Modélisation d`ondes gravitationnelles

Ondes gravitationnelles dans des systèmes binaires à
grand rapport de masse
17eme journée CaSciModOT
RITTER Patxi
(LPC2E - MAPMO)
– p. 1/23
Plan
- Ondes gravitationnelles
- Modélisation dans le cas des EMRIs
- Optimisation du code de calcul
- Réaction de radiation
– p. 2/23
Ondes gravitationnelles
„ Relativité Générale : Cadre formel décrivant l’interaction entre matière et
géométrie de l’espace-temps (Einstein 1915).
„ Espace-temps : Variété différentielle décrite localement par les 10
composantes du tenseur metrique g µν obéissant à l’équation de champ
d’Einstein
”
G µν g µν
|
{z
—
Géométrie
—
”
8πG
Tµν g µν
=
4
c
} |
{z
}
Matière
– p. 3/23
Ondes gravitationnelles
„ Onde Gravitationnelle (OG) : déformation de la courbure de
l’espace-temps qui se propage à la vitesse de la lumière.
„ OG engendrées par le mouvement et la dynamique de la source.
– p. 4/23
Ondes gravitationnelles
„ Onde Gravitationnelle (OG) : déformation de la courbure de
l’espace-temps qui se propage à la vitesse de la lumière.
„ OG engendrées par le mouvement et la dynamique de la source.
„ Mesure de variation relative de distance entre 2 points matériels (par
interférométrie).
t2
b
1
L = c (t 2 − t 1 )
2
b
Variation de la longueur L au passage d’une OG
δL / L ≈ 10−21 !!
t1
L
– p. 5/23
Ondes gravitationnelles
Détecteur interférométrique VIRGO sur le site de Cascina, près de Pise
Cibles : TN binaire (5M ⊙ <M < 20M ⊙ ), pulsar binaire (1.4M ⊙).
Bande de fréquence : 10Hz - 1kHz
– p. 6/23
Ondes gravitationnelles
Laser Interferometer Space Antenna (LISA/NGO)
Cibles : TN super-massifs (106 M ⊙ <M < 108 M ⊙ ), EMRIs.
Bande de fréquence : 10−4 Hz - 0.1Hz
– p. 7/23
Modélisation, cas des EMRIs
Intérêt de la modélisation :
„ Dans la technique de filtres adaptés on corrèle la sortie bruitée du
détecteur avec la forme d’onde prédite par la théorie ou patron d’onde.
„ Le patron d’onde doit rester en phase avec la forme d’onde exacte aussi
longtemps que possible.
– p. 8/23
Modélisation, cas des EMRIs
„ Trou noir (TN) : Objet compact formant une singularité de
l’espace-temps = degré de courbure infini
„ Liens intimes entre trous noirs et OG
‡ TN et OG sont des distorsions de l’espace-temps (extrême pour le TN, minime
pour les OG)
‡ TN et OG sont tous deux solutions du vide des équations d’Einstein.
TN
TN+OG
– p. 9/23
Modélisation, cas des EMRIs
m∗ ≪ M
M
– p. 10/23
Modélisation, cas des EMRIs
– p. 11/23
Modélisation, cas des EMRIs
„ Extreme Mass Ratio Inspiral
„ Perturbation de la métrique
X (τ)
Trou Noir
g µν = g µν
+ h µν
h µν ∼ O (m ∗ /M )
m∗ ≪ M
„ Linéarisation des équations de champ
h
i
Trou Noir
G µν g µν
+ h µν =
M
8πG
δTµν
c4
„ Etoile supposée ponctuelle
δTµν = m ∗
Z +∞
µ
dXν
dτ
dτ dτ
dX
(
4)
α
α
δ (x − X (τ))
−∞
„ Décomposition sur une base d’harmoniques tensoriels
h µν =
10
XX
ℓ,m i =1
(i )ℓm
h (i )ℓm (r , t )Yµν
(θ , φ )
– p. 12/23
Modélisation, cas des EMRIs
Equation de Regge-Wheeler-Zerilli
–
−
„
∂
2
∂t2
+
∂
2
∂ r ∗2
™
∂
ℓm
ℓm
− Ve /o (r )ℓ ψℓm
(
r
,
t
)
=
F
(
t
)
δ
(
r
−
R
(
t
))
+
G
(t )δ (r − R (t ))
e /o
e /o
e
/
o
∂r
ψℓm
e fonction
ψoℓm fonction
d’onde paire
d’onde impaire
«
exprimées à partir des h (i )ℓm
„ Discontinues à la position de la particule.
„ Liées à l’énergie du système
dE
dt
=
1
64
P
—
(ℓ+2) ! ” ℓm 2
ℓm
2
ℓm (ℓ−2) ! |ψe | + |ψo |
1.5
2.0
Re ψeℓm
1.5
Im ψeℓm
1.0
R (t ) trajectoire de la particule
0.0
(2M/m0 )ψeℓm
ℓm
,G
fonctions analytiques
Veℓ/o , Feℓm
/o e /o
€ r
Š
r ∗ = r + 2M ln 2M − 1 coordonnée tortue
0.5
1.0
−0.5
-100 -50
0
50
100 150
0.5
0.0
−10
−5
0
5
10
r ∗ /2M
15
– p. 13/23
25
20
Modélisation, cas des EMRIs
Exemple pour des orbites génériques t , R (t ), Θ(t ), Φ(t )
Š
8K € 2
R Ṙ − f (R )2 Ā ℓm
λ
ℓm
Š
€
d
Ā
8K
R
d
8K
R Ṙ
−
(U 0 Ṙ ) + Ṙ 2 − f (R ) Ā ℓm
G oℓm (t ) = −
0
λ
dt
λ U dt
λ + 1 3M
− 3
Voℓ (r ) = 2 f (r )
r2
r
Foℓm (t ) =
Feℓm (t ) = − 8K
R f (R ) (Ṙ 2 − f (R )2 ) ℓm
Ȳ
λR + 3M

‹
ℓm
Š
R 2 f (R )2 € 2
R
Ṙ
f
(
R
)
d
Ȳ
K
ℓm
ℓm
Θ̇ + sin2 ΘΦ̇2 Ȳ ℓm
− 16 R f (R ) Θ̇Φ̇∂φ ∂θ − cot Θ Ȳ
+ 8K
G e (t ) =16K
λR + 3M d t
λ
λR + 3M
Š
€
K
1
− 4 R f (R ) Θ̇2 − sin2 ΘΦ̇2 ∂θ2 − cot Θ∂θ −
∂φ2 Ȳ ℓm
2
λ
sin Θ
+ 8K
Veℓ (r ) =2 f
où K = (π m 0
Ṙ 2 [(λ + 1)(6RM + λR 2 ) + 3M 2 ]
R (λR
+ 3M )2
Ȳ
ℓm
− 8K
f (R )2 [R 2 λ(λ + 1) + 6λRM + 15M 2 ]
R (λR
+ 3M )2
Ȳ ℓm
[λ2 (λ + 1)r 3 + 3λ2 M r 2 + 9λM 2 r + 9M 3 ]
(r )
r 3 (λr + 3M )2
U 0 ) / (λ + 1),
λ=
1
(ℓ − 1)(ℓ + 2),
2
f (r ) = 1 − 2M /r et
A ℓm
=
Θ̇
∂ − sin ΘΦ̇∂θ
sin Θ φ
Y ℓm
– p. 14/23
Modélisation, cas des EMRIs
R ∗ (t )
TROUNOIR
Différence finie d’ordre 2
Zone de discontinuité
t
r∗
R (χ ) =
pM
,
1 + e cos χ
(p − 2 − 2e cos χ )(1 + e
dχ
=
dt
Mp2
cos χ )2
(p − 2 − 2e cos χ )(1 + e cos χ )2
dΦ
=
p
3
/
2
dt
p M (p − 2)2 − 4e 2
r
p − 6 − 2e cos χ
(p − 2)2 − 4e 2
– p. 15/23
Modélisation, cas des EMRIs
„ Cellules vides
Abc
B
Cbc
bc
ℓm
ψℓm
=
−ψ
A
D
bc
Œ
‚
∗2
€
Š
∆r
∗3
ℓm
V
(
r
)
+
O
(
∆
r
)
+ ψℓm
+
ψ
1
−
B
C
2
D
„ Cellules traversées par la trajectoire = zone de discontinuité de la
fonction d’onde
Abc
Bbc
Cbc
x
B
bc
Cbc
x
Abc
Abc
Abc
Bbc
x
Cbc
B
bc
Cbc
x
bc
bc
bc
bc
D
D
D
D
ψℓm
A
=b ψℓm
B
+ c ψCℓm
+ d ψℓm
D
+
X
p +q <3
”
p q ℓm —
αpq ∂t ∂r ∗ ψx + O( ∆r ∗3 )
– p. 16/23
Modélisation, cas des EMRIs
1300
1200
1100
t/2M
1000
900
800
700
600
500
−50
0
50
r ∗ /2M
100
150
−0.5
0.0
Re ψe22 (r ∗ =400M,t)
0.5
Exemple pour une orbite elliptique (e = 0.5) dans le cas du mode
quadrupolaire (ℓ, m ) = (2, 2)
– p. 17/23
Modélisation, cas des EMRIs
6
20
1.0
15
4
1.0
10
2
−2
5
0
0.0
−5
−4
−6
−15
−6
−4
−2
x
0
4
2
−20
−20
−1.0
6
0
100
200
300
u/2M
400
500
600
0.5
0.0
−0.5
−10
−0.5
−8
−8
(2M/m0 )ψe22
y
0
y
(2M/m0 )ψe22
0.5
−1.0
−15
−10
−5
0
x
5
10
15
20
0
200
400
600
800
1000
u/2M
1200
1400
4
0.6
3
0.4
2
0
0.4
1
0.2
0.0
y
(2M/m0 )ψe22
y
2
0.6
(2M/m0 )ψe22
4
0
−0.2
−1
−0.4
−2
−0.6
−3
0.2
0.0
−0.2
−2
−0.4
−4
−0.6
−4
−2
0
4
2
x
0
100
200
300
u/2M
400
500
−4
−4
600
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
0
50
100
150
u/2M
200
250
300
350
40
6
30
0
−2
20
10
0.0
y
(2M/m0 )ψe22
2
y
0.5
0.5
0
−10
0.0
−20
−0.5
−4
(2M/m0 )ψe22
4
−0.5
−30
−6
−6
−4
−2
0
x
2
4
6
500
600
700
800
u/2M
900
1000
−40
−40
−30
−20
−10
0
x
10
20
30
40
0
500
1000
u/2M
1500
2000
– p. 18/23
Optimisation du code de calcul
Code en C (lib. GSL pour fonctions spéciales, syst. linéaires, ODE et
harmoniques sphériques)
Cas de l’équation homogène (cellules vides).
–
−
∂
2
∂t2
+
∂
2
∂ r ∗2
™
− V (r )ℓ ψℓm (r , t ) = 0
Stages étudiants au LIFO encadrés par S. Jubertie
„ version C++
„ Optimisation des routines de
calcul
„ SSE
1.0
0.8
„ Threads Open MP
0.6
„ CUDA
0.4
Gain de plus d’un ordre de grandeur
en temps de calcul
0.2
0.0
Ref.
opt.
SSE
parall.
CUDA
– p. 19/23
Réaction de radiation
β
α dx
+ Γβ γ
2
dτ
dτ
d 2x α
dxγ
=0
dτ
– p. 20/23
Réaction de radiation
β
α dx
+ Γβ γ
2
dτ
dτ
d 2x α
Š
Š€
dxγ
1 € αλ
α λ
= − g +u u
2∇µ h λν − ∇λ h µν u µ u ν
dτ
2
– p. 21/23
CONCLUSION
„ Code permettant de générer les formes d’ondes à l’infini (sans réaction
de radiation) pour tous types d’orbites.
„ Code pour le problème de la chute radiale avec réaction de radiation.
PERSPECTIVES
„ Finaliser le travail sur la réaction de radiation.
„ Passer à l’évolution orbitale dans le cas d’orbites génériques.
„ Jauge harmonique
– p. 22/23
Merci
– p. 23/23