Mécanique du Solide Indéformable - Faculté des Sciences d`El Jadida

Université Chouaib Doukkali
Faculté des Sciences
Département de Physique
- El Jadida –
Mécanique du Solide Indéformable
A. EL AFIF
Filière : Sciences de la Matière Physique – S3
Année Universitaire : 2015-2016
(Deuxième Edition)
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Ch. I
TORSEURS
I.
Champ de vecteurs antisymétrique
•
•
toute application qui associe à chaque point A de l’espace un
On appelle champ de vecteurs, =
.
vecteur M
est équiprojectif si et seulement si :
On dit qu’un champ de vecteurs .
= . ∀
A
M
L’équiprojectivité traduit le fait
que les champs en deux points
A
quelconques A et B ont même
B
∥
H
B
M
projection sur la droite (AB) :
= •
K
∥
est antisymétrique si :
On dit qu’un champ de vecteurs = + R
∧ ∀
∃!R
Ou encore s’il existe une matrice antisymétrique ( = - ) tel que :
est la matrice transposée de .
= + .
∀
Théorème de Delassus : Tout champ de vecteurs antisymétrique est équiprojectif et réciproquement.
Antisymétrie
II.
⇔ Equiprojectivité
Torseurs
et de son vecteur
On appelle torseur un ensemble constitué d’un champ de vecteurs antisymétrique appelé résultante du torseur, vérifiant la relation de transport:
associé = + R
∧ ∀, A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
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Cours de Mécanique du Solide Indéformable
On note le torseur en un point A sous la forme :
[T(A)]=
#
!
, M
A]
$ ou encore [R
#
"
A est appelé moment résultant en A du torseur. Les vecteurs R
et A s’appellent les éléments de
réduction du torseur au point A. En termes des composantes des deux vecteurs dans une même base, on écrit:
()
%& = '(,
(-
*)+
*,+ .
*-+
III. Invariant scalaire d’un torseur
et de son moment
L’invariant scalaire d’un torseur [T], noté, I[ T ] est le produit scalaire de sa résultante A en un point A quelconque. Cette quantité est indépendante de ce point.
. A = . B
I [ T] =
∀
IV. Algèbre élémentaire des torseurs
0 ] et [/1 (A)] = [
1 ]
0 , 1 , Soient deux torseurs : [/0 (A)] = [
Egalité :
Addition:
(∀)
/0 = /1 ⇔ (∀ )
/ = /0 + /1 est un torseur tel que :
/# = /0 # + /1 #
Multiplication par un scalaire 4: / = 4/0 (∀)
Comoment :
0 = 1 23"
0# = "
1# )
(
/# = 4/0 #
⇔
!
0 + !
1 et "
0# + "
1#
= !
# = "
est un torseur tel que :
⇔
= 4!
0
(!
0 . "
1# + !
1 . "
0#
/0 #. /1 # = !
et
# = 4"
0# )
"
Le comoment est un invariant scalaire qui ne dépend pas du point A.
(∀
)
Preuve :
/0 #. /1 # = /0 6. /1 6
0 . 1 + 1 . 0 = 0 . 1 + 1 ∧ 1 . 0 + 0 ∧ /0 #. /1 # = 6# + 6#)
0 . 1 + 1 . 0 + 0 . 1 ∧ 1 . 0 ∧ 0 . 1 + 1 . 0 = /0 6. /1 6
=
6# + 6# = 0 . 1 ∧ 1 . 0 ∧ Car : 6# = −
6#
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
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Cours de Mécanique du Solide Indéformable
. = 1 I[T]
[T(A)]. [T(A)] = 2
Automoment :
V. Axe central d’un torseur
1.
Point central
est colinéaire à sa résultante :
Le point central A d’un torseur est un point où le moment résultant Ou encore que :
2. Axe central
= 9
,
,
# ∧ !
= 8
"
où k est un scalaire.
L’axe central ∆d’un torseur est la droite constituée par l’ensemble des points centraux :
≠ 8.
L’axe central n’existe que si =
# ∧ !
= 8
∆= ;#/"
Equation de l’axe central
, M
@ A un torseur dont les éléments de réduction en un point O sont donnés. Soit ∆l’axe
Soit [T(O)] =?R
central de [T] et soit A ∈∆ alors :
A ∧ = 8
O
M
Ou encore :
) ∧ O +
∧B
= 8
(
Ce qui donne en développant :
O ∧ + R2 . = 8
B − (
B) ≠ 8, on obtient:
Comme . B
∧ B
+
B = C
D
1
1
A
= 8 alors :
Soit B ∈∆ tel que B .
B
Le point B est la projection orthogonale de O
sur l’axe central ∆. Donc :
= F!
+ E#
E6
B
M
O
∧ B
=
B
1
A
M
Axe central
(∆
∆)
R
F scalaire
qui passe par le point B et de vecteur directeur .
Par conséquent, l’axe central est la droite, ∆6, 3.
Moment central
A d’un torseur est le moment résultant en un point A de son axe central (A ∈ (∆)).
Le moment central A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
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Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Le moment central a la même direction que l’axe central du torseur.
Remarque
Le moment d’un torseur est constant le long de :
B = A
• l’axe central : ∀A et B ∈ (∆) :
• toute parallèle à l’axe central.
Par conséquent : ∧
= 8
B = A +
∧
= A
Preuve : Soit A et B ∈ (∆) alors // (AB) donc VI. Torseurs à invariant scalaire nul : Glisseurs et Couples
, AA un torseur. L’invariant scalaire du torseur : I[ T ] = . A = 8 est nul, dans les cas
Soit [T(A)] =?R
suivants :
1. Torseur nul
2. Glisseur
3. Couple
1.
Torseur nul [0]:
(∀ )
2. Glisseur :
I[ T ] = 8
Le moment central d’un glisseur est nul :
et = 8
A = 8
∀C∈∆
et
C = 8
≠ 8
C ⊥ R
C // R
C =0
(car I[T] = 8) et M
(car C ∈(∆) ) Donc : M
En effet : M
Un glisseur est un torseur pour lequel il existe au moins un point central dont le moment est nul.
Axe central : Il faut distinguer deux cas :
.
1er Cas : = 8
= 8
Donc : ∧ d’où A ∈∆
(l’axe central passe par le point A)
passant par le point central A et de vecteur
L’axe central du glisseur est la droite ∆#, .
directeur .
≠ 8
2eme Cas : passant par le point B et de vecteur directeur tel que :
L’axe du glisseur est la droite ∆6, 3. Couple :
I[ T ] = 8,
Un couple est un champ uniforme:
= 8
= .
=
et
∧ 1
A ≠ 8
Par construction, un couple ne possède pas d’axe central.
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Exercice 1
) orthonormé direct, on considère le champ de vecteurs M
défini par :
Dans un repère ℛ (O; ı, ȷ, k
+ −1N − OP + O − 0Q + ORT + N + OP − OQ + 0 − OR9
M
= N + 0 − OP + OQ − ORS
Où x, y et z sont les coordonnées du point M dans le repère (R ), a et b sont deux constantes réelles.
1. ‘Anti-symétriser’ ce champ.
2. Déterminer alors les éléments de réduction au point O du torseur associé.
3. Déterminer sa nature et son axe central dans les deux cas : a = 0 et U ≠ 0
Dans un repère ℛ (O; ı, ȷ, k) orthonormé et direct, on considère deux torseurs dont les éléments de réduction
1, V1M] et [R
2, V
2M]. On définit le champ de vecteur W
en un point M quelconque sont respectivement [R
par :
Exercice 2
0 ∧ W
1 ∧
= 1 − 0
W
∧ W
1. Montrer que ce champ est équiprojectif ?
2. Déterminer alors la résultante associée à ce champ.
) orthonormé et direct, on considère les torseurs [T1] et [T2] dont les éléments de
Dans un repère ℛ (O; ı, ȷ, k
1O] et [R
2O’] définis par :
1, M
2, M
réduction au point O et point O’ (0, 1, 1) sont respectivement [R
Exercice 3
Z[\] – N + 0\_`]
Z[\] – N\_`]
′
0 B = ' \_`]
NZ[\] .1 B = a– \_`] – N + 0Z[\] b
8
8
8
Z[\]
Où a et α sont des constantes réelles.
1. Préciser la nature des deux torseurs.
1P en un point P de cet axe.
2. Déterminer l’équation de l’axe central de [T1] et en déduire le moment M
3. Déterminer les valeurs de α pour lesquelles le torseur [T] = [T1] + [T2] est un glisseur.
4. Calculer le co-moment des deux torseurs [T1] et [T2].
5. Trouver l’axe central de [T].
Exercice 4
Soit un parallélépipède ABCD A’B’C’D’ ; de cotés a, b et c.
) comme repère orthonormé direct.
On choisit R(C; ı, ȷ, k
1. Déterminer les éléments de réduction au point C du
′ d . En
torseur [T] constitué des vecteurs : #6 , ′ c ′ et d
déduire l’axe central
O du torseur au centre O du
2. Calculer le moment M
C’
B’
A’
D’
c
C
parallélépipède
D
b
B
a
A
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Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Ch. II
CINEMATIQUE DU SOLIDE
I. Généralités et définitions
D’une manière générale, la cinématique est l’étude d’un mouvement indépendamment des causes (forces)
qui le produisent.
1. Solide indéformable
Un solide indéformable ou rigide, (S), est un ensemble
P
de points telle que, la distance entre deux points
quelconques parmi tous ses points, reste constante au
B
A
cours du temps, et ceci quel que soit le mouvement du
(S)
f = c\
∀#, 6∈e,∀3f
solide:
Remarques
• Tout vecteur joignant deux points d’un solide rigide (S) est un vecteur de (S) :
∈e
∀#, 6∈e,∀3
• Un point P est dit rigidement lié à (S) s’il est immobile par rapport à tout point de (S) :
g = c\
∀#∈e,∀3 gh
2. Référentiel, Repère
Un repère d’espace ℛ(O; ℬ), est un ensemble de points rigidement liés, défini par la donnée d’une
origine O (Observateur) et d’une base ℬ. Le repère est dit orthonormé direct si sa base associée ℬ l’est aussi.
L’adjonction du temps (Horloge) à un repère définit un référentiel. Tout repère d’espace ou référentiel est un
« solide rigide» fictif.
En mécanique classique (c’est-à-dire non relativiste), l’espace physique est euclidien, de dimension 3,
homogène (indépendant de la position), isotrope (indépendant de la direction) et est caractérisé par un
temps absolu (indépendant de l’observateur).
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3. Point d’un solide
La position d’un point matériel M quelconque
(j)
z
Z
d’un solide (S) dans un référentiel (ℛ), à l’instant
t, est le point géométrique de l’espace, noté M(t),
M
occupé par M à l’instant t. Au cours du
k
i
dans (ℛ ) une courbe (j) appelée trajectoire du
point M dans (ℛ).
Le vecteur position d’un point M du solide (S),
x
par rapport au repère (ℛ) d’origine O, à l’instant t,
j
O
Y
OS
X
(})
mouvement du solide, le point matériel M décrit
}S (S)
y
joignant l’origine O du repère et
est le vecteur B
la position M(t). On définit :
Vecteur vitesse (m/s) :
Vecteur accélération: (m/s2) :
"⁄( = m
k
nE"
n3
o
n1 E"
γ"/ℛ = m
n31
ℛ
o =m
ℛ
o
"/ℛ
nk
n3
ℛ
4. Paramétrage de la position d’un solide
speut, en général, être décomposé en:
Le mouvement d’un solide (S) dans un référentiel ℛpO; ı, ȷ, k
•
un mouvement de translation suite aux changements de sa position
•
un mouvement de rotation suite aux changements de son orientation
Pour étudier le mouvement de (S), on lui lie rigidement un référentiel orthonormé direct arbitraire,
ayant pour origine un point quelconque, Ot lié à (S) (généralement son centre de gravité). Le
ℛt (Ot ; I, J, K
mouvement de (S) dans (ℛ) est alors complètement déterminé par le mouvement de (ℛt dans (ℛ). Par
de (ℛt ) par
conséquent, il suffit de paramétrer la position de l’origine Ot et l’orientation de la base I, J, K
rapport à (ℛ).
•
Paramétrage de la position de l’origine Ot : comme l’origine Ot est un point matériel, sa position
est habituellement paramétrée par :
- les coordonnées cartésiennes : x, y, z
- les coordonnées cylindriques : (ρ, θ, z)
- les coordonnées sphériques : (r, θ, ϕ).
•
: L’orientation de la base (I, J, K
de (ℛt ) par
Paramétrage de l’orientation de la base (I, J, K
s de ( ℛ ) est paramétrée, par les trois angles d’Euler: ψ, θ et ϕ.
rapport à la base pı, ȷ, k
ϕ Le
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mouvement de rotation (S) peut être décomposé en trois rotations planes successives autour de
trois axes de rotation. Fixons l’origine Ot de (ℛt ) avec l’origine O de (ℛ) afin d’éliminer la
translation.
→ „
avec l’angle ψ tel que : €, , ‚
• La première rotation s’effectue autour de l’axe Ot 
, …, ‚
s’appelle première base intermédiaire
La base „
, …, ‚
ψ‰ k
k
S
ψ
M
u
ψ
j
ψ
j
k
k
ψ
k
i
) par rapport à (ℛ) autour de l’axe de rotation (O k) avec
Le vecteur rotation instantané de ℛ) (Ot ; u, v
, k
s
la vitesse angulaire ψ‰est :
ℛ) /ℛ = Š‰
Ω
→ ‹
, …, 
, Œ
• La deuxième rotation s’effectue autour de l’axe Ot „
avec l’angle θ: ‹
, 
s’appelle deuxième base intermédiaire
, Œ
La base ‹
, 
K
k
Ž
θ
k
‘
θ
θ
v
M
u
w
θ
v
‰‹
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Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Le vecteur rotation instantané de ℛ, (Ot ; u, w
, K ) par rapport àℛ) (Ot ; u, v
, k ) autour de l’axe de
rotation (Os u) avec la vitesse angulaire ’‰est :
ℛ, /ℛ) = ‰
Ω
avec l’angle ϕ tel que : ‹
→ “, ”, ‘
, Œ
• La troisième rotation s’effectue autour de l’axe Ot K
, 
–‰K
K
k
š
w
ϕ
ϕ
u
I
J
w
ϕ
K
I
ϕ
u
Ligne des nœuds
par rapport à ℛ, (Ot ; u, w
) autour de l’axe de
Le vecteur rotation instantané de ℛt (Ot ; I, J, K
, K
rotationOt K avec la vitesse angulaire φ‰est :
ℛt /ℛ, = –‰
Ω
L’appellation des angles d’Euler est d’origine astronomique :
ψ : s’appelle angle de précession qui est le mouvement de rotation lent autour de la verticale.
θ: s’appelle angle de nutation qui est le mouvement d’oscillation de l’axe de rotation propre du solide.
ϕ : s’appelle angle de rotation propre qui est le mouvement de rotation autour de l’axe du solide.
La droite D(OS, „
) s’appelle axe nodal ou ligne des nœuds.
En conclusion, le paramétrage d’un solide non rectiligne libre est donné par — = ˜ + ˜ = ™ coordonnées
généralisées (3 pour la translation et 3 pour la rotation) qui doivent être des variables indépendantes et
qu’on appelle paramètres primitifs.
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Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Exemples :
1. Un point matériel libre dans l’espace (peut être considéré comme un solide ponctuel) est décrit par — = ˜
paramètres primitifs: les trois coordonnées de sa position.
2. Un solide rectiligne (AB) non ponctuel libre dans l’espace (par
exemple une barre rigide) possède — = › coordonnées
z
B
généralisées
3 degrés de translation : trois coordonnées de &x+ , y+ , z+ θ
2 degrés de rotation : 2 angles d’Euler : ψ (précession) et
A
θ (nutation).
y
ψ
x
3. La position d’un système matériel, constitué de —0 solides non
rectilignes libres, de —1 solides rectilignes non ponctuels libres et de —˜ points matériels libres, dépend de
— coordonnées généralisées tel que:
— = ™—0 + ›—1 + ˜—˜
II.
Champ des vecteurs vitesse des points d’un solide
Dérivation vectorielle. Formule de Varignon.
un vecteur
Soient ℛ et ℛ′ deux référentiels tel que ℛ′ soit en mouvement par rapport à ℛ. Soit U
quelconque alors la formule dite de Varignon s’écrit:
Remarque
nž
nž
ℛ′⁄ℛ∧ž
C D = C D + Ω
n3 ℛ
n3 ℛŸ
( ℛ'⁄ℛ )
( ℛ'⁄ℛ )
dΩ
dΩ
C
D = C
D
dt
dt
ℛ
ℛ'
Formule fondamentale de la cinématique du solide (F.F.C.S).
Soit (S) un solide en mouvement par rapport à un repère (ℛ) et (ℛ ) un référentiel lié à (S). D’après la
formule de Varignon, ∀ A et B ∈(S) :
dAB
dAB
( ℛ¢ ⁄ℛ )∧AB
C
D = C
D +Ω
dt ℛ
dt ℛ
¡
dAB
AB est un vecteur constant dans le référentiel (ℛ ) lié au solide (S), donc : m dt o
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ℛ¡
= 0
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dAB
dOB
dOA
C
D =C
D ⎯C
D =v
B/ℛ − v
A⁄ℛ dt ℛ
dt ℛ
dt ℛ
ℛe ⁄ℛ = Ω
e⁄ℛ Comme (S) et (ℛ ) sont rigidement liés: Ω
De plus :
Par conséquent:
e⁄ℛ ∧#6
6⁄ℛ = k
#⁄ℛ + Ω
∀#, 6∈ek
C’est la Formule Fondamentale de la Cinématique du Solide (F.F.C.S.) ou de Varignon.
III. Torseur cinématique
est antisymétrique et par
de vecteur associé Ω
D’après la F.F.C.S., le champ des vecteurs vitesse k
conséquent c’est un torseur. On l’appelle torseur cinématique ou torseur distributeur des vitesses noté:
¦e/ℛ# =
#
e⁄ℛ Ω
#⁄ℛ k
e⁄ℛ , k
#⁄ℛ $ ou Ω
Ses éléments de réduction en un point A de S (A ∈S) sont :
§⁄ℛ : résultante du torseur cinématique = vecteur rotation instantané de (S) par rapport à (ℛ)
Ω
#⁄ℛ : moment en A du torseur cinématique = vecteur vitesse de A ∈S par rapport à (ℛ)
k
REMARQUES
§⁄ℛ ≠ 8
, alors l’axe central (∆) du torseur cinématique existe et on l’appelle axe instantané de
1. Si Ω
rotation et de glissement ou encore axe de viration
2. Le champ de vitesses est équiprojectif :
.k
.k
6⁄ℛ = &¨
#⁄ℛ ∀#, 6∈e&¨
IV. Mouvements de Translation et de rotation
1. Mouvement de translation - Couple
Le mouvement d’un solide (S) par rapport à (ℛ) est un mouvement de translation si tout vecteur de (S)
reste équipollent à lui-même au cours du mouvement :
3 = ª32
∀#, 6 ∊ e∀3#6
Dans un mouvement de translation d’un solide, le torseur cinématique est un couple :
•
•
Le champ des vitesses est uniforme
e⁄ℛ = 8
.
le vecteur rotation instantané est nul : Ω
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Preuve :
,
1. Comme 3 = Z
Ce qui donne :
alors : m
o = 0
«¬­
«®
…¨/ℛ = …&/ℛ = …¯
ℛ
∀t
Par conséquent, à un instant t donné, tous les vecteurs vitesse des points du solide ont une même direction.
Le champ des vitesses est uniforme.
Instant t’ > t
A’
B’
v
(B’ /ℛ)
Instant t
A
v
(A’ /ℛ)
v
(A /ℛ)
(B /ℛ)
B v
AB = A′B′
Instant t :
Instant ¯’ = ¯ + ±¯ :
Remarque
…¨/ℛ = …&/ℛ = …¯
…¨′/ℛ = …&′/ℛ = …¯′
Dans un mouvement de translation du solide (S) par rapport à ℛ (O; ı , ȷ , k ), les vecteurs de base du
), lié au solide (S) gardent des directions fixes dans (ℛ).
référentiel ℛt (Ot ;I,J,K
2. D’après la F.F.C.S. on a:
dI
dJ
dK
C D = C D = C D = 0
dt ℛ
dt ℛ
dt ℛ
²/ℛ∧#6
∀&, ¨ ∊ ² …¨/ℛ = …&/ℛ + Ω
…¨/ℛ = …&/ℛ ⟹
e⁄ℛ = 8
Ω
e⁄ℛ = 8 et Ω
e⁄ℛ = 8
#⁄ℛ .Ω
Comme “¦ = k
Alors le torseur cinématique du mouvement du solide (S) par rapport au repère (ℛ) est un couple:
¦e/ℛ# = ´
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#
8
µ
#⁄ℛ ≠ 8
k
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Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Mouvement de translation rectiligne
k
Le mouvement de translation de (S) par
rapport à ( ℛ ) est dit rectiligne si la
i
trajectoire d’un point quelconque de (S)
dans (ℛ) est une droite.
O
j
Trajectoire
Mouvement de translation circulaire
Le mouvement de translation de (S) par
rapport à ( ℛ ) est dit circulaire si la
k
i O
K
OS
I
K
v(OS ⁄ℛ)
OS
J
vOS ⁄ℛ I
J
K
j
OS
trajectoire d’un point quelconque de (S)
I
dans (ℛ) est un cercle.
v
(( OS⁄ℛ )
J
2. Solide en mouvement de rotation autour d’un axe fixe.
z
Soit (S) un solide en rotation autour d’un axe (∆) fixe dans un
référentiel (ℛ).
Soit O ∊ (∆) :
y
E⁄ℛ = 8
k
O
La distance du point O à tout point du solide (S) est constante au
cours du temps. Donc O est lié au solide (S) :
ϕ
x
Δ
e⁄ℛ ∧E"
= Ω
e⁄ℛ ∧E"
"⁄ℛ = k
E⁄ℛ + Ω
"∈ek
e⁄ℛ = 8
"⁄ℛ .Ω
Donc: “¦ = k
Le torseur cinématique est un glisseur dont l’axe central est l’axe instantané de rotation (∆).
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Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Si tous les points du solide (S) sont en mouvement sur des trajectoires circulaires centrées sur l’axe (∆) de
, à la même vitesse angulaire,φ‰, alors :
vecteur unitaire k
S/ℛ = φ‰k
Ω
V.
Champ des vecteurs accélération des points d’un solide
Soit (S) un solide en mouvement par rapport à un repère (ℛ). La formule de transport :
∀ A et B ∈ (S)
e⁄ℛ∧#6
6⁄ℛ = k
#⁄ℛ + Ω
k
En dérivant par rapport au temps, dans (ℛ), on obtient :
⁄ℛ = ·
⁄ℛ + ¸
·
Sachant que :
On arrive à :
¹
¹
§/ℛ ∧ ¼
º§⁄ℛ » ∧ + º
½
¹
¹
ℛ
ℛ
dAB
S⁄ℛ ∧ ¼
½ =v
B⁄ℛ −v
A⁄ℛ = Ω
AB
dt ℛ
⁄ℛ = ·
⁄ℛ + ¸
·
¹
§/ℛ ∧ ?º
§/ℛ ∧ A
º§⁄ℛ » ∧ + º
¹
ℛ
§/ℛ ∧ ?º
§/ℛ ∧ A est en général non nul. Par suite, le champ des vecteurs
Le dernier terme º
accélération des points d’un solide n’est pas représentable par un torseur.
VI. Composition de mouvements
Soit (S) un solide en mouvement par rapport
à deux référentiels (ℛ) et ℛ´. Le référentiel
z
ℛ (O; ı, ȷ, k) est choisi comme étant absolu et
(S)
, k′
est choisi
le référentiel ℛ´O´; ı′, ȷ′
A
comme étant un référentiel relatif en
mouvement relatif par rapport à (ℛ). Soit A
un point du solide (S). D’après la relation de
Chasles :
(ℛ)
′ + À′&
À& = ÀÀ
x
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k
i
O j
′
k
ℛ'
O’
i′
j'
y
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Cours de Mécanique du Solide Indéformable
1. Composition des vecteurs rotation
( e⁄ℛ ) =Ω
( e⁄ℛ' ) +Ω
(ℛ′/ℛ)
Ω
(e⁄ℛ' = −Ω
Ω(ℛ'⁄§
Ω
Généralisation :
ÄÆÂÇ)
(ℛ) /ℛÂ ) = Ã Ω
(ℛÄ /ℛÄÅ) )
Ω
K
ÄÆ)
Exemple : Rotation autour d’un point fixe
Soit ℛ (O; i, j, k) un repère fixe et ℛ S(OS ≡ O; I, J, K) un

φ‰ K
repère lié à un solide (S) qui est en rotation autour du point
θ
fixe OS ≡ O (mouvement de rotation d’une toupie par
O
exemple). Le vecteur rotation instantané de (S) par rapport à
i
(ℛ) :
(²/ℛ = Ω
(ℛ /ℛ Ω
(ℛ /ℛ, + Ω
(ℛ, /ℛ) + Ω
(ℛ) /ℛ
= Ω
ℛ(Ot ; i, j , k)
(9,ψ
È⎯⎯⎯É
u
,–
, Ê
, 9) È⎯⎯⎯⎯É
ℛ) (Ot ; M
En fonction des angles d’Euler :
ψ
j
) È⎯⎯⎯⎯É ℛt (Ot ; Ë, š, , Ž
, ℛ, (Ot ; M
M
,
+ ͉„
Ω
²/ℛ = ̉
+ Ή
2. Composition des vecteurs vitesse
) est la somme de sa vitesse relative par
La vitesse absolue du point A du solide (S) par rapport à ℛ(O; ı, ȷ, k
, k′
et de sa vitesse d’entrainement :
rapport à ℛ´O´; ı′, ȷ′
Ï # = k
Ð # + k
#
k
2
ÒÓ+
Vecteur vitesse absolue :
…Ñ & = …&⁄ℛ = m
Vecteur vitesse relative :
…Õ & = …&⁄ℛ′ = m
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ÒÔ
o
Òӟ+
ÒÔ
ℛ
o
ℛŸ
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(ℛ′/ℛ) ∧ À′&
…Ö (&) = …(À′⁄ℛ) + Ω
Vecteur vitesse d’entraînement :
La vitesse d’entraînement est la vitesse absolue d’un point coïncidant &′ fixe dans le repère relatif
Ð (#′) = (ℛ′) (k
0) et qui coïncide, à l’instant t, avec le point A dans son mouvement par rapport à (ℛ). Les
points A et &′ occupent la même position à l’instant t. On utilisera dans la suite la notation ∈ ℛ′ pour
désigner le point coïncidant &′:
&′ ≡ ∈ ℛ′
Ð (#′) = v
k
(A′⁄ℛ ′) = v
( ∈ ℛ′⁄ℛ ′) = 0
Par conséquent, la vitesse d’entrainement s’écrit :
…Ö (&) = …Ñ (&∈ℛ′) = …(&∈ℛ′⁄ℛ )
Finalement on peut écrire:
Ÿ
(#⁄ℛ ) = k
p#⁄ℛ s + k
(#∈ℛ′⁄ℛ )
k
Remarque :
(#∈ℛ′⁄ℛ ) = − k
(#∈ℛ ⁄ℛ′)
k
ÚÆÙÇ)
(#∈ℛ) /ℛÙ ) = à …
…
(#∈ℛÚ /ℛÚÅ) )
ÚÆ)
On obtient également l’égalité des torseurs :
(²/ℛ)
Ω
…(&⁄ℛ )
$=
(²/ℛ’)
Ω
…(&⁄ℛ ′)
$+
(ℛ’/ℛ)
Ω
$
…(&∈ℛ′⁄ℛ )
D’où la relation de composition des torseurs cinématiques :
[¦(§/ℛ)] = [¦(§/ℛ’)] + [¦(ℛ’/ℛ)]
3. Composition des vecteurs accélération
L’accélération absolue d’un point A de (S) par rapport à (ℛ) est la somme de son accélération relative par
rapport à (ℛ’), de son accélération d’entrainement et de son accélération de Coriolis :
Ï (# ) = Û
Ð (# ) + Û
ª (# ) + Û
2 (# )
Û
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Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Ý +
ÒÜ
o =m
n1 E#
Þ +
ÒÜ
o
=à
d2 O'A
Accélération absolue :
ÛÏ # = Û
#/ℛ = m
Accélération relative :
Ð # = Û
#/ℛ′ = m
Û
Accélération de Coriolis ou Complémentaire :
ÒÔ
ÒÔ
ℛ
ℛß
n31
dt2
o
ℛ
á
ℛ'
(ℛ′⁄ℛ ∧ kÐ (#
ª (# = 1â
Û
L’accélération de Coriolis n’est non nulle que dans le cas d’un mouvement relatif par rapport à un repère en
rotation !
Accélération d’entraînement :
¹º
∧ mº
∧ ( = ·
(B′⁄ℛ + m o ∧ ·
BŸ + º
B′o
¹
ℛ
L’accélération d’entraînement est l’accélération absolue d’un point coïncidant A ∈ R′ fixe dans le repère
γ
ä (A = γ(A ∈ ℛ′⁄ℛ relatif (ℛ′) et qui coïncide, à l’instant t, avec le point A dans son mouvement par rapport à (ℛ) :
et A ∈ ℛ′ sont deux points du même référentiel solide (ℛ’).
On retrouve la relation de transfert obtenue dans le cas d’un champ d’accélération du fait que les points O’
Finalement :
Remarque
(ℛ′⁄ℛ ∧ k(#⁄ℛ′
(#⁄ℛ Ÿ + Û
(# ∈ ℛ Ÿ ⁄ℛ + 1â
(#⁄ℛ = Û
Û
åÖ (& ≠ C
n…Ö (&
D
n3
ℛ
VII. Cinématique de contact entre deux solides
1. Définitions
On dit que deux solides (S1) et (S2) sont en contact, à un instant t, s’ils ont un ensemble commun de
points matériels qui coïncident. Le contact entre deux solides est soit ponctuel (un seul point de contact) soit
multi-ponctuel (linéique ou surfacique).
Liaison
•
Le contact entre deux solides se traduit par une contrainte appelée liaison qui limite le mouvement
relatif d’un solide par rapport à l’autre. La liaison est exprimée mathématiquement par une relation
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Cours de Mécanique du Solide Indéformable
ou équation algébrique entre les paramètres primitifs, æÚ ≡ x, y, z, Ì, Í, Î des solides en contact
et/ou de leurs dérivées par rapport au tempsæ‰ Ú (≡ x‰ ,y‰ , z‰ , ̉ , ͉,Ή ) :
•
Par
ç3, èé , è‰ é = 8
La liaison est dite holonome si cette relation ne dépend pas des dérivées de ces paramètres :
exemple,
la
rigidité
d’un
solide
ç3, èé = 8
indéformable
(S)
est
une
liaison
holonome :
f = êP − P 1 + Q − Q 1 + R − R 1 = c\
∀#, 6∈e,∀3f
Dans le cas contraire, la liaison est dite non-holonome :
ç3, èé , è‰ é = 8
La liaison est dite bilatérale si tout mouvement de (S1) et (S2) exclut la rupture du contact entre les deux
solides (ç = 8. La liaison est dite unilatérale s’il y a possibilité de rupture du contact (ç ≥ 0ì„ ≤ 0
Degrés de liberté
Si un solide est soumis à des liaisons, certains de ses paramètres primitifs deviennent des variables
dépendantes. Par conséquent pour paramétrer la position d’un solide soumis à des liaisons, il ne faut choisir
parmi le nombre de ces paramètres primitifs, n, qu’un nombre réduit de paramètres indépendants, N qui
s’appelle nombre de degrés de liberté, et qui représente le nombre de mouvements indépendants de
rotation et de translation. Le nombre de degrés de liberté N est généralement inférieur au nombre de
paramètres primitifs, n :
î = — − îï
où îï est le nombre de liaisons. Si le système est libre sans liaisons (îï = 8) alors: î = —
2. Contact ponctuel
Considérons deux solides (S1) et (S2) en mouvement
dans un référentiel ℛ(O; ı, ȷ, k). Soit I le point géométrique
(S1)
I1
de l’espace de contact entre (S1) et (S2) à l’instant t.
A chaque instant t, il est nécessaire de distinguer trois
I
points confondus qui se trouvent au contact de (S1) et de
(S2) :
• Le point matériel I1 lié à S1 (I1≡I ∊ S1)
• Le point matériel I2 lié à S2 (I2 ≡ I ∊ S2)
O
(ℛ)
I2
(S2)
• Le point de l’espace I n’appartenant ni à (S1) ni à (S2),
qui au cours du mouvement se déplace sur (S1) et sur (S2).
Les vitesses et accélérations de ces trois points sont en général différentes au cours du temps.
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Page 18
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
2.1. Vitesse de glissement
On appelle vecteur vitesse de glissement au point I, …ð “; ²) ⁄²,, du solide (S1) par rapport au solide
(S2), la vitesse d’entraînement du point I du solide (S1) par rapport au solide (S2).
2 ñ
…ð “;²)⁄², = …“ ∈ ²) ⁄², = k
D’après la composition des vitesses:
Ce qui donne:
…“ ∈ ²)⁄², = …“ ⁄², − …“ ⁄²) k
ò ñ; e0 ⁄e1 = k
ñ ∊ e0 ⁄ℛ − k
ñ ∊ e1 ⁄ℛ ∀ℛ
Le vecteur vitesse de glissement est indépendant du repère par rapport auquel les solides (S1) et (S2) sont
en mouvement.
ò ñ; e0 ⁄e1 = −k
ò ñ; e1 ⁄e0 k
Remarque :
Proposition : Le vecteur vitesse de glissement est parallèle au plan tangent commun à (S1) et à (S2) en I.
Pivotement
π
â
t
Ω
Roulement
Définition
Le solide (S1) roule sans glisser sur le solide (S2) si :
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â
n
(S1)
n
ò e0 ⁄e1 k
I
(S2)
ò ñ; e0 ⁄e1 = 8
k
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Cours de Mécanique du Solide Indéformable
2.2. Roulement et pivotement au point de contact.
On peut décomposer le vecteur rotation instantané du solide (S1) par rapport au solide (S2) en une
composante normale et une composante tangentielle au plan (π) :
e0 ⁄e1 = Ω
— + Ω
3
Ω
Ω
Ù = ?Ω
²) ⁄², . ôAô: Vecteur rotation instantané de pivotement qui correspond à une rotation autour
•
Ù normal (perpendiculaire) au plan tangent (π). ΩÂ = fΩ
Ù f est la vitesse angulaire de
de l’axe (I;Ω
pivotement.
Ô = ô ∧ ?Ω
²)⁄², ∧ ôA: Vecteur rotation instantané de roulement qui correspond à une rotation
Ω
•
Ô tangent (parallèle) au plan tangent (π). Ω® = fΩ
Ô f est la vitesse angulaire de
autour de l’axe (I;Ω
roulement.
²) ⁄², ∧ "/², = k
I ∊ ²) /², + Ω
* ∊ ²) k
“*
Ce qui peut s’écrire encore :
"/², = k
õ
ò
k
ké32öö2n2
òïéöö2÷2—3
—ùúù
3ùúù
+ Ω
+ Ω
∧ñ"
∧ñ"
øù
ùû
øù
ùû
ké32öö2n2
üéký32÷2—3
ké32öö2n2
Ðý‹ï2÷2—3
3. Contact multi-ponctuel. Quelques types de liaisons
3.1.
Liaison rotoïde (pivot)
k
Un solide (S1) est soumis à une liaison rotoïde d’axe
) par rapport au solide (S2), si et seulement si, le
(A,k
seul mouvement possible de (S1) par rapport à (S2) est le
Ω
S2 (Cylindre)
).
mouvement de rotation d’axe (A,k
Par rapport au solide (S2), le solide (S1) n’a qu’un seul
degré de liberté : une rotation (d’angle ϕ) autour de l’axe
).
(A,k
S1 (piston)
²)⁄², = φ‰k
Ω
A ∊ ²) /², = k
0
A
& ∈l’axe fixe de rotation
)
Le torseur cinématique de la liaison pivot d’axe (A,k
est un glisseur:
0 0
¦²)/², = ' 0 0.
φ‰ 0
+
,
,,
þ
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et
∧ " ∊ ²) /², = φ‰k
k
AM
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Cours de Mécanique du Solide Indéformable
3.2.
Liaison glissière
Un solide (S1) est soumis à une liaison glissière d’axe
) par rapport au solide (S2), si et seulement si, le seul
(A,k
S1
mouvement possible de (S1) par rapport à (S2) est un
).
mouvement de translation d’axe (A,k
Par rapport au solide (S2), le solide (S1) n’a qu’un seul
degré de liberté : une translation (de paramètre λ) selon
).
l’axe (A,k
²)⁄², = Ω
0
# ∊ ²) /², = ‰ k
k
A
k
S2
A est un point de (S1)
), est un couple:
Le torseur cinématique de la liaison glissière d’axe (A,k
0 0
¦²) /², = '0 0 .
0 ‰ þ,,
+
k" ∊ ²) /², = ‰ k
3.3. Liaison verrou (ou pivot-glissant)
)
Un solide (S1) est soumis à une liaison verrou d’axe (A,k
par rapport au solide (S2), si et seulement si, les seuls
S2 (Cylindre)
k
Ω
mouvements possibles de (S1) par rapport à (S2) sont des
) et de translation d’axe
mouvements de rotation d’axe (A,k
).
(A,k
Par rapport au solide (S2), le solide (S1) n’a que deux degrés
) et
de liberté : une rotation (d’angle ϕ) autour de l’axe (A,k
S1 (piston)
A
).
une translation (de paramètre λ) selon l’axe (A,k
²)⁄², = φ‰k
Ω
# ∊ ²) /², = ‰ k
k
A est un point de (S1)
), dans la base (ı, ȷ, Le torseur cinématique de la liaison pivot glissant d’axe (A,k
k), est:
0 0
¦²) /², = ' 0 0 .
φ‰ ‰ þ,,
+ Ή 
∧ " ∊ ²) /², = ‰ k
k
&*
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+
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3.4. Liaison sphérique (ou rotule)
Un solide (S1) est soumis à une liaison sphérique au point A par rapport au solide (S2), si et seulement si,
les seuls mouvements possibles de (S1) par rapport à (S2) sont des mouvements de rotation autour du point
fixe A.
Par rapport au solide (S2), le solide (S1) a trois degrés de liberté : les trois rotations correspondant aux
angles d’Euler: ψ, θ, ϕ.
²)⁄², = Ή 
+ ‰ „
Ω
+ ̉
# ∊ ²) /², = k
0
S1
A
Le torseur cinématique de la liaison rotule de centre A
est un glisseur:
¦²) /², =
¬
S2
+ ‰ „
Ή 
+ ̉
$
0
∧ + ͉„
" ∊ ²) /², = Ή 
k
+ ̉
&*
IV. Mouvement plan sur plan
1. Définition et propriétés
9 8
On considère un disque (S) qui roule sur une
table (S0).
Soit ℛ 0(O0, ı0, ȷ0, k0) un référentiel lié à (S0) et
soit Π0(O0, ı , ȷ ) le plan de référence
0 .
perpendiculaire à k
≡ k
0) un référentiel lié à (S).
Soit ℛ (O,ı,ȷ,k
j
0
j
O
O0
i
i0
Si chaque point de (S) se déplace dans un plan (Π) de (ℛ) parallèle au plan de référence (Π0), alors on dit que
le mouvement de (S) par rapport à (S0) est un mouvement plan sur plan. Dans ce cas :
•
Les vecteurs vitesse de tous les points de (S) restent dans des plans (Π) parallèles
à (Π
Π 0).
Soit A ∊(S) et évoluant dans (Π). Le mouvement est plan sur plan alors :
= 0
…(A/ℛ 0) .k
car …(A/ℛ 0) ∊ (Π)
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Ω
(∆
∆)
A
I
∏
Ê(A/} 0)
∏0
‚
•
Le vecteur rotation instantané du solide (S) par rapport à (ℛ 0) est perpendiculaire
S⁄ℛ ∧ Ω
9 = 8
au plan du mouvement Π:
S⁄ℛ = 
Ω
Pour A et B ∈(S) et évoluant dans (Π) on a :
v
B/ℛ
−v
A/ℛ
øù
ùùùùù
ùùùùùû
ùúùù
= Ω(S/ℛ 0) ∧ AB
∈∏
∈∏
(S/ℛ 0) ∧ ⟹ Ω
AB ∊ Π
(S/ℛ 0) ⊥ Π
⟹ Ω
2. Centre Instantané de Rotation (CIR)
Dans un mouvement plan sur plan, l’invariant scalaire du torseur cinématique est nul :
²⁄ℛ = 0
“ = …&/ℛ . Ω
car
= S⁄ℛ ∧ v
A/ℛ . k
0 et Ω
9 = 8
S⁄ℛ ≠ Comme Ω
0, le torseur cinématique est un glisseur dont l’axe central (l’axe instantané de rotation)
s de vecteur directeur 
et passant par le point central I de moment central nul :
est la droite ∆p“, 
v
I∈ℛ/ℛ = 0.
Le point I est unique
Définition
On appelle centre instantané de rotation (CIR), à l’instant t, du mouvement plan sur plan de (S) par
rapport à (ℛ 0), le point I, intersection entre le plan (Π) et l’axe instantané de rotation (∆):
“ ∈ ∩ ∆…“∈ℛ ⁄ℛ = 0
Au cours du mouvement, le point I change de position dans (Π) et (Π0).
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3. Base et roulante
1. La trajectoire du CIR dans le plan (Π0) est appelée base du mouvement plan sur plan de (Π) par rapport à
(Π0).
2. La trajectoire du CIR dans le plan (Π) est appelée roulante du mouvement plan sur plan de (Π) par
rapport à (Π0).
La base et la roulante roulent sans glisser l’une sur l’autre. Les deux courbes sont tangentes au point I (CIR)
4. Recherche géométrique du CIR
Soit I, le centre instantané de rotation.
Soit M un point quelconque lié au plan (Π) du solide
(S).
²/ℛ ∧ …*/ℛ = …“/ℛ + Ω
“*
Ê (A/ℛ 0)
Ê (C/ℛ 0)
Ê (B/ℛ 0)
C
B
²/ℛ ∧ =Ω
“*
Donc
"/ℛ8 ⊥ ñ"
k
I
A
Le CIR se trouve à l’intersection des perpendiculaires
aux vecteurs vitesse du solide.
5.
Champ des vecteurs. Méthode des triangles :
′⁄ℛ8 k
Connaissant la position du CIR et un vecteur vitesse,
on peut déterminer géométriquement tous les vecteurs
vitesses d'un solide.
f
‖k
"/ℛ8 ‖=ñ"fΩ
∀" ∊(Π) lié à (S) on a :
²/ℛ ⊥ ñ"
car Ω
‖k
"/ℛ8 ‖
= ª32
ñ"
#⁄ℛ8 k
A
B
C
C’
I
‖k
#⁄ℛ8 ‖ ‖k
6⁄ℛ8 ‖ ‖k
⁄ℛ8 ‖
=
=
ñ#
ñ6
ñ
Pour les points quelconques A, B, C, on a :
⁄!8 ‖ = ‖k
′⁄!8 ‖
même trajectoire circulaire de centre I: IC’ = IC. Donc : ‖k
- Les vecteurs situés sur une même trajectoire circulaire ont donc même module. C et C’appartiennent à une
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Exercice 1
Soit une barre (AB) rigide et homogène de
longueur L, en mouvement dans le plan vertical
xOy du référentiel ℛ (O, ı , ȷ , k ). L’extrémité A
y
B
glisse sur l’axe Ox, alors que l’extrémité B glisse
) le référentiel lié à
sur l’axe Oy. Soit ℛ 1(A, I,J,k
la barre (AB). La barre (AB) est repérée dans (ℛ
par l’angle α.
) de (ℛ
dans la base (i,j,9
NB : Tous les résultats vectoriels doivent être exprimés
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
J
j
I
i
x
Paramétrage de (S)
Déterminer le torseur cinématique au
A
O
point A ¦ (AB/ℛ)]A. Préciser sa nature.
Déterminer le moment central et l’axe central du torseur cinématique
⁄ℛ et W
B ∈ /ℛ.
Calculer de deux manières différentes les vecteurs vitesses : W
⁄ℛ et ·
B ∈ /ℛ
Calculer de deux manières différentes les vecteurs accélérations : ·
Trouver géométriquement et par calcul, la position du centre instantané de rotation I du mouvement
plan sur plan de la barre (AB) dans (ℛ
Déterminer la base (b) et la roulante (r) du mouvement plan sur plan de la barre (AB) par rapport à
(ℛ). Tracer la base et la roulante.
Ë/O et W
Ë/. Conclure
Calculer les vecteurs vitesses du centre instantané de rotation: W
α
Exercice 2 : Variateur à plateau
ℛ (O; ı , ȷ , k ) un repère fixe. Un disque (S1) de
centre C1 et de rayon R1, tourne autour de l’axe
(O ı) . Le centre C1 est sur (O ı) et le plan de (S1)
est perpendiculaire à (O €). Un plateau circulaire
). Le
(S2) de centre C2 tourne autour de l’axe (O k
) et le plan de (S2) est
centre C2 est sur (O k
). Le plateau circulaire
perpendiculaire à (O k
roule sans glisser sur le disque (S1) en un point I
tel que :
C, I = (,ı.
(, > 0
S) /ℛ = ω)ı
Ω
C2
I
S2
O
C1
S1
S, /ℛ = ω,ı
Ω
1. Déterminer la relation entre la vitesse angulaire ω, du plateau (S2) et la vitesse angulaire ω) du disque
(S1).
2. Déterminer le vecteur rotation de roulement et le vecteur rotation de pivotement du mouvement de (S2)
par rapport à (S1) en fonction de ω) , R1 et R2.
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Page 25
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Ch. III
GEOMETRIE DES MASSES
Un système matériel (S) désigne un ensemble de points matériels ou de solides disjoints (e = ⋃ e ). Un
mouvement quelconque d’un système peut se décomposer en une translation et une rotation. Le système
matériel oppose à son mouvement une résistance due à sa masse ou à la répartition de cette masse : c’est ce
qu’on appelle l’inertie. La résistance à la translation est due à la masse elle-même. La résistance à la
rotation est due à la répartition de la masse dans le système. Cette dernière est mesurée par les moments
d’inertie.
I.
Masse
1. Définition
En mécanique classique, la masse d’un système matériel (S) est une grandeur physique qui est:
•
•
•
strictement positive : m (S) > 0
additive (extensive)
invariante : même valeur dans tous les référentiels
•
conservée pour un système fermé (solide par exemple) :
dm
dt
=0
Si le système (S) est constitué d’un ensemble de N points matériels de masse mi (é = 0, … , î), alors d’après
2. Système discret
la propriété d’additivité, la masse totale m du système est :
î
÷ = à ÷é
éÆ0
3. Système continu
Si le système (S) est continu (par exemple un solide), alors la masse totale du système est :
÷ = n÷
e
Où dm est la masse élémentaire d’un élément de matière de (S)
Distribution Volumique de masse volumique ρ
Si le système est homogène : ρ = Cte :
÷ = nk
÷ = A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
Page 26
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Distribution Surfacique de masse surfacique σ:
Si le système est homogène : σ = Cte.
÷ = nö
ö
m=σ s
Distribution Linéique de masse linéique λ :
Si le système est homogène : 4 = ö32
÷ = 4n
÷ = 4
II. Centre d’inertie
1. Définition
Système discret
matériels Mi, de masse mi (é = 0, … , î), est le point géométrique G tel que :
Le centre d’inertie (ou centre de masse) d’un système matériel (S), constitué d’un ensemble de N points
î
i = 8
à ÷é "
éÆ0
Il s’agit du barycentre des points matériels Mi pondérés par leur masse mi. Si A est un point quelconque de
l’espace, alors :
Système Continu
î
0
# = à ÷é #"i
÷
éÆ0
Dans ce cas, on a :
"n÷ = 8
e
Si A est un point quelconque de l’espace, alors :
# =
0
#"n÷
÷ e
2. Méthodes de détermination du centre d’inertie
2.1 Calcul direct
) un repère orthonormé direct. Soit G le centre d’inertie d’un système matériel (S).
Soit ℛ(O; ,,‚
= +
E
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
+
! ‚
Page 27
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Considérons le cas d’un système matériel (S) constitué de N points matériels Mi ( _ = 0, … , " ),
Système discret
respectivement, de masse mi et de vecteur position, E"é dans (ℛ) tel que:
é + !é ‚
+ E"é = é Les coordonnées du centre d’inertie, G sont données par :
î
0
= à ÷é é ÷
éÆ0
î
0
à ÷é
=
÷
î
0
à ÷é !é
é ! = ÷
éÆ0
éÆ0
Système continu
Soit M un point matériel quelconque du système matériel (S), de vecteur position, B, dans (ℛ) tel que:
= + + !‚
E"
Les coordonnées du centre d’inertie, G, sont données par :
=
0
nk
÷ =
0
0
nk! = ! nk
÷ ÷ Les cas bidimensionnel et unidimensionnel peuvent s’en déduire de manière similaire.
Exemple : Demi-disque homogène de rayon R
y
Le demi-disque est dans le plan (xOy) :
z = 0 donc zG = 0
Coordonnées polaires Ð, :
= Ъýö = Ðö闏
G
Surface élémentaire : nö = ÐnÐn
r
O
La surface du demi-disque de rayon R est :
e=
! $
#8 #8 ÐnÐn
=
1
Système homogène : σ = Cte donc ÷ = e
Coordonnées du centre d’inertie, G :
dr
$!1
Masse élémentaire : n÷ = nö = ÐnÐn
0
= ÷ e
x
θ
n÷ = ÷ e
0
nö = e e
et
= $!1
1÷
! $
1
1 И
%!
$
1
−ªýö
nö = à 1 á Ð ö闏nÐn =
¼
½
=
8
$!
$!1 ˜ 8
˜$
! $
!
8 8
0
0
1
1 И
= n÷ = nö = à 1 á Ð1 ªýönÐn =
¼ ½ \_`’&8 = 8
÷ e
e e
$!
$1 ˜ 8
8 8
Donc le centre de masse G a pour coordonnées dans (ℛ):
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
m8, ˜$ , 8o
%!
Page 28
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
3.2 Utilisation de la symétrie
Le centre d’inertie, G d’un système (S) est un point invariant des opérations de symétrie et par conséquent, il
appartient aux éléments de symétrie de (S).
Symétrie par rotation :
G appartient à l’axe de rotation
Symétrie plane (miroir) :
G appartient au plan de symétrie.
Exemple : Demi-disque homogène de rayon R
conséquent : xG =0
Le plan (yOz) est un plan de symétrie (miroir). Donc le centre d’inertie G appartient au plan (yOz). Par
3.3
Utilisation des théorèmes de Guldin
∆
Premier théorème de Guldin
Soit une courbe plane (C ) homogène, de longueur L et de centre
de masse G. La rotation de cette courbe, autour d’un axe de rotation
(∆), ne la coupant pas, engendre une surface d’aire S. La distance de
G à (∆) est :
d
e
n=
1$
G
C
Exemple: Quart de cerceau de rayon R
y
La longueur du quart de cerceau de rayon R est: = $!/1
Rotation autour de l’axe (Oy) : Cette rotation engendre une demi-sphère
creuse de surface : S = 2πR2
La distance de G à l’axe (Oy) est donc :
e
1$!1
1!
=
=
=
1$ 1$$!⁄1
$
yG
G
O
x
xG
Rotation autour de l’axe (Ox) : Cette rotation engendre une demi-sphère creuse de surface : S =2πR2
La distance de G à l’axe (Ox) est donc :
=
e
1$!1
1!
=
=
1$ 1$$!⁄1
$
Donc le centre d’inertie, G a pour coordonnées dans (ℛ):
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
Gm π ,
2R 2R
π
,0o
o
Page 29
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Second théorème de Guldin
∆
Soit une surface plane (S ) homogène, d’aire S, et de centre
de masse G. La rotation de cette surface autour d’un axe (∆), ne
la coupant pas, engendre un volume V. La distance de G à
∆ est :
n=
d
S
G
1$e
Exemple : Quart de disque de rayon R
La surface du quart de disque est : S = πR2/4
y
Rotation autour de l’axe (Oy) :
Cette rotation engendre une demi-sphère pleine de volume :
= 1$!˜ /˜
G
yG
La distance de G à l’axe (Oy) est donc :
1$!˜ ⁄˜
%!
=
=
=
1$e 1$($!1 ⁄%) ˜$
x
O
xG
Rotation autour de l’axe (Ox) :
Cette rotation engendre une demi-sphère pleine de volume :
= 1$!˜ /˜
La distance de G à l’axe (Ox) est donc :
=
1$!˜ ⁄˜
%!
=
=
1
1$e 1$($! ⁄%) ˜$
Donc le centre d’inertie, G a pour coordonnées dans (ℛ):
m˜$ , ˜$ , 8o
%! %!
III. Le référentiel barycentrique
) .
Soit (S) un système matériel de centre d’inertie, G, en mouvement dans un référentiel ℛ(O; ,,‚
1. Définition
) du système (S) est le référentiel d’origine G, en translation par
Le référentiel barycentrique, ℛ ('; , , ‚
rapport au référentiel (ℛ) :
(ℛ ⁄ℛ ) = â
8
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
Page 30
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
2. Vecteurs vitesse et accélération
Vecteur vitesse et accélération de G dans ℛ
Le vecteur- vitesse du centre d’inertie, G par rapport à ℛ est :
⁄( =
k
0
"⁄ℛ n÷
k
÷ "∈e
'⁄ℛ =
·
0
"⁄ℛ ¹(
·
( ∈§
Le vecteur- accélération du centre d’inertie, G par rapport à ℛ est :
Vecteurs vitesse et accélération dans ℛ Le centre d’inertie G est fixe dans ℛ :
Ou encore:
…⁄ℛ = 8
å⁄ℛ = 8
∈§
∈§
Ê"⁄ℛ' ¹( = 8
å"⁄ℛ' ¹( = 8
On aurait pu trouver ces résultats par différentiation de l’intégrale exprimant que G est le centre d’inertie de
(S), donc:
'"¹( = 8
∈§
3. Composition des mouvements
Composition des vecteurs rotation instantané
On a :
e⁄ℛ + â
ℛ ⁄ℛ âe⁄ℛ = â
car ℛ est en translation par rapport à ℛ
âℛ ⁄ℛ = 8
e⁄ℛ âe⁄ℛ = â
Composition des vecteurs vitesse et accélération
ℛ est choisi comme référentiel relatif par rapport à ℛ. M ∊ (S):
…"⁄ℛ = …"⁄ℛ + …⁄ℛ å"⁄ℛ = å"⁄ℛ + å⁄ℛ A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
Page 31
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
IV. Moments d’inertie, opérateur d’inertie et matrice d’inertie d’un solide
1. Moment d’inertie par rapport à un axe
Le moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à
un axe (∆) est le scalaire positif défini par:
∆
H
Ë) § = 1 ¹(
h∈§
(S)
r
où Ð = *+ = n*, ∆ est la distance du point P
du solide (S) à l’axe (∆). H étant la projection
A
u
P
dm
orthogonale du point P sur l’axe (∆).
2. Opérateur d’inertie
En utilisant le triangle AHP rectangle en H, la distance r du point P du solide (S) à l’axe ∆(Α,M
) passant
par le point A et de vecteur directeur unitaire M
est :
s, = ,M
Ð = #*,öé—pM
, h
∧ h,
Donc :
Par conséquent :
∧ p‹
∧ ∧ . ?#*
∧ Ð1 = p‹
#*s. p‹
#*s = ‹
#*sA
ñ- e = *∈e
. Ð1 n÷ = ‹
*.e
∧ p‹
∧ . ?#*
#*sAn÷ = ‹
/# e, ‹
Cette expression fait apparaitre un opérateur linéaire qu’on appelle opérateur d’inertie du solide (S) au
point A :
= /
# e, ‹
*.e
Comme :
Alors :
∧ p‹
sAn÷
∧ #*
?#*
1 s‹
. ‹
∧ − p#*
s#*
#* ∧ p‹
#*s = p#*
3. Matrice d’inertie
1 n÷1 − #
. ‹
n÷
= ‹
0#*.e #*
s#*
/# e, ‹
p#*
*.e
• L’opérateur d’inertie š
est symétrique et linéaire. Donc on peut lui associer une matrice symétrique
IIA(S), appelée matrice d’inertie ou tenseur d’inertie du solide (S) au point A.
= ññ# e. ‹
/# e, ‹
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
Page 32
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
• Le moment d’inertie par rapport à un axe ∆(Α,M
) est donc :
e
e,
.
= 3‹
. ññ# e. ‹
ñ= ‹ /#
‹
M
est le transposé du vecteur unitaire M
.
Eléments de la matrice d’inertie ËËB §
) orthonormé direct. La matrice d’inertie de
Soit (S) un solide en mouvement dans un référentiel ℛ (O; ,,‚
) peut s’écrire comme:
(S) au point O dans la base ,,‚
ñ
ññE e = 2ñ
ñ!
ñ
ñ
ñ !
ñ!
ñ !3
ñ!!
,,‚
Les éléments diagonaux : ËPP , ËQQ ËRR s’appellent les moments d’inertie
Les éléments non-diagonaux : ËPQ , ËPR ËQR s’appellent les produits d’inertie
ñ = 3. ññE e. ,
= 3. ññE e. ,
ñ
Etc…
ñ = 3. ññE e. Moments d’inertie : ËPP , ËQQ , ËRR
Calculons par exemple ËPP :
ñ = 3. ññE e. = ./
E e, /E e, = *.e
ñ = ./
E e, =
*.e
1 n÷ − E*
*.e
= + + !‚
E*
ñ = 1
1 +
*.e
. sE*
n÷
pE*
P
*.e
1 n÷ − E*
1
(S)
z
x
. s n÷
pE*
1
+ !1 n÷ − 1 n÷ = *.e
*.e
+ !1 est le carré de la distance du point P à l’axe (Ox)
1
O
y
+ !1 n÷
Produits d’inertie : ËPQ , ËPR , ËQR
Calculons par exemple ËPQ :
./
ñ = 3. ññE e. = E e, A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
Page 33
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
/E e, = *.e
1 n÷ − E*
ñ = ./
E e, = − *.e
*.e
. sE*
n÷
pE*
. spE*
. sn÷ = − pE*
n÷
*.e
On peut de façon similaire définir les deux autres moments et produits d’inertie.
En résumé :
# = ñ = #e
•
Moment d’inertie par rapport à l’axe (Ox) :
•
Moment d’inertie par rapport à l’axe (Oy) :
•
Moment d’inertie par rapport à l’axe (Oz) :
•
Produit d’inertie par rapport aux axes (Ox) et (Oy) :
•
Produit d’inertie par rapport aux axes (Ox) et (Oz) :
•
Produit d’inertie par rapport aux axes (Oy) et (Oz) :
1
+ !1 n÷
= #e1 + !1 n÷
6=ñ
= ñ!! = #e1 +
4 = −ñ = #e n÷
5 = −ñ! = #e !n÷
d = −ñ
!
), s’écrit :
La matrice d’inertie du solide (S) au point O, relativement à la base (S,T,9
# −4
e
ññE
= 6−4 6
−5 −d
1 n÷
= #e !n÷
−5
−d7
,,‚
Moment d’inertie par rapport à un point
Le moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à un point A est défini par:
ñ# e = *∈e
Ð1 n÷
où Ð* = #* = n*, # est la distance du point P du solide (S) au point A.
Moment d’inertie du solide (S) par rapport au point O origine du référentiel ℛ :
ñE = 1 +
e
1
+ !1 n÷
1 = P 1 + Q 1 + R 1 est le carré de la distance du point P au point O.
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Page 34
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Relations entre les moments d’inertie
ñE =
0
# + 6 + 1
# + 6 = + 1 !1 n÷
e
Exemple : Quart de cerceau homogène de rayon R
Solide bidimensionnel dans le plan (xOy) : z = 0.
y
Donc, les intégrales impliquant z sont nulles
dL
On utilise les coordonnées polaires :
= !ªýö
= !ö闏
n÷ = 4n = 4!n
dθ
θ
R
Cerceau homogène : 4 = 32. Donc : ÷ = 4
= ËPP = §
Q 1
+R
1 ¹(
1
&8
1
§
8
(1
1
˜
&
1
c = ËRR = P 1 + Q 1 ¹( = + = ÷!1
ñ
§
x
θ
1(1 ’ \_`1’ 81 (1
= Q ¹( = 4 ! öé—  ¹’ =
¸ −
» =
$
1
% 8
1
§
1
= ËQQ = P 1 + R 1 ¹( = P 1 ¹( =
§
$!
$8
1
$
1÷!1 ªýö1 81
÷!1
˜
= − n÷ = −4 ! ö闏ªýö n = −
¸−
»
=−
$
% 8
$
e
8
), s’écrit :
La matrice d’inertie du quart de cerceau au point O, relativement à la base (S,T,9
; 0
÷!1 :
ññE e =
1
1 :−
: $
9 8
−
1
$
0
8
8>
=
8==
1<,,‚
V. Matrice d’inertie en cas de Symétrie
Si le système (S) possède des éléments de symétrie matérielle (axe de rotation, plan de symétrie, inversion),
certains éléments de la matrice d’inertie s’annulent.
Exemple 1: (Oz) est un axe de symétrie matérielle
L’image d’un point P (x, y, z) du solide par l’axe de symétrie (Oz) est un point P’(−, − , !) du solide.
, , !
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→ −, − , !
Page 35
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Alors :
? = #§ PR¹( = #PA8 PR¹( + #
P@8
PR¹( = 8car :#PA8 PR¹( = − #
De manière similaire, on peut montrer que : d = #§ QR¹( = 8.
P@8
PR¹(
Par conséquent : Si (Oz) est un axe de symétrie matérielle alors 5 = d = 8
), s’écrit :
La matrice d’inertie au point O, relativement à la base (S,T,9
#
e
ññE
= 6−4
8
−4 8
6 87
8 ,,‚
Exemple 2 : (xOy) est un plan de symétrie matérielle
L’image d’un point P (x, y, z) du solide par le plan de symétrie (xOy) est un point P’(, , −!) du solide.
Alors :
? = #§ PR¹( = #RA8 PR¹( + #
R@8
, , !
→ , , −!
PR¹( = 8car :#RA8 PR¹( = − #
R@8
De manière similaire, on peut montrer que : D = 0.
PR¹(
Par conséquent : Si (xOy) est un plan de symétrie matérielle alors 5 = d = 8
), s’écrit :
La matrice d’inertie au point O, relativement à la base (S,T,9
#
ññE e = 6−4
8
−4 8
6 87
8 ,,‚
Exemple 3 : (Oz) est axe de symétrie de révolution matérielle
Tout plan contenant l’axe (Oz) est un plan de symétrie matérielle.
Donc, d’après l’exemple 2 :
•
(xOz) est un plan de symétrie matérielle alors :
•
(yOz) est un plan de symétrie matérielle alors :
d = 4 = 8
5 = 4 = 8
De plus : par une rotation d’angle π/2 autour de l’axe (Oz) :
, , ! → , −, ! implique que A = B
), s’écrit :
La matrice d’inertie au point O, relativement à la base (S,T,9
# 8 8
ññE e⁄! = 6 8 # 87
8 8 ∀ïÏBÏö2Ç,Ç,‚
signifie que la matrice d’inertie est de cette forme dans toute base orthonormée ayant
La notation −, −,‚
9 comme troisième vecteur.
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Page 36
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
VI. Matrice principale d’inertie
1. Définitions
La matrice d’inertie est symétrique, donc elle est diagonalisable et ses valeurs propres sont réelles.
Elle possède un système de trois vecteurs propres deux à deux orthogonaux qui forment une base principale
d’inertie. Les repères, pℛC s, associés aux bases principales s’appellent les repères principaux d’inertie dont
les axes s’appellent les axes principaux d’inertie. Dans un repère principal d’inertie pℛC s, d’origine O la
matrice d’inertie est diagonale:
#
ññE e = 6 8
8
8 8
6 87
8 BÏö2üÐ闪éüÏï2
Les valeurs propres A, B et C de la matrice d’inertie s’appellent les moments principaux d’inertie du solide
(S) au point O
2. Propriétés des repères principaux
a. 4 = 5 = 8 si et seulement si (Ox) est un axe principal d’inertie
4 = d = 8 si et seulement si (Oy) est un axe principal d’inertie
5 = d = 8 si et seulement si (Oz) est un axe principal d’inertie
b. Tout axe de symétrie matérielle est un axe principal d’inertie
c. Tout axe perpendiculaire à un plan de symétrie matérielle est un axe principal d’inertie
d. Tout repère qui possède pour éléments de symétrie matérielle du système (S) deux plans de symétrie est
un repère principal d’inertie
e. Tout repère qui possède pour éléments de symétrie matérielle du système (S) deux axes de symétrie est un
repère principal d’inertie.
Remarques
1. Si les 3 moments principaux d’inertie sont tous distincts les uns des autres (# ≠ 6 ≠ ), il existe un seul
repère principal d’inertie
2. Symétrie de révolution matérielle ou cylindrique :
Si le système possède la symétrie cylindrique, alors :
• il existe une infinité de repères principaux d’inertie ayant en commun l’axe de symétrie de révolution
(par exemple Oz)
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Page 37
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
• uniquement deux des moments principaux d’inertie sont identiques (par exemple A = B ≠ C si Oz est
l’axe de symétrie de révolution matérielle)
3. Symétrie sphérique:
Si le système possède la symétrie sphérique, alors :
• tout axe issu du centre de masse est un axe de symétrie et donc un axe principal d’inertie
• tout repère ayant le centre de masse comme origine est un repère principal d’inertie
• les trois moments principaux d’inertie sont identiques (# = 6 = )
Exemple 1 : Tige pleine de longueur L
L’axe (Oz) est un axe de symétrie de révolution, donc le repère ℛC (Oxyz) muni de
) est un repère principal d’inertie.
la base (S,T,9
(Oz) axe de symétrie de révolution:
# = 6
Tige linéique disposée suivant Oz :
x=y=0
n÷ = 4n = 4n!
Tige homogène : 4 = 32 . Donc : ÷ = 4
D/1
donc
=8
˜ ÷1
= = R ¹( = 4 R ¹R = 4
=
01
01
§
1
ÇD/1
z
1
La matrice d’inertie au centre d’inertie O :
÷1 0 8
ññE e =
68 0
01
8 8
O
8
87
8 ∀ïÏBÏö2Ç,Ç,‚
x
y
Exemple 2 : Disque de rayon R
) est un
L’axe (Oz) est un axe de symétrie de révolution, donc le repère ℛC (Oxyz) muni de la base (S,T,9
repère principal d’inertie.
Symétrie cylindrique : # = 6
y
Le disque appartient au plan (xOy) : ! = 8.
= Ъýö
= Ðö闏
x
n÷ = ne = ÐnÐn
O
Le disque homogène : = 32 . Donc ÷ = $!1
#=
e
1
1$ !
n÷ = И öé—1  nnÐ =
8
8
÷!1
1
La matrice d’inertie au centre d’inertie O:
= # + 6 = 1# =
÷!1
%
÷!1 0
ññE e =
68
%
8
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
8 8
0 87
8 1 ∀ïÏBÏö2Ç,Ç,‚
Page 38
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Exemple 3: Cylindre homogène plein de rayon R et de hauteur h
L’axe (Oz) est un axe de symétrie de révolution, donc le repère ℛC (Oxyz) muni
) est un repère principal d’inertie. Symétrie cylindrique : A=B
de la base (S,T,9
z
n÷ = n = ÐnÐnn!
Cylindre homogène : = 32 . Donc ÷ = $!1 E
+ = c + 1 R 1 ¹(
§
Coordonnées polaires :
= ñ!! = 1 +
e
= Ъýö = Ðö闏
1 n÷
! 1$
ñE = !1 n÷ = e
8 8
= E/1
8 8
E/1
x
И nÐnn! = ÇE/1
!1 ÐnÐnn! = ÇE/1
= = c⁄1 + R 1 ¹( =
§
! 1$
(1 (F1
+
%
01
y
O
!%
÷!1
1$E =
%
1
!1
E˜ ÷E1
1$
=
1
01
01
La matrice d’inertie au centre d’inertie O:
÷!1 ÷E1
;
+
01
: %
:
ññE e = :
8
:
:
8
9
8
÷!1 ÷E1
+
%
01
8
8 >
=
=
8 =
=
÷!1 =
1 <∀ïÏBÏö2Ç,Ç,‚
Exemple 4 : Sphère homogène creuse de rayon R
) est un repère principal d’inertie,
Le repère ℛC (Oxyz) muni de la base (S,T,9
z
car tout axe passant par le centre de masse est un axe de symétrie sphérique
Symétrie sphérique : # = 6 = ËB =
0
˜
+ + c = 1
1
ñE = 1 +
e
==c=
1
O
+ !1 n÷ = !1 n÷ = ÷!1
1
(1
˜
y
x
e
La matrice d’inertie de la sphère creuse au point centre de masse O :
0
1
1
ññE e = ÷! 68
˜
8
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
8
0
8
8
87
0 ∀ïÏBÏö2Ç,Ç,Ç
Page 39
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Exemple 5 : Sphère homogène pleine de rayon R
) est un repère principal
Le repère ℛC (Oxyz) muni de la base (S,T,9
d’inertie. Symétrie sphérique : # = 6 = n÷ = n = Ð1 ö闏nÐnn–
Sphère homogène : = 32 .
0
˜
ËB = + + c = 1
1
ñE = 1 +
e
1
z
Donc ÷ = $!˜ %
˜
y
O
! 1$ $
˜
+ !1 n÷ = Ð% ö闏nÐnn– = ÷!1
›
8 8
x
8
1
(1
›
La matrice d’inertie de la sphère pleine au centre de masse O :
0 8 8
1
ññE e = ÷!1 68 0 87
›
8 8 0 ∀ïÏBÏö2Ç,Ç,Ç
==c=
VII. Théorèmes de Huygens (ou théorèmes des axes parallèles)
Hypothèses :
•
L’axe (∆G) est un axe passant par le centre de masse G de (S)
•
L’axe (∆) est parallèle à l’axe (∆G)
∆
∆G
Le moment d’inertie Ë) par rapport à un axe (∆), d’un solide (S) de
d
masse m, est égal à son moment d’inertie Ë)' par rapport à l’axe (∆G),
G
augmenté du produit de la masse, m, de (S) par le carré de la distance, d,
des deux axes :
ñ- = ñ- + ÷n1 Où : n = n, ) ≡ n)' , ) est la distance entre le point G et l’axe (∆)
Exemple 1 :Tige pleine de longueur L
z
Tige de longueur L disposée suivant l’axe (Oy) qui est l’axe de
∆
∆G
symétrie de révolution : A = C
∆(Ο, ‚ ): axe perpendiculaire à la tige, passant par O et de
vecteur directeur ‚ = 8, 8, 0
O
G
y
x
∆G(G, ‚) axe passant par G et parallèle à l’axe (∆)
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
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Cours de Mécanique du Solide Indéformable
÷1 0 8 8
68 8 8 7
01
8 8 0 ∀GNON\Ç,T,Ç
Le moment d’inertie de la tige par rapport à l’axe ∆G:
0 8 8 8
÷1
÷1
. ËË' §. 9
=
8 8 0. 68 8 87 . 687 =
Ë)' = 9
01
01
8 8 0 0
ËË' § =
La distance entre les deux axes est :
n, ∆ = /1
Le moment d’inertie de la tige par rapport à l’axe ∆ est:
÷1
1 ÷1
Ë) =
+ ÷à á =
01
1
˜
VIII. Théorème de Huygens-Steiner (ou de Huygens généralisé)
Dans une même base orthonormée directe : La matrice d’inertie ËËB §au point O, d’un solide (S) de masse
m, est égale à sa matrice d’inertie ËË' § en son centre de masse G, augmentée de la matrice d’inertie
ËËB ', ( au point O, du centre de masse G, considéré comme point fictif affecté de la masse, m de (S)
De façon explicite:
# −4
6−4 6
−5 −d
ññE e = ññ e + ññE , ÷
#
−5
−d7 = 6−4
−5
−4
6
−d
1
1
−5
+ !
−d 7 + ÷ 2 − − !
− 1 + !1
− !
− !
− ! 3
1 + 1
Les matrices d’inertie doivent être exprimées dans une même base orthonormée directe
Eléments des matrices d’inertie ËË' § et
ËËB ', (
) un repère orthonormé direct. Soit
Soit ℛ (O; ,,‚
(ℛ )
) le référentiel barycentrique.
ℛ (G; ,,‚
B' = P 'S + Q'T + R' 9
'h = P 0S + Q0T + R0 9
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
P
z
+ R9
Bh = PS + QT
z) (ℛ G)
y) G
x) (S)
O
x
y
Page 41
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
+ Bh = B'
'h
D’après la relation de Chasles :
P = P' + P0
Ou encore que :
Q = Q' + Q0
R = R' + R0
Montrons que : # = # + ÷pQ'1 + R'1 s
= Q 1 + R 1 ¹( = Q0 1 + R0 1 ¹( + Q' 1 + R' 1 ¹( + 1Q' Q0 ¹( + 1R' R0 ¹(
§
§
§
Comme G est le centre d’inertie de (S) alors :
§
§
GPdm =0 ⇒ P 0 ¹( = 8, Q0 ¹( = 8 R0 ¹( = 8
§
P ∈(S)
# = # + ÷pQ'1 + R'1 s
Donc, on obtient que :
§
§
' = #§Q0 1 + R0 1 ¹( est le moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe 'P 0 .
•
•
La quantité
1
+ !1 est le carré de la distance entre les axes (Ox) et (Gx)
On peut montrer de façon similaire que :
6 = 6 + ÷pP '1 + R'1 s
' = #§P 0 1 + R0 1 ¹( est le moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe 'Q0 .
•
La quantité 1 + !1 est le carré de la distance entre les axes (Oy) et (Gy)
•
= + ÷pP '1 + Q'1 s
c' = #§pP 0 1 +Q0 1 s¹( est le moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe 'R0 .
•
La quantité 1 +
•
1
est le carré de la distance entre les axes (Oz) et (Gz)
Montrons que : 4 = 4 + ÷
= QR¹( = Q' + Q0 P ' + P 0 ¹(
§
§
= Q0 P 0 ¹( + Q' P ' ¹( + Q' P 0 ¹( + P ' Q0 ¹(
§
Donc, on obtient que :
§
§
4 = 4 + ÷
§
4 = #§ Q0 P 0 ¹( : est le produit d’inertie de (S) par rapport aux axes {(GP 0 ) et (GQ0 )}
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
Page 42
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
On peut montrer de façon similaire que :
d = d + ÷
!
5 = 5 + ÷ !
d = #§ Q0 R0 ¹( : est le produit d’inertie de (S) par rapport aux axes {(GQ0 ) et (GR0 )}
5 = #§ P 0 R0 ¹( : est le produit d’inertie de (S) par rapport aux axes {(GP 0 ) et (GR0 )}
Exemple : Sphère pleine de rayon R
Les coordonnées du centre de masse G dans ℛ :
= 8,
z
= !,! = 8
La matrice d’inertie du système (S) au point G s’écrit :
0
1
ññ e = ÷!1 68
›
8
8 8
0 87
8 0 ∀ïÏBÏö2Ç,Ç,Ç
G
O
y
Matrice d’inertie en O : ËËB § = ËËB ', ( + ËË' §
1
ññE , ÷ = ÷ 2 8
8
8
8
8
8
83
1
,,‚
0
1
= ÷! 68
8
8
8
8
8
87
0 ,,‚
x
), s’écrit :
La matrice d’inertie du système (S) au point O, relativement à la base (S,T,9
I/1 8
1
1
0
ññE e = ÷! 6 8
›
8
8
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
8
8 7
I/1 ,,‚
Page 43
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Ch.IV
CINETIQUE DU SOLIDE
La cinétique est l’étude cinématique d’un système matériel en considérant l’influence de sa masse ou de la
répartition de celle-ci sur son mouvement. Soit (S) un solide de centre de masse G en mouvement dans un
référentiel (ℛ) d’origine O. Soit (ℛJ ) le repère barycentrique d’origine G.
I.
Cas d’un Point Matériel M(m)
1. Quantité de mouvement (‚ò. ÷. öÇ0 )
La quantité de mouvement d’un point matériel M de masse m par rapport à ℛ est:
ü"⁄ℛ = ÷k
"⁄ℛ 2. Moment cinétique en un point A (‚ò. ÷1 . öÇ0 Le moment cinétique de M, en un point A par rapport à ℛ est :
"⁄ℛ # "⁄ℛ = #" ∧ ü"⁄ℛ = #" ∧ ÷k
3. Quantité d’accélération (‚ò. ÷. öÇ1)
La quantité d’accélération d’un point matériel M de masse m par rapport à ℛ :
"⁄ℛ = ÷Û
"⁄ℛ Ï
4. Moment dynamique en un point A (‚ò. ÷1 . öÇ1 Le moment dynamique de M, en un point A par rapport à ℛ est :
K# "⁄ℛ = "⁄ℛ #" ∧ Ï"⁄ℛ = #" ∧ ÷Û
5. Energie cinétique
"⁄ℛ par rapport à ℛ est :
L’énergie cinétique d’un point matériel M de masse m et de vitesse k
5ª "⁄ℛ =
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0
"⁄ℛ 1
÷k
1
Page 44
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
II.
Cas d’un Solide (S)
1. Quantité de mouvement (‚ò. ÷. öÇ0 )
La quantité de mouvement d’un solide (S), de masse m :
Par rapport à ℛ :
Par rapport à (ℛ G) :
e⁄ℛ = #∈e k
"⁄ℛ n÷ = ÷k
⁄ℛ ü
e⁄ℛ = 8
ü
2. Moment cinétique en un point A (‚ò. ÷1 . öÇ0 Le moment cinétique de (S), en un point A, par rapport à ℛ est :
# e⁄ℛ = C’est le moment de la quantité de mouvement.
#" ∧ k"⁄ℛ n÷
∈e
Moment cinétique au centre de masse G
• Le moment cinétique d’un solide (S) au centre de masse G par rapport à ℛ est égal à son moment
cinétique en son centre de masse G par rapport au référentiel barycentrique ℛ ,
e⁄ℛ = e⁄ℛ Démonstration :
e⁄ℛ = #"∈e " ∧ k"⁄ℛ n÷ = #e " ∧ …"⁄ℛ n÷ + #e " ∧ …⁄ℛ n÷ =
e⁄ℛ car : #e " ∧ k⁄ℛ n÷ = øù
m#e
"n÷
ùùúù
ùùûo ∧ k⁄ℛ = 8
• De plus, il est trivial de voir que :
Æ8
e⁄ℛ = * e⁄ℛ ∀*
Donc le moment cinétique dans le référentiel barycentrique (ℛ G) est indépendant du point par rapport auquel
il est calculé, on le note par conséquent par ∗ e⁄ℛ :
e⁄ℛ = e⁄ℛ = ∗ e⁄ℛ 3. Quantité d’accélération (‚ò. ÷. öÇ1)
La quantité d’accélération d’un solide (S) de masse m :
Par rapport à ℛ:
Par rapport à ℛJ :
e⁄ℛ = #∈e Û
"⁄ℛ n÷ = ÷·
'⁄ℛ Ï
e⁄ℛ = 8
Ï
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
Page 45
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
4. Moment dynamique en un point A (‚ò. ÷1 . öÇ1 Le moment dynamique d’un solide (S), en un point A dans un référentiel ℛ) est :
K# e⁄ℛ = C’est le moment de la quantité d’accélération
#" ∧ Û"⁄ℛ n÷
∈e
Moment dynamique par rapport au centre de masse G
Le moment dynamique de (S) en son centre de masse G dans un référentiel ℛ est égal à son moment
dynamique en G dans le référentiel barycentrique ℛ ,
e⁄ℛ = K
e⁄ℛ = K
∗ e⁄ℛ K
5. Moments par rapport à un axe ∆
) un axe de vecteur unitaire ‹
et passant par le point A.
Soit ∆(Α,‹
• Le moment cinétique de (S) par rapport à ∆ est:
• Le moment dynamique de (S) par rapport à ∆ est:
. ) e⁄ℛ = ‹
# e⁄ℛ . K# e⁄ℛ K) e⁄! = ‹
Ces résultats sont indépendants du point A de l’axe (∆).
6. Energie cinétique
L’énergie cinétique du solide (S) en mouvement dans ℛ :
5ª e⁄ℛ =
Energie cinétique barycentrique
0
k
"⁄ℛ 1 n÷
1 ∈e
L’énergie cinétique barycentrique de (S), dans le référentiel barycentrique ℛ est :
5ª e⁄ℛ =
0
k
"⁄ℛ 1 n÷
1 ∈e
III. Torseur cinétique
Soient A et B deux points quelconques de l’espace. Soit M un point du solide (S). Le moment cinétique en B
est :
+ "⁄ℛ n÷
6 e⁄ℛ = 6" ∧ k"⁄ℛ n÷ = p6#
#"s ∧ k
e
#" ∧ k"⁄ℛ n÷ = # e⁄ℛ e
e
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
Page 46
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
"⁄ℛ n÷D ∧ ⁄ℛ ∧ e⁄ℛ ∧ 6# ∧ k"⁄ℛ n÷ = C k
#6 = ÷k
#6 = ü
#6
e
Par conséquent :
e
e⁄ℛ ∧ # e⁄ℛ + ü
#6 6 e⁄ℛ = e⁄ℛ = (Ê'⁄ℛ . C’est un torseur appelé
Le moment cinétique est antisymétrique de vecteur associé ü
torseur cinétique, noté [C] et dont les éléments de réduction en un point A :
e⁄ℛ # = M
#
e⁄ℛ = ÷k
⁄ℛ ü
# e⁄ℛ = e⁄ℛ : s’appelle la résultante cinétique du torseur
ü
N
#" ∧ k"⁄ℛ n÷
"∈e
IV. Torseur dynamique
e⁄ℛ ∧ K6 e⁄ℛ = K# e⁄ℛ + Ï
#6
De même, il est trivial de montrer que :
e⁄ℛ = ÷Û
⁄ℛ . C’est un torseur appelé,
Le moment dynamique est antisymétrique de vecteur associé Ï
torseur dynamique du solide (S), noté [D] dont les éléments de réduction au point A :
e⁄ℛ = ÷Û
Ï
⁄ℛ de⁄ℛ # = M
K# e⁄ℛ = #
e⁄ℛ : s’appelle la résultante dynamique du torseur
Ï
V.
N
#" ∧ Û"⁄ℛ n÷
∈e
Théorèmes de Kœnig
On utilise les relations de transfert pour passer au centre de d’inertie G du solide (S).
Théorème de Kœnig du moment cinétique:
⁄ℛ ∧ e⁄ℛ + ÷k
#
# e⁄ℛ = Par définition, le moment cinétique en un point A, du centre d’inertie G considéré comme un point matériel
affectée de la masse totale m du solide (S), s’écrit :
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
Page 47
Donc on arrive à :
⁄ℛ # ÷⁄ℛ = # ∧ ÷k
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
# e⁄ℛ = ∗ e⁄ℛ + # ÷⁄ℛ Théorème de Kœnig du moment dynamique :
# e⁄ℛ = K
e⁄ℛ + ÷Û
K
⁄ℛ ∧ #
Le moment dynamique en un point A, du centre de masse G du solide (S) affecté de la masse totale du m
solide (S), est :
K# ÷⁄ℛ = ⁄ℛ # ∧ ÷Û
Donc on arrive au théorème de Koenig pour le moment dynamique :
# e⁄ℛ = K∗ e⁄ℛ + K# ÷⁄ℛ K
Théorème de Kœnig de l’énergie cinétique :
L’énergie cinétique, 5ª e⁄ℛ d’un solide (S) en mouvement dans un référentiel ℛ est la somme de
l’énergie cinétique barycentrique, 5ª e⁄ℛ ,et de l’énergie cinétique, ÷…⁄ℛ 1 , du centre de masse
0
1
G, affecté de la masse totale, m de (S)
Démonstration :
0
5ª e⁄ℛ = 5ª e⁄ℛ + ÷…⁄ℛ 1 1
On considère que ℛ est en mouvement relatif par rapport à ℛ. D’après la composition des vitesses :
L’énergie cinétique de (S) dans ℛ :
5ª e⁄ℛ =
=
0
"⁄ℛ 1
k
1 e
…"⁄ℛ = …"⁄ℛ + …⁄ℛ 0
0
…"⁄ℛ 1 n÷ + …⁄ℛ 1 n÷ + …⁄ℛ . …"⁄ℛ n÷
1 e
1
e
e
0
= 5ª e⁄ℛ + ÷…⁄ℛ 1
1
car :
O* n÷o
#e …"⁄ℛ n÷ = n3 m#e n
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
ℛ
=8
Page 48
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
(e⁄ℛ ) = 8
VI. Mouvement de translation d’un solide (S) par rapport à ℛ : â
Soit (S) un solide en mouvement de translation par rapport à (ℛ). Alors :
• P
' (§⁄ℛ ) = P
' (§⁄ℛ' ) = 8
• K (e⁄ℛ) = K (e⁄ℛ ) = 8
• 5ª (e⁄ℛ ) = 8
Conséquences sur les théorèmes de Koenig:
•
•
•
(⁄ℛ )
# (e⁄ℛ ) = # ∧ ÷k
# (e⁄ℛ ) = (⁄ℛ )
K
# ∧ ÷Û
5ª (e⁄ℛ) = ÷[…(⁄ℛ )]1
0
1
VII. Relation entre Torseur Cinétique et Torseur Dynamique en un point quelconque
Soit A un point quelconque de l’espace. Le moment cinétique du solide (S) en un point A est
# (e⁄ℛ ) = En dérivant dans (ℛ) par rapport au temps, on a:
#" ∧ k("⁄ℛ )n÷
∈(e)
(e⁄ℛ )
("⁄ℛ )
n
n#"
nk
Q #
R = Q
R ∧ k("⁄ℛ )n÷ + #" ∧ Q
R n÷
n3
n3
(e) n3 ℛ
(e)
ℛ
ℛ
n#"
Q
("⁄ℛ ) − k
(#⁄ℛ )
R =k
n3 ℛ
⁄ )
nk
Q (" ℛ R = Û
("⁄ℛ )
n3
ℛ
(e⁄ℛ )
n
Q #
# (e⁄ℛ ) − k
(#⁄ℛ ) ∧ ÷k
(⁄ℛ )
R =K
n3
ℛ
Finalement :
En général
# (e⁄ℛ )
Q n
# (e⁄ℛ ) + ü
(e⁄ℛ ) ∧ k
(#⁄ℛ )
R =K
n3
ℛ
⁄ℛ )]
n[(e
Q
R ≠ [d(e⁄ℛ )]
n3
ℛ
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
∀
Page 49
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Cas particuliers :
Si :
Alors on a l’égalité suivante :
#⁄ℛ ∧ ÷k
⁄ℛ = 8
k
⁄ℛ ne
Q
R = de⁄ℛ n3
ℛ
#⁄ℛ = k
⁄ℛ 1. # ≡ : k
C'est-à-dire si l’une des conditions ci-dessous est remplie :
#⁄ℛ = 8
2. A fixe dans ℛ : k
⁄ℛ = 8
3. G fixe dans ℛ : k
#⁄ℛ ∕∕ k
⁄ℛ 4. k
Au centre de masse G
§⁄ℛ s
n/ pe, º
n
e⁄ℛ R = Q
R n3
n3
ℛ
ℛ
e⁄ℛ = Q
K
D’après la formule du transfert du torseur dynamique, le moment dynamique au point A quelconque est :
# e⁄ℛ = K
e⁄ℛ + ÷Û
et comme :
⁄ℛ ∧ #
K
Par conséquent :
Q pe,
e⁄ℛ = n/
K
§⁄ℛ s
º
T
n3
ℛ
§⁄ℛ s
n/ pe, º
⁄ℛ ∧ R + ÷Û
#
n3
ℛ
# e⁄ℛ = Q
K
A point quelconque fixe dans ℛ
n
e⁄ℛ # e⁄ℛ = Q #
K
R n3
ℛ
VIII. Expressions par rapport à un point A du Solide (S)
Soit (S) un solide en mouvement par rapport à un référentiel ℛ. Soit A un point du (S)
Moment cinétique
# pe, º
§⁄ℛ s +÷…
#⁄ℛ ∧ #
# e⁄ℛ = /øùùùùúùùùùû
øùùùùúùùùùû
!ý3Ï3éý— A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
/ÐϗöïÏ3éý—
Page 50
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Démonstration :
Le moment cinétique du solide par rapport au point A est :
# e⁄ℛ = #"∈e #" ∧ k"⁄ℛ n÷
e⁄ℛ ∧ "⁄ℛ = k
#⁄ℛ + â
A, M ∈(S): k
#"
La relation de transfert de Varignon donne:
En remplaçant dans l’expression du moment cinétique, on a:
e⁄ℛ ∧ #⁄ℛ n÷ + #"∈e # e⁄ℛ = #"∈e #" ∧ pâ
#" ∧ k
#"sn÷
#" ∧ k#⁄ℛ n÷ = C
"∈e
∧ k#⁄ℛ = ÷k
#⁄ℛ ∧ #"n÷D ∧ k#⁄ℛ = ÷#
#
"∈e
e⁄ℛ ∧ e⁄ℛ o
#" ∧ pâ
#"sn÷ = /# me, â
#"∈e D’où le résultat !
Moment dynamique
§⁄ℛ s
n/# pe, º
#⁄ℛ ∧ R + ÷Û
#
n3
ℛ
K# e⁄ℛ = Q
Energie cinétique :
0
k§⁄ℛ # . §⁄ℛ #
1
0
0
= ÷…⁄ℛ . …#⁄ℛ + º§⁄ℛ . # e⁄ℛ 1 1
5ª e⁄ℛ =
Démonstration : Le champ des vecteurs vitesse est un torseur :
A, M ∊(S):
e⁄ℛ ∧ "⁄ℛ = k
#⁄ℛ + â
k
#"
En remplaçant dans l’expression de l’énergie cinétique :
e⁄ℛ ∧ "⁄ℛ 1 n÷ = #e k
"⁄ℛ . k
#⁄ℛ n÷ + #e k
"⁄ℛ . pâ
25ª e⁄ℛ = #ek
#"sn÷
∧ k"⁄ℛ o n÷
#⁄ℛ . k
"⁄ℛ n÷ + =k
âe⁄ℛ . m#"
e
e
e⁄ℛ .
e⁄ℛ . k
#⁄ℛ +â
=ü
# e⁄ℛ = ke⁄ℛ . e⁄ℛ Remarque 1: Au point G centre de masse de (S)
•
•
•
e⁄ℛ o = ññ e.â
e⁄ℛ e⁄ℛ = / me, â
K e⁄ℛ = Qn/ pe,
§⁄ℛ s
º
T
n3
ℛ
e⁄ℛ . 5ª e⁄! = 1 ¦e⁄ℛ . Ue⁄ℛ = 1 ÷…⁄ℛ 1 + 1 â
e⁄ℛ 0
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
0
0
Page 51
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Conséquences sur les théorèmes de Koenig:
•
•
•
⁄ℛ ù∧ùùû
# e⁄ℛ = ññ
#
øù
ùùùúù
øùùùùúùùùùû
e.âe⁄ℛ + ÷…
K# e⁄ℛ = Qn/ pe,
!ý3Ï3éý—
§⁄ℛ s
º
T
n3
ℛ
⁄ℛ ∧ + ÷Û
#
5ª e⁄ℛ = ÷…⁄ℛ 1 +
0
1
/ÐϗöïÏ3éý—
0 3 e⁄( . ññ e.â
e⁄( â
1
Remarque 2 : Solide (S) avec un point fixe
#⁄ℛ = 8
Soit A un point de (S) fixe dans ℛ : k
1. Le moment cinétique de (S) par rapport au point A est :
e⁄ℛ o = ññ# e. â
e⁄ℛ # me, â
# e⁄( = /øù
ùùùúù
ùùùû
!ý3Ï3éý—
§⁄ℛ doivent être exprimés dans la même
La matrice d’inertie, ññ# e et le vecteur rotation instantané, º
base.
2. Le moment dynamique de (S) par rapport au point A est
# pe, º
§⁄ℛ s
n/
R
n3
ℛ
# e⁄ℛ = Q
K
§⁄ℛsont exprimés
Si la matrice d’inertie, ññ# e et le vecteur rotation instantané, º
dans une même base de ℛ.
# e⁄! = ññ# e Q.
K
§⁄ℛ nº
R
n3
ℛ
Si la matrice d’inertie, ññ# e et le vecteur rotation instantané, º§⁄ℛ sont exprimés dans
) d’un référentiel ℛ§ lié au solide (S) en mouvement par rapport à
une même base (Ë,š,
ℛ.
e⁄ℛ n
n
# e⁄ℛ Q #
ℛ§ ⁄ℛ ∧ R =Q
R +º
# e⁄ℛ n3
n3
ℛ
ℛ
§
e⁄ℛ nâ
K# e⁄ℛ = ññ# e Q.
ℛe ⁄ℛ ∧ ññ# e. â
e⁄ℛ R +â
n3
V
3. L’énergie cinétique est :
5ª e⁄ℛ =
e
0
0
e⁄ℛ âe⁄ℛ . # e⁄ℛ = 3
â e⁄ℛ. ññ# e. â
1
1
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
Page 52
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Remarque 3 : Solide en rotation autour d’un axe fixe
) l’axe de rotation fixe dans ℛ tel que:
Soit ∆ (‹
âe⁄ℛ = W‹
X : est la vitesse angulaire de rotation autour de l’axe
1. Le moment cinétique d’un solide (S) en rotation autour d’un axe fixe (∆) avec la vitesse
angulaire X est :
) e⁄ℛ = Ë) X
Ë) § est le moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe ∆.
2. Le moment dynamique par rapport à un axe fixe ∆ :
n- e⁄ℛ nW
R = ñn3
n3
ℛ
K- e⁄ℛ = Q
3. L’énergie cinétique d’un solide (S) en rotation avec la vitesse angulaire X autour d’un axe fixe
∆ est :
5ª e⁄ℛ =
Ou encore:
5ª e⁄ℛ =
0 1
W ñ1
0
0
÷…⁄ℛ 1 + X1 Ë)' 1
1
)
Ë)' est le moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe de rotation ∆G (G, ‹
IX. Système de solides
Soit (S) un solide de centre de masse G et de masse m constitué de N solides disjoints (Si), respectivement
de centre de masse Gi et de masse mi :
Torseur cinétique
î
e⁄ℛ # = Ãeé ⁄ℛ # =
éÆ0
Avec :
eé ⁄ℛ = ÷é k
é ∈ eé ⁄ℛ :
ü
î
\ e⁄ _
ü
ℛ = Ã üeé ⁄ℛ Z
Z
Z
Z
éÆ0
[
^
î
Z
Z
Z
# e⁄ℛ = Ã # eé ⁄ℛ Z
Y
]
éÆ0
#
est la quantité de mouvement ou résultante cinétique de (eé A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
Page 53
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Torseur dynamique
î
î
de⁄ℛ # = Ãdeé ⁄ℛ # =
éÆ0
Avec :
eé ⁄ℛ = ÷é Û
é ∈ eé ⁄ℛ :
Ï
\
_
e⁄ℛ = Ã Ïeé ⁄ℛ Ï
Z
Z
Z
Z
éÆ0
[
^
î
Z
ZK# e⁄ℛ = Ã K# eé ⁄ℛ Z
Z
Y
]
éÆ0
#
est la quantité d’accélération ou résultante dynamique de (eé )
Energie cinétique:
î
5ª (e⁄ℛ) = Ã 5ª (eé ⁄ℛ )
éÆ0
5ª (eé ⁄ℛ ) = ÷[…(é ⁄ℛ )]1 :
Avec :
0
1
est l’énergie cinétique de (eé )
Exemple
); l’axe
Soit ℛ (Oxyz) un repère muni de la base (,,‚
(O,) étant dirigé suivant la ligne de plus grande pente.
Soit un cylindre de révolution (S) de centre d’inertie G,
), homogène de masse m, de
d’axe de révolution (G, ‚
x
x1
rayon r et roulant sans glisser au point de contact I sur le
plan incliné Π(Οyz). Soit ℛ 1(G; x1 y1 z) un repère lié à
). On pose : θ = (, 1).
(S) et muni de la base ( 1,1,‚
Déterminer :
1. Moment cinétique au point G de (S) dans son
mouvement par rapport à (ℛ)
θ
G
y1
I
O
y
( 1
’‰9
1
2. Moment dynamique au point I dans son mouvement par rapport à (ℛ)
Méthode 1 :
(⁄ℛ ) ∧ ñ
Théorème de Koenig du moment cinétique :
ñ (e⁄ℛ ) = (e⁄ℛ ) + ÷k
(§⁄}) =
' (§⁄}) = ËË' (§). º
P
F.F.C.S. :
I, G ∊(S):
(§⁄k) ∧ (⁄ℛ ) = k
(ñ ∈ e⁄ℛ ) + º
k
Ë'
(ñ ∈ e⁄ℛ ) = 8
(S) roule sans glisser sur le plan incliné: k
…(⁄ℛ ) = 0 + ’‰9 ∧ S = В‰ T
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Page 54
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
ñ e⁄ℛ =
Le moment dynamique au point I est :
( 1
˜( 1
‰’9 + (’‰T ∧ −S =
’‰9
1
1
n
ñ e⁄ℛ ñ⁄ℛ ∧ ÷k
⁄ℛ R +k
n3
ℛ
Kñ e⁄ℛ = Q
nEñ
R
n3 ℛ
ñ⁄ℛ = Q
k
I étant le point géométrique de contact entre (S) et le plan (Π) et se déplace suivant (O, ñ⁄ℛ = ‖k
ñ⁄ℛ ‖
k
Les points I et G ont même vecteurs vitesse par rapport au repère ℛ (l’axe (I, ) a un mouvement de
translation par rapport à ℛ
ñ⁄ℛ ∧ ÷k
⁄ℛ = 8
k
˜
n
ñ e⁄ℛ R = ( 1 ’` 9
1
n3
ℛ
Par conséquent :
Kñ e⁄ℛ = Q
Méthode 2 :
K e⁄ℛ = Qn e⁄ℛa = ( ’` 9
1
n3
Théorème du moment cinétique au point G:
Théorème de Koenig du moment dynamique:
np‰Ts
nÊ'⁄ℛ R =Q
R = В` T
n3
n3
ℛ
ℛ
⁄ℛ = Q
Û
Kñ e⁄ℛ =
ℛ
1
Kñ e⁄ℛ = K e⁄ℛ + ÷Û
⁄ℛ ∧ ñ
( 1
˜
’` 9 + ÷В` T ∧ −S = ( 1 ’` 9
1
1
3. Energie cinétique de (S) dans son mouvement par rapport à ℛ.
ñ ∈ e⁄ℛ = 8
(S) roule sans glisser sur le plan incliné:k
Soit
5ª e⁄ℛ =
0
0
˜÷Ð1
s. C
D
§⁄ℛ . º
ñ e⁄ℛ = p’‰9
‰‚
1
1
1
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
5ª e⁄ℛ =
˜
( 1 ’‰1
%
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Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Ch. V
DYNAMIQUE DU SOLIDE
La dynamique est l’étude d’un mouvement en tenant compte des causes qui le produisent.
I.
Actions mécaniques
On appelle action mécanique toute cause (force, moment) capable de provoquer le mouvement d’un système
ou de le maintenir au repos. On distingue deux catégories d’actions mécaniques agissant sur un système:
•
Actions mécaniques à distance sans contact (champ de pesanteur, champ électromagnétique…)
•
Actions mécaniques de contact (liaisons entre solides,..)
Un système matériel (S) peut alors subir un ensemble de forces qui peuvent être:
•
Ponctuelles :
•
Réparties :
4i appliquée au point Mi
"n÷
" = ç
n4
" étant la densité massique de la force
où ç
La résultante générale de ces forces est:
= Ã !
4 +
é
"
n4
"∈e
Un système matériel peut-être en mouvement de rotation malgré que la résultante des forces qui lui sont
appliquées soit égale à zéro. Par exemple, on peut observer le mouvement de rotation des pales d’une
éolienne autour de son axe de rotation sous l’action du vent. Par conséquent le mouvement peut-être produit
également par le moment résultant qui est défini en un point quelconque, A comme:
"
# = Ã #" ∧ 4 +
é
"
#" ∧ n4
"∈e
II. Torseur d’action mécanique
En utilisant la relation de Chasles dans l’expression du moment:
#" = #6 + 6"
On obtient la formule de transfert du moment entre deux points A et B quelconques :
# = "
6 + !
∧ "
6#
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
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Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Donc, le moment résultant d’une action mécanique est un champ antisymétrique de vecteur associé la
. Ces deux vecteurs définissent un torseur appelé torseur d’action mécanique sur
résultante générale !
(S) et on le note par :
be# =
dont les éléments de réduction au point A sont :
:
!
# :
"
!
$
"
# #
Résultante générale du torseur d’action mécanique sur (S)
Moment résultant au point A du torseur d’action mécanique sur (S).
Les actions mécaniques appliquées à un système (S) peuvent être extérieures ou intérieures à (S). Les
actions intérieures proviennent des différentes interactions mutuelles entre les différents éléments composant
(S). Par conséquent, le torseur des actions mécaniques sur (S) peut être décomposé en la somme des torseurs
des actions mécaniques extérieures et intérieures à (S) :
b# = b23 # + bé—3 #
Ce qui peut s’écrire en termes d’éléments de réduction au point A :
= !
23 + !
é—3
!
# = "
"
#,23 + "
#,é—3
c) le milieu extérieur à (S), alors :
Si on désigne par (e
Remarque :
c → e# =
b23 e# = be
#
c → e
!
23 e = !
e
$
c → e
#,23 e = "
# e
"
III. Torseurs particuliers d’action mécanique
1. Couple
Le torseur d’action mécanique est un couple s’il est de la forme :
b# =
#
8
$
"
# ≠ 8
Le moment est indépendant du point A. Souvent on confond le couple et le moment et on note le couple par
d ou c
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
Page 57
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
2. Glisseur
Le torseur d’action mécanique est un glisseur si son invariant scalaire est nul,ñb = 8, et sa résultante
). En un point B quelconque, on a :
≠ 8
générale est non nulle (!
b6 =
6
≠ 8
!
$
6
"
Un glisseur est un torseur pour lequel il existe au moins un point A où le moment est nul :
b# = ´! ≠ 8µ
8
#
Le point A est un point central et l’axe central du glisseur est appelé la ligne d’action de la force.
IV. Action à distance: le champ de pesanteur
Le champ de pesanteur est un champ qui peut-être considéré comme uniforme en tout point d’une région
localisée de l’espace. Ce champ est orienté vers la verticale descendante. Les éléments de réduction du
torseur d’action mécanique de la pesanteur sur un système (S) de masse m au centre d’inertie G sont:
e → e = *
= # ò
n÷ = ÷ò
!
•
La résultante :
•
Le moment résultant :
= ÷ò
représente le poids de (S).
Le vecteur force *
Le torseur s’écrit :
"
e → e = "
p*
s = # n÷ = # = 8
" ∧ ò
"n÷ ∧ ò
÷ò
bò → e = ´
µ
8
Donc c’est un glisseur. En un point quelconque B, on écrit :
bò → e6 =
6
÷ò
$
6 p*
s = "
6 ∧ ÷ò
V. Actions mécaniques de contact. Lois d’Amontons-Coulomb
1.
Torseur d’action mécanique de contact
Considérons deux solides (S1) et (S2) en contact ponctuel en un point I. Soit Π le plan tangent en I commun à
désigne le vecteur unitaire orienté de (S2) vers (S1) et qui est normal au plan Π.
(S1) et à (S2). Au point I, —
Le torseur d’action mécanique de contact de (S2) sur (S1) au point I s’écrit comme:
be1 → e0 ñ =
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ñ
e1 → e0 !
$
"
ñ e1 → e0 Page 58
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La résultante générale peut se décomposer en la
somme :
:
î
/ :
R
!
e1 → e0 = î
+ /
Composante normale de la résultante générale
(perpendiculaire à Π). On l’appelle également
réaction normale ; elle s’oppose à la
pénétration d’un solide dans l’autre.
T
Composante tangentielle de la résultante
générale (parallèle à Π). C’est une force de
frottement qui s’oppose au glissement. Le
= 8
contact est dit sans frottement si /
N
n
I
(S1)
π
ò
k
(S2)
De même, le moment résultant peut se décomposer en la somme :
"
—ñ :
3ñ :
"
ñ (e1 → e0 ) = "
—ñ + "
"
3ñ
Composante normale du moment résultant au point I. On l’appelle également moment de résistance
au pivotement.
Composante tangentielle du moment résultant au point I. On l’appelle également moment de
résistance au roulement.
Dans la suite on négligera les frottements de roulement et de pivotement et on supposera que :
"
ñ = 8
Le torseur d’action mécanique de contact de (S2) sur (S1) au point I s’écrit comme:
[b(e1 → e0 )]ñ =
ñ
!
(e1 → e0 )
$
8
Les actions de contact forment alors un glisseur au point de contact I
2.
Lois d’Amontons-Coulomb
Ce sont des lois expérimentales du frottement solide, déterminées par Amontons (1699) et Coulomb (1871).
2.1.
(e1 → e0 )
Vecteur résultante générale !
La résultante générale du torseur d’actions mécaniques s’écrit comme :
!
(e1 → e0 ) = î
+ /
Selon les lois d’Amontons-Coulomb, les composantes normale et tangentielle satisfont aux critères suivants :
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Page 59
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Composante normale : î
•
•
Le solide (S1) ne peut pas pénétrer à l’intérieur du solide (S2), par contre il peut s’en écarter.
= î—
Sens : î
•
î ≥ 8 : Critère de maintien du contact. La liaison est unilatérale
•
Si au cours du mouvement N = 0 : le contact cesse (rupture du contact)
Composante tangentielle : /
On distingue deux cas :
Absence de glissement :
On observe que tant que:
kò = k
ñ ∈ e0 ⁄e1 = 8
f
f/f ≤ çö fî
Il y a adhérence entre les deux solides et il n’y a pas de glissement. La constante positive çö s’appelle le
coefficient de frottement statique ou d’adhérence en I entre (S1) et (S2). Il dépend de la nature et l’état des
surfaces (surfaces polies ou rugueuses, etc.) des deux solides en contact et donne le seuil de mise en
glissement d’un solide immobile.
; il y a absence de frottement : !
= 8
e1 → e0 = î
Si çö = 8 alors /
Glissement :
ò = k
ñ ∈ e0 ⁄e1 ≠ 8
k
f atteint la valeur de :
Lorsque f/
÷Ï f = çö fî
f
f/
Alors, le glissement apparaît. On observe que quand les solides glissent l’un contre l’autre, alors:
•
•
•
/ est colinéaire à la vitesse de glissement :
= 8
Êe ∧ /
a un module proportionnel à celui de î
:
/
f = çn fî
f
f/
/ est de sens opposé à la vitesse de glissement :
< 0
Êe ./
Où çn est une constante positive qui s’appelle le coefficient de frottement dynamique en I entre (S1) et
(S2). Il dépend de la nature et l’état des surfaces en contact (surfaces polies ou rugueuses, etc.) des deux
solides. Il dépend également de la vitesse de glissement :
o
o
aux grandes vitesses, çn diminue avec v
i
aux faibles vitesses, çn augmente fortement avec v
i
On a en général çn < çö mais souvent on suppose que çn = çö
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Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Coefficients de frottement entre solides
çn
0,15
0,4 à 0.2
0,01
0,6
0,04
matériaux en contact
acier/acier
bois/bois
métal/glace
pneu/route sèche
téflon®/téflon®
Cône et angle de frottement
Soit – l’angle défini par :
Soit
3ò– =
f
f/
f
fî
çö
0,18
0,65
0,03
0,8
0,04
R
≤ çö
–8 l’angle maximum pour lequel le glissement
apparait :
3ò–8 =
Par conséquent :
donc:
÷Ï f
f/
f
fî
N
= çö
3ò– ≤ 3ò–8
– ≤ –8 ϕ
est contenue à l’intérieur d’un cône, qui
La force !
s’appelle cône de frottement, de demi-angle au sommet :
–8 = ÏЪ3òçö max
T
T
ϕ0
I
qui s’appelle angle de frottement
Liaison parfaite
On dit qu’une liaison est parfaite si :
Tous les coefficients de frottement sont nuls.
et /
ñ = 8
= 8
"
VI. Principe Fondamental de la Dynamique - Théorèmes Généraux
1. Enoncé du PFD:
Il existe au moins un repère ℛ, appelé repère galiléen, et au moins une chronologie, appelée chronologie
galiléenne, tel que le torseur dynamique d’un solide (S) dans son mouvement par rapport à ℛ, soit égal au
torseur des actions mécaniques extérieures à (S)
de⁄ℛ = b23 e
Ou encore:
#
⁄ℛ ÷Û
$=
K# e⁄ℛ A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
#
23
!
$ ∀#
"
#,23
Page 61
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Exemples de repères galiléens
Il existe des repères privilégiés dans lesquels le mouvement d’un point isolé est rectiligne uniforme. On les
appelle repères galiléens.
•
Les repères terrestres (en première approximation)
•
Le repère de Copernic défini par le centre de masse du système solaire et trois étoiles fixes.
•
Le repère géocentrique ou de Ptolémée, défini par le centre de la terre et trois étoiles
•
Le repère de Kepler, défini par le centre du soleil et trois étoiles fixes.
La résultante dynamique de (S) dans son mouvement par rapport au repère galiléen ℛ est égale à la
2. Théorème de la résultante dynamique ou du Centre d’inertie
résultante générale du torseur associé aux actions mécaniques extérieures à (S) :
23 e
'⁄ℛ = !
÷·
3. Théorème du moment dynamique
Le moment dynamique de (S) dans son mouvement par rapport au repère galiléen ℛ est égale au moment
résultant du torseur associé aux actions mécaniques extérieures à (S)
4. Théorème du moment cinétique
# e⁄ℛ = "
#,23
K
∀#
e⁄ℛ n
Q #
#,23 − k
#⁄ℛ ∧ ÷k
⁄ℛ R ="
n3
ℛ
n
Q # e⁄ℛ
Cas particuliers :
n3
Le point A est fixe dans (ℛ) :
#,23
a ="
n
Q e⁄ℛ n3
A confondu avec le centre d’inertie G :
ℛ
,23 a ="
ℛ
n
Q # e⁄ℛ Dans le référentiel barycentrique ! :
n3
a
ℛ
,23
="
Cette relation est valable que le référentiel barycentrique (RG) soit galiléen ou non.
5. Système isolé
b23 e = 8
Le système est dit isolé ou pseudo isolé si :
Le moment cinétique d’un système isolé est une constante du mouvement. On dit qu’il y a conservation du
moment cinétique de (S) au cours du mouvement :
# e⁄ℛ = ªý—ö3
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Page 62
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
6. Système en équilibre
Un système (S) est en équilibre dans ℛ si son torseur cinétique est nul :
e⁄ℛ = 8
Conséquences :
b23 e = 8
Principe fondamental de la statique :
¦e⁄ℛ = 8
Repos (absence de mouvement) :
7. Equilibrage Dynamique
Afin d’éviter la naissance de vibrations mécaniques qui peuvent créer une détérioration rapide d’un solide
(S) tournant autour d’un axe, il faut que les conditions d’équilibrage dynamique suivantes soient
satisfaites:
- Le centre d’inertie G de (S) doit être sur l’axe de rotation. C’est la condition d’équilibrage statique
- L’axe de rotation doit être un axe principal d’inertie pour (S)
8. Equation de mouvement
Soit un système (S) paramétré par n coordonnées généralisées qi (é = 0, . . , —). Une équation de mouvement
est une équation différentielle du second ordre traduisant les théorèmes généraux, dans laquelle, il ne figure
aucune composante inconnue d’action mécanique.
çé èé , è‰ é , è̀é , 3 = ý—ö3ϗ32
é = 0, . . , —
Exemple : Equation de mouvement d’un oscillateur harmonique linéaire :
9. Intégrale première du mouvement
` + W18 = 8
Une intégrale première du mouvement est une équation différentielle du premier ordre, obtenue par
intégration d’une équation de mouvement, et est de la forme :
çé èé , è‰ é , 3 = ý—ö3ϗ32 é = 0, . . , —
Exemple : Intégration de l’équation de mouvement d’un oscillateur harmonique: ‰ 1 + W18 1 = ö32
VII. Théorème des actions mutuelles
1. Enoncé
L’action mécanique d’un solide (S1) sur un solide (S2) est opposée à l’action mécanique du solide (S2) sur le
solide (S1) :
be1 → e0 = −be0 → e1 A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
Page 63
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Conséquence
Eléments de réduction :
!
e0 → e1 = −!
e1 → e0 "
# e0 → e1 = −"
# e1 → e0 2. Torseur d’action mécanique intérieure à un système (S)
Le torseur d’action mécanique intérieure à un système (S) est un torseur nul :
bé—3 e = 8
Ou explicitement, en termes de ses éléments de réduction en un point A :
é—3 e = 8
!
#,é—3 e = 8
"
Preuve:
Considérons un système constitué de deux solides disjoints (S1) et (S2), alors d’après le théorème des actions
mutuelles, on a :
bé—3 e0 ∪ e1 = be1 → e0 + be0 → e1 = 8
VIII. PFD dans ℛ’ non Galiléen
1. Théorème.
Le principe fondamental de la dynamique s’applique dans un référentiel quelconque ℛ′ à condition
d’ajouter au torseur des actions mécaniques extérieures, les torseurs des actions mécaniques des effets
d’inertie d’entraînement et de Coriolis
Avec
de⁄ℛ ′ = b23 e + bé2 e, ℛ′⁄ℛ + béª e, ℛ′⁄ℛ bé2 e, ℛ′⁄ℛ = −dé2 e, ℛ Ÿ ⁄ℛ béª e, ℛ′⁄ℛ = −déª e, ℛ Ÿ ⁄ℛ dé2 : Torseur dynamique d’inertie d’entraînement
déª : Torseur dynamique des effets d’inertie de Coriolis
Preuve :
Torseur dynamique de (S) par rapport à ℛ:
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
de⁄ℛ # = a
#
"⁄ℛ n÷
#∈e Û
# e⁄ℛ = #
K
#" ∧ Û"⁄ℛ n÷
∈e
b
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Cours de Mécanique du Solide Indéformable
On choisit ℛ′ comme étant le repère relatif par rapport à ℛ
D’après la composition des vecteurs accélération :
ℛ′⁄ℛ ∧ v
γ
M⁄ℛ = γ
M⁄ℛ ′ + γ
M ∈ ℛ′⁄ℛ + 2Ω
M⁄ℛ ′
Torseur dynamique de (S) par rapport à ℛ′:
de⁄ℛ′# = a
Torseur dynamique des effets d’inertie d’entraînement :
dé2 e, ℛ Ÿ ⁄ℛ # =
\
Z
#
"⁄ℛ′ n÷
#∈e Û
K# e⁄ℛ ′ = #
#" ∧ Û"⁄ℛ′n÷
∈e
∈ ℛ Ÿ ⁄ℛ n÷
·
∈e
_
Z
[
^
#" ∧ · ∈ ℛ Ÿ ⁄ℛ n÷Z
Z
Y ∈e
]
#
b
= −bé2 e, ℛ′⁄ℛ Torseur dynamique des effets d’inertie de Coriolis :
déª e, ℛ′⁄ℛ # =
\
Z
ℛ′⁄ℛ ∧ Ê⁄ℛ′ n÷
1º
∈e
_
Z
[
^
ℛ′⁄ℛ ∧ Ê⁄ℛ′An÷Z
#" ∧ ?1º
Z
Y ∈e
]
#
= −béª e, ℛ′⁄ℛ 2. ℛ′ en translation rectiligne uniforme par rapport à ℛ
Tout repère ℛ′ en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à un repère galiléen ℛ est
aussi un repère galiléen
Démonstration :
de⁄ℛ ′ = b23 e
Le référentiel ℛ′ d’origine O’ est en translation par rapport à ℛ :
Mouvement rectiligne uniforme :
et γ
γ
O′⁄ℛ = 8
M ∈ ℛ′⁄ℛ = 8
Ω
ℛ′⁄ℛ = 8
Donc les torseurs dynamiques d’inertie d’entraînement et de Coriolis sont nuls :
dé2 e, ℛ′⁄ℛ = 8
déª e, ℛ′⁄ℛ = 8
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
Page 65
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Exemple : Mouvement d’une sphère sur un plan incliné
Soit une sphère (S) homogène, de centre G,
de rayon r et de masse m en mouvement sur
j
un plan incliné dans un référentiel galiléen
0
ℛ 0(O, 8 , 8 , ‚8 ). Soit ç le coefficient de
O
frottement résultant du contact entre la
sphère et le plan incliné. Les résistances au
roulement et au pivotement sont négligées.
La sphère est en rotation autour d’un axe
fixe par rapport à ℛ . On pose
ϕ=
=8 , .
j
T
i0
G
N
i
ϕ
I
P
Etudier le mouvement de la sphère dans les
deux cas a.) Roulement sans glissement et
b) Glissement et roulement. Déterminer la
valeur limite de l’angle F dans les deux cas.
Le mouvement de la sphère (S) est dans le plan : B, 8 , 8 α
Etude du mouvement :
La liaison (holonome) de contact impose :
= Ð
Le mouvement de la sphère (S) dépend donc de deux paramètres :
PFD appliqué à la sphère en mouvement dans ℛ8 :
et ϕ
de⁄ℛ8 = 423 e
Torseur des actions mécaniques extérieures à la sphère :
b23 e =
Les forces extérieures agissant sur la sphère :
Poids de la sphère :
23
!
$
"
,23
*
= ÷ò
= ÷òöé—F8 − ÷òªýöF8
= î
+ /
= î8 + /8
La force de contact : !
(T étant une grandeur algébrique qui peut-être > 0 ou < 0)
Résultante générale
!
23 = *
+ !
= ÷òöé—F + /8 + −÷òªýöF + î8
Moment résultant au point G
"
,23 = "
!
+ "
*
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
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Cours de Mécanique du Solide Indéformable
"
s = p*
= 8
∧ ÷ò
8
"
p!
s = = −Ð8 ∧ î8 + /8 = −Ð8 ∧ /8 = Ð/‚
ñ ∧ !
8
,23 = Ð/‚
"
Le torseur des actions mécaniques extérieure est :
b23 e =
÷òöé—F + /8 + −÷òªýöF + î8
$
8
Ð/‚
Torseur Dynamique de la sphère (S) par rapport à (ℛ 0) :
÷Û
⁄ℛ8 n
e⁄ℛ8 N
de⁄ℛ8 = M
K e⁄ℛ8 = Q
R
n3
ℛ
Accélération du centre de masse G :
= Eñ
+ ñ
= 8 + Ð8
E
8
v
G⁄R = ‰ 8
γ
G⁄R = ` 8
Moment cinétique de la sphère (S) par rapport au centre de masse G dans le référentiel ℛ8 est :
§⁄ℛ8 =
' §⁄ℛ8 = ËË' §. º
P
Par conséquent :
Le torseur dynamique est :
• Egalité des résultantes :
0
1
1
( 68
›
8
8
0
8
8
8
1
8
87 . 6 8 7 = ÷Ð1 –‰‚
›
–‰
0
n
e⁄ℛ8 1
8 R = ÷Ð1 –` ‚
n3
›
ℛ
K e⁄ℛ = Q
8
÷` 8
de⁄ℛ8 = a1
b
8
÷Ð1 –` ‚
›
+ !
'⁄ℛ8 = *
÷·
÷` = ÷òöé—F + /
8 = −÷òªýöF + î
• Egalité des moments au point G (Théorème du moment cinétique):
Qui donne :
e⁄ℛ8 n
Q ,23
R ="
n3
ℛ
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8
1
÷Ð1 –` = Ð/
›
Page 67
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Donc :
/=
Le problème présente 4 inconnues : , ϕ, N et T
1
÷Ж`
›
Nous avons trois équations. D’où la nécessité d’introduire une quatrième équation ! On discutera deux cas :
1er Cas : Roulement sans glissement :
Cette égalité cinématique permet de résoudre le problème !
v
i I; S⁄plan = v
I ∈ S⁄plan = 8
S⁄ℛ8 ∧ v
I ∈ S⁄plan = v
G⁄ℛ + Ω
ñ
D’après la F.F.C.S :
v
i = v
I ∈ S⁄plan = ‰ 8 + –‰‚8 ∧ −Ð8 = ‰ + Ж‰8
Qui traduit une liaison non holonome.
‰ + Ж‰ = 8
Finalement, on a un système de 4 équations à 4 inconnues. En dérivant la quatrième équation, on a :
–` = −
En remplaçant dans l’expression de T, on obtient :
/=
1
1
÷Ж` = − ÷` ›
›
` Ð
›
− / = ÷` = ÷òöé—F + /
1
Donc :
/ = − ÷òöé—F < 0 :
1
I
est une force qui s’oppose au mouvement.
Qui est orientée dans le sens des x décroissants. La force /
La composante normale a pour expression :
Ce qui donne :
` = òöé—F
›
I
î = ÷òªýöF
et
–` = −
› òöé—F
I
Ð
L’accélération ` de la sphère est constante et positive : le mouvement de la sphère se fait dans le sens des x
croissants.
f ≤ çfî
f . soit :
Le roulement sans glissement a lieu si l’inégalité dynamique est vérifiée: f/
Si l’angle F est trop grand, il y’aura glissement.
2ème cas : Roulement avec glissement :
3òF ≤
I
ç
1
v
i = ‰ + Ж‰8 ≠ 8
Loi de Coulomb (inégalité cinématique) doit être vérifiée :
kò = ‰ + Ж‰ > 0
donc :
/ < 0
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
< 0
v
i ./
Page 68
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Il y aura glissement donc :
f = çfî
f
f/
Cette égalité dynamique permet de résoudre le problème !
f = |/| = −/ = çî = ç÷òªýöF
f/
Alors :
Et donc :
Le PFD donne:
D’où :
Conditions initiales :
Intégration
–` =
› /
1 ÷Ð
=−
/ = −ç÷òªýöF
› çòªýöF
1
Ð
÷` = ÷òöé—F + / = ÷òöé—F − ç÷òªýöF
` = òöé—F − çªýöF
‰ 3 = 8 = 8 et –‰3 = 8 = 8
‰ = ò3öé—F − çªýöF
Il y a roulement et glissement dans ce cas.
› çòªýöF
–‰ = − à
á 3
1
Ð
< 0
v
i ./
La condition de roulement avec glissement impose :
Ou encore :
Soit :
(car immobilité initiale)
‰ + Ж‰ = ò3ªýöF m3òF − ço > 0
1
I
3òF >
I
ç
1
Si l’angle Fdevient trop petit, le glissement cesse et le RSG a lieu
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Page 69
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Ch. VI
ENERGETIQUE DU SOLIDE
I.
Puissance
1. Point matériel
"⁄ℛ La puissance développée par une force ponctuelle 4 appliquée à un point matériel M de vitesse k
dans un repère ℛ s’écrit :
⁄
"⁄ℛ sp4 ℛ s = 4.k
L’unité de la puissance et le watt (W)
2. Système matériel (S)
La puissance développée, à l’instant t, par le torseur d’action mécanique be sur un système matériel (S),
dans son mouvement par rapport à un référentielℛest :
". k
"é ⁄ℛ + n4
"⁄ℛ
sb ⟶ e⁄ℛ = Ã 4é "é . k
é
".e
i ) et
Où la résultante générale du torseur d’action mécanique est représentée par des forces ponctuelles (Mi, 4
".
des forces réparties n4
3. Solide unique (S)
La puissance développée, à l’instant t, par le torseur d’action mécanique besur un solide unique (S),
dans son mouvement par rapport à un référentiel (ℛ), est le co-moment du torseur d’action mécanique sur
(S), et du torseur cinématique du mouvement de (S) par rapport à (R):
sb ⟶ e⁄ℛ = be. ¦e⁄ℛ Ou en termes des éléments de réduction au point A du solide (S)
sb ⟶ e⁄ℛ =
#
!
$.
"
#
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#
e⁄ℛ º
. k
#⁄ℛ + "
$=!
# . ºe⁄ℛ #⁄ℛ k
Page 70
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Démonstration : La puissance pour un système continu est :
". k
"⁄ℛ
sb ⟶ e⁄ℛ = #e n4
Le champ des vecteurs vitesse est un torseur. La relation de transfert de Varignon donne:
§⁄ℛ ∧ "⁄ℛ = k
#⁄ℛ + º
#, " ∊ ek
En remplaçant dans l’expression de la puissance
e⁄ℛ = !
e⁄ℛ . "
"1. k
"1.º
. k
#⁄ℛ + 0#e #⁄ℛ + º
sb ⟶ e⁄ℛ = 0#e n4
∧ n4
# e)
Conséquences
• Si deux torseurs de forces appliquées à un solide sont égaux, les puissances qu’ils développent sont égales
sb ⟶ e⁄ℛ = "
# e.ºe⁄ℛ • Puissance d’un couple :
.k
# ∈ e⁄ℛ sb ⟶ e⁄ℛ = !
• Puissance d’un glisseur:
• La puissance des forces intérieures à un solide est nulle.
Comme bé—3 e = 8 Alors
Par conséquent:
sbé—3 ⟶ e⁄ℛ = 8
sb ⟶ e⁄ℛ = sb23 ⟶ e⁄ℛ
4. Changement de référentiels
La puissance développée sur un système matériel (S), par rapport à un référentiel ℛ, est égale à la
puissance sur (S) par rapport à un référentiel ℛ′ augmentée par le co-moment du torseur d’action
mécanique be sur (S) et du torseur cinématique d’entrainement de ℛ′ par rapport à ℛ,¦2 e =
¦ℛ′⁄ℛ
sb ⟶ e⁄ℛ = sb ⟶ e⁄ℛ′ + be. ¦ℛ′⁄ℛ
Démonstration : Soit ℛ′ le repère d’origine O’, qui est en mouvement relatif par rapport à un repère ℛ.
Ÿ
". k
". ?v
"⁄ℛ = n4
sb ⟶ e⁄ℛ = n4
pM⁄ℛ s + v
M ∈ ℛ′⁄ℛ A
e
". k
"⁄ℛ′ = sb ⟶ e⁄ℛ′
n4
e
e
Et comme le co-moment du torseur cinématique et celui d’action mécanique est :
ℛ′⁄ℛ ∧ ". k
" . k
". mº
" ∈ ℛ′⁄ℛ = n4
E′⁄ℛ + n4
n4
E′"o
e
e
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e
Page 71
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
ℛ′⁄ℛ . ℛ′⁄ℛ . "
" + º
" = k
+ º
EŸ
E′⁄ℛ . n4
E′⁄ℛ . !
=k
E′" ∧ n4
e
=be. ¦ℛ′⁄ℛ
e
5. Actions mutuelles entre deux systèmes matériels
La puissance développée, à l’instant t, par les actions mutuelles entres deux systèmes matériels (S1) et (S2),
dans leurs mouvements par rapport à ℛ est :
Propriété
se1 ↔ e0 ⁄ℛ = se1 → e0 ⁄ℛ + se0 → e1 ⁄ℛ La puissance développée par les actions mutuelles entre (S2) et (S1), est indépendante du repère ℛ, on la
note simplement par :
se1 ↔ e0 6. Actions de contact entre deux solides
La puissance développée, à l’instant t, par les actions mutuelles entre deux systèmes matériels (S1) et (S2),
dans leur mouvement par rapport à ℛ, est négative ou nulle:
se1 ↔ e0 = be1 → e0 . ¦S) ⁄S, ≤ 8
Démonstration :
e1 → e0 . v
Soit I le point de contact entre (S1) et (S2) : se1 ↔ e0 = !
i I; S)⁄S, e1 → e0 . v
. v
Lois d’ Amontons-Coulomb:
!
i I; S) ⁄S, = /
i ≤ 0
Remarques
• se1 ↔ e0 ≤ 8 : On dit qu’il y a dissipation de l’énergie
• En l’absence de frottements entre les solides:
7. Liaison parfaite entre deux solides
se1 ↔ e0 = 8
La puissance développée par les actions mutuelles entre (S2) et (S1), qui ont une liaison parfaite est nulle :
se1 ↔ e0 = 8
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Page 72
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
II.
Travail (en joule (J))
1. Point matériel
Le travail élémentaire que reçoit un point matériel M dans un référentiel ℛ, de la part d’une force
ponctuelle 4 est donné par
⁄ℛ s = sp4
⁄ℛ sn3
Kvp4
= k
"⁄ℛ n3, on écrit que :
En utilisant, le déplacement élémentaire du point matériel M: nE"
Remarque
"⁄ℛ n3 = 4.nE"
Kvp4⁄ℛ s = 4.k
Le travail n’est pas en général une différentielle totale exacte, il dépend du chemin suivi.
2. Système matériel (S)
Le travail élémentaire du torseur d’action mécanique be sur un système matériel (S), dans son
mouvement par rapport à un référentielℛest:
Kvb ⟶ e⁄ℛ = sb ⟶ e⁄ℛ n3
Si on écrit que :
Alors :
b = b23 + bé—3 sb ⟶ e⁄ℛ = sb23 ⟶ e⁄ℛ + sbé—3 ⟶ e⁄ℛ Le travail élémentaire peut se décomposer en :
3. Solide unique (S)
Kv = Kv23 + Kvé—3
Pour un solide indéformable unique (S), la distance, rij entre deux points Mi et Mj quelconques de (S) est
constante. Par conséquent, le déplacement élémentaire est nul nÐé = 8 et le travail des actions mécaniques
intérieures est nul.
Par conséquent :
Kvé—3 = 8
Kvb ⟶ e⁄ℛ = Kv23 = sb23 ⟶ e⁄ℛ n3
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Page 73
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Remarques
e⁄ℛ . dn3
Kvb ⟶ e⁄ℛ = º
• Couple de moment résultant d :
. k
#⁄ℛ n3
Kvb ⟶ e⁄ℛ = !
:
• Glisseur de résultante générale !
III. Energie potentielle
1. Point matériel
Les forces appliquées à un point matériel M peuvent être décomposées en la somme de forces conservatives
ª et de forces non conservatives : 4
—ª .
4
4 = 4ª + 4—ª
Force conservative 4ª : Une force 4ª est dite conservative si elle dérive d’une fonction différentiable Ep,
appelée énergie potentielle :
ª est conservative si:
Une force, 4
Le travail élémentaire est :
La puissance est :
5ü
ª = −òÐÏn
4
ª = 8
!ý34
ª ⁄ℛ s = −n5ü
Kvp4
ª ⁄ℛ = − n5ü
*4
n3
Exemple
Le poids d’un point matériel M de masse m :
*
= ÷ò
= −÷ò2
!
est une force conservative, car il dérive d’une énergie potentielle Ep :
= −÷òn! = −n5ü
⁄ℛ s = ÷ò
. nE"
Kvp*
L’énergie potentielle est : 5ü! = ÷ò! + ö32 (Cste : Constante d’intégration)
Force non conservative 4—ª : Une force est dite non conservative si elle ne dérive pas d’une énergie
potentielle.
Exemple : forces de frottement.
2. Système matériel (S)
D’une manière similaire, le torseur d’action mécanique besur un système matériel (S), peut s’écrire
comme la somme :
be = bª e + b—ª e
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
Page 74
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
bª e :
[b—ª (e)]:
Torseur d’action mécanique des forces conservatives
Torseur d’action mécanique des forces non conservatives
La puissance développée sur un système matériel (S), dans son mouvement par rapport à un référentiel (ℛ),
par le torseur d’action mécanique [b(e)] :
s(b ⟶ e⁄ℛ ) = s(bª ⟶ e⁄ℛ ) + s(b—ª ⟶ e⁄ℛ )
Comme les forces conservatives dérivent d’une grandeur scalaire Ep appelée énergie potentielle, on a :
Kv(bª ⟶ e⁄ℛ ) = −n5ü (bª ⟶ e⁄ℛ )
Et la puissance développée est :
s(bª ⟶ e⁄ℛ ) = −
n
5 (b ⟶ e⁄ℛ )
n3 ü ª
IV. Théorème de l’énergie cinétique dans un référentiel galiléen
1. Système matériel (S)
La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique d’un système matériel (S), dans un repère galiléen
(ℛ), est égale à la puissance des actions mécaniques [b(e)] intérieures et extérieures à (S) dans (ℛ)
¹?Z (e⁄ℛ)
= s(b23 ⟶ e⁄ℛ ) + s(bé—3 ⟶ e⁄ℛ )
¹
Ou encore
Preuve :
¹?Z (e⁄ℛ) = Kv(b23 ⟶ e⁄ℛ ) + Kv(bé—3 ⟶ e⁄ℛ )
Soit (S) un système matériel de masse m et soit dm la masse élémentaire d’un élément de (S) centré autour du
point M auquel est appliquée la résultante des forces : 4("). Ces forces englobent des forces extérieures et
intérieures à (S).
(")
("⁄!)n÷ = n4
Û
Multiplions scalairement par le vecteur vitesse de M :
("). k
("⁄!). k
("⁄ℛ )n÷ = n4
("⁄ℛ )
Û
Le terme de gauche peut se réécrire comme :
("⁄ℛ )1 )
n n÷(k
("). k
("⁄ℛ )
¼
½ = n4
1
n3
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Page 75
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
¹?Z e⁄ℛ
= sb ⟶ e⁄ℛ = sb23 ⟶ e⁄ℛ + sbé—3 ⟶ e⁄ℛ ¹
En étendant la somme à tous les points de (S), on aura :
2. Cas d’un solide unique (S)
Pour un solide unique on a :
sbé—3 ⟶ e⁄ℛ = 8 ¹?Z e⁄ℛ
= sb23 ⟶ e⁄ℛ ¹
Alors :
et :
∆5ª e⁄ℛ = v423 ⟶ e⁄ℛ V. Théorème de l’énergie cinétique dans un référentiel non galiléen ℛ′
1. Système matériel (S)
La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique d’un système matériel (S), dans un repère non galiléen
ℛ’, est égale à la puissance des actions mécaniques intérieures et extérieures à (S) dans ℛ’ augmentée
de la puissance du torseur de l’action mécanique des forces d’inertie :
où
Ou encore
Preuve :
Avec :
¹?Z e⁄ℛ′
= sb23 ⟶ e⁄ℛ′ + sbé—3 ⟶ e⁄ℛ′ + sbé2 ⟶ e
¹
bé2 e, ℛ′⁄ℛ = −dé2 e
∆5ª e⁄ℛ′ = vb23 ⟶ e⁄ℛ′ + vbé—3 ⟶ e⁄ℛ′ + vbé2 ⟶ e
" = Û
"⁄ℛ n÷ = n4
"⁄ℛ ′n÷ + Ûª "n÷ + Û2 "n÷
Û
" + ¹4
é2 " + ¹4
éª "
⁄ℛ ′n÷ = ¹4
·
é2 " = −Û
2 "n÷
n4
éª " = −Û
ª "n÷
n4
". k
é2 ". k
"⁄ℛ ′. k
"⁄ℛ′n÷ = n4
"⁄ℛ ′ + n4
"⁄ℛ′
Û
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
Page 76
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
La force d’inertie de Coriolis ne travaille pas dans (ℛ′ :
ℛ′⁄ℛ ∧ k"⁄ℛ ′. k
éª ". k
"⁄ℛ′ = Û
ª ". k
"⁄ℛ′n÷ = 1â
"⁄ℛ′n÷ = 8
n4
"⁄ℛ ′1 n n÷k
". k
é2 ". k
"⁄ℛ ′ + n4
"⁄ℛ′
¼
½ = n4
n3
1
En étendant la somme à tous les points de (S), on obtient le résultat.
2.
sbé—3 ⟶ e⁄ℛ′ = 8
Solide unique (S)
Pour un solide unique on a :
Alors :
Ou encore :
¹?Z e⁄ℛ′
= sb23 ⟶ e⁄ℛ′ + sbé2 ⟶ e
¹
¹?Z e⁄ℛ′
= b23 e. ¦e⁄ℛ ′ + bé2 e, ℛ′⁄ℛ . ¦e⁄ℛ ′
¹
VI. Théorème de l’énergie mécanique
L’énergie mécanique de (S) dans ℛ est donnée par :
?( e⁄ℛ = ?Z e⁄ℛ + ?w bª ⟶ e⁄ℛ La variation de l’énergie mécanique est :
¹?( e⁄ℛ
= sb—ª ⟶ e⁄ℛ ≤ 8
¹
L’énergie mécanique diminue dans le temps. On dit que les forces non conservatives (de frottement)
dissipent l’énergie.
Si la puissance du torseur des forces non conservatives est nulle, alors l’énergie mécanique est
constante:
?( e⁄ℛ = ?Z e⁄ℛ + ?w e = ö32
Qui exprime l’existence d’est une intégrale première du mouvement appelée intégrale première de l’énergie
cinétique et qui traduit la conservation de l’énergie mécanique.
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
Page 77
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
REFERENCES
1. MECANIQUE DU SOLIDE. COURS, EXERCICES ET PROBLEMES CORRIGES. A. THIONNET, E. COQUET ET P.
LAPAGE. ELLIPSES
2. MECANIQUE DU SOLIDE. APPLICATIONS INDUSTRIELLES. P. AGATI, Y. BREMONT ET G. DELVILLE,
DUNOD
3. TOUTE LA MECANIQUE. C OURS ET EXERCICES CORRIGES. L. BOCQUET, J P FAROUX ET J. RENAULT.
DUNOD
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
Page 78
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
Vecteurs
Annexe:
1.
Vecteur glissant ou glisseur
Introduction
C’est un vecteur dont le support est fixe mais non le point
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, muni
d’une base orthonormée directe B = (e,e
) ,e
, ),
- dans laquelle
un vecteur u
de E se décompose en terme de ses
support. On le note ( ,u
).
u
(∆
∆)
composantes u1, u2, u3 comme suit:
N.B.
d’application. Il est défini à un glissement près sur son
+
M
= u1 +
0 u2 ˜
1 u3 u
Exemple : Force appliquée à un solide indéformable
Dans la suite, on ne considèrera que les bases
orthonormées directes.
Suivant une même direction, une force, aura le même effet, si
elle est appliquée à un solide indéformable. Selon la
direction de la force, le solide peut subir soit une translation,
Soit E
l’espace affine euclidien de dimension 3 qui est
associé à E. On associe à tout vecteur u de E, un bipoint (A,
Vecteur libre
• Sens :
sont pas fixes.
, défini par :
B) de E , tel que M
=
2
de A vers B
soit une rotation ou les deux.
C’est un vecteur dont le support et le point d’application ne
u
• Module :
f = êP − P 1 + Q − Q 1 + R − R 1
‹ = f
Où A(xA, yA, zA) et B(xB, yB, zB)
• Origine ou point d’application : c’est le point A de E
• Direction : droite ∆ (A, „
) passant par A et admettant
M
= pour vecteur directeur. On l’appelle support du
vecteur.
(∆
∆)
A
u
B
V
A
B
C
D
W
sont des représentants du vecteur u.
et z
Les vecteurs y
Remarque
Contrairement aux grandeurs scalaires (température, masse,
etc.), toutes les grandeurs vectorielles (vitesse, accélération
etc.) dépendent du repère d’observation.
2. Opérations sur les vecteurs
Vecteur lié ou pointeur
C’est un vecteur
(A, „
) dont l’origine A (ou le point
d’application) et le support sont fixes.
(∆
∆)
A
u
Exemple : Force appliquée à un solide déformable.
Soient u , v
{¯w
∈
∈ E . Dans une même base de E :
=(v1, v2, v3)t;w
=(w1, w2, w3t
u =(u1, u2, u3t; v
2.1. Produit scalaire
Expression géométrique :
Le produit scalaire de deux
vecteurs u et v
de E, est le
scalaire défini par :
Selon le point d’application ou la direction de la force, le
solide peut se déformer différemment. L’effet de la force
change si on change son point d’application ou sa direction.
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
|v
avec α = pu
,
s
u
α
M
. Ê = MÊZ[\α
α
v
Cours de Mécanique du Solide Indéformable
. Ê = 0 ⇔
M
M
et Ê sont non nuls et orthogonaux
ou M
= 8 ou Ê = 8
2.4. Produit mixte
Le produit mixte de trois vecteurs : u,v
, et w
de E est le
Expression analytique :
M
. Ê= u1 v1+ u2 v2 + u3 v3
•
•
Mi = M
. ei
i = 1,2,3
scalaire :
M0
(M
, Ê, Ž
) = M . (Ê ∧ Ž
) = M1
M˜
Le module de u est :
. ‹
= €‹10 + ‹11 + ‹1˜
u = ‖M
‖ = √‹
u) v, w- − v- w, = ‚−v) u, w- − u- w, Q
w) u, v- − u- v, 2.2. Produit vectoriel
Expression géométrique : Le produit vectoriel de deux
vecteurs u et v
est le vecteur noté, M
∧
∧ Ê , tels que :
construit sur ces trois vecteurs.
(M
, Ê, M
∧ Ê) est un trièdre direct
• sens :
• direction : M
∧ Ê est perpendiculaire au plan formé par
les vecteurs u et v
u∧
∧ v
• Le produit mixte est invariant par une permutation
circulaire entre les trois vecteurs :
) = (Ž
, M
, Ê) = (Ê, Ž
,M
)
(M
, Ê, Ž
• Le produit mixte change de signe par une permutation
α
v
‖u∧v‖
deux à deux (non circulaire) :
(M
, Ê, Ž
) = ⎯ (M
, Ž
, Ê) = ⎯ ( Ê, M
, Ž
)
•
u
‖M
∧
∧Ê‖ : est l’aire du parallélogramme construit sur u et v
.
Expression analytique :
u)
v)
u, v- − u- v,
Q
Q
u
v
M
∧ Ê =  , ∧  , = u- v) − u) v- Q
uvu) v, − u, v)
• M
∧ M
= 8
⇔
• M
∧ Ê = 8
• M
∧ Ê = −
anticommutatif.
u et v
sont linéairement dépendants
(colinéaires ou parallèles)
Ê ∧ M
:
le produit vectoriel est
2.3. Double produit vectoriel
Le produit vectoriel de trois vecteurs : u,v
et w
de E est le
vecteur :
Ž0
Ž1 
Ž˜
Géométriquement, c’est le volume du parallélépipède
‖M
∧
∧Ê‖ = u v |\_`α
α|
• module :
Ê0
Ê1
ʘ
M
∧( Ê ∧ Ž
) = (M
.Ž
) Ê − (M
. Ê) Ž
C’est un vecteur qui appartient au plan formé par
vecteurs Ê et Ž
.
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD
les
(M
, Ê, Ž
) = 8
si :
o
l’un des vecteurs est nul
o
ou deux des vecteurs sont colinéaires.