3 principes de conservation

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Thermomécanique
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Navette spatiale
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Dessous
Dessus
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Dilatation turbo-fan snecma
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Objectifs
• Généraliser la thermodynamique
classique à la MMC
• Savoir dimensionner des pièces sous
chargement thermique
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Plan
•1. Théorème de l'énergie cinétique
•2. Conservation de l'énergie totale
•3. Application des potentiels
•4. Contraintes thermiques
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Plan (1)
• 1. Théorème de l'énergie cinétique
•2. Conservation de l'énergie totale
•3. Application des potentiels
•4. Contraintes thermiques
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3 principes de conservation
•de la masse:
∂r/∂t + div rv = 0 ¸
• de la quantité de mouvement:
Div s +fV = r a ¸
•de l'énergie et de l'entropie
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une formule classique
div (a w) = (—a,w) + a div w

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généralisation
divx [ s
(w)] = (Divx
s , w) + Tr( s . e
x(w))
Si s = s
T :
Tr( s . e
x(w)) =
S
i,j=1,3
s
ij
e
ij(w)
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Puissance des contraintes
WT = ∫∂Vt (s(n), v) dSt
WT = ∫Vt divxs (v) dVt
WT = ∫Vt [ (ra-fV,v) + Tr(s.ex(v) ] dVt
= ∫Vt (Divx s , v) + Tr( s . e
x(v))
T(x,t,n)
n
Vt
Wt
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Théorème de l'énergie cinétique
d/dt ∫Vt r/2 |v|2 dVt + ∫Vt Tr(s.ex(v)) dVt
= ∫Vt (fV,v) dVt + ∫∂Vt (fS,v) dSt
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• 1. Théor ème de l'énergie cinétique
•2. Conservation de l'énergie totale
•3. Application des potentiels
•4. Contraintes thermiques
Plan (2)
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Généraliser le 1er principe:
dE = W + Q
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Conservation de l'énergie totale
n
q
WtVt
d/dt ∫Vt (r e + r/2 |v|2) dVt
= ∫Vt (fV,v) dVt+ ∫∂Vt [(fS,v) - q ] dSt
• e(x,t) énergie interne massique
• q(x,t, n) flux de chaleur par contact
vers Vt,
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Conséquences du bilan d'énergie
q(x,t, n) = (q,n)
q et q en W/m2.
1. Vecteur flux de chaleur
2. Flux mutuels:(q1,n1) + (q2,n2) = 0
q = S
i=1,3 qi ni
3. Flux au bord:(q, n) dSt = j dSt
n
q
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Equation locale de conservation
de l'énergie
r de/dt = Tr(s.de/dt) - divxq
d/dt ∫Vt ( r e + r /2 |v|2) dVt
= ∫Vt (fV,v) dVt+ ∫∂Vt [( s (n),v)-q(n)] dSt
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Conduction de la chaleur
q = - K( —
xT)
0.3polymères
2 - 50céramique
2béton
20 - 400métaux
K (W/(m.°K)
Matériau
qi =- S
j=1,3Kij ∂T/∂xj

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Généraliser le 2ème principe:
T dS = Q
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2ème principe:
2ème fonction d'état s / irréversibilité
d/dt ∫Vt r s dVt ≥ - ∫∂Vt (q/T,n) dSt
rT ds/dt ≥ - divxq
= si réversible
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Plan (3)
•1. Théorème de l'énergie cinétique
•2. Conservation de l'énergie totale
•3. Application des potentiels
•4. Contraintes thermiques
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Thermoélasticité:
réversibilité mécanique
r e' = Tr(s.e') - divxq, rT s'=-divxq
r e' = Tr(s.e') + rT s'
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Etat thermodynamique: e( s, e)
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•Dérivée d'une fonction de tenseur
(Dee)ij =def ∂e/∂ e
ij
g' =def ∂g/∂t
e' = ∂e/∂ e
ij
e
ij' + ∂e/∂s s'
e' = Tr(Dee.e') + ∂e/∂s s'
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e: Potentiel thermodynamique
s/r = Dee
T = ∂e/∂s
(s/r)ij =def ∂e/∂ e
ij
Tr((s/r-Dee).e') + (T-∂e/∂s) s' =0
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d(s/r)/dt = D2ee e(de/dt) + ds/dt D2see
dT/dt = D2ese (de/dt) + ∂2e/∂s2 ds/dt
Thermo-élasticité
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Thermo-élasticité linéaire
s/r = Cs(e) + (s-s0) A
T-T0 = Tr(A.e) + a (s-s0)

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Applications du potentiel
• Symétrie de C
• Dilatation thermique
• Chaleur latente
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Symétrie complète
de la rigidité élastique C
Cs = D2eee
s = cste
Module d'Young "adiabatique"
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Dilatation thermique
e = (CT)-1 (s) - (T-T0) r/a (CT)-1 (A)
e = ee + eT
eT = a (T-T0) I
ee
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Dilatation thermique: a
e = (1+n)/E s - (n/E) Tr(s) I + a (T-T0)I
0.5 10-5
Céramique
10 10-5
Polymère
10-5
Béton
2.10-5
Aluminium
10-5
Acier
Coeff. dilatation a
(/ °K)
Matériaux
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E(T), s
e(T),
m (T) ….
s = l Tr(e) I + 2m e - aE/(1-2n) (T-T0) I
≈ E 10-4 ≈ 10-5 E dT
Module d'Young "isotherme"
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Dilatation thermique
des barrages
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Chaleur latente
capacité thermique
T0 (s-s0) = c (T-T0) + c aE/(1-2n) Tr(e)
c = capacité thermique
1000Polymère
1000
Béton,
Céramique
900Aluminium
500Acier
c (J/(kg-°K)Matériau
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Plan (4)
• 1. Théor ème de l'énergie cinétique
•2. Conservation de l'énergie totale
•3. Application des potentiels
•4. Contraintes thermiques
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Diffusion de la chaleur
r T s' = - div q
r c T' - b Tr(e') = div(K.(—T) )
•Conditions initiales
•Conditions aux limites externes,
internes

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Freinage d'une roue
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Navier-Thermique
s = C(e - eT)
Divx C(e) - Divx CT(eT) + fV = r u''
DivxC( e ) - a E/(1-2 n ) — (T-T0) + fV = r u''
22/09/03 Meca2 Thermo 39
Superposition
u = ue + uT
Divxs(uT) - Divx CT(eT) = r aT
Divxs(ue) + fV = r ae
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Collecteur de gaz d'échappements
22/09/03 Meca2 Thermo 41
Piston moteur diesel
22/09/03 Meca2 Thermo 42
Echangeur de chaleur fissuré
22/09/03 Meca2 Thermo 43
Dilatation d'un rail
encastré-libre
22/09/03 Meca2 Thermo 44
Dilatation d'un rail
encastré-encastré
22/09/03 Meca2 Thermo 45
Dilatation d'un rail bloqué en x