chap 17 #

PARALLELOGRAMME
Prendre deux bandes de papiers dont les côtés sont
parallèles et les placer de travers, tracer leur intersection
I le Parallélogramme : définition
A
B
On observe :
……(AB) // (CD) et (AD) // (BC)
D
C
Définition :
Un parallélogramme est …… un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles …………….
II le parallélogramme : propriétés
1) Diagonales :
Trace un parallélogramme MATH, tel que MA = 5 cm, TAM = 45° et TA = 3 cm. Construis ses diagonales.
Finir la construction au compas
H
Que constates-tu ?
T
…Les diagonales se coupent en leur milieu …
I
Remarque :
M
A
…L’intersection des diagonales est le centre
de symétrie du #…………
Propriété 1 : ………………………………………………………………………………………………………
…………… Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu ………...
Réciproquement :
T
O
Soit un point I tel que I ne soit pas sur (TO).
Construis le point R symétrique du point O par rapport à I.
Construis le point U symétrique du point T par rapport à I.
I
Que constates tu ?
…… Le quadrilatère TOUR est un #.…………………
R
U
Propriété réciproque : Si les diagonales d'un quadrilatère non croisé ………………………………………….
……… se coupent en leur milieu alors ce quadrilatère est un #…………………
2) Côtés opposés :
1ère partie :
Construis un parallélogramme ROND de centre I tel que RN = 6 cm, OD = 4 cm et RIO = 120°.
On a : I est le milieu.……..de [RN], et I est
R
O
le …milieu…… de [DO], donc dans la symétrie de
centre I, R a pour image N… et O a pour image D… .
I
D
N
Or…la
symétrie
conserve
les
longueurs……………………………………
Donc : …RO = ND………………….
De la même façon, tu peux démontrer que ……RD = ON…………………………………
Propriété 2 : ………………………………………………………………………………………………………
……… Si un quadrilatère est un parallélogramme alors les côtés opposés ont la même longueur ………...
Réciproquement :
Construis un quadrilatère dont les côtés opposés ont la même longueur.
Que constates tu ?
……c’est un #………………………………………………………
Propriété réciproque : Si les côtés opposés d'un quadrilatère non croisé sont ………………………………….
……… de la même longueur alors ce quadrilatère est un #……………………….
2ème partie :
Construis la parallèle à la droite tracée ci-contre
Trace deux segments de même longueur sur chacune de ces parallèles
Tu obtiens un quadrilatère dont les côtés opposés ont la même longueur.
Que constates tu ?
……c’est un #………………………………………………………
Propriété 3 : Si deux côtés opposés d'un quadrilatère non croisé sont …………………………………………..
………… parallèles et de la même longueur alors ce quadrilatère est un #…………………….
3) Exercice type :
E
1) Trace le triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 6 cm et BC = 7 cm.
2) Marque I le milieu de [AB] et J celui de [AC].
3) Construis le point D symétrique de B par rapport à J, et E le symétrique de C
par rapport à I.
4) Démontre que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
5) Que peux-tu dire de BCAE ?
A
I
B
D
J
C
On a : J milieu de [AC] et J milieu de [BD] car D est le symétrique de B par rapport à J
Or : si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme.
Donc : ABCD est un parallélogramme
Pour les mêmes raisons BCAE en est un aussi.
III le parallélogramme : angles
1) Angles opposés :
A
B
Hypothèses : ABCD est un parallélogramme.
Par définition d’un parallélogramme :
(AB)……//…(CD)
1
ère
et
(AD) …//……(BC).
y
D
C
partie : Colorie en rouge l'angle BAD .
On a : BAD et yDA sont …alternes-internes……………………………, et (AB) …//……. (CD)
Or … Si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes - internes qu'elles forment avec la sécante sont
………de même mesure …………..
Donc BAD …=…… yDA .
On a : yDA et DCB sont …correspondants…………………………, et (AD) …//……. (BC)
Or Si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants qu'elles forment avec la sécante sont
………de même mesure …..……….
Donc yDA …=…… DCB .
D'après les deux démonstrations précédentes, on a : BAD …=…yDA et yDA …=…DCB .
On en déduit que : …BAD …=…DCB…..
2ème partie : Colorie en bleu l'angle ADC .
De la même façon que précédemment, on démontre que : ……ADC …= … ABC ………….…………
Propriété 4 : si un quadrilatère est un parallélogramme, alors……… ses angles opposés sont de même mesure
Propriété réciproque (admise) : si, dans un quadrilatère, les angles opposés sont …égaux 2 à 2……………,
alors……c’est un #…………………………………………………………………………………….
2) Angles consécutifs :
D’après le 1er paragraphe, DAB …=… yDA, et de plus les angles yDAet ADC sont supplémentaires……….,
donc les angles DABet ADC sont …supplémentaires…………………..….
DAB + ADC = …180°……….
De même, on a : ADC + DCB = …180°……, DCB + CBA = …180°…….., CBA + BAD = …180°………
Propriété 5 : si un quadrilatère est un parallélogramme, alors……………………………………………………
………………………… ses angles consécutifs sont supplémentaires
Propriété réciproque : si, dans un quadrilatère, les angles consécutifs sont … supplémentaires 2 à 2………,
alors…………c’est un #……………………………………………………………………………………...
IV Application :
Construis un prime droit dont la base est un parallélogramme TOUR de centre I tel que TIR = 110°,
RO = 5 cm et TU = 7 cm, et dont la hauteur mesure 4 cm.
U
R
I
O
T