Géométrie différentielle - Département de Mathématiques d`Orsay

G´eom´etrie diff´erentielle
Pierre Pansu, relu par Antonin Pottier
2 juillet 2007

Chapitre 1
Calcul des variations
On pr´esente les ´equations d’Euler-Lagrange caract´erisant les extr´emales des probl`emes varia-
tionnels lagrangiens, puis un th´eor`eme d’E. Noether fournissant pour chaque sym´etrie infinit´esimale
du lagrangien une int´egrale premi`ere des ´equations.
Ensuite, on relie les ´equations d’Euler-Lagrange aux ´equations de Hamilton. Ce nouveau point
de vue ´eclaire le th´eor`eme de Noether et ouvre la voie `a une m´ethode, dite d’Hamilton-Jacobi,
pour trouver des int´egrales premi`eres qui ne sont pas n´ecessairement li´ees `a des sym´etries.
Si le point de vue lagrangien est proche des probl`emes de contrˆole optimal, le point de vue
hamiltonien, qui est celui qui se prˆete le mieux `a la quantification, a la faveur des physiciens.
Dans ce chapitre, suivant une tradition pluricentenaire, on notera typiquement qun point de
l’espace, ˙qun vecteur.
1.1 ´ Equations d’Euler-Lagrange
Avant de donner la d´efinition g´en´erale d’un probl`eme variationnel lagrangien, on d´ecrit deux
exemples, la recherche des plus courts chemins sur une surface, et le principe de Fermat en optique
g´eom´etrique. Une fois obtenues les ´equations qui caract´erisent les extr´emales, on reconnaˆıtra la
nature variationnelle des ´equations de la dynamique pour une particule dans un champ de potentiel
(principe de moindre action de Hamilton).
1.1.1 M´etriques riemanniennes
D´efinition 1.1.1 Soit Uun ouvert de Rn. Une m´etrique riemannienne (Riemannian metric) sur
Uest la donn´ee d’une application lisse gde Udans l’espace vectoriel des formes quadratiques sur
Rn, telle que, pour tout q∈U,gqsoit d´efinie positive. ´ Etant donn´e des coordonn´ees q= (q1, . . . , qn)
sur Rn, on peut ´ecrire gq=Pn
i, j=1 gij (q)dqidqj.
Si t7→ q(t),[a, b]→U, est une courbe lisse dans U, sa longueur (length) est
Long(c) = Zb
aqgq(t)( ˙q(t)) dt.
Exercice 1 L’application
]−π
2,π 2[×]−π, π[→R3,(θ, φ)7→ X(θ, φ) = 
cos(θ) cos(φ)
cos(θ) sin(φ)
sin(θ)
,
est un param´etrage d’un ouvert de la sph`ere unit´e de R3.´ Etant donn´e une courbe lisse t7→ q(t) =
(θ(t), φ(t)) ∈U=] −π
2,π 2[×]−π, π[, v´erifier que la longueur de son image X◦cdans R3est ´egale
`a la longueur de crelative `a la m´etrique riemannienne dθ2+ (cos θ)2dφ2sur U.
1

CHAPITRE 1. CALCUL DES VARIATIONS 2
Exercice 2 Soit s7→ (r(s),0, z(s)) une courbe trac´ee dans un plan vertical, param´etr´ee par son
abscisse curviligne. Param´etrer la surface de r´evolution engendr´ee par la rotation de cette courbe,
baptis´ee m´eridienne, autour de l’axe Oz. Calculer la m´etrique induite dans ce param´etrage.
1.1.2 Optique g´eom´etrique
La vitesse `a laquelle la lumi`ere voyage dans un milieu transparent n’est pas constante en g´en´eral :
elle d´epend du point o`u on se trouve, et parfois aussi de la direction (milieux anisotropes). L’indice
du milieu en un point q(et dans une direction ˙q) est le quotient de la vitesse de la lumi`ere dans le
vide par la vitesse de la lumi`ere dans le milieu, n(q, ˙q) = c/v ≥1.
Le Principe de Fermat ´enonce que le trajet suivi par un rayon lumineux qui passe par deux
points Q1et Q2minimise le temps de parcours parmi tous les trajets possibles. Le long d’un chemin
t7→ q(t), la vitesse vaut v=k˙q(t)k. Par cons´equent, le temps de parcours vaut
Zdt =Z1
vk˙q(t)kdt =Z1 cn(q(t),˙q(t)) k˙q(t)kdt.
Si le mat´eriau est isotrope (nne d´epend pas de la direction), cette int´egrale (appel´ee parfois chemin
optique) s’interpr`ete comme la longueur relative `a la m´etrique riemannienne n2ds2,conforme `a la
m´etrique euclidienne. Si le mat´eriau est anisotrope (c’est le cas de certains cristaux), on se trouve
en pr´esence d’un probl`eme plus g´en´eral, qui motive la d´efinition suivante.
Exercice 3 On mod´elise un bloc de verre par un demi-espace optiquement homog`ene et isotrope,
i.e. d’indice constant n > 1, le complementaire ´etant vide. On consid`ere un rayon lumineux qui
entre dans le verre. On note il’angle d’incidence (angle du rayon avec la normale `a l’interface
dans le vide) et rl’angle de r´efraction (angle du rayon avec la normale dans le verre). Etablir la
loi de Snell sin(i) = nsin(r).
1.1.3 Probl`emes variationnels lagrangiens
D´efinition 1.1.2 Soit Uun ouvert de Rn. Un lagrangien (Lagrangian) sur Uest la donn´ee
d’une fonction lisse L:U×Rn×[a, b]→R. Le probl`eme variationnel associ´e (variational
problem) consiste `a chercher, ´etant donn´e deux points Q1et Q2de U, les courbes c: [a, b]→U
trac´ees dans U, telles que c(a) = Q1et c(b) = Q2, qui minimisent la fonctionnelle
Φ(c) = Zb
a
L(c(t),˙c(t), t)dt.
Exemple 1.1.3 La recherche des plus courts chemins riemanniens est le probl`eme variationnel
associ´e au lagrangien L(q, ˙q, t) = pgq( ˙q).
Ce lagrangien poss`ede les propri´et´es particuli`eres suivantes.
1. il est ind´ependant du temps ;
2. il est homog`ene de degr´e 1 ;
3. il est convexe.
La propri´et´e 1 rend le probl`eme variationnel ind´ependant de l’intervalle [a, b]. 2 le rend invariant
par les reparam´etrages de l’intervalle.
Exercice 4 On s’int´eresse au mouvement d’une bille glissant sans frottement dans une goutti`ere
situ´ee dans un plan vertical, en partant d’un point Pavec vitesse nulle et passant par un point Q.
Suivant Bernoulli (1696), on cherche, parmi tous les profils de goutti`ere reliant P`a Q, celui qui
rend minimal le temps que la bille met `a rejoindre Qdepuis P. Montrer qu’il s’agit d’un probl`eme
variationnel lagrangien, ´equivalent `a la recherche des g´eod´esiques d’une m´etrique riemannienne
dans un demi-plan.

CHAPITRE 1. CALCUL DES VARIATIONS 3
Lemme 1.1.4 La fonctionnelle Φest diff´erentiable, sa diff´erentielle est donn´ee par la formule
suivante. Soit s7→ csune famille lisse de courbes telle que c0=cet d
ds cs|s=0 =h. Alors
d
dsΦ(cs)|s=0 =Zb
a∂L
∂q (c(t),˙c(t), t)−d dt(∂L ∂˙q(c(t),˙c(t), t))(h(t)) dt
+∂L
∂˙q(c(b),˙c(b), b)(h(b)) −∂L ∂˙q(c(a),˙c(a), a)(h(a)).
Preuve. On d´erive sous le signe somme,
d
dsΦ(cs)|s=0 =Zb
a∂L
∂q (c(t),˙c(t), t)(h(t)) + ∂L ∂˙q(c(t),˙c(t), t)( ˙
h(t))dt
puis on int`egre par parties
Zb
a
∂L
∂˙q(c(t),˙c(t), t)( ˙
h(t)) dt = [∂L
∂˙q(c(t),˙c(t), t)(h(t))]b
a
−Zb
a
d
dt(∂L ∂˙q(c(t),˙c(t), t))(h(t)) dt.
1.1.4 ´ Equations d’Euler-Lagrange
D´efinition 1.1.5 Une extr´emale (extremal curve) d’un probl`eme variationnel lagrangien est
une courbe qui annule la diff´erentielle de Φrestreinte aux courbes d’extr´emit´es fix´ees.
Th´eor`eme 1 La courbe cest une extr´emale du probl`eme variationnel associ´e au lagrangien Lsi
et seulement si pour tout t∈[a, b], la forme lin´eaire sur Rn
∂L
∂q (q(t),˙q(t), t)−d dt(∂L ∂˙q(q(t),˙q(t), t)) = 0.
Ce syst`eme de n´equations diff´erentielles du second ordre s’appelle les ´equations d’Euler-Lagrange
(Euler-Lagrange equations) du probl`eme variationnel.
Preuve. Pour toute fonction lisse hsur [a, b] `a valeurs dans Rnqui s’annule aux extr´emit´es, on
construit une famille cs(t) = q(t) + sh(t) de courbes d’extr´emit´es fix´ees dont hest la d´eriv´ee. Alors
d
dsΦ(qs)|s=0 =Zb
a
J(t)(h(t)) dt,
o`u J(t) est la forme lin´eaire sur Rndonn´ee par
J(t) = ∂L
∂q (q(t),˙q(t), t)−d dt(∂L ∂˙q(q(t),˙q(t), t)).
cest extr´emale si et seulement si Rb
aJ(t)(h(t)) dt pour toute fonction lisse hsur [a, b] qui s’annule
aux extr´emit´es. Le lemme suivant entraˆıne que cest extr´emale si et seulement si J≡0.
Lemme 1.1.6 Soit June forme lin´eaire sur Rnd´ependant diff´erentiablement de t∈[a, b]. On sup-
pose que pour toute fonction lisse hsur [a, b]`a valeurs dans Rn, nulle au voisinage des extr´emit´es,
Rb
aJ(t)(h(t)) dt = 0. Alors J≡0.
Preuve. Supposons par l’absurde qu’il existe ˆ t∈]a, b[ tel que J(ˆ t)6= 0. Soit H(t) = J(t)>le
vecteur dual de J(t). Soit χune fonction lisse, positive ou nulle, `a support dans un petit voisinage
de ˆ t. On pose h(t) = χ(t)H(t). Si le support de χest assez petit, Rb
aJ(t)(h(t)) dt =Rb aχ(t)kJ(t)k2
dt > 0, contradiction.

CHAPITRE 1. CALCUL DES VARIATIONS 4
Exemple 1.1.7 Plus courts chemins riemanniens.
Ici, L(q, ˙q) = pgq( ˙q). Ce probl`eme variationnel ´etant invariant par reparam´etrage, on peut se
contenter de chercher les extr´emales param´etr´ees `a vitesse constante 1. Fixons des coordonn´ees.
Alors
∂L2
∂˙qi
(q, ˙q) = 2 X
k
˙qkgki(q).
Il vient
∂L
∂˙q(q(t),˙q(t))i= (gq(t)( ˙q(t)))−1/2 X
k
˙qk(t)gki(q(t))!.
Comme on a suppos´e que la courbe est param´etr´ee `a vitesse constante 1, gq(t)( ˙q(t)) ≡1, d’o`u
d
dt ∂L ∂˙q(q(t),˙q(t))i=X
k
¨qk(t)gki(q(t)) + X
k
˙qk(t)(X
j
∂gki
∂qj
(q(t)) ˙qj(t)).
D’autre part,
∂L2
∂q (q(t),˙q(t))i=∂L2 ∂qi
(q(t),˙q(t)) = X
j,k
∂gjk
∂qi
(q(t)) ˙qj(t) ˙qk(t),
d’o`u
∂L
∂q (q(t),˙q(t))i=1 2X
j,k
∂gjk
∂qi
(q(t)) ˙qj(t) ˙qk(t).
Par cons´equent, les ´equations d’Euler-Lagrange s’´ecrivent
X
j,k
(1
2
∂gjk
∂qi
(q(t)) −∂gki
∂qj
(q(t))) ˙qj(t) ˙qk(t)−X
k
¨qk(t)gki(q(t)) = 0,
pour i= 1, . . . , n et t∈[a, b].
Remarque 1.1.8 On appelle g´eod´esiques d’une vari´et´e riemannienne les extr´emales du lagran-
gien L2(q, ˙q) = gq( ˙q)qui est la carr´e de la norme. Alors les g´eod´esiques co¨ıncident avec les
extr´emales de Lqui sont parcourues `a vitesse constante.
Il reste `a v´erifier que L2(q, ˙q) = gq( ˙q) est constant le long d’une g´eod´esique, i.e. d’une extr´emale
de L2. Comme L2est homog`ene de degr´e 2 par rapport `a ˙q,
2L2(q, ˙q) = ∂L2
∂˙q(q, ˙q) ˙q.
En d´erivant par rapport `a t, et en utilisant les ´equations d’Euler-Lagrange pour L2, `a savoir
∂L2
∂q (q, ˙q) = d dt (∂L2 ∂˙q(q, ˙q)), il vient
d
dt2L2(q, ˙q) = d dt(∂L2 ∂˙q(q, ˙q)) ˙q+∂L2 ∂˙q(q, ˙q)¨q
=∂L2
∂q (q, ˙q) ˙q+∂L2 ∂˙q(q, ˙q)¨q
=d
dtL2(q, ˙q),
donc d
dt L2(q, ˙q) = 0.