Mécanique du Solide Indéformable - Faculté des Sciences d`El Jadida

Université Chouaib Doukkali
Faculté des Sciences
Département de Physique
- El Jadida –
Mécanique du Solide Indéformable
A. EL AFIF
Filière : Sciences de la Matière Physique – S
3
Année Universitaire
: 2015
-
2016
(Deuxième Edition)

Cours de Mécanique du Solide Indéformable
A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD Page 1
Ch. I
T ORSEURS
I. Champ de vecteurs antisymétrique
• On appelle champ de vecteurs,  toute application qui associe à chaque point A de l’espace un
vecteur M
=
.
• On dit qu’un champ de vecteurs  est équiprojectif si et seulement si :
L’équiprojectivité traduit le fait
que les champs en deux points
quelconques A et B ont même
projection sur la droite (AB) :
• On dit qu’un champ de vecteurs  est antisymétrique si :
Ou encore s’il existe une matrice  antisymétrique ( = -  ) tel que :
est la matrice transposée de .
Théorème de Delassus : Tout champ de vecteurs antisymétrique est équiprojectif et réciproquement.
Antisymétrie  Equiprojectivité
II. Torseurs
On appelle torseur un ensemble constitué d’un champ de vecteurs antisymétrique  et de son vecteur
associé  appelé résultante du torseur, vérifiant la relation de transport:
B
A
H
K
∥
∥∥
∥
∥
∥∥
∥

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On note le torseur en un point A sous la forme :
[T(A)]=    ou encore [ , 
A
]
A
est appelé moment résultant en A du torseur. Les vecteurs  et 
A
s’appellent les éléments de
réduction du torseur au point A. En termes des composantes des deux vecteurs dans une même base, on écrit:
III. Invariant scalaire d’un torseur
L’invariant scalaire d’un torseur [T], noté, I
[ T ]
est le produit scalaire de sa résultante  et de son moment
A
en un point A quelconque. Cette quantité est indépendante de ce point.
∀ I
[ T ]
. 
A
. 
B
IV. Algèbre élémentaire des torseurs
Soient deux torseurs : [ (A)] = [ ,  ] et [ (A)] = [ ,  ]
Egalité : 
 ⇔ ( ) ( 
)
Addition: 
 est un torseur tel que :
() 
 ⇔
⇔⇔
⇔  et 
Multiplication par un scalaire  
 est un torseur tel que :
() 
 ⇔ (
et  )
Comoment : 
Le comoment est un invariant scalaire qui ne dépend pas du point A.
(∀ ) 
Preuve :
)
Car :

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Automoment : [T(A)] [T(A)] = 2  I
[T]
V. Axe central d’un torseur
1. Point central
Le point central A d’un torseur est un point où le moment résultant  est colinéaire à sa résultante  :
,
Ou encore que :  , où k est un scalaire.
2. Axe central
L’axe central d’un torseur est la droite constituée par l’ensemble des points centraux :
L’axe central n’existe que si  .
Equation de l’axe central
Soit [T(O)] =  un torseur dont les éléments de réduction en un point O sont donnés. Soit l’axe
central de [T] et soit A ∈∆ alors :
A
∧  = 
Ou encore :
(
O
+ ∧
∧∧
∧ ) ∧
∧∧
∧  = 
Ce qui donne en développant :
O
∧
∧∧
∧   R
2
− ( .  ) 
Comme  , on obtient:
Soit B ∈∆ tel que  .   alors :
Le point B est la projection orthogonale de O
sur l’axe central . Donc :
  scalaire
Par conséquent, l’axe central est la droite,   qui passe par le point B et de vecteur directeur  .
3. Moment central
Le moment central 
A
d’un torseur est le moment résultant en un point A de son axe central (A ∈ (∆)).
(∆
∆∆
∆)
Axe central
B
A
O
O
B
A

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Le moment central a la même direction que l’axe central du torseur.
Remarque
Le moment d’un torseur est constant le long de :
• l’axe central : A et B ∈ (∆) : 
B A
• toute parallèle à l’axe central.
Preuve : Soit A et B ∈ (∆) alors  // (AB) donc  ∧
∧∧
∧ Par conséquent : 
B A
∧
∧∧
∧
A
VI. Torseurs à invariant scalaire nul : Glisseurs et Couples
Soit [T(A)] =  un torseur. L’invariant scalaire du torseur : I
[ T ]
. 
A
 est nul, dans les cas
suivants :
1. Torseur nul
2. Glisseur
3. Couple
1. Torseur nul [0]: (∀ )  et 
A
2. Glisseur : I
[ T ]
 et  ≠ 
Le moment central d’un glisseur est nul : ∀
∀∀
∀ C ∈
∈∈
∈  
C
= 
En effet : M
C
(car I
[T]
) et M
C
//  (car C ∈
∈∈
∈(∆) ) Donc : M
C
=
Un glisseur est un torseur pour lequel il existe au moins un point central dont le moment est nul.
Axe central : Il faut distinguer deux cas :
1
er
Cas :  .
Donc :  d’où A ∈∆ (l’axe central passe par le point A)
L’axe central du glisseur est la droite   passant par le point central A et de vecteur
directeur  .
2
eme
Cas :  .
L’axe du glisseur est la droite   passant par le point B et de vecteur directeur  tel que :
3. Couple : I
[ T ]
,  =  et 
A
≠ 
Un couple est un champ uniforme:  .
Par construction, un couple ne possède pas d’axe central.