer
pour cette transformation le transfert thermique Q algébriquement reçu par l’eau, la variation d’entropie de
l’eau, l’entropie échangée et l’entropie créée.
2- On suppose que le volume V est inférieur à la valeur Vc de la question 1. Déterminer l’état d’équilibre
final.
3- On suppose que le volume V est supérieur à la valeur Vc de la question 1. Déterminer l’état d’équilibre
final.
❑ 7. Échangeur thermique
On considère l’échangeur thermique (ET) représenté ci-dessous. Il est constitué de deux circulations
parallèles d’air : dans l’une l’air évolue de l’état E1 à l’état E2 et dans l’autre, l’air évolue de l’état E3 à l’état
E4. Ces états sont caractérisés par la même pression P = 1,0 bar et des températures respectives T1, T2, T3 et
T4 avec T3 ≠ T1.
L’air est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M = 29 g.mol−1 et de coefficient γ = 1,40.
On donne R = 8,314 J.K−1.mol−1.
L’échangeur thermique constitue un système ouvert (Σ∗) à deux entrées et deux sorties ; l’installation
fonctionne en régime stationnaire avec un débit massique identique dans les deux circulations. On néglige les
variations d’énergie mécanique. On suppose que l’échangeur thermique est parfaitement calorifugé et que
son fonctionnement est réversible.
On associe au système ouvert (Σ∗) le système fermé (Σ) tel que : à l’instant t, (Σ) est constitué de (Σ∗) et des
masses dm1 et dm3 qui vont entrer dans (Σ∗) par chacune des entrées pendant la durée dt ; à l’instant t + dt,
(Σ) est constitué de (Σ∗) et des masses dm2 et dm4 qui sont sorties de (Σ∗) pendant la durée dt.
1. En appliquant le premier et le deuxième principe de la thermodynamique au système (Σ), établir deux
relations entre les températures T1, T2, T3 et T4.
2. En supposant les températures T1 et T3 connues, déterminer les températures T2 et T4 et commenter.
3. Dans un échangeur thermique réel, on a T1 = 350 K, T2 = 290 K, T3 = 280 K et T4 = 340 K. Calculer
l’entropie créee lors du transfert d’une masse m = 1,0 kg et commenter.
4. En réalité l’échangeur thermique n’est pas parfaitement calorifugé, de telle sorte qu’il cède de l’énergie
par transfert thermique à l’atmosphère, considérée comme un thermostat dont la température est T0 = 293 K.
On a alors T1 = 350 K, T2 = 290 K, T3 = 280 K et T4 = 330 K. Calculer le transfert thermique Q
algébriquement reçu par l’échangeur thermique et commenter. Calculer l’entropie créée et commenter.
❑ 8. Réfrigérateur réel
L’agent de la transformation est le fréon, il subit :
· une détente de Joule/Thomson A→ B dans le détendeur ;
· une vaporisation partielle à température et pression constantes B→C dans l’évaporateur. Il reçoit alors un
transfert thermique massique de la source froide q2 dont la température est T2 = 268 K ;
· une compression adiabatique C →D dans le compresseur ;
· une liquéfaction totale D→ A dans le condenseur. Il fournit alors un transfert thermique massique à la
source chaude q1 dont la température est T1 = 298 K.
Les données relatives aux états A, B, C et D du fluide sont regroupées dans le tableau suivant, x désignant le
titre massique en vapeur :
On donne les enthalpies massiques de vaporisation : lv(263K) = 159kJ.kg-1, lv(303K)= 139kJ.kg-1 .
a- Représenter le cycle dans le diagramme de Clapeyron, on y fera figurer la courbe de saturation du fréon.
b - On raisonne désormais sur 1 kg de fréon. Quelle est l’expression du premier principe pour un écoulement
de fluide ?
c - Etude de A → B. Calculer la variation d’enthalpie massique hB - hA et la variation d’entropie massique sB sA . On introduira le point B’( pB’ = 2,2 bar, TB’ = 263 K, xB’ = 0) et la capacité thermique massique du fréon
liquide c, supposée indépendante de la température. Montrer que les données permettent de calculer c.
A.N : calculer c et sB - sA ainsi que l’entropie produite.
d - Etude de B→C . Calculer le transfert thermique massique q2 avec la source froide, la variation d’entropie
massique sC - sB, l’entropie échangée et l’entropie produite.
e - Etude de C→ D . Calculer le travail utile massique w’ reçu par le fréon. Calculer la variation d’entropie
massique sD - sC et l’entropie produite.
f - Etude de D→ A . Calculer le transfert thermique massique q1 avec la source chaude, la variation
d’entropie massique sA - sD et l’entropie produite.
g - Effectuer le bilan entropique sur le cycle : vérifier que Δs = 0 et calculer l’entropie produite sur le cycle.
h - Effectuer le bilan enthalpique sur le cycle : vérifier que Δh = 0. Calculer l’efficacité du réfrigérateur h et
la comparer à la valeur du cycle de Carnot réversible. Conclure.
❑ 9. Stockage d'un fluide diphasé: le GPL
Le GPL (gaz de pétrole liquéfié) est un mélange de propane et de butane utilisé comme carburant par
certains véhicules. Le GPL est stocké sous la forme d'un mélange liquide-gaz dans le réservoir.
Pour simplifier, nous allons assimiler le GPL à du propane pur initialement stocké à 20°C avec le titre en
vapeur x = 0; 2.
1- Quelle pression règne-t-il dans le réservoir ? Pour un réservoir de 50 L, quelle masse de propane est-­‐elle stockée ? Le volume massique du liquide saturant étant égal à 2.10-­‐3 m3.kg-­‐1, Quelle est la capacité maximale du réservoir ? 2- Le réservoir est éprouvé pour résister à une pression de 30 bar. En cas d'incendie ou d'échauffement
accidentel, à quelle température y a-t-il risque d'explosion ?
3- Depuis 2001, les réservoirs GPL sont munis d'une soupape permettant d'évacuer le fluide dès que la
pression dépasse 25 bar. Expliquer l'intérêt de cette soupape.
4- Entre la sortie du réservoir et les injecteurs du moteur, le GPL circule dans un vapo-détendeur où il subit
une détente isenthalpique. Comment évoluent la température et la composition du mélange liquide-­‐vapeur ?
❑ 10. Machine à vapeur de Watt avec surchauffe
L'installation se compose des éléments suivants :
→ une pompe P qui réalise une compression supposée isentropique du fluide ;
→ un générateur de vapeur (GV) qui réalise un échauffement et une évaporation. Le fluide est à l'état de
liquide juste saturant en 3 et à l'état de vapeur juste saturante en 4 ;
→ un surchauffeur (S), qui échauffe la vapeur à pression constante P = 50bar. Cet échauffement est réalisé
par échange thermique avec les gaz issus de la combustion ;
→ une turbine (T) où le fluide subit une détente adiabatique réversible, sans variation notable d'énergie
cinétique, en fournissant un travail mécanique ;
→ un condenseur (C) dans lequel le fluide se condense de façon isobare P = 1 bar.
1. Déterminer la température T5 (à la sortie du surchauffeur) telle que le fluide, en fin de détente, soit
constitué de vapeur saturante, sans liquide.
2. La condition précédente étant vérifiée, tracer l'allure du cycle sur un diagramme (T,s). Pourquoi, sur ce
diagramme, les points 1 et 2 sont-ils confondus ? 3. Déterminer l'énergie échangée par kilogramme de fluide dans chaque partie de la machine.
Calculer le rendement du moteur.
Les pressions de changement d'état sont 1,0 et 50 bar. Les autres données sont à déterminer sur le
diagrammes entropique de l'eau.
Diagramme p,h du propane