CHAPITRE POLYNOMES Dans toute cette leçon K désigne un corps. On pourra imaginer qu ’il s’agit de R ou C. Vous trouverez en petits caractères des complements à lire en deuxième ou troisième lecture Ceci étant les résultats des parties I et II s’étendent à tout corps sauf l’identification entre les fonctions polynomiales et les polynomes qui ne fonctionne pas dans les corps finis. Les polynomes à coefficients dans un corps finis sont extrèmememt utiles dans les problèmes de codage. Dans les parties pour nous R, C ou au pire Q. III et IV , on se place dans un corps de caractéristique 0, c’est à dire 1–ALGÈBRE K[X] Dans cette partie K désigne R ou C. En fait, tous les résultats établis dans cette parties sont valable pour K quelconque. 1-DÉFINITION D’UN POLYNOME ET NOTATION STANDART. 1-1 Définition.— On appelle polynome à coefficients dans K toute suite d’éléments de K nulle à partir d’un certain rang. 1-2 Exemples et premières notations.— P=(1,6,2,0,0,..). On note O le polynome (0, 0, 0, 0, 0...), X = (0, 1, 0, 0, 0, 0..) 1-3 Proposition.— La somme de deux polynomes est un polynome. Toute combinaison linéaire de deux polynomes est un polynome. Pn 1-4 Définition.— Soit P = (an ) et Q = (bn ) deux polynomes, on définit le produit de P et Q par ( k=0 ak bn−k ). Cette suite est nulle à partir d’un certain rang, c’est donc un polynome que l’on appelle le polynome produit de P et Q. 1-5 Exemples.— Calcul de X.X, Calcul de X k 1-6 Notation standart.— Soit P = (am ), on sait qu’il existe p tel que : ∀m ∈ N m ≤ p + 1 ⇒ am = 0 P+∞ On note P = a0 + a1 X + ... + ap X p = n=0 an X n P+∞ 1-7 Définition.— Soit P = n=0 an X n un polynome non nul, on appelle degré de P et l’on note deg(P ) l’entier naturel max{m, am 6= 0}. On appelle coefficient dominant adeg(P ) . Lorsque P est le polynome nul, on pose deg(P ) = −∞. 1-8 Définition.— Un polynome non nul est dit unitaire si son coefficient dominant est égal à 1. 1-9 Notation.— Soit P un polynome et a un élément de K, on note P (a) l’élément de K ainsi défini : deg(P ) P (a) = X k=0 ak ak = +∞ X ak ak k=0 1-10 Remarques.— Soient P et Q deux polynomes et a un éléments de K, il vient (P + Q)(a) = P (a) + Q(a) et (P.Q)(a) = P (a)Q(a) 1-11 Définition.— Soit a un élément de K, on dit que a est un zéro ou une du racine du polynome P si P (a) = 0. 1-12 Remarques.— Soit P un polynome de degré n, l’équation P (x) = 0 s’appelle une équation algébrique. On dit que n est le degré de cette équation. Le théorème de d’Alembert Gauss affirme que dans C, toute équation algébrique de degré supérieur ou égal à 1 a au moins une solution. MPSI / 1 Chapitre : Polynomes 2-STRUCTURE D’ALGÈBRE K désigne un corps commutatif. 2-1 Définition.— On dit qu’un ensemble non vide A muni d’une addition +, d’une multiplication ∗ et d’une multiplication externe . est une K algèbre unitaire si A, +, . est un K espace vectoriel et si ∗ est associative, muni d’un neutre et vérifiant ∀(a, b, c) ∈ A3 ∀λ ∈ K (a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c λ.(a ∗ b) = (λ.a) ∗ b = a ∗ (λ.b) Lorsque la multiplication est commutative, on dit que l’algèbre est commutative. 2-2 Proposition.— L’ensemble des polynomes à coefficients dans K muni de +,∗ et la multiplication par un élément de K est une K-algèbre commutative. On note K[X] cette K algèbre. 2-3 Notation.— De façon plus générale si A est une K algèbre unitaire ( ensemble muni de trois opérations, deux opérations internes et une opération externe, et L un élément de A, on note P (L) l’élément de A ainsi définie : deg(P ) +∞ X X a k Lk = a k Lk k=0 k=0 0 avec L =neutre multiplicatif de A que l’on note 1 s’il n’y a pas d’ambiguité ou 1A sinon. 2-4 Remarques.— On retrouve les relations Soient P et Q deux polynomes et a un éléments de K, il vient (P + Q)(L) = P (L) + Q(L) et P.Q(L) = P (L)Q(L) si L est un élément d’une K algèbre. 2-5 P Remarque.— Si P et Q sont deux polynomes, en utilisant une remarque qui précéde, on a défini P (Q) = ak Qk . On note aussi P ◦ Q ce dernier polynome. Attention P (Q) et Q(P ) sont différents. 2-6 Notation.— Il est donc loisible de noter P (X) ou P le polynome P . 2-7 Proposition.— Soit P (X) et Q(X) deux polynomes, il vient : ∀n ∈ N n (P + Q) = n X Cnk P k Qn−k k=0 1 − P n = (1 + P + P 2 + .. + P n−1 )(1 − P ) ∀(P, Q) ∈ K[X] ∀(P, Q, R) ∈ K[X] P.Q = 0 ⇒ P = 0 ou Q = 0 3 P.Q = P.R et P 6= 0 ⇒ Q = R 3-DEGRÉ 3-1 Proposition.— Soient P et Q deux polynomes à coefficients dans K : deg(P.Q) = deg(P ) + deg(Q) deg(P + Q) ≤ max(deg(P ), deg(Q)) 3-2 Notation.— Kn [X] Toute combinaison linéaire de polynomes de Kn [X] est un polynome de Kn [X] 3-3 Proposition.— Soient P0 , P1 , .., Pn une famille de polynomes telles que 0 ≤ deg(P0 ) < deg(P1 ) < .. < deg(Pn ) Si l’on a la relation linéaire suivante : a0 P0 + a1 P1 + .. + an Pn = 0 alors a0 = a1 = .. = an = 0 MPSI / 2 Chapitre : Polynomes 2–DIVISIBILITÉ PREMIÈRE APPROCHE Dans cette partie, K désigne un corps quelconque On se place dans K[X]. 1-DÉFINITION 1-1 Définition.— On dit qu’un polynome A divise un polynome B s’il existe un polynome Q tel que A = B.Q. On dit que B est un diviseur de A et que A est un multiple de B. 1-2 Exemples.— X n − 1 est divisible par X − 1. X n − 1 est divisible par X + 1 lorsque n est pair. Factorisation classique 1-3 Définition.— On dit qu ’un polynome P de K[X] est irréductible s’il ne peut pas s’écrire sous la forme d’un produit de deux polynomes de degré supérieur ou égal à 1. 1-4 Définition.— On dit que deux polynomes A et B sont associés si A divise B et B divise A. 1-5 Exemples.— Donner des exemples de polynomes irreductibles et non irreductibles, faire référence au corps de base. 1-6 Proposition.— Deux polynomes sont associés s’il existe a ∈ K∗ tel que B = aA. 1-7 Exemples et remarques.— La relation divise sur les polynomes unitaires est une relation d’ordre. 1-8 Exercice.— Montrer que l’ensemble des multiples de B est un sous espace vectoriel de K[X]. 2-DIVISION EUCLIDIENNE 2-1 Proposition.— Soit A et B deux polynomes, il existe un couple de polynomes unique (Q, R) tel que A = BQ + R et deg(R) < deg(B) 2-2 Algorithme de la division enclidienne.— 2-3 Proposition.— Le polynome (X − a) divise P ssi P (a) = 0 2-4 Proposition.— Soient a1 , a2 , .., an n éléments de K distincts deux à deux, ssi ∀i ∈ {1, .., n} Qn k=1 (X − ai ) divise P P (ai ) = 0 3-CONSEQUENCES 3-1 Conséquence 1.— Un polynome de degré n a au plus n racines. Toute équations algébrique de degré n a au plus n solutions dans K. 3-2 Consequence 2.— Un polynome ayant une infinité de racine est necessairement le polynome nul. 3-3 Conséquence 3.— Soit n un entier naturel, si P et Q sont des polynomes de K[X] et s’il un sous ensemble de n + 1 éléments a0 , a1 , ..., an distincts deux à deux de K tels que P̃ (ai ) = Q̃(ai ) alors P = Q. 3-4 Remarque.— X − 1 6= 0 X − 1 n’est pas le polynome nul. x − 1 est un élément de K qui peut être nul lorsque x = 1 3-5 Définition.— Soit P un polynome, l’application de K dans K qui à x associe P (x) est la fonction polynome associée au polynome P . On note temporairement P̃ cette application. 3-6 Proposition.— Soient P et Q deux polynomes tel qu’il existe un sous ensemble infini de K vérifiant : ∀x ∈ A P̃ (x) = Q̃(x) alors P = Q. Cette identification n’est pas possible dans les corps finis. 3-7 Conséquence 3.— Lorsque K est infini, il est possible d’identifier polynomes et fonctions polynomes. C’est ce que nous ferons désormais. Nous garderons cependant la notation P (X) pour l’objet MPSI / 3 Chapitre : Polynomes polynome ou fonction polynome et nous utiliserons P (x) pour l’élément de K lorsque x est un élément de x. 3–UNE PAUSE LINÉAIRE. Dans cette partie, K désigne un corps de caractéristique 0. D’un point de vue pratique R, C ou au pire Q 1-DERIVATION P+∞ 1-1 Définition.— Soit P (X) = k=0 ak X k un élément de K[X], on appelle polynome dérivée de P P+∞ le polynome noté P 0 (X) ou D(P ) déterminé par P 0 (X) = k=1 kak X k 1-2 Exemples.— D(1), D(X), D(X n ). 1-3 Remarque importante.— Il est essentiel d’observer que la dérivation correspond à la dérivation des fonctions polynomes. 1-4 Proposition.— D(aP + bQ) = aD(P ) + bD(Q), D(P.Q) = D(P )Q + P.D(Q) 1-5 Remarques.— D est une application de K[X] dans K[X], il est possible de s’interesser à D ◦ D que l’on notera D2 et plus généralement à Dn . Par convention, on pose D0 = IdK[X] . On pourra utiliser la notation P k (X) pour Dk (P ) 1-6 Proposition.— Soit n un entier naturel, on a ∀(P, Q) ∈ K[X]2 Dn (aP + bQ) = aDn (P ) + bDn (Q) Dn (P.Q) = n X Cnk Dk (P )Dn−k (Q) k=0 (k) 1-7 Exercice.— Calcul de (X m ) . 1-8 Remarque.— n est un entier naturel. deg(P ) = n ⇒ Dn (P ) = cd(P )n! et Dn+1 (P ) = 0 ∀P ∈ K[X] 2-FORMULE DE TAYLOR 2-1 Proposition.— Soit P un polynome de degré m et a un élément de K, P (X) = m X P (k) (a) k=0 k! (X − a)k 2-2 Remarque.— On note aussi : P (X) = +∞ X P (k) (a) k=0 k! (X − a)k P (a + X) = +∞ X P (k) (a) k=0 k! Xk Ce dernier point sera relu après le cours sur les espaces vectoriels : La famille des polynomes ((X une famille génératrice de K[X] − a)k )k∈{0,1,..,n} est une famille génératrice de Kn [X]. la famille ((X − a)k )k∈N est 3-POLYNOMES D’INTERPOLATION DE LAGRANGE. Q Soient a0 , a1 , .., an n + 1 éléments de K, on désigne pour i = 0, .., n Li = k6=i X−ak ai −ak 3-1 Proposition.— La famille L0 , L1 , .., Ln est une famille libre et génératrice de Kn [X ] . Plus précisément n X ∀P ∈ Kn [X] P = P (ai )Li k=0 MPSI / 4 Chapitre : Polynomes 4–RACINES ET POLYNOME Dans cette partie, le corps K est un corps de caractéristique nulle, c’est à dire pour nous R ou C, au pire Q 1-MULTIPLICITÉ ET RACINES 1-1 Définition.— On dit que a est une racine de multiplicité m de P s’il existe un polynome Q tel que P (X) = Q(X)(X − a)m et Q(a) 6= 0. 1-2 Proposition.— a est une racine de multiplicité n de P ssi P (a) = ... = P n−1 (a) = 0 et P n (a) 6= 0. 1-3 Proposition.— Soient a et b deux éléments distincts de K et n et m deux entiers naturels, si (X − a)n divise (X − b)m .Q(X) alors (X − a)m divise Q(X). 1-4 Proposition.— Soit P un polynome non nul, si Q P admet s racines a1 , a2 , .., as de multiplicité m m1 , m2 , .., ms alors il existe un polynome Q tel que P (X) = k=1 (X − ai )mi Q 1-5 Remarques.— deg(P ) ≥ m1 + m2 + ..ms . Cas interessant s’il y a égalité alors Q = cd(P ). 1-6 Définition.— On dit qu’un polynome P de degré n est scindé sur K s’il peut s’écrire sous la forme P = cd(P ) n Y (X − ai ) k=1 Les ai pouvant être confondus. 2-LIEN RACINES-COEFFICIENTS Nous venons de voir apparaitre une deuxième forme interessante pour les polynomes. On parle parfois de la forme factorisée. 2-1 Définition.— Soit n un entier naturel non nul et soit k un élément de {1, .., n}, on désigne par σn,k l’application de Kn dans K ainsi définie : ∀(x1 , .., xn ) ∈ Kn σn,k (x1 , x2 , .., xn ) = X xi1 .xi2 ...xik 1≤i1 <..<ik ≤n Les fonctions précedentes s’appelle les fonctions symétriques élémentaires. 2-2 Exercices.— Dans le cas où n = 2, n = 3 déterminer les fonctions symétriques élémentaires 2-3 Notation.— Pour k = 0 on pose σn,0 (a1 , .., an ) = 1 2-4 Exercices.— Soit n ≥ 1 et k ≥ 1, montrer que σn+1,k (a1 , .., an+1 ) = σn,k (a1 , .., an ) + σn,k−1 (a1 , .., an )an+1 2-5 Proposition.— Soit (a1 , a2 , ..an ) ∈ Kn : Qn k=1 (X − ai ) = Pn n−k σn−k (a1 , a2 , ..an )X k k=0 (−1) 2-6 Exemples d’utilisation.— Formules de Viete à connaitre. 2-7 Exercices .— Factoriser le polynome X 3 + 2/3 ∗ X 2 − 37/3 ∗ X + 4 sachant que le produit de deux racines vaut 1. MPSI / 5 Chapitre I : Polynomes 3-ETUDE DE C[X] ET R[X]. 3-1 Proposition.— Tout polynome de C[X] de degré supérieur ou égal à 1 s’écrit comme produit de polynome de degré 1. Plus précisement si Z(P ) désigne l’ensemble des racines de P et si pour tout élément de a de Z(P ) va (p) désigne la multiplicité de a comme racine de P , on a : P = cd(P ) Y (X − a)va (p) a∈Z(P ) si P n’est pas le polynome nul. 3-2 Remarques.— La factorisation dans C[X] se ramène à la recherche des racines. Nous verrons dans le cours d’arithmétique le lien entre cette écriture et le théorème fondamental de l’arithméthique. 3-3 Proposition.— Si P (X) ∈ R[X] et si z est une racine de P de multiplicité m alors z̄ est une racine de P (X) de multiplicité m. 3-4 Proposition.— Dans R[X] tous les polynomes peuvent s’écrire comme produit de polynomes de degré 1 et polynomes de degré deux. 3-5 Remarques.— La forme générale factorisée d’un polynome non nul dans R[X] est P = cd(P ) Y a∈Z(P )∩R Y (X − a)va (P ) a∈Z(P ) (X 2 − 2Re(a)X + |a|2 )va (p) Im(a)>0 En dehors des techniques de factorisation classique, on factorise un polynome de R[X], en le factorisant dans C[X]. MPSI / 6 Polynomes Divisibilité Exercice 1.1 – Déterminer le reste de la division euclidienne du polynome A par le polynome B dans les cas qui suivent : A = X − 3 B = X 4 + 2X 3 − X 2 + 1 A = (X − 2)(X − 1) B = X 8 − X 5 + X 4 + X 3 + X + 1 A = X 2 − X + 1 B = (X − 1)12 + 1 A = (X + 1)3 B = X n + X + 1 Exercice 1.2 – Pour quelles valeurs de m le polynome Pm = (X + 1)2m + X m + 1 est-il divisible par X + X + 1. 2 Exercice 1.3 – Montrer que dans le polynome B = X n+1 cos(n − 1)θ − X n cos nθ − X cos θ + 1 on peut mettre en facteur X 2 − 2 cos θX + 1 X 12 Exercice 1.4 – Peut on trouver a b et c réels tels que le polynome X 3 + X 2 + X divise le polynome + X 8 + X 4 + aX 2 + bX + c Exercice 1.5 – Montrer que le polynome nX n+2 − (n + 2)X n+1 + (n + 2)X − n est divisible par (X − 1)3 . Exercice 1.6 – (*)Soit P (X) et Q(X) deux polynomes à coefficients dans un sous corps K0 de K. Montrer que si P (X) divise Q(X) dans K[X] ssi P (X) divise Q(X) dans K0 [X]. Exercice 1.7 – * Fadeev Sominsky. Montrer que le polynome 1 + X + X 2 + X 3 + X 4 divise le polynome X +X 5n1 +1 +X 5n2 +2 +X 5n3 +3 +X 5n4 +4 où nk pour k = 0, 1, 2, 3, 4 sont des entiers naturels quelconques. Généraliser. 5n0 Décomposition en produit de facteurs irréductibles. Exercice 2.1 – Décomposer dans R[X] les polynomes qui suivent : X4 + X2 + 1 X 6 − 2 cos tX 3 + 1 1 + X + X2 + X3 + X4 + X5 Exercice 2.2 – Décomposer dans R[X] le polynome X 2n − 1. Exercice 2.3 – Décomposer dans R[X] le polynome 1 + X + X 2 + ... + X 2n−1 . en déduire les produits suivants : n−1 n−1 Y Y kπ kπ sin cos 2n 2n k=1 k=1 Exercice 2.4 – Décomposer le polynome X n − 1 dans C[X], en déduire (*) les produits qui suivent : n−1 Y k=0 où est un réel non élément de πZ. sin(x + kπ ) n Recherches de polynomes Exercice 3.1 – Déterminer les polynomes de C[X] tel que P (X + 1) = P (X) (hyperclassique).Existe t’il un polynome P à coefficients réels tels que : ∀t ∈ R P (t) = sin(t) Exercice 3.2 – Déterminer les polynomes P vérifiant P (X)2 = P (X 2 ) Exercice 3.3 – Déterminer les polynomes P vérifiant : P (2) = 1, P 0 (2) = 2, P 00 (2) = 3, ∀k ⊂ N k > 2 ⇒ P (k) (2) = 0 Exercice 3.4 – n étant un entier naturel, déterminer les polynomes P de K[X] tels que : P 0 − P = X n Polynomes et racines Exercice 4.1 – Déterminer les triplets (x, y, z) tels que : x + y + z = 3; x2 + y 2 + z 2 = 3; x3 + y 3 + x3 = 3 Exercice 4.2 – On désigne par x1 , x2 , et x3 les racines du polynome P (X) = X 3 + sX 2 + pX + q, déterminer x11 + x12 + x13 et x12 + x12 + x13 1 2 3 Exercice 4.3 – Soit z une racine septième de l’unité autre que 1, montrer que z 3 + z 5 + z 6 et z + z 2 + z 4 sont les racines de X 2 + X + 2. Exercice 4.4 – Résoudre dans C x4 − 5x3 + 9x2 − 15x + 18 = 0 sachant que deux racines x1 et x2 vérifient x1 x2 = 6. Exercice 4.5 – Montrer qu’il existe un unique polynome Tn de degré n vérifiant : ∀t ∈ R Tn (cos(t)) = cos(nt) Donner Tn sous sa forme factorisée dans R[X]. Quelques énoncés des oraux des concours Exercice 5.1 – Trouver tous les polynomes P tels que (X + 4)P (X) = XP (X + 1) Exercice 5.2 – Trouver tous les polynomes P de R7 [X] tels que (X − 1)4 divise P (X) − 1 et (X + 1)4 divise (X + 1)4 divise P (X) + 1 Exercice 5.3 – Soit n un entier naturel , montrer l’existence de Pn ∈ Rn [X] tel que : ∀t ∈]0, π [ 2 Pn (cotan2 (t)) = sin(2n + 1)t (sint)2n+1 Trouver les racines de Pn et calculer leur somme. En utilisant l’inégalité cotan2 (t) < P+∞ ]0, π2 [, étudier la somme k=1 k12 1 t2 < 1 + cotan2 (t) sur Exercice 5.4 – Soit Pn la suite de polynomes réels définie par P0 = 2, P1 = X et Pn+2 = XPn+1 − Pn . Exprimer pour z ∈ C∗ et n ∈ N Pn (z + z1 ) Factoriser Pn . Exercice 5.5 – Racines du polynome X n + Cn1 cosaX n−1 + ... + Cnk coskaX n−k + .. + cos(na) Exercice 5.6 – Soit P = nX n+1 − (n + 1)aX n + an+1 , montrer que (X − a)2 divise P et calculer le P quotient (X−a) 2. Exercice 5.7 – Soit P = X 3 + X − 1. Un complexe qui est une racine de P peut il être réel ? entier ? rationnel ?zéro d’un polynome de degré deux à coefficients rationnels. Exercice 5.8 – Trouver les polynomes P de R[X] tels que P (X 2 ) = P (X)P (X − 1). Exercice 5.9 – Soit P = pas de racines réelles. Pn i=0 ai X i un polynome de R[X] à racines simples, montrer que P 02 − P P 00 n’a Exercice 5.10 – Quel est le reste de la division euclidienne de (X n + 1)2 par (X + 1)2 Exercice 5.11 – Soit n ≥ 2 et Tn = X n − X + 1. Nombre de racines de Tn dans Q ? dans R ? dans C ? Exercice 5.12 – Pour quelle(s) valeur(s) de n, le polynome (X + 1)n − X n − 1 possède-t-il une racine multiple dans C. Exercice 5.13 – Soit (X − a)(X − b)(X − c) = X 3 + uX 2 + vX + w un polynome complexe. Donner les coefficients de (X − (1 + a2 ))(X − (1 + b2 )(X − (1 + c2 )). 5.14 – Soit n impair et soient z1 , z2 , .., zn−1 les racines nième de l’unité autre que 1. Calculer Qn−1Exercice 1−zi i=1 1+zi . Exercice 5.15 – On pose ω = exp 2iπ n . Montrer que n−1 Y (aω + b) = bn + (−1)n+1 an k=0 Soit P = X n + Pn k=1 ck X n−k = Qn k=1 (X − zk ). Calculer Qn k=1 (az k + b). Calculer Qn k=1 (ω 2k − 2ω k cos θ + 1) Exercice 5.16 – Soit n un entier naturel non nul, α ∈ R \ πZ ; on considère le polynome : P (X) = (X − 1)n − exp(2iα)(X + 1)n Déterminer les racines de P . En déduire une expression simple de : n−1 Y cotan(x + k=0 kπ ) n Exercice 5.17 – Résoudre dans C : (1 + x)2n = (1 − x)2n Calculer le produit des racines non nulles. Exercice 5.18 – Soient x1 , x2 , x3 les racines dans C du polynome à coefficients complexes X 3 + pX − q avec q 6= 0. Déterminer : X 1 2 xi xj (i,j)|i6=j