Devoir surveillé n° 5

TSI 1
2008-2009
Devoir surveillé n° 5
Durée : 4h
2) Rappeler la formule de conjugaison de Descartes pour une lentille mince

Chimie :
donnant la position de l’image
La synthèse du méthanol est possible selon l’équilibre homogène en phase
gazeuse : CO(g) + 2 H2 (g)= CH3OH(g)
OA' en fonction de celle de l’objet OA .
3) Etablir l’expression du grandissement en fonction de OA et OA' .
B. Un viseur à frontale fixe est constitué :
-3
On étudie l’équilibre à la température T = 500 K telle que K° = 8.10 .
o
1) Dans 1 réacteur, on introduit 3 moles de CO et 5 moles de H2.
a) Dresser un tableau d’avancement.
b) Si on suppose que la pression totale est constante, quelle valeur de la
pression totale faut-il imposer pour convertir 80% de la quantité
initiale de CO ?
c) Si on suppose que le volume du réacteur est constant, quelle valeur du
volume supposé constant faut-il imposer pour convertir 80% de la
quantité initiale de CO ?
2) On part d’un mélange initial : 2 mol de CO, 1 mol de H2, 1 mol de
CH3OH. La pression totale initiale étant de 10 bars, prévoir le sens
spontané d’évolution.
o
o
d’un objectif, constitué d’une lentille mince L1 convergente de centre O1 et
de distance focale image f’1 = 7,0 cm.
d’un réticule (généralement un ensemble de deux fils à angle droit) distant
d’une distance D = 14 cm de l’objectif,
d’un oculaire constitué d’une lentille mince L2 convergente de centre O2 et
de distance focale image f’2 = 3 cm, située à la distance d du réticule.
Un viseur est une lunette donnant une image nette d'un objet à distance finie.
Un viseur à frontale fixe permet de réaliser des pointés longitudinaux : il s'agit
de mesurer des distances entre différents objets suivant un axe optique.
Un viseur est correctement réglé si l'image intermédiaire de l'objet donnée par
L1 et le réticule sont vus simultanément et nettement.
Données : les gaz sont supposés parfaits, R=8,314 J.mol-1.K-1.
 Optique :
Exercice n° 1 :
A. On considère une lentille mince de centre O dans l’approximation de
Gauss.
1) Préciser la signification des deux termes en gras.
1) Un œil «normal» voit sans accommodation à l’infini. En déduire la
distance d pour que l’œil puisse voir le réticule sans accommoder.
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2) Un œil myope est modélisable par une lentille L0 convergente dont le
centre optique O est placé à d′ = 15 mm de la rétine, modélisé par un
écran. Sa faculté d’accommodation lui permet d’adapter sa focale : il
obtient une image nette lorsque l’objet est situé à une distance comprise
entre d1 = 12 cm (punctum proximum) et d2 = 1,2 m (punctum remotum)
de L0.
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4) On cherche à voir simultanément l’image intermédiaire et le réticule.
a) Où doit-on placer un objet pour pouvoir le voir à travers le viseur ? On
demande l’expression littérale de
O1 A et l’application numérique.
b) Cette position dépend-elle de la nature de l’œil («normal» ou myope) ?
c) Lorsque un œil « normal » n’accommode pas, faire la construction de
l’image définitive à travers l’instrument d’un objet réel sur la figure 2
en annexe et à rendre avec la copie (dernière page à découper).
d) Justifier le nom de « viseur à frontale fixe».
C. Le viseur est utilisé pour mesurer la distance focale d’une lentille L de
focale f′ inconnue.
a) Quelle doit être la valeur de la focale image f ′0 de L0 pour obtenir une
image nette sur la rétine d’un objet situé à une distance d1 = 12 cm
(punctum proximum) devant l’œil ?
b) Quelle doit être la valeur de la focale image f ′0 de L0 pour obtenir une
image nette sur la rétine d’un objet situé à une distance d2 = 1,2 m
(punctum remotum) devant l’œil ?
c) Déterminer graphiquement, dans le cadre de l'approximation de
Gauss, les positions des foyers image, F ′ et objet F de la lentille sur la
figure 1 donnée en annexe et à rendre avec la copie. (dernière page à
découper)
ère
3) On accole l’œil myope à l’oculaire. On admettra que l’œil accommode à
son punctum remotum.
a) Où doit se trouver l’image définitive à la sortie du viseur ?
b) En déduire la nouvelle distance d entre le réticule et l’oculaire.
La 1 étape est la visée de l’objet, AB. On place ensuite la lentille inconnue
après l’objet et on vise le centre O de la lentille. Pour cela, nous devons reculer
le viseur de x1 = 20 cm. Pour la visée de l’image A’B′ à travers la lentille, nous
avançons le viseur de x2 = 10 cm. (voir figure ci-dessus)
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1) Préciser les valeurs algébriques OA et OA'
2) En déduire la distance focale f′ de la lentille.
3) Faire la construction de l’image à travers cette lentille inconnue L.
Exercice n° 2 :
Ce problème traite de l'observation de deux étoiles Ea et Eb à l'aide d'une
lunette astronomique munie d'un détecteur. Les deux étoiles Ea et Eb sont
considérées ponctuelles et à l'infini, séparées par une distance angulaire  ,
l'étoile Ea étant située dans la direction de l'axe optique de la lunette.
On définit la configuration de la lunette utilisée dans les conditions de Gauss
et on demande de calculer ses caractéristiques géométriques.
On néglige dans cette partie les effets de la diffraction. On considère une
lunette astronomique d'axe optique z'z (Figure 1) constituée d'un objectif
assimilé à une lentille mince convergente L1 de diamètre D1 = 50 cm et de
distance focale image f’1 = 7,5m associé à une lentille divergente L2 de
distance focale image f’2 = −0,025 m. On désigne respectivement par O1 et O2,
par F1 et F’1 , F2 et F’2, les centres optiques, les foyers objet et image des
lentilles L1 et L2 .
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a) Dans quel plan se situent A1 et B1 ?
b) Exprimer la distance algébrique
A1B1 .
c) La lentille L2 est placée peu avant le plan où se forment les images Al
et B1. On appelle respectivement A2 et B2, les images de Ea et Eb à
travers la lunette. Sachant que
distance
A 2 B2
= 2 exprimer et calculer la
A1B1
O2 A1 .
3) On définit la distance focale f' de la lunette par la relation
A 2 B2 = f'.  .
a)
Calculer la distance focale f’ de la lunette.
b)
Exprimer A1A 2 . Comment évolue l'encombrement de la lunette par
rapport au cas où seule la lentille L 1 existerait ? Quel est l'intérêt de la
lentille L 2 ?
4) On place dans le plan où se forment les images A 2 et B2, une caméra à
DTC (Dispositif à Transfert de Charge). Ce récepteur d'images est
composé d'une matrice rectangulaire de 768 x
512 détecteurs
élémentaires, appelés pixels, de forme carrée, de côtés al = 9 µm. On
suppose que la lunette est librement orientable. Une image parfaite à
travers la lunette d'un point situé à l'infini, produit sur le détecteur un
signal donnant une image dont la dimension ne peut être inférieure à la
taille d'un pixel. Exprimer et calculer en seconde d'arc, la limite de
perception angulaire min due au récepteur d'image. Quelle est la plus
grande valeur décelable max en minute d'arc ?
1) Quelle est la forme et la direction des faisceaux lumineux des ondes 1 et 2,
respectivement émises par les étoiles Ea et Eb, lorsqu'elles parviennent sur
la lunette ?
2) On appelle Al l'image de l'étoile Ea à travers la lentille L1. De même, B1
désigne l'image de Eb à travers L1.
SOS : 1 minute d’arc = 1°/60
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 Mécanique : les vecteurs sont notés en gras
On dispose d’un banc à coussin d’air rectiligne (Ox), incliné par une cale de
hauteur h d’un angle  par rapport à l’horizontale, selon la figure ci-dessous.
Sur ce banc, un aimant est fixé à l’origine O, et un autre aimant, de masse m,
est fixé sur un palet mobile sans frottement :
Les aimants sont orientés de telle sorte qu’ils se repoussent mutuellement.
La possibilité pour m d’osciller autour d’une position d’équilibre résulte de la
compétition entre la répulsion électromagnétique, réduite à une force notée F,
prépondérante lorsque les aimants sont proches, et le poids, qui devient
prépondérant lorsque la distance augmente.
1) Faire un bilan des forces à l’équilibre sur un schéma.
2) Sans connaissances préalables en électromagnétisme, on cherche dans la
suite à vérifier si la force électromagnétique agissant dans cette expérience
peut être modélisée par une loi de la forme : F(x) = k.(x0/x)n.ex, avec
k > 0 et n entier naturel. Exprimer dans cette hypothèse la position
d’équilibre xe en fonction de x0, k, m, g, L, h et n dans le cas des petits
angles (h << L).
NB : cette approximation sera toujours utilisée dans la suite.
3) On mesure xe pour différentes cales, puis on représente ln(h) en fonction
de ln(xe / x0). En prenant x0 = 1 m, déduire des mesures ainsi
représentées ci-dessous les valeurs de n et de k.
On donne : L = 120 cm ; m = 189 g ; g = 9,81 m.s–2.
ln(xe / x0)
ln(h)
– 2,19
– 4,61
– 2,39
– 3,91
– 2,56
– 3,22
– 2,63
– 2,81
– 2,73
– 2,53
– 2,76
– 2,30
– 2,81
– 2,12
4) Exprimer littéralement l’énergie potentielle totale Ep(x) de m, à une
constante additive près, en fonction de x, x0, k, m, g, L, h et n, puis en
fonction de x, x0, xe, k et n seulement.
5) Lorsqu’on se limite à des oscillations de faible amplitude autour de la
position d’équilibre, on rappelle qu’on peut utiliser pour l’énergie
potentielle un développement de Taylor d’ordre 2 :
E p  x   E p x  xe  
une
x  xe 2
2
expression
 d2Ep
.
 dx 2

de



 x  xe
E p x  xe 
En
déduire
sous
la
forme :
1
.K .x  xe 2  cste ; le détail de la constante additive n’est pas
2
demandé, mais on exprimera la constante K en fonction de xe, x0, k et n.
6) Justifier qu’au voisinage de l’équilibre, la résultante des forces subies par
m équivaut à une force de rappel élastique dont on précisera la constante
de raideur équivalente.
7) Toutes choses égales par ailleurs, montrer que la période T des petites
oscillations autour de l’équilibre est proportionnelle à une puissance de h
que l’on déterminera ; en déduire une méthode de mesure de n que l’on
décrira succinctement.
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