CHAPITRE POLYNOMES Dans toute cette leçon K

CHAPITRE POLYNOMES
Dans toute cette le¸con Kd´esigne un corps. On pourra imaginer qu ’il s’agit de Rou C. Vous trouverez
en petits caract`eres des complements `a lire en deuxi`eme ou troisi`eme lecture
Ceci ´etant les r´esultats des parties Iet II s’´etendent `a tout corps sauf l’identification entre les fonctions polynomiales et
les polynomes qui ne fonctionne pas dans les corps finis. Les polynomes `a coefficients dans un corps finis sont extr`emememt
utiles dans les probl`emes de codage. Dans les parties III et IV , on se place dans un corps de caract´eristique 0, c’est `a dire
pour nous R,Cou au pire Q.
1–ALG` EBRE K[X]
Dans cette partie Kd´esigne Rou C.
En fait, tous les r´esultats ´etablis dans cette parties sont valable pour Kquelconque.
1-D´ EFINITION D’UN POLYNOME ET NOTATION STANDART.
1-1 D´efinition.— On appelle polynome `a coefficients dans Ktoute suite d’´el´ements de Knulle `a partir
d’un certain rang.
1-2 Exemples et premi`eres notations.— P=(1,6,2,0,0,..). On note O le polynome (0,0,0,0,0...),
X= (0,1,0,0,0,0..)
1-3 Proposition.— La somme de deux polynomes est un polynome. Toute combinaison lin´eaire de
deux polynomes est un polynome.
1-4 D´efinition.— Soit P= (an)et Q= (bn)deux polynomes, on d´efinit le produit de Pet Qpar
(Pn
k=0 akbn−k). Cette suite est nulle `a partir d’un certain rang, c’est donc un polynome que l’on appelle le
polynome produit de Pet Q.
1-5 Exemples.— Calcul de X.X, Calcul de Xk
1-6 Notation standart.— Soit P= (am), on sait qu’il existe ptel que :
∀m∈Nm≤p+ 1 ⇒am= 0
On note P=a0+a1X+... +apXp=P+∞
n=0 anXn
1-7 D´efinition.— Soit P=P+∞
n=0 anXnun polynome non nul, on appelle degr´e de Pet l’on note
deg(P)l’entier naturel max{m, am6= 0}. On appelle coefficient dominant adeg(P). Lorsque Pest le polynome
nul, on pose deg(P) = −∞.
1-8 D´efinition.— Un polynome non nul est dit unitaire si son coefficient dominant est ´egal `a 1.
1-9 Notation.— Soit Pun polynome et aun ´el´ement de K, on note P(a)l’´el´ement de Kainsi d´efini :
P(a) =
deg(P)
X
k=0
akak=
+∞
X
k=0
akak
1-10 Remarques.— Soient Pet Qdeux polynomes et aun ´el´ements de K, il vient (P+Q)(a) =
P(a) + Q(a)et (P.Q)(a) = P(a)Q(a)
1-11 D´efinition.— Soit aun ´el´ement de K, on dit que aest un z´ero ou une du racine du polynome P
si P(a) = 0.
1-12 Remarques.— Soit Pun polynome de degr´e n, l’´equation P(x) = 0 s’appelle une ´equation
alg´ebrique. On dit que nest le degr´e de cette ´equation. Le th´eor`eme de d’Alembert Gauss affirme que dans
C, toute ´equation alg´ebrique de degr´e sup´erieur ou ´egal `a 1a au moins une solution.
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2-STRUCTURE D’ALG` EBRE
Kd´esigne un corps commutatif.
2-1 D´efinition.— On dit qu’un ensemble non vide Amuni d’une addition +, d’une multiplication ∗
et d’une multiplication externe .est une Kalg`ebre unitaire si A, +, . est un Kespace vectoriel et si ∗est
associative, muni d’un neutre et v´erifiant
∀(a, b, c)∈A3∀λ∈K(a+b)∗c=a∗c+b∗c a ∗(b+c) = a∗b+a∗c λ.(a∗b) = (λ.a)∗b=a∗(λ.b)
Lorsque la multiplication est commutative, on dit que l’alg`ebre est commutative.
2-2 Proposition.— L’ensemble des polynomes `a coefficients dans Kmuni de +,∗et la multiplication
par un ´el´ement de Kest une K-alg`ebre commutative. On note K[X]cette Kalg`ebre.
2-3 Notation.— De fa¸con plus g´en´erale si Aest une Kalg`ebre unitaire ( ensemble muni de trois
op´erations, deux op´erations internes et une op´eration externe, et Lun ´el´ement de A, on note P(L)l’´el´ement
de Aainsi d´efinie : deg(P)
X
k=0
akLk=
+∞
X
k=0
akLk
avec L0=neutre multiplicatif de Aque l’on note 1s’il n’y a pas d’ambiguit´e ou 1Asinon.
2-4 Remarques.— On retrouve les relations Soient Pet Qdeux polynomes et aun ´el´ements de K, il
vient (P+Q)(L) = P(L) + Q(L)et P.Q(L) = P(L)Q(L)si Lest un ´el´ement d’une Kalg`ebre.
2-5 Remarque.— Si Pet Qsont deux polynomes, en utilisant une remarque qui pr´ec´ede, on a d´efini
P(Q) = PakQk. On note aussi P◦Qce dernier polynome. Attention P(Q)et Q(P)sont diff´erents.
2-6 Notation.— Il est donc loisible de noter P(X)ou Ple polynome P.
2-7 Proposition.— Soit P(X)et Q(X)deux polynomes, il vient :
∀n∈N(P+Q)n=
n
X
k=0
Ck
nPkQn−k
1−Pn= (1 + P+P2+.. +Pn−1)(1 −P)
∀(P, Q)∈K[X]P.Q = 0 ⇒P= 0 ou Q = 0
∀(P, Q, R)∈K[X]3P.Q =P.R et P 6= 0 ⇒Q=R
3-DEGR´ E
3-1 Proposition.— Soient Pet Qdeux polynomes `a coefficients dans K:
deg(P.Q) = deg(P) + deg(Q)deg(P+Q)≤max(deg(P), deg(Q))
3-2 Notation.— Kn[X]Toute combinaison lin´eaire de polynomes de Kn[X]est un polynome de Kn[X]
3-3 Proposition.— Soient P0, P1, .., Pnune famille de polynomes telles que
0≤deg(P0)< deg(P1)< .. < deg(Pn)
Si l’on a la relation lin´eaire suivante :
a0P0+a1P1+.. +anPn= 0
alors a0=a1=.. =an= 0
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2–DIVISIBILIT´ E PREMI` ERE APPROCHE
Dans cette partie, Kd´esigne un corps quelconque On se place dans K[X].
1-D´ EFINITION
1-1 D´efinition.— On dit qu’un polynome Adivise un polynome Bs’il existe un polynome Qtel que
A=B.Q. On dit que Best un diviseur de Aet que Aest un multiple de B.
1-2 Exemples.— Xn−1est divisible par X−1.Xn−1est divisible par X+ 1 lorsque nest pair.
Factorisation classique
1-3 D´efinition.— On dit qu ’un polynome Pde K[X]est irr´eductible s’il ne peut pas s’´ecrire sous la
forme d’un produit de deux polynomes de degr´e sup´erieur ou ´egal `a 1.
1-4 D´efinition.— On dit que deux polynomes Aet Bsont associ´es si Adivise Bet Bdivise A.
1-5 Exemples.— Donner des exemples de polynomes irreductibles et non irreductibles, faire r´ef´erence
au corps de base.
1-6 Proposition.— Deux polynomes sont associ´es s’il existe a∈K∗tel que B=aA.
1-7 Exemples et remarques.— La relation divise sur les polynomes unitaires est une relation d’ordre.
1-8 Exercice.— Montrer que l’ensemble des multiples de Best un sous espace vectoriel de K[X].
2-DIVISION EUCLIDIENNE
2-1 Proposition.— Soit Aet Bdeux polynomes, il existe un couple de polynomes unique (Q, R)tel
que A=BQ +Ret deg(R)< deg(B)
2-2 Algorithme de la division enclidienne.—
2-3 Proposition.— Le polynome (X−a)divise Pssi P(a) = 0
2-4 Proposition.— Soient a1, a2, .., ann ´el´ements de Kdistincts deux `a deux, Qn
k=1(X−ai)divise P
ssi
∀i∈ {1, .., n}P(ai) = 0
3-CONSEQUENCES
3-1 Cons´equence 1.— Un polynome de degr´e na au plus nracines. Toute ´equations alg´ebrique de
degr´e na au plus nsolutions dans K.
3-2 Consequence 2.— Un polynome ayant une infinit´e de racine est necessairement le polynome nul.
3-3 Cons´equence 3.— Soit nun entier naturel, si Pet Qsont des polynomes de K[X]et s’il un sous
ensemble de n+ 1 ´el´ements a0, a1, ..., andistincts deux `a deux de Ktels que ˜ P(ai) = ˜ Q(ai)alors P=Q.
3-4 Remarque.— X−16= 0 X−1n’est pas le polynome nul. x−1est un ´el´ement de Kqui peut
ˆetre nul lorsque x= 1
3-5 D´efinition.— Soit Pun polynome, l’application de Kdans Kqui `a xassocie P(x)est la fonction
polynome associ´ee au polynome P. On note temporairement ˜ Pcette application.
3-6 Proposition.— Soient Pet Qdeux polynomes tel qu’il existe un sous ensemble infini de Kv´erifiant
:
∀x∈A˜ P(x) = ˜ Q(x)
alors P=Q.
Cette identification n’est pas possible dans les corps finis.
3-7 Cons´equence 3.— Lorsque Kest infini, il est possible d’identifier polynomes et fonctions poly-
nomes. C’est ce que nous ferons d´esormais. Nous garderons cependant la notation P(X)pour l’objet
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Chapitre : Polynomes
polynome ou fonction polynome et nous utiliserons P(x)pour l’´el´ement de Klorsque xest un ´el´ement de
x.
3–UNE PAUSE LIN´ EAIRE.
Dans cette partie, Kd´esigne un corps de caract´eristique 0. D’un point de vue pratique R,Cou au pire
Q
1-DERIVATION
1-1 D´efinition.— Soit P(X) = P+∞
k=0 akXkun ´el´ement de K[X], on appelle polynome d´eriv´ee de P
le polynome not´e P0(X)ou D(P)d´etermin´e par P0(X) = P+∞
k=1 kakXk
1-2 Exemples.— D(1), D(X), D(Xn).
1-3 Remarque importante.— Il est essentiel d’observer que la d´erivation correspond `a la d´erivation
des fonctions polynomes.
1-4 Proposition.— D(aP +bQ) = aD(P) + bD(Q),D(P.Q) = D(P)Q+P.D(Q)
1-5 Remarques.— Dest une application de K[X]dans K[X], il est possible de s’interesser `a D◦D
que l’on notera D2et plus g´en´eralement `a Dn. Par convention, on pose D0=IdK[X]. On pourra utiliser la
notation Pk(X)pour Dk(P)
1-6 Proposition.— Soit nun entier naturel, on a
∀(P, Q)∈K[X]2Dn(aP +bQ) = aDn(P) + bDn(Q)Dn(P.Q) =
n
X
k=0
Ck
nDk(P)Dn−k(Q)
1-7 Exercice.— Calcul de (Xm)(k).
1-8 Remarque.— nest un entier naturel.
∀P∈K[X] deg(P) = n⇒Dn(P) = cd(P)n!et Dn+1(P) = 0
2-FORMULE DE TAYLOR
2-1 Proposition.— Soit Pun polynome de degr´e met aun ´el´ement de K,
P(X) =
m
X
k=0
P(k)(a)
k!(X−a)k
2-2 Remarque.— On note aussi :
P(X) =
+∞
X
k=0
P(k)(a)
k!(X−a)kP(a+X) =
+∞
X
k=0
P(k)(a)
k!Xk
Ce dernier point sera relu apr`es le cours sur les espaces vectoriels :
La famille des polynomes ((X−a)k)k∈{0,1,..,n}est une famille g´en´eratrice de Kn[X]. la famille ((X−a)k)k∈Nest
une famille g´en´eratrice de K[X]
3-POLYNOMES D’INTERPOLATION DE LAGRANGE.
Soient a0, a1, .., ann+ 1 ´el´ements de K, on d´esigne pour i= 0, .., n Li=Qk6=i
X−ak
ai−ak
3-1 Proposition.— La famille L0, L1, .., Lnest une famille libre et g´en´eratrice de Kn[X]. Plus
pr´ecis´ement
∀P∈Kn[X]P=
n
X
k=0
P(ai)Li
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Chapitre : Polynomes
4–RACINES ET POLYNOME
Dans cette partie, le corps Kest un corps de caract´eristique nulle, c’est `a dire pour nous Rou C, au
pire Q
1-MULTIPLICIT´ E ET RACINES
1-1 D´efinition.— On dit que aest une racine de multiplicit´e mde Ps’il existe un polynome Qtel
que P(X) = Q(X)(X−a)met Q(a)6= 0.
1-2 Proposition.— aest une racine de multiplicit´e nde Pssi P(a) = ... =Pn−1(a) = 0 et Pn(a)6= 0.
1-3 Proposition.— Soient aet bdeux ´el´ements distincts de Ket net mdeux entiers naturels, si
(X−a)ndivise (X−b)m.Q(X)alors (X−a)mdivise Q(X).
1-4 Proposition.— Soit Pun polynome non nul, si Padmet sracines a1, a2, .., asde multiplicit´e
m1, m2, .., msalors il existe un polynome Qtel que P(X) = Qm
k=1(X−ai)miQ
1-5 Remarques.— deg(P)≥m1+m2+..ms. Cas interessant s’il y a ´egalit´e alors Q=cd(P).
1-6 D´efinition.— On dit qu’un polynome Pde degr´e nest scind´e sur Ks’il peut s’´ecrire sous la forme
P=cd(P)
n
Y
k=1
(X−ai)
Les aipouvant ˆetre confondus.
2-LIEN RACINES-COEFFICIENTS
Nous venons de voir apparaitre une deuxi`eme forme interessante pour les polynomes. On parle parfois
de la forme factoris´ee.
2-1 D´efinition.— Soit nun entier naturel non nul et soit kun ´el´ement de {1, .., n}, on d´esigne par
σn,k l’application de Kndans Kainsi d´efinie :
∀(x1, .., xn)∈Knσn,k(x1, x2, .., xn) = X
1≤i1<..<ik≤n
xi1.xi2...xik
Les fonctions pr´ecedentes s’appelle les fonctions sym´etriques ´el´ementaires.
2-2 Exercices.— Dans le cas o`u n= 2,n= 3 d´eterminer les fonctions sym´etriques ´el´ementaires
2-3 Notation.— Pour k= 0 on pose σn,0(a1, .., an) = 1
2-4 Exercices.— Soit n≥1et k≥1, montrer que
σn+1,k(a1, .., an+1) = σn,k (a1, .., an) + σn,k−1(a1, .., an)an+1
2-5 Proposition.— Soit (a1, a2, ..an)∈Kn:Qn
k=1(X−ai) = Pn k=0(−1)n−kσn−k(a1, a2, ..an)Xk
2-6 Exemples d’utilisation.— Formules de Viete `a connaitre.
2-7 Exercices .— Factoriser le polynome X3+ 2/3∗X2−37/3∗X+ 4 sachant que le produit de deux
racines vaut 1.
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