M3 – plan - CPGE Brizeux

Physique PCSI.
Support M3
Lycée Brizeux 2016-2017
Mouvements d’une particule chargée.
1. Force de Lorentz.
Comment décrit-on l’interaction entre particules chargées ? Comment peut-on créer un champ
électrique uniforme ? Quelle relation existe-t-il alors entre champ et différence de potentiel ?
Comment peut-on créer un champ magnétique ?
Quelle est la puissance de la force de Lorentz ? Que peut-on dire des normes relatives des forces
électromagnétiques et gravitationnelles ?
2. Cas d’un champ électrostatique uniforme.
Une particule de masse 𝑚 et de charge 𝑞, possède une vitesse initiale 𝑣$ = 𝑣$ 𝑢' au point 𝑂. A partir
du point 𝑂 où elle passe à 𝑡 = 0, elle subit l’action d’un champ électrique 𝐸$ uniforme et
indépendant du temps.
a. Etudier le cas où 𝑣$ et 𝐸$ sont colinéaires.
b. Etudier le cas où 𝑣$ et 𝐸$ sont orthogonaux.
3. Cas particulier d’un champ magnétostatique uniforme.
Une particule de masse 𝑚 et de charge 𝑞 (de signe quelconque) se déplace à la vitesse initiale 𝑣$
dans un référentiel galiléen. A partir de l’instant 𝑡 = 0, elle pénètre dans un champ magnétique
𝐵$ = 𝐵$ 𝑢- (𝐵$ > 0), uniforme et constant, 𝑣$ et 𝐵$ sont orthogonaux. Les sources de 𝐵$ sont
immobiles dans le référentiel déjà cité.
a. Montrer que la trajectoire est plane. Utiliser l’expression de l’accélération dans la base de
Frenet et montrer que la vitesse est constante en norme.
b. Montrer que la trajectoire est un cercle. Exprimer le rayon 𝑟$ du cercle en fonction de 𝑝$
(quantité de mouvement), 𝑞 et 𝐵$ . Montrer que la période 𝑇$ est indépendant de 𝑣$ .
Dessiner la trajectoire orientée et le champ 𝐵$ dans le cas 𝑞 < 0 et si à 𝑡 = 0, la particule
est en 𝑂 avec une vitesse 𝑣$ = 𝑣$ 𝑢' .
Approche documentaire : les limites relativistes.
Expression relativiste de la quantité de mouvement.
Alfred Bucherer a mené en 1908 une expérience permettant de valider la formule relativiste 𝑝 = 𝛾𝑚𝑣
de la quantité de mouvement (Bucherer A., Annalen der Physik, 333(3), 513-536, 1909).
1
𝑝 = 𝛾𝑚𝑣; 𝛾 =
𝑣8
1− 8
𝑐
Un échantillon de radium (source radioactive 𝛽 ; , c’est-à-dire émettrice d’électrons) est placé au
centre d’un condensateur avec des armatures en forme de disque créant un champ électrique
uniforme 𝐸 entre les armatures, le tout à l’intérieur d’un solénoïde engendrant un champ magnétique
uniforme 𝐵 parallèle aux armatures. Les électrons émis par la source possèdent une large gamme de
vitesses, en norme et en direction, mais toutefois contenues dans le plan horizontal de la vue de côté
de la figure.
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Il faut alors réaliser un sélecteur de vitesse. Les électrons sortant du condensateur dans la direction
𝛼 sont ceux possédant cette direction initialement et pour lesquels les forces électrique et magnétique
se compensent, alors 𝑓>? = −𝑒 𝐸 + 𝑣 ∧ 𝐵 = 0. La connaissance des valeurs des champs et de l’angle
𝛼 permet de déduire la vitesse 𝑣 des électrons. Après être sortis du condensateur, les électrons sont
soumis uniquement au champ magnétique, et suivent une trajectoire portée par une hélice d’axe le
champ magnétique et de rayon 𝑅 selon les lois de la mécanique classique (seule la composante de la
vitesse perpendiculaire au champ magnétique intervient dans le rayon), où 𝑒 est la charge
élémentaire et 𝑚 la masse de l’électron.
𝑚𝑣 sin 𝛼
𝑅=
𝑒𝐵
L’électron sort alors du plan de la vue de côté de la figure.
En mesurant sa position sur une plaque photographique, il
est possible de déduire le rayon 𝑅 et d’en tirer le rapport 𝑒 𝑚
à partir des valeurs des champs et de l’angle 𝛼. Les résultats
de l’expérience sont indiqués sur le graphique par des
cercles. Le résultat est clairement non compatible avec les
lois classiques, le rapport 𝑒 𝑚 de l’électron semble dépendre
de la vitesse. En mécanique relativiste, l’expression donnant
le rayon de la trajectoire reste valable, mais en utilisant la
quantité de mouvement 𝑝 = 𝛾𝑚𝑣 au numérateur au lieu de
𝑚𝑣:
𝑝 sin 𝛼 𝛾𝑚𝑣 sin 𝛼
𝑅=
=
𝑒𝐵
𝑒𝐵
Tout se passe donc comme si la masse 𝑚 était remplacée par le produit 𝛾𝑚. Selon cette formule,
Bucherer a donc mesuré 𝑒 𝛾𝑚 . En prenant cet aspect en compte, les résultats corrigés sont
indiqués par des croix sur le graphique. L’expérience privilégie donc la mécanique relativiste par
rapport à la mécanique classique. La valeur actuellement admise pour le rapport 𝑒 𝑚 est indiquée
par une ligne horizontale.
L’expérience de Bucherer soufre en fait d’imprécisions. Des versions améliorées ont été réalisées
depuis.
a. Faire un bilan des forces sur un électron lorsqu’il se déplace entre les armatures. Représenter
ce bilan sur un schéma.
b. A quoi sert ce dispositif avec armature ?
c. Déterminer le rayon de la trajectoire sans calcul en admettant que celle-ci est circulaire et en
utilisant la base de Frenet.
d. A quoi sert ce dispositif ?
e. Pourquoi cette expérience montre-t-elle l’aspect relativiste de l’électron.
f. A partir de la quantité de mouvement relativiste, retrouver l’expression de la quantité de
mouvement vu en cours.
Expression relativiste de l’énergie cinétique.
En 1963, l’américain William Bertozzi a réalisé l’expérience
pédagogique suivante. Des paquets d’électrons ont été accélérés
par une tension 𝑈 puis envoyés dans un tube de 8,4m de long
avant de percuter une cible en aluminium. Une électrodre 𝐴
(cylindre creux) placée à l’entrée du tube ainsi que la cible 𝐶
sont reliés à un oscilloscope par des fils de même longueur, ce
qui permet de mesurer la durée du trajet, et donc la vitesse des électrons. Cinq expériences ont été
réalisées avec cinq tensions accélératrices différentes. Des mesures calorimétriques concernant
l’échauffement du disque d’aluminium ont montré que l’énergie des électrons était conforme à la
valeur attendue 𝐸N = 𝑒𝑈 à 10% près, précision usuelle pour des mesures calorimétriques. Les
résultats des expériences sont indiqués ci-dessous (d’après Bertozzi W., Américan Journal of Physics,
32(7), 551-555, 1964).
𝐸N = 𝑒𝑈 (MeV)
0,5
1
1,5
4,5
15
𝑣 𝑐 (Classique)
1,40
1,98
2,42
4,19
7,66
𝑣 𝑐 (Relativiste) 0,867 0,910 0,960 0,987 0,999
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Ces données infirment clairement les lois de la mécanique
classique. En effet, une énergie cinétique de 15MeV
correspond dans le système international à 2,4. 10;Y8 J, d’où
une vitesse 𝑣 = 2,3. 10\ m.s ;Y , soit 𝑣 𝑐 = 7,6! Les résultats de
l’expérience suggèrent une saturation de la vitesse à 𝑐,
vitesse de la lumière dans le vide. Plus précisément, le
graphique indique les variations de 𝑣 8 𝑐 8 en fonction du
rapport 𝐸N 𝑚𝑐 8 pour les points expérimentaux de Bertozzi
(croix), pour l’expression classique 𝐸N = 𝑚𝑣 8 2 (ligne en
pointillés) et en utilisant l’expression, 𝑚 étant la masse de
l’électron :
1
𝐸N = 𝛾 − 1 𝑚𝑐 8 ; 𝛾 =
𝑣8
1− 8
𝑐
Ainsi, en communiquant une énergie de plus en plus importante aux électrons, leur vitesse
n’augmente quasiment plus et stagne au voisinage de la vitesse de la lumière conformément à
l’expression relativiste. La vitesse pour 𝐸N = 15MeV (cf tableau) est mesurée à 𝑣 𝑐 = 1,00 aux
incertitudes de mesure près. En réalité, 𝑣 𝑐 est alors très proche de 1, mais strictement inférieure.
g. Faire un bilan des forces et les représenter sur un schéma.
h. Effectuer un bilan énergétique pour calculer la vitesse d’une particule chargée accéléré par
une différence de potentielle.
i. A quoi sert ce dispositif ?
j. Retrouver l’expression classique de l’énergie cinétique à partir de l’expression relativiste de
l’énergie cinétique.