Lycée professionnel : introduire des notions mathématiques à partir

Lycée professionnel : introduire des notions mathématiques à partir de l'enseignement des sciences-physiques
Extrait du Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques
http://revue.sesamath.net/spip.php?article354
Lycée professionnel :
introduire des notions
mathématiques à partir de
l'enseignement des
sciences-physiques
- N°26 - Septembre 2011 -
Date de mise en ligne : mardi 7 juin 2011
Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques
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Lycée professionnel : introduire des notions mathématiques à partir de l'enseignement des sciences-physiques
Le groupe Lycée Professionnel de l'Irem de Marseille est composé d'un didacticien et d'une dizaine d'enseignants.
Travaillant en lycée professionnel, nous enseignons les mathématiques à nos élèves de CAP et de Bac Pro. Cette
année, nous avons beaucoup travaillé pour la diffusion de nos travaux. La mise à jour de notre site internet en est la
partie la plus visible.
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Vous pourrez trouver sur ce site des vidéos pour les enseignants (des tutoriels ou des compléments disciplinaires)
ainsi que des modules clés en main d'Enseignement Général Lié à la Spécialité.
En outre, et c'est l'objet de cet article, vous pourrez y trouver toute une batterie de travaux pratiques assistés par
ordinateurs permettant d'aborder des notions mathématiques grâce à l'enseignement des sciences.
Expérimentation Assistée par Ordinateur (ExAO)
Pour toutes les classes de CAP et pour les classes de baccalauréat professionnel de type industriel, nous
enseignons aussi les sciences-physiques et chimiques. Nous sommes donc bivalents. Cette bivalence nous permet
d'aborder les notions mathématiques de façon parfois originale. Ainsi, un des axes de travail du groupe ces
dernières années, a été d'utiliser les sciences pour aborder et traiter des notions mathématiques. Dans cette optique,
nous avons développé une dizaine de séances de sciences. Ces travaux pratiques d'acoustique, de mécanique, de
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thermodynamique et d'électricité ont été pour nous autant de thèmes nous permettant d'aborder les statistiques, les
suites arithmétiques, la géométrie, les fonctions linéaires, affines, carrées et exponentielles, les nombres et les
fonctions dérivées, le sens de variation ou encore les fonctions définies par une aire.
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Un exemple de TP
Fluctuation d'échantillonnage et Caractéristique d'un
résistor
L'exemple développé dans cette partie est un TP d'élève d'une durée de deux heures. Le travail se fait en relative
autonomie durant le cours de sciences-physiques. Il nécessite le matériel d'électricité classique ainsi que du matériel
d'acquisition de données assisté par ordinateur. Les outils d'Expérimentation Assistée par Ordinateur (ExAO) sont
essentiels pour notre démarche.
TP proposé aux élèves
Montage potentiométrique pour un conducteur ohmique
Grâce à un montage d'électricité (le montage dit « potentiométrique »), nous faisons relever à nos élèves la
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caractéristique d'un composant. C'est-à-dire le relevé de la tension aux bornes de ce composant en fonction de
l'intensité qui le traverse. Cependant, la précision de la mesure dépend de nombreux paramètres. L'activité proposée
aux élèves de baccalauréat professionnel est centrée autour de cette précision de la mesure . C'est alors l'occasion
d'expérimenter une notion mathématique qui a fait son apparition dans les programmes de 2009, la fluctuation
d'échantillonnage. L'élève sera ici confronté à la variabilité de la valeur moyenne d'un échantillon et à la diminution
de cette variation lorsque la taille de l'échantillon augmente.
Conducteur ohmique et loi d'Ohm
Exemple de relevé et son modèle : U (en V) en fonction de I (en mA)
Dans ce TP, l'élève devra déterminer la résistance d'un conducteur ohmique . Un conducteur ohmique [1] a la
particularité d'avoir la tension à ses bornes ($U$) proportionnelle à l'intensité qui le traverse ($I$). Le coefficient de
proportionnalité entre $U$ et $I$ d'un conducteur ohmique lui est propre : c'est ce qu'on appelle sa résistance ($R$).
Une formule exprime cette relation : $U=RI$. Ainsi, en mesurant en même temps la tension à ses bornes et l'intensité
qui la traverse, nous obtenons un rapport $\frac UI$ théoriquement constant. Dans la réalité, une seule mesure ne
permet pas de déterminer précisément la résistance car cette valeur varie. La précision des appareils de mesure est
par exemple une des raisons de ces variations de mesures [2]. En réalisant le montage potentiométrique, l'élève fait
varier l'intensité qui traverse le conducteur ohmique de 0 à 0,200 ampère. Alors la tension qui s'applique à ses bornes
variera en fonction de cette intensité de manière linéaire puisque que l'une et l'autre sont proportionnelles.
L'apport de l'ExAO
Les appareils de mesure (voltmètre et ampèremètre) sont branchés à une console d'acquisition. De manière
classique, il peut être demandé à l'élève de relever une dizaine de couple $(U ; I)$ afin de déterminer une valeur
approchée de la résistance. Mais comme cette expérimentation est assistée par ordinateur (ExAO), les mesures
relevées dans le circuit peuvent être, en plus de s'afficher à l'écran, enregistrées dans un ordinateur et utilisables à
l'aide d'un logiciel de type tableur.
C'est grâce à cette particularité que l'objectif de ce TP peut être mathématique. En effet, il va être extrêmement
aisé pour l'élève d'obtenir non pas un relevé, mais une dizaine de relevés. Chacun de ces derniers peut être considéré
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comme un échantillon de taille $n$. Dans une première partie de l'activité, l'élève devra obtenir trois échantillons de
taille 10. C'est-à-dire que l'élève devra effectuer le montage correct, y placer les appareils de mesures, configurer le
matériel d'acquisition afin d'enregistrer une dizaine de couples $(U ; I)$ et lancer trois enregistrements de ces
mesures.
Réaliser le montage Configurer le matériel d'ExAO grâce au logiciel Lancer l'enregistrement lorsque le circuit est alimenté
Puis, dans une deuxième partie, l'élève devra obtenir trois échantillons de taille 100. C'est-à-dire que chaque
enregistrement aura désormais une centaine de couples $(U ; I)$. Le matériel d'ExAO qui équipe nos laboratoires
permet donc, en un temps très limité, d'obtenir plus d'un millier de mesures sans aucun problème.
Le travail de l'élève
Que doit faire l'élève ? Comme nous venons de le voir, l'élève doit obtenir trois échantillons de taille 10 afin de calculer
une première approximation de la valeur de la résistance et trois échantillons de taille 100 afin d'en calculer une
deuxième. Pour chaque échantillon, il faut obtenir une valeur approchée de la résistance du conducteur ohmique.
Pour cela, l'élève doit calculer pour chaque couple $(U ; I)$ le rapport $U/I$. Puis pour chaque échantillon, il faut
calculer la moyenne de ces quotients. Ainsi chaque échantillon nous donne une première approximation de la valeur
de la résistance. Puisque les enregistrements se font dans une feuille de calcul, il va être facile et rapide pour l'élève
d'effectuer ces centaines de calculs moyennant l'utilisation de quelques techniques opératoires propres au tableur :
écrire des formules faisant intervenir d'autres cellules, tirer une ou deux cellules (ou utiliser le copier/coller ) et utiliser
la fonction moyenne du logiciel. Avec les trois échantillons de taille 10, l'élève obtient une valeur approchée de la
résistance $(R_{10})$ : il lui suffit de calculer la moyenne de ces trois moyennes. De même, l'élève doit obtenir une
deuxième approximation de la résistance $(R_{100})$ en calculant la moyenne des trois moyennes obtenues pour les
échantillons de taille 100.
Premier échantillon de taille 10
Calculs des rapports U/I Fonction Moyenne du logiciel
Que doit observer l'élève ? Il est maintenant temps pour lui d'interpréter les résultats obtenus. C'est pourquoi nous lui
demandons d'identifier, entre $R_{10}$ et $R_{100}$, la valeur la plus proche de la valeur réelle de la résistance
inconnue. En outre, il faut que l'élève justifie son choix. Nous attendons des élèves qu'ils observent, à un premier
niveau, que les quotients relevés varient. Loin des attentes théoriques où $U/I$ est constant et égal à la résistance,
les relevés affichés au millième ne donnent jamais les mêmes valeurs. Pour certains élèves, ces nombres sont même
très différents alors qu'en réalité, l'écart relevé n'excède pas quelques pourcents de la valeur moyenne. Le deuxième
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