Théorie des graphes : une brève introduction (avec un biais

Université Paris XI
Math 314
2012/2013
Théorie des graphes : une brève introduction
(avec un biais algébrique assumé)
Olivier Fouquet
1
1
Généralités
Die Mathematiker sind eine Art Franzosen : redet man zu ihnen, so übersetzen sie
es in ihre Sprache, und dann ist es alsobald ganz etwas anderes 1 . (Johann Wolfgang
von Goethe).
1.1
1.1.1
Notions de base
Définitions
Si E est un ensemble fini, on dénote par E o E l’ensemble des couples (x, y) ∈ E × E
avec x 6= y dans lequel on identifie de plus (x, y) et (y, x).
Un graphe G est la donnée d’un couple d’ensembles finis G = (X, E) où X est
non-vide et E ⊂ X o X. L’ensemble X est l’ensemble des sommets de G et E est
l’ensemble des arêtes de G. Le cardinal de G est le cardinal de X.
Remarque : Notre définition implique que les graphes G1 = ({1, 2}, {(1, 2)}) et
G2 = ({a, b}, {(a, b)}) ne sont pas les mêmes, puisqu’ils n’ont pas le même ensemble
sous-jacent. Néanmoins, leurs propriétés sont suffisamment proches pour que l’on ait
envie de les identifier. Nous reviendrons sur cette subtilité.
Deux sommets (x, y) ∈ X 2 sont dits adjacents dans G, ce que l’on note x ∼G y, si
(x, y) ∈ E. En particulier, un sommet n’est jamais adjacent à lui-même. L’ensemble
{y ∈ X|(x, y) ∈ E} est appelé l’ensemble des voisins de x et est noté NG (x). Le degré
dG (x) de x ∈ X est le cardinal de NG (x). Le degré minimal δG de G est le minimum
des degrés des sommets de G ; le degré maximal ∆G est le maximum des degrés des
sommets de G. Lorsque δG = ∆G = k, donc lorsque dG (x) ne dépend pas de x, on
dit que G est k-régulier.
Deux arêtes distinctes a et b sont dites incidentes si a ∩ b 6= ∅, et incidentes en
u si a ∩ b = {u}. Pour x ∈ X et e ∈ E, on note G − {x} ou G − x le graphe
(X − {x}, E − {(x, y) ∈ E|y ∈ X}) et G − {e} ou G − e le graphe (X, E − {e}). Si
(x, y) ∈ X o X − E, on note G ∪ {e} le graphe (X, E ∪ (x, y)). Pour G = (X, E)
et G0 = (X 0 , E 0 ) deux graphes, on note G ∪ G0 et on appelle union de G et G0 le
graphe (X ∪ X 0 , E ∪ E 0 ). Le complémentaire Ḡ d’un graphe (X, E) est le graphe
(X, X o X − E). On note G/(x, y) le graphe G = (X − {x, y} ∪ {z}, E ∪ {(z, v)|v ∈
NG (x) ∪ NG (y)}).
Un sous-graphe H ⊂ G de G = (X, E) est un graphe (X(H), E(H)) avec X(H) ⊂
X et E(H) ⊂ E. La relation H ⊂ G est une relation d’ordre partielle. Un sous-graphe
H est dit induit si E(H) = {(x, y) ∈ E|(x, y) ∈ X(H) o X(H)}. Un sous-graphe
H est dit couvrant si X(H) = X. Un graphe est dit minimal pour une propriété P
s’il n’admet pas de sous-graphe strict vérifiant P . Un sous-graphe H de G est dit
maximal pour une propriété P s’il n’existe pas de sous-graphe H 0 de G contenant H
et vérifiant P .
1
Les mathématiciens sont un peu comme les Français : lorsque vous leur parlez, ils traduisent
tout dans leur langue, si bien que c’est devenu quelque chose de tout à fait différent
2
Remarque :La relation d’ordre ⊂ étant partielle, il peut exister plusieurs sousgraphes minimaux ou maximaux pour une propriété.
1.1.2
Chemins, connexité, cycles, arbres
Un chemin P d’un graphe G est un sous-graphe (X, E) tel que X = {x1 , · · · , xk }
avec xi 6= xj et E = {(xi , xi+1 )|1 ≤ i ≤ k − 1}. La longueur de P est k − 1, donc le
cardinal de P moins 1. Un chemin P est déterminé uniquement par X(P ) muni de
l’ordre donné par l’indexation, et l’on se permettra donc de parler du chemin X. Deux
chemins P1 = X et P2 = Y sont dits intérieur-disjoints si X ∩Y = (x1 , xk ) = (y1 , yk0 ).
Si deux chemins P1 = X et P2 = Y ont les mêmes extrémités x et y, il existe un
dernier sommet xi = yi tel que xj = yj pour j ≤ i. Si xi = y, les chemins P1 et P2
sont confondus. Si xi 6= y, il existe un premier sommet xj = y` avec i < j (et i < `).
Il existe alors dans P1 et P2 deux sous-chemins intérieur-disjoints.
Un parcours est un ensemble {x1 , · · · , xn } avec (xi , xi+1 ) ∈ E pour tout i. Un
parcours est un circuit si x1 = xn .
Remarque : Bien qu’un chemin n’ait pas d’orientation, on dira que x1 est le
premier sommet et xk le dernier sommet d’un chemin P .
Un graphe est dit connexe s’il existe un chemin P dont le premier sommet est x et
le dernier sommet y pour tout (x, y) ∈ X × X. Un graphe connexe est aussi l’union
de chemins passant par un sommet fixé. En particulier, l’union de deux graphes
connexes est un graphe connexe si et seulement si ces deux graphes ont un sommet
en commun. Un sous-graphe H d’un graphe G est une composante connexe de G s’il
est maximal pour la propriété d’être connexe.
Lemme 1.1. Un graphe est l’union disjointe de ses composantes connexes. La composante connexe contenant un sommet x est l’union de tous les chemins contenant
x.
Démonstration. Un sommet est un graphe connexe donc est contenu dans une composante connexe. Il suffit donc de démontrer que deux composantes connexes distinctes
sont disjointes. Soit C une composante connexe et H un sous-graphe connexe ayant
une intersection non-triviale x avec C. L’union de tous les chemins passant par x
est un graphe connexe contenant C donc est égal à C par maximalité de C. Cette
union contient également H donc H est inclus dans C. Si H est également un composante connexe, il s’ensuit que C = H. Si C est un sous-graphe connexe contenant
x, il est inclus dans l’unions de tous les chemins contenant x donc cette union est la
composante connexe contenant x.
La distance entre deux sous-ensembles A et B de sommets d’un graphe connexe
G, en particulier entre deux sommets, est la longueur de plus court chemin dont
l’une des extrémités est dans A et l’autre dans B. Si A et B sont inclus dans des
composantes connexes distinctes, on considère que cette distance est infinie.
Lemme 1.2. Soit P r une propriété telle que si P r est vraie pour x ∈ X, alors P r
est vraie pour tout y ∈ NG (x). Alors, si P r est vraie pour x, P r est vraie pour tout
y dans la composante connexe de x.
3
Démonstration. Soit y dans la composante connexe de x. Le sommet y appartient à
un chemin d’origine x donc il suffit de démontrer le lemme lorsque G est un chemin
P d’extrémités x = x1 et y = xk . L’hypothèse que nous avons faite sur P r entraine
en particulier l’assertion suivante : si P r est vraie pour xi , alors P r est vraie pour
xi+1 . La propriété P r est vraie pour x1 donc pour xk par récurrence sur le nombre
de sommets de P .
On dira qu’une propriété est expansive si elle vérifie les hypothèses du lemme
précédent.
Lemme 1.3. Les chemins sont les graphes connexes ayant exactement deux sommets
de degré 1 et tous les autres sommets de degré 2 ainsi que le sommet isolé.
Démonstration. Un chemin P est un sommet isolé ou bien un graphe connexe ayant
exactement deux sommets de degré 1 et tous les autres sommets de degré 2. Réciproquement, si G est un graphe ayant exactement deux sommets de degré 1 et tous
les autres sommets de degré 2, soit P = (x1 , · · · , xn ) un chemin maximal contenu
dans P . Les sommets internes de P sont de degré 2 dans P et de degré 2 dans G
donc leurs voisins dans G sont sur P . Tous les voisins dans G de xn et x1 sont sur
P par maximalité. Tous les voisins dans G des sommets de P sont donc dans P . La
propriété d’être dans P est donc expansive. Le graphe G étant connexe, il est donc
égal à P .
Un cycle est un graphe C = (X, E) tel que X soit un chemin P de longueur au
moins 2 et E = E(P ) ∪ {(xk , x1 )}. La longueur d’un cycle est k, donc son cardinal.
Si C est un cycle et (x, y) ∈ X o X, le parcours de C dans un sens ou l’autre réalise
C comme l’union de deux chemins intérieur-disjoints. Un cycle est donc connexe.
Réciproquement, l’union de deux chemins intérieur-disjoints est un cycle. Un graphe
ne contenant pas de cycles est dit acyclique.
Proposition 1.4. Un graphe G tel que δG ≥ 2 contient un cycle. Un graphe est une
union disjointe de cycles si et seulement s’il est 2-régulier.
Démonstration. Soit G un graphe tel que δG ≥ 2. Ce graphe contient un cycle si
et seulement si l’une de ses composantes connexes en contient un ; nous supposons
donc G connexe sans perte de généralité. Soit P = (X, E) un chemin maximal G ;
c’est-à-dire un sous-graphe maximal pour la propriété d’être un chemin. Le dernier
sommet de P est de degré au moins 2 donc a au moins un voisin u qui ne soit pas
xk−1 . Le sous-graphe (X ∪ {u}, E ∪ {(xk , u)}) de G contient P , donc n’est pas un
chemin par maximalité de P . Donc u ∈ X et u s’écrit u = xi . Comme u 6= xk−1 , le
voisinage de xi contient l’ensemble {xi+1 , xk } de cardinal 2. Le graphe ({xj |i ≤ j ≤
k}, {(xj , xj+1 )|i ≤ j ≤ k} ∪ {(xk , xi )}) est un cycle.
Une union disjointe de cycles est un graphe 2-régulier. Soit G un graphe 2-régulier
et H une de ses composantes connexes. D’après la première partie de la preuve, H
contient un cycle C = (X, E). Soit v un sommet de C. Le sommet v a deux voisins
dans C et dans G donc NG (v) = NC (v) ⊂ X. Les deux voisins de v dans G sont donc
dans C. La propriété P r “appartenir à C” est donc expansive. D’après le lemme 1.2,
P r est donc vraie pour H. Donc H = C.
4
Un arbre est un graphe connexe sans cycle. Les sommets de degré 0 ou 1 d’un arbre
sont appelés feuilles. Les sommets qui ne sont pas des feuilles sont appelés sommets
intérieurs. D’après la proposition 1.4, un graphe de degré minimal supérieur à 2
contient un cycle donc le degré minimal d’un arbre est au plus 1. Un arbre contient
donc des feuilles.
Proposition 1.5. Soit T = (X, E) un graphe. Les assertions suivantes sont équivalentes.
1. Le graphe T est un arbre.
2. Le graphe T est acyclique et T ∪ {(x, y)} contient un cycle pour tout (x, y) ∈
/ E.
3. Il existe un unique chemin P de x à y pour tout (x, y) ∈ X × X.
4. Le graphe T est connexe et T − {e} n’est pas connexe pour tout e ∈ E.
Démonstration. Supposons (1). Alors T est acyclique. Soit (x, y) ∈
/ E avec x 6= y.
Soit P un chemin de x à y dans T . Le graphe P ∪ (x, y) est un cycle. Donc (2) est
vraie. Supposons (2) et soit (x, y) ∈ X o X. Le graphe T est acyclique donc contient
au plus un chemin entre x et y. Si x = y, il y a un unique chemin de x à y dans T . Si
x 6= y, T ∪ {(x, y)} contient un cycle C. Le graphe T est acyclique donc C contient
l’arête (x, y). Le sous-graphe C − {(x, y)} est alors un chemin de x à y dans T . Donc
(3) est vraie. Supposons (3) et soit e = (u, v) ∈ E. Alors e est l’unique chemin de
u à v. Donc T − {e} n’est pas connexe. Donc (4) est vraie. Enfin, supposons (4).
Soit (x, y) deux sommets adjacents. Le graphe T − (x, y) n’est pas connexe donc il
n’existe pas de chemin de x à y ne contenant pas (x, y). Donc x, y ne sont sur aucun
cycle. Un graphe contient un cycle seulement s’il a deux sommets adjacents sur un
cycle donc T est acyclique. Donc (1) est vraie.
Corollaire 1.6. Soit G un graphe connexe et S un ensemble d’arêtes acyclique. Alors
G admet un sous-arbre couvrant contenant l’ensemble S. De plus |X| − 1 ≤ |E| avec
égalité si et seulement si G est un arbre.
Démonstration. Soit U l’ensemble des sous-graphes couvrants connexes de G contenant S. Cet ensemble est non-vide donc il contient un élément minimal T pour la
relation d’être un sous-graphe. Si e ∈ E(T ), alors T − {e} n’est pas connexe par
minimalité de T donc T est un arbre d’après la proposition 1.5. Soit G un graphe
connexe minimal vérifiant |X|−1 > |E|. Alors G admet un arbre couvrant T vérifiant
la même propriété donc G = T . Soit u une feuille de G. Le sous-graphe G−{u} de G,
s’il existe, vérifie |X| > |E|−1 et est connexe, ce qui est impossible par minimalité de
G. Donc G est le sommet isolé u. Mais G vérifie alors |X| − 1 ≤ |E|. C’est absurde. Si
G vérifie |X| = |E| − 1, alors G − {e} n’est pas connexe donc G est un arbre d’après
la proposition 1.5. Réciproquement, soit G un arbre minimal vérifiant |X| > |E| − 1.
Comme précédemment, on montre que G est un sommet isolé et l’on obtient donc
une contradiction.
On dit que l’on taille un graphe lorsque l’on considère le sous-graphe induit par
les sommets de degré au moins 2. La taille de G est notée t(G). On appelle hauteur
5
de taille d’un sommet x le plus grand entier tel que x ∈ tn (G). En particulier, la
hauteur de taille de x dans t(G) est égale à la hauteur de taille de x dans G moins 1.
Lemme 1.7. Soit T un arbre.
1. Le graphe t(T ) est un arbre. Plus généralement, l’ensemble des sommets de
hauteur de taille au moins h est un arbre.
2. L’ensemble des sommets de hauteur de taille maximale de T est un sommet x
ou une arête (x, y).
Démonstration.
1. Soit T privé de ses feuilles est vide, soit il existe des sommets
internes x, y dans T . Un chemin de x à y dans T ne passe pas par une feuille
donc est un chemin de x à y dans t(T ). Donc t(T ) est connexe et acyclique.
L’ensemble des sommets de hauteur de taille au moins h est l’ensemble des
sommets de hauteur de taille au moins 0 de th (T ) donc est un arbre.
2. Si h est la profondeur de taille maximale de T , alors th+1 (T ) est vide, donc
th (T ) n’a que des feuilles. C’est donc un sommet isolé ou une arête.
6
2
Méthodes
Though this be madness, yet there is method in’t. (William Shakespeare).
2.1
Maximalité, minimalité
Une technique de démonstration commode lorsque l’on traite de graphes et de considérer les graphes extrémaux pour certaines propriétés et diverses relations d’ordres.
On rappelle qu’une relation d’ordre est une relation antisymétrique, réflexive et transitive ; qu’une relation d’ordre sur un ensemble S est totale si x ≤ y ou y ≤ x pour
tout (x, y) ∈ S 2 et qu’elle est partielle sinon. On rappelle qu’un élément maximal
est un élément z tel que z ≤ x implique x = z et qu’un élément maximum est un
élément z tel que x ≤ z pour tout x. Nous listons ici quelques propriétés qu’il faut
garder en mémoire.
2.1.1
Récurrence sur le cardinal de G
On considère les graphes extrémaux pour une certaine propriété et la relation d’ordre
(totale) suivante sur N : G ≤ H si et seulement si |G| ≤ |H|
Exemple : On a utilisé cette méthode pour montrer qu’une propriété expansive
était vraie pour tous les sommets d’une composante connexe si elle était vraie pour
un des sommets.
2.1.2
Récurrence sur le cardinal de E
On considère les sous-graphes minimaux pour une certaine propriété et pour la relation d’ordre (totale) suivante sur N : G ≤ H si et seulement si X(G) = X(H) et
|E(G)| ≤ |E(H)|.
Exemple : Montrons que tout graphe connexe contient un sous-arbre couvrant.
Soit G un arbre connexe. Soit T un sous-graphe connexe minimal pour cette propriété
et |E|. D’après la proposition 1.5, le graphe T est un arbre.
2.1.3
Maximalité par rapport à une caractérisation du graphe
On considère les graphes maximaux pour une certaine propriété intrinsèque d’un
graphe, par exemple être connexe, ou être un chemin, ou être biparti...
Exemples : On est souvent amené à considérer les sous-graphes maximaux pour la
propriété d’être un chemin (les plus longs chemins) et en particulier le fait que tous
les voisins de x1 sont dans P . La considération des sous-graphes minimaux pour la
propriété d’être un cycle permet souvent de remplacer un cycle par un cycle induit.
Lemme 2.1. Un circuit eulérien d’un graphe est un circuit passant exactement une
fois par chaque arête, c’est-à-dire un multiplet ((x1 , x2 ), (x2 , x3 ), · · · , (xn , xn+1 )) avec
7
xi ∼G xi+1 et {(xi , xi+1 )|1 ≤ i ≤ n)} = E. Un parcours eulérien est un multiplet
((x1 , x2 ), · · · , (xn , xn+1 )) tel que {(xi , xi+1 )|1 ≤ i ≤ n)} ⊂ E. Un graphe connexe G
admet un circuit eulérien si et seulement si le degré de chaque sommet est pair.
Démonstration. Soit G un graphe admettant un circuit eulérien C. Ce circuit contient
chaque sommet de G. Un sommet apparaissant n fois dans C est de degré 2n, donc
pair. Supposons maintenant que G soit un graphe dont le degré de chaque sommet est
pair. Considérons un sous-graphe maximal H pour la propriété d’être formé par les
sommets et les arêtes d’un parcours eulérien C. Par maximalité, toutes les arêtes du
premier sommet x et du dernier sommet y de C appartiennent à E(H). La première
(resp. dernière) occurrence de x (resp. y) dans C étant associée à une arête exactement et les occurrences suivantes étant associées à deux arêtes sauf éventuellement
la dernière (resp. première), la dernière occurrence de x est aussi la première de y et
x = y. Le parcours C est donc un circuit. Tous les sommets pouvant être considérés
comme le premier, toutes les arêtes de tous les sommets de C appartiennent donc
à C. La propriété d’appartenir à C est donc expansive. Le graphe G étant connexe,
tous les sommets de G sont dans C. Donc C est un circuit eulérien.
2.2
Induction structurelle
Une classe de graphes est définie par induction structurelle lorsqu’elle est définie par
la donnée d’objets initiaux et d’un ensemble d’opérations permettant de construire
une nouvel objet de la classe à partir d’objets de la classe déjà construits. Pour
démontrer qu’une propriété est vraie pour tous les éléments d’une classe définie par
induction structurelle, il suffit donc de la démontrer pour les objets initiaux et de
montrer que si elle est vraie pour certains objets, elle demeure vraie lorsqu’on leur
applique les opérations permettant de construire de nouveaux objets. Par exemple,
les entiers sont définis par induction structurelle en prenant comme objet initial
l’entier zéro et comme opération, le fait de prendre le successeur. Le raisonnement
par induction structurelle sur les entiers se confond alors avec le raisonnement par
récurrence. Les chemins sont caractérisés par la propriété d’induction structurelle
suivante : un graphe est un chemin d’extrémité x si et seulement si c’est un sommet
isolé x ou bien un sommet x relié à l’extrémité y d’un chemin. En conséquence, pour
démontrer une propriété pour les chemins, il suffit de la démontrer pour un sommet
isolé et de vérifier que si elle est vraie pour un chemin d’extrémité y, elle est vraie
pour un sommet x relié à l’extrémité d’un chemin d’extrémité y.
Lemme 2.2. Les arbres sont caractérisés par les propriétés d’induction structurelle
suivantes :
1. Objet initial : un sommet isolé. Opération : n arbres reliés par exactement une
arête à un même sommet isolé.
2. Objet initial : un sommet isolé. Opération : Un arbre relié par exactement une
arête à un sommet isolé.
Démonstration. Notons T l’ensemble des arbres, T1 l’ensemble des graphes définis par
la première propriété d’induction structurelle et T2 l’ensemble des graphes définis par
8
la deuxième propriété d’induction structurelle. Les classes T1 et T2 ont même objet
initial et l’opération de T2 est une sous-ensemble strict des opérations de T1 . Donc
T2 ⊂ T1 . Il suffit donc de démontrer que T ⊂ T2 et T1 ⊂ T . Soit G ∈ T . Si G est
un sommet isolé ou une arête isolée, alors G ∈ T2 . Sinon, t(G) est un arbre que l’on
peut supposer appartenir à T2 . L’arbre G est obtenu à partir de G en appliquant un
nombre fini de fois l’opération de T2 . Donc G ∈ T2 . Soit G ∈ T1 . Si G est un sommet
isolé, alors G ∈ T . Sinon, G est un sommet isolé x relié par exactement une arête à n
graphes ti de T1 , que l’on peut supposer être des arbres. La composante connexe de
x contient la composante connexe de ti pour tout i donc est G. Donc G est connexe.
Soit C un cycle de G. Les ti sont acycliques donc C n’est pas contenu dans un des
ti . Donc il passe par x et contient des sommets de l’un des ti , disons t1 . Le sommet x
est de degré 2 dans C donc C contient des sommets d’un autre ti , disons t2 . Il existe
donc un chemin de t1 à t2 ne passant par x. C’est absurde, donc C n’existe pas. Donc
G est acyclique. Donc G est un arbre.
Corollaire 2.3. Les graphes connexes sont caractérisés par la propriété d’induction
structurelle suivante. Objet initial : le sommet isolé. Opération : Relier un sommet
isolé par au moins une arête à un graphe connexe. Les graphes sont caractérisés
par la propriété d’induction structurelle suivante. Objet initial : le sommet isolé.
Opération : Relier un sommet isolé par au moins zéro arête à un graphe.
Démonstration. Un graphe est connexe si et seulement s’il admet un arbre couvrant
si et seulement s’il admet un sous-graphe couvrant défini par la propriété d’induction
structurelle T2 du lemme précédent. Un graphe est l’union disjointe des ses composantes connexes.
Lemme 2.4. Un graphe connexe G vérifie |X| − 1 ≤ |E|. Un graphe connexe G est
un arbre si et seulement si |X| − 1 = |E|.
Démonstration. La propriété est vraie pour un sommet isolé. Si elle est vraie pour
un graphe connexe G = (X, E) et si G ∪ {x} est un graphe connexe, alors x est de
degré strictement positif. Donc |G ∪ {x}| − 1 = |X| ≤ |E| + 1 ≤ |E ∪ (x, y)|. Par
induction structurelle, la propriété est vraie pour tout graphe connexe. La deuxième
assertion est vraie pour un sommet isolé. Si elle est vraie pour n arbres T1 , · · · , Tn
alors l’arbre T formé en reliant les Ti à un sommet externe vérifie :
|X(T )| − 1 =
X
|X(Ti )| =
i
X
|E(Ti )| + n = |E(T )|
i
Réciproquement, si T est connexe et vérifie |X| − 1 = |E|, alors T 0 = T − {e} vérifie
|X 0 | − 1 > |E 0 | donc n’est pas connexe. Donc T est un arbre d’après la proposition
1.5.
9
3
Bestiaire
trois dimensions douze apôtres mille et une nuits trente-deux positions six parties du
monde cinq points cardinaux dix ans de bons et loyaux services sept péchés capitaux
deux doigts de la main dix gouttes avant chaque repas trente jours de prison dont
quinze de cellule cinq minutes d’entr’acte et... plusieurs ratons laveurs. (Jacques
Prévert).
3.1
3.1.1
Graphes élémentaires
Graphes complets, isolés
Le graphe complet Kn est le graphe ({1, · · · , n}, X o X). Le graphe isolé In est K̄n .
Le graphe complet est bien évidemment connexe. Relier deux graphes complets en
un sommet ou par une arête montre qu’il existe des graphes ayant degré minimal
arbitrairement grand que l’on peut déconnecter en enlevant un seul sommet ou une
seule arête.
3.1.2
Chemins élémentaires, cycles élémentaires
Le chemin élémentaire Pn est le chemin {1, · · · , n}. Le cycle élémentaire Cn est
le cycle {1, · · · , n}. La considération d’un chemin maximal ou d’un chemin induit
maximal est souvent fort utile. Les graphes ayant des chemins ou des cycles couvrants
sont étudiés dans la section 7.
3.2
3.2.1
Graphes moins élémentaires
Graphes circulants
Un graphe G est dit circulant d’ordre n et de partie S ⊂ Z/nZ si et seulement
G = (X, E) avec X = Z/nZ et E = {(x, y) ∈ X o X|x − y ∈ S}. Il n’y a pas de
Figure 1 – Quelques graphes circulants
perte de généralité à considérer que 0 ∈
/ S et que −x ∈ S si et seulement si x ∈ S. Le
graphe complet Kn est le graphe circulant (n, Z/nZ) ; le graphe isolé In est le graphe
circulant (n, ∅) ; le cycle élémentaire Cn est le graphe circulant (n, {−1, +1}).
Un graphe circulant est connexe si et seulement si S engendre Z/nZ, et donc si et
seulement si les éléments de S sont premiers dans leur ensemble avec n. Lorsqu’un
10
Figure 2 – Les graphes circulants connexes ayant moins de 8 sommets
graphe circulant est connexe, il admet un cycle couvrant (cette assertion hautement
non-triviale est démontrée dans la section 7). Par construction, un graphe circulant est |S|-régulier. Les graphes circulants sont donc de bons exemples de graphes
réguliers non-complets.
3.2.2
Graphes de Cayley
Soit G un groupe fini et C ⊂ G. Un graphe H = (G, E(G, C)) est dit de Cayley pour
G et C si et seulement E(G, C) = {(x, y) ∈ X(H) o X(H)|xy −1 ∈ C}. A nouveau,
nous voyons qu’il n’y a pas de perte de généralité à supposer que eG ∈
/ C et que
−1
x ∈ C si et seulement si x ∈ C. Un graphe circulant est un graphe de Cayley pour
G = Z/nZ.
11
Figure 3 – Un graphe de Cayley
3.2.3
Graphes de Mycielski
Soit G = (X, E) un graphe avec X = {x1 , · · · , xn }. Soit M (G) = (X 0 , E 0 ) le graphe
tel que :
X 0 = {x1 , · · · , xn } ∪ {y1 , · · · , yn } ∪ {z}
E 0 = E ∪ {(yi , z)|∀ i ∈ {1, · · · , n}} ∪ {(xi , yj )|∀ (xi , xj ) ∈ E}
Si Kn n’est pas un sous-graphe de G, alors Kn n’est pas non plus un sous-graphe
de M (G). Par exemple, les graphes K2 , M (K2 ), M (M (K2 ))... ne contiennent pas de
triangles. Le graphe M (M (K2 )) s’appelle le graphe de Grötzsch.
Figure 4 – Le graphe de Grötzsch M (M (K2 ))
12
3.3
3.3.1
Bêtes curieuses et remarquables
Graphes bipartis
Un graphe (X, E) est dit biparti si et seulement s’il existe une partition de X en
deux sous-ensembles disjoints X1 ∪ X2 tel que si (x, y) ∈ E, alors x ∈ X1 et y ∈ X2 .
On note Km,n = (X, E) le graphe biparti avec X = {1, · · · , m} ∪ {1, · · · , n} et
E = {(x, y)|x ∈ {1, · · · , m}, y ∈ {1, · · · , n}}. La propriété d’être un graphe biparti
est connexe ascendante et fortement connexe-descendante donc est vraie pour G
si et seulement si elle est vraie pour toutes les composantes connexes de G. On
pourra donc se ramener sans perte de généralité au cas connexe lorsque l’on étudie
la bipartition. Plus généralement, une bipartition de G définit une bipartition de
H ⊂ G pour tous sous-graphes de G. Ceci implique les assertions suivantes. Si un
graphe est biparti, tous ses sous-graphes, et donc en particulier tous ses sous-graphes
induits, sont également bipartis. Si G est un graphe et si H est un sous-graphe de
G biparti, alors G est biparti si et seulement s’il existe une bipartition de H qui
s’étende en une bipartition de G.
Lemme 3.1. Les forêts sont des graphes bipartis. A l’échange des classes de bipartition près, les arbres admettent une unique bipartition qui est construite en assignant
à Xi mod 2 l’ensemble des sommets à distance i d’un sommet de profondeur de taille
maximale. Les cycles bipartis sont les cycles pairs.
Démonstration. Un graphe est biparti si et seulement si toutes ses composantes
connexes le sont. Il suffit donc de démontrer que les arbres sont bipartis, qu’ils admettent une unique bipartition à l’échange des classes près et que cette bipartition est
construite en assignant à Xi mod 2 l’ensemble des sommets à distance i d’un sommet
de profondeur de taille maximale. Le sommet isolé x est biparti, n’admet essentiellement qu’une bipartition et cette bipartition est construite en assignant x à X1 ou
X2 . Soit T 0 un arbre biparti dont l’unique bipartition à l’échange des classes près est
donnée par la distance modulo 2 à un sommet de profondeur maximale. Soit T le
graphe formé en reliant un sommet isolé x à un unique sommet y ∈ Xi (T 0 ). Le graphe
T est alors un arbre d’après le lemme 2.2. Assigner x à la classe X3−i = X(i+1) mod 2
montre qu’assigner l’ensemble des sommets à distance i d’un sommet de profondeur
maximale est une bipartition de T , et c’est également l’unique bipartition de T une
fois fixée une bipartition de T 0 . Toute bipartition de T s’étend à T 0 donc la bipartition de T est essentiellement unique. Par induction structurelle, les arbres sont donc
bipartis, n’admettent essentiellement qu’une seule bipartition et cette bipartition est
donnée par la distance à un sommet de profondeur maximale.
Soit C un cycle, e une arête de C et Pe = (x1 , · · · , xn ) le chemin obtenu en
supprimant e de G. Le graphe C est biparti si et seulement si l’unique bipartition de
Pe s’étend à C donc si et seulement si x1 ∈ X1 entraîne xn ∈ X2 donc si et seulement
si n est pair.
Proposition 3.2. Un graphe est biparti si et seulement s’il ne contient pas de cycle
impair.
Démonstration. Soit G un graphe. Les deux propriétés de l’énoncé sont vraies pour
13
G si et seulement si elles sont vraies pour toutes les composantes connexes de G. On
peut donc sans perte de généralité supposer que G est connexe.
Si G est biparti et si C est un sous-cycle de G, la bipartition de G induit une
bipartition de C donc C est un cycle pair. Réciproquement, supposons que G n’ait
pas de cycle impair. Soit alors T un arbre couvrant de G et e = (x, y) une arête de
G. Si e est une arête de G qui n’est pas une arête de T , le graphe T ∪ e contient un
cycle C = (x, · · · , y) ⊂ G qui est donc pair. Donc x et y ne sont pas dans la même
classe de bipartition de T . La bipartition de T s’étend donc à T ∪ e et donc à G.
3.3.2
Graphe des arêtes
Soit G = (X, E) un graphe avec E 6= ∅. Le graphe des arêtes L(G) de E est le
graphe (E, {(u, v) ∈ E o E|u ∩ v 6= ∅}).
Lemme 3.3. Si G est connexe et contient une arête, L(G) est connexe.
Démonstration. Soit x un sommet de G de degré non-nul et soit e = (x, y) une arête.
Soit C la composante connexe de L(G) contenant e. Soit P r la propriété “Toutes les
arêtes de u sont des sommets de C”. Toutes les arêtes incidentes à x sont des voisins
de e donc x vérifie P r. Soit u un sommet vérifiant P r et v un voisin de u. L’arête
(u, v) appartient à C donc toute arête incidente à v appartient à C. La propriété P r
est donc expansive. Tout sommet de G vérifie donc P r, donc L(G) n’a qu’une seule
composante connexe.
14
3.3.3
Graphe de Petersen
Le graphe de Petersen P = L(K5 ) est le complémentaire du graphe des arêtes de K5 .
En voici deux dessins possibles. Le lecteur observateur pourra aussi astucieusement
remarquer qu’il orne la première page de ce bréviaire.
15
4
Isomorphismes
Et qui n’est, chaque fois, ni tout à fait la même
Ni tout à fait une autre. (Paul Verlaine)
4.1
4.1.1
Définitions
Rappel
Le groupe symétrique Sn est le groupe des permutations opérant sur un ensemble à
n éléments. Le groupe Sn est de cardinal n!, il est engendré par les transpositions et
n’est pas commutatif sauf si n = 1, 2.
4.1.2
Groupes des automorphismes d’un graphe G
Soit G = (X, E) et H = (X 0 , E 0 ) deux graphes. Soit Hom(X, X 0 ) l’ensemble des
bijections de X vers X 0 . Lorsque |X| =
6 |X 0 |, cet ensemble est vide ; lorsque X = X 0 ,
cet ensemble s’identifie à Sn . Un élément σ ∈ Hom(X, X 0 ) est un isomorphisme de G
vers H si et seulement si σ(x) ∼H σ(y) si et seulement si x ∼G y. On note Hom(G, H)
l’ensemble des isomorphismes de G vers H et Aut(G) = Hom(G, G) l’ensemble des
automorphismes de G.
Lemme 4.1. L’ensemble Aut(G) est un groupe.
Démonstration. C’est un sous-ensemble de Sn contenant l’identité, donc il suffit de
vérifier que Aut(G) est stable par inverse et composition.
On dit qu’une propriété est indépendante de la classe d’isomorphisme si elle est
vraie pour un graphe G si et seulement si elle est vraie pour tout graphe H tel
que Hom(G, H) soit non-vide. Lorsque l’on s’intéresse à une telle propriété, il n’y a
donc pas de généralités à remplacer G par un graphe qui lui est isomorphe. L’annexe
III contient quelques propriétés qui sont et ne sont pas indépendantes de la classe
d’isomorphisme.
Proposition 4.2.
1. L’image par σ ∈ Hom(G, H) d’un sous-graphe induit de G
est un sous-graphe induit de H. La restriction de σ ∈ Aut(G) à un sous-graphe
induit H est un élément de Hom(H, H 0 ).
2. Si σ ∈ Hom(G, H), dG (x) = dH (σ(x)).
3. L’image d’une composante connexe de G par σ ∈ Hom(G, H) est une composante connexe de H.
4. Si σ ∈ Hom(G, H), la distance entre x et y dans G est égale à la distance entre
σ(x) et σ(y) dans H pour tout x, y ∈ X.
5. SI σ ∈ Hom(G, H), alors σ −1 ∈ Hom(H, G).
6. Le groupe Aut(G) est Sn si et seulement si G = Kn ou G = In .
16
7. Aut(G) = Aut(Ḡ)
Démonstration.
1. Soit x, y ∈ G0 induit dans G. Soit H 0 le sous-graphe de H
induit par les images des sommets de G0 . Alors x ∼G0 y si et seulement si
x ∼G y si et seulement si σ(x) ∼H σ(y) si et seulement si σ(x) ∼H 0 σ(y).
2. Par définition d’un isomorphisme, y ∈ NG (x) si et seulement si σ(y) ∈ NH (σ(x)).
3. Soit x un sommet de G et P r la propriété “Le sommet σ(y) appartient à la
composante connexe de H contenant σ(x)”. Alors x vérifie P r. Soit u un sommet
de G vérifiant P r et v un voisin de u. Alors σ(u) est voisin de σ(v) donc v
vérifie P r. Donc P r est expansive ; donc P r est vérifiée pour tout sommet de
la composante connexe de x. L’image de la composante connexe de x est donc
incluse dans la composante connexe de σ(x). En appliquant σ −1 , on voit que
l’image de la composante connexe de x est la composante connexe de σ(x).
4. D’après l’assertion précédente, ces deux distances sont toutes les deux finies ou
infinies. Dans le premier cas, le sous-graphe induit par un chemin de x à y est
transformé par σ en un sous-graphe induit connexe de σ(x) à σ(y) de même
cardinal. Donc dH (σ(x), σ(y)) ≤ dG (x, y). En considérant σ −1 , on en déduit
que dG (x, y) = dH (σ(x), σ(y)).
5. Soit (x, y) ∈ X 0 o X 0 . Alors x ∼H y ⇔ σ(σ −1 (x)) ∼H σ(σ −1 (y)) ⇔ σ −1 (x) ∼G
σ −1 (y).
6. Soit G un graphe tel que Aut(G) = Sn avec G 6= In . Soit x un sommet de G de
degré strictement positif, soit y un voisin de x et soit z un troisième sommet.
Il existe σ ∈ Aut(G) tel que σ(x) = x et σ(y) = z. Donc NG (x) = G − {x}. Il
existe σ 0 ∈ Aut(G) tel que σ(x) = z donc NG (z) = G − {z}. Donc G = Kn .
7. Soit (x, y) ∈ X o X et σ ∈ Aut(G). Alors x ∼G y ⇔ σ(x) ∼G σ(y) donc
x ∼Ḡ y ⇔ σ(x) ∼Ḡ σ(y). Donc σ ∈ Aut(Ḡ). On conclut en échangeant G et Ḡ.
On dit que G = (X, E) est sommet-transitif si pour tout (x, y) ∈ X o X, il
existe σ ∈ Aut(G) tel que σ(x) = y. Un graphe sommet-transitif est régulier. Si
Γ = Aut(G), on note X Γ l’ensemble des sommets de G fixés par tous les éléments de
Γ et on note E Γ l’ensemble des arêtes de G fixées par tous les éléments de Γ.
4.2
4.2.1
Exemples
Graphes complets, isolés
Nous avons déjà vu que Aut(G) = Sn .
17
4.2.2
Chemins élémentaires, cycles élémentaires
Le chemin élémentaire Pn a pour groupe d’automorphisme Z/2Z. Le groupe des
automorphismes de Cn est (par définition) le groupe diédral D2n de cardinal 2n. Il
contient un unique sous-groupe cyclique d’ordre n.
Proposition 4.3. Le groupe diédral D2n est engendré par un élément τ d’ordre 2 et
un élément σ d’ordre n. Ces deux éléments vérifient τ σ = σ −1 τ .
Démonstration. Soit (i, j) = (i, i ± 1) un couple orienté d’éléments de Z/nZ. Il existe
alors un automorphisme de Cn qui envoie (0, 1) sur (i, j). Réciproquement, si g fixe
le couple orienté (0, 1), alors g est l’identité. L’ensemble des automorphismes de Cn
est donc en bijection avec l’ensemble des couples orientés (i, i + 1) et (i, i − 1). Soit
τ l’automorphisme qui envoie le sommet x sur −x et σ l’automorphisme qui envoie
x sur x + 1. Il existe alors une bijection entre les couples orientés (i, j) = (i, i ± 1) et
les couples τ σ i .
4.2.3
Arbres
Proposition 4.4. Soit T = (X, E) un arbre de groupe d’automorphismes Γ.
1. La restriction de σ ∈ Aut(T ) à t(T ) est un automorphisme de t(T ). Les sommets de hauteurs de taille au moins h sont préservés par σ.
2. Ou bien X Γ 6= ∅ ou bien E Γ 6= ∅.
3. Si X Γ 6= ∅, alors le sous-graphe induit par X Γ est un arbre.
Démonstration.
1. Soit σ ∈ Aut(T ). Alors σ préserve l’ensemble des feuilles de T
donc également l’ensembles des sommets internes de T . La restriction à t(T )
induit donc un morphisme de groupes res de Aut(T ) vers Aut(t(T )), et donc
vers Aut(tn (T )) pour tout n.
2. L’ensemble des éléments de hauteur de taille maximale est un singleton ou une
arête. Cet ensemble est fixé par Aut(T ).
3. Supposons maintenant X Γ 6= ∅. Alors le sous-graphe induit par X Γ est acyclique. Soit x, y deux sommets de X Γ et σ ∈ Γ. Le chemin P de x à y est
transformé par σ en un chemin de T de x à y, donc en P . Donc σ induit un
automorphisme de P d’ordre au plus 2. Comme il fixe une extrémité, c’est
l’identité. Donc P ⊂ X Γ .
Il est démontré en exercice que la classe C des groupes qui sont groupes d’automorphismes d’un arbre est définie par induction structurelle de la manière suivante.
Objet initial : Le groupe trivial. Opérations : 1) Si (G, H) ∈ C 2 , alors G × H ∈ C.
2) Si G ∈ C et n ≥ 2, alors le produit en couronne de G et Sn est dans C.
18
4.2.4
Graphes circulants
Le groupe Aut(G) contient le groupe D2n comme sous-groupe. Le graphe G est
sommet-transitif.
4.2.5
Graphes de Cayley
Soit G un graphe de Cayley pour un groupe fini Γ. Le groupe Aut(G) contient le
groupe Γ comme sous-groupe car
σh :
Γ −→ Γ
g 7−→ gh
est une inclusion de Γ dans Aut(G). Le groupe Γ a une action simplement transitive
sur G.
Proposition 4.5. [Théorème de Sabidussi] Soit G un graphe et Γ un sous-groupe
de Aut(X) avec une action simplement transitive sur G. Alors G est un graphe de
Cayley pour Γ.
Démonstration. Soit x un sommet de G. L’application
φ:
Γ −→ X
σ 7−→ σ(x)
est une bijection qui munit X d’une structure de groupe par identification. Soit S la
pré-image de NG (x) par φ. Alors u ∼G v est équivalent à σv−1 σu ∈ S pour σu et σv
les pré-images de u et v par φ.
Soit G = (Γ, S) et H = (Γ0 , S 0 ) deux graphes de Cayley. On dit qu’ils sont isomorphes en tant que graphes de Cayley s’il existe σ ∈ Hom(G, H) tel que σ(S) = S 0 .
4.2.6
Graphe de Petersen
Proposition 4.6. Aut(P ) ' S5
Démonstration. Soit σ ∈ Aut(K5 ). L’application σ ∗ de L(K5 ) dans L(K5 ) définie par
σ ∗ (x, y) = (σ(x), σ(y)) est une application de Aut(Kn ) dans Aut(L(K5 )) = Aut(P ).
Si σ ∗ fixe l’arête (a, b), alors σ(a) = a ou σ(a) = b et σ(b) = a, auquel cas σ ∗ ne fixe
pas l’arête (b, c). Donc, si σ ∗ est l’identité, alors σ est l’identité. Donc Sn s’injecte
dans Aut(P ). Réciproquement, si σ ∗ ∈ Aut(L(K5 )), σ ∗ transforme la 4-clique de
L(K5 ) formée des 4 arêtes incidentes en x en une 4-clique. 4 arêtes sont incidentes
entre elles seulement si elles le sont en un voisin commun, que nous notons σ ∗∗ (x).
L’application qui à σ ∗ associe σ ∗∗ est une application de Aut(L(K5 )) dans Aut(K5 ).
Si σ ∗∗ est l’identité, alors l’arête σ ∗ (x, y) est une arête incidente à x et à y, donc σ ∗
est l’identité. Donc Aut(L(K5 )) s’injecte dans Sn . Donc Aut(L(K5 )) = Sn .
Corollaire 4.7. Le graphe de Petersen n’est pas un graphe de Cayley.
19
Démonstration. D’après le corollaire 12.2, à isomorphisme près, il n’existe que deux
groupes d’ordre 10 : le groupe cyclique Z/10Z et le groupe diédral D10 . Le groupe
Z/10Z a un élément d’ordre 10 alors que l’ordre maximal d’un élément de S5 est
6. Donc P n’est pas un graphe circulant. Le groupe S5 contient un sous-groupe Γ
isomorphe à D10 engendré par σ d’ordre 5 et τ d’ordre 2. L’élément τ agit avec un
point fixe sur {1, 2, 3, 4, 5} et quitte à renuméroter, on peut supposer que 3 est un
point fixe et que σ(i) = i + 1. La relation τ στ (3) = 2 implique alors que τ (4) = 2.
La relation τ στ (2) = 1 implique alors que τ (5) = 1. L’élément τ est donc le produit
des deux transpositions (15) et (24). L’élément τ σ i envoie alors (1, 2) ∈ X(P ) sur
τ (1 + i, 2 + i). Donc, si τ σ i (1, 2) = (x, 3), alors x = 2 ou x = 4. Donc (1, 3) n’est
pas dans l’orbite de (1, 2) sous Γ donc Γ n’agit pas transitivement sur X(P ). D’après
la proposition 4.5, le graphe de Petersen n’est donc pas un graphe de Cayley.
4.2.7
Graphe asymétrique
Un graphe G est dit asymétrique si et seulement si Aut(G) = {Id}. Le graphe suivant
est asymétrique.
20
5
Connectivité
Alguna vez, los senderos de ese laberinto convergen 2 . (Jorge Luis Borges).
5.1
Généralités
Un sous-ensemble S ⊂ X est appelé un ensemble de séparateurs d’un graphe G si
G − S n’est pas connexe. Soit k ≥ 0 un entier. Un graphe G est dit k-connexe si
et seulement si |G| > k et si tout séparateur S ⊂ X de G est de cardinal au moins
k. De manière équivalente, un graphe G est k-connexe si et seulement si |G| > k et
si pour tout sous-ensemble S ⊂ X de cardinal strictement inférieur à k, le graphe
G − S est connexe. Tous les graphes sont 0-connexes. La 1-connexité se confond avec
la connexité usuelle lorsque G n’est pas un sommet isolé. La connectivité κ(G) de G
est le plus grand entier k tel que G soit k-connexe.
Si A et B sont deux sous-ensembles de X, un chemin P = {x1 , · · · , xk } est un
chemin A − B si et seulement si P ∩ A = {x1 } et P ∩ B = {xk }. Un ensemble S ⊂ X
sépare A de B si tout chemin A − B contient un sommet de S.
Lemme 5.1. Soit G un graphe de connectivité κ. Alors il existe un couple de sommets
(x, y) ∈ X o X tel qu’il n’existe pas κ + 1 chemins intérieur-disjoints de x à y
Démonstration. Par définition de κ, il existe un ensemble de sommets S de cardinal
κ tel que G − S ait au moins deux composantes connexes C1 et C2 . Soit x ∈ C1 et
y ∈ C2 . Alors tout chemin de x à y passe par un sommet de S. Il en existe donc au
plus κ qui soient mutuellement intérieur-disjoints.
Un graphe G de cardinal strictement supérieur à 1 est dit k-arête-connexe si et
seulement si pour tout sous-ensemble S ⊂ E de cardinal strictement inférieur à
k, le graphe G − S est connexe. Tous les graphes de cardinal au moins 2 sont 0arêtes-connexes et les graphes 1-arêtes-connexes sont le graphes connexes à au moins
deux sommets. Un isthme est une arête e d’un graphe connexe G tel que G − e est
non connexe. La e-connectivité λ(G) de G est le plus grand entier k tel que G soit
k-arête-connexe.
Proposition 5.2. Soit G un graphe de cardinal au moins 2. Alors κ(G) ≤ λ(G) ≤
δ(G).
Démonstration. Soit x un sommet de degré δ(G) et soit S l’ensemble des arêtes
incidentes à x. Alors G − S n’est pas connexe donc λ(G) ≤ δ(G).
Soit maintenant S un ensemble minimal d’arêtes tel que G−S ne soit pas connexe.
Supposons tout d’abord qu’il existe x ∈ X qui ne soit incident à aucune arête de S.
Soit C la composante de x dans G−S. Soit S 0 l’ensemble des sommets de C incidents
à une arête de S. Si u est un sommet de S 0 incident à une arête (u, v) de S, alors v
n’est pas dans la même composante connexe que u dans G − S par minimalité de S
donc v ∈
/ C. Donc u est adjacent à au moins un sommet qui n’est pas dans C. Donc
0
|S | est plus petit que |S|. L’ensemble S 0 est un séparateur de G donc κ(G) ≤ λ(G).
2
Parfois, les sentiers de ce labyrinthe convergent.
21
Supposons maintenant que tout x ∈ X est incident à une arête de S et soit u un
sommet de degré minimal. Soit N l’ensemble des voisins de u dans G − S. Tous les
sommets de N sont dans la même composante connexe de G − S donc il n’existe
pas d’arêtes de S de la forme (v, w) ∈ N o N par minimalité de S. Les sommets
de N sont donc incidents à des arêtes distinctes de S. Les voisins de u dans G sont
les sommets de N et les extrémités d’arêtes de S donc |NG (u)| ≤ |S|. Si NG (u) est
un ensemble de séparateurs de G, on en déduit que κ(G) ≤ λ(G). Sinon, le graphe
G − NG (u) est connexe donc est réduit à l’unique sommet u. Donc δG = |G| − 1 donc
G = Kn . Dans ce cas, κ(G) = λ(G).
Remarque : Les inégalités de la proposition précédente sont optimales au sens où
elles deviennent des égalités par exemple pour les cycles. Inversement, il est aisé de
construire des graphes tels que la différence entre κ(G) et λ(G), ou entre λ(G) et δG ,
soit arbitraire : il suffit pour cela de considérer l’union de deux graphes fortement
connexes ayant seulement un sommet en commun, ou relié par un isthme.
Lemme 5.3 (Lemme d’extension). Soit G un graphe k-connexe et x un sommet
externe à G. Le graphe G0 obtenu en reliant G à x par k arêtes est k-connexe.
Démonstration. Soit S 0 un ensemble de séparateurs de G0 et soit S = S 0 ∩ X. Si S
est un ensemble de séparateurs de G, alors |S| ≥ k. Sinon, G − S est connexe. Le
graphe G0 −0 S a au moins deux composantes connexes donc x est un sommet isolé
dans G0 − S 0 donc |S 0 | > k.
Lemme 5.4.
1. Soit G un graphe connexe et e = (x, y) ∈ E un isthme de G.
Alors G−e a deux composantes connexes ; l’une contenant x et l’autre contenant
y.
2. Soit k ≥ 1. Soit G un graphe k-connexe et e = (x, y) ∈ E. Alors G − e est
k − 1-connexe.
Démonstration.
1. Soit a ∈ X. Il existe un chemin de a à x dans G. Si a n’appartient pas à la composante connexe de x dans G − e, le chemin de a à x dans G
passe par e donc a appartient à la composante connexe de y.
2. Supposons que G0 = G − e ne soit pas k − 1-connexe. Il existe alors un ensemble
S 0 de sommets de cardinal k − 2 séparant G0 . Alors S 0 ne sépare pas G donc x
et y ne sont pas dans S 0 et e est un isthme de G − S 0 . Donc G − S 0 a exactement
deux composantes connexes distinctes Cx et Cy . Supposons que |G| > k. Alors
|G − S 0 | > 2 donc l’une des composantes, disons Cx , contient un autre sommet
z. Alors S = S 0 ∪ {x} sépare z de y. Donc G n’est pas k-connexe.
5.2
Théorème de Menger
Théorème 1 (Théorème de Menger). Un graphe G est k-connexe si et seulement si
pour tout (x, y) ∈ X o X, il existe k chemins intérieur-disjoints de x à y.
22
Il est en fait plus facile de montrer le résultat plus général suivant.
Théorème 2 (Théorème de Menger général). Soit A et B deux sous-ensembles
distincts de X. Le nombre maximal de chemins A − B disjoints est égal au cardinal
du plus petit ensemble séparant A de B.
Démonstration. Soit n le cardinal d’un ensemble maximal N de chemins A − B
disjoints et m le cardinal d’un ensemble séparant A de B et de taille minimale.
Pour séparer A de B, il est nécessaire de supprimer un sommet sur chacun des n
chemins A − B disjoints de N . Donc n ≤ m. Montrons l’inégalité inverse.
On raisonne par récurrence sur |E|. Si |E| = 0, alors N est égal à A ∩ B. Donc
N est un ensemble séparant minimal donc n = m. Supposons maintenant que E
contienne une arête e = (x, y) et que tout graphe G0 tel que |E 0 | < |E| vérifie le
théorème. Soit (A, B) ⊂ X × X. Soit A0 (resp. B 0 ) le sous-ensemble de sommet de
G/e égal à {u ∈ A ∩ X(G/e)} (resp. {u ∈ B ∩ X(G/e)}) auquel on ajoute ve si x ou
y appartient à A (resp. à B). Soit s0 le cardinal d’un ensemble S 0 de taille minimale
séparant A0 de B 0 . Par hypothèse de récurrence, il existe s0 chemins intérieur-disjoints
de A0 à B 0 dans G/e. Ces chemins induisent s0 chemins A − B disjoints donc n ≥ s0 .
Si ve ∈
/ S 0 , alors S 0 est un ensemble séparant de G donc s0 ≥ m. Donc n ≥ m.
Si S 0 contient ve , alors S = S 0 − {ve } ∪ {x, y} est un sous-ensemble de X formé
de s = s0 + 1 sommets séparant A et B. Donc s ≥ M . Tout chemin de A à B dans
G passe par un sommet de S donc tout ensemble séparant A de S sépare A de B et
contient donc au moins M sommets. Par hypothèse de récurrence, le nombre N1 de
chemins disjoints de A à S dans G − e est donc au moins M . Soit P l’ensemble de
cardinal au moins M des extrémités de ces chemins. Un ensemble séparant B de P
dans G − e sépare B de A dans G − e donc est de cardinal au moins M . Il existe donc
au moins M chemins disjoints de B à P . On a construit ainsi M chemins distincts
de A à B. Donc N ≥ M .
Corollaire 5.5. Soit H ⊂ G un sous-graphe et x ∈
/ H. Le nombre maximal de chemins reliant x à H et n’ayant que x comme sommet commun est égal au cardinal
du plus petit ensemble séparant x de H. Le nombre maximal de chemins intérieurdisjoints reliant x à y ∈
/ NG (x) est égal au cardinal du plus petit ensemble ne contenant ni x ni y et séparant x de y.
Démonstration. Posons A = NG (x). Le nombre maximal de chemins A − H, donc
le nombre maximal de chemin de x à H n’ayant que x comme sommet commun, est
alors égal au cardinal du plus petit ensemble séparant A de H, donc au cardinal du
plus petit ensemble ne contenant pas x et séparant x de H. La deuxième assertion
est la première appliquée au cas H = NG (y).
Démontrons maintenant le théorème de Menger.
Démonstration. Supposons k = 0. Les deux termes de l’équivalence sont alors vrais
pour tout G, donc équivalents. Supposons k > 0 et le théorème vraie pour k − 1. S’il
existe k-chemins intérieur-disjoints de x à y pour tout (x, y) ∈ X o X, alors G est
k-connexe. Réciproquement, supposons que G est k-connexe. Considérons (x, y) ∈
X o X. Si x G y, le corollaire précédent montre qu’il existe au moins autant de
23
chemins intérieur-disjoints de x à y que de séparateurs de x et y. Si x ∼ y, alors
G − (x, y) est (k − 1)-connexe. Il existe donc k − 1 chemins intérieur-disjoints de x
à y dans G − (x, y), donc k dans G.
24
6
Algèbre linéaire
Hamlet : Où veux-tu me conduire ? Parle, je n’irai pas plus loin.
Le Spectre : Écoute-moi bien. (William Shakespeare).
6.1
6.1.1
Endomorphisme associé à un graphe
Généralités
Soit G = (X, E) un graphe de cardinal n et soit K un corps. Soit K X l’espace vectoriel
des fonctions sur X à valeurs dans K. Le graphe G définit un endomorphisme de
KX :
φ(G) :
K X −→ K X
v
7−→ x 7→
X
v(y)
y∼x
L’espace K X admet une famille F (Sn ) de bases canoniques : les familles (vx )x∈X
avec vx (y) = δxy (deux éléments de F (Sn ) ont les mêmes éléments mais dans un
ordre éventuellement différent, ce qui justifie l’indexation par Sn ). Par définition :
(
X
X
1 si x ∼ z
φ(G)(vx ) = z 7→
vx (y) = z 7→
=
vy
0
sinon
y∼z
y∼x
Une matrice A(G) de G est la matrice de φ(G) relative à un choix d’une telle base.
Le polynôme caractéristique µ(G) et le spectre Spec G de G sont par définition le
polynôme caractéristique et le spectre de φ(G).
Lemme 6.1. Deux matrices d’adjacence sont conjuguées sous l’action d’une matrice
de permutation
Démonstration. Ceci résulte du fait que deux bases de F (Sn ) sont images l’une de
l’autre sous une permutation de Sn .
Supposons que K soit R ou C. Alors K X est muni d’une forme hermitienne (·|·)
définie par (vx |vy ) = δxy et étendue à par antilinéarité à gauche et linéarité à droite.
Théorème 3. Supposons K = R. Alors φ est un endomorphisme symétrique. En
particulier, il est diagonalisable dans une base orthonormée et Spec G ⊂ Rn .
Démonstration. Soit vx et vy deux éléments d’une base de la famille canonique de
K X . Il suffit de montrer que (φ(vx )|vy ) = (vx |φ(vy )). Ces deux quantités sont égales
respectivement à 1 si x et y sont voisins et à 0 sinon.
En particulier, si V ⊂ K X est un sous-espace vectoriel stable sous φ(G), alors
φ(G)|V est diagonalisable. Si X1 est l’ensemble des sommets d’une composante connexe
de φ(G), alors K X1 est stable par φ(G). On pourra donc se restreindre pour l’étude
de φ(G) au cas des graphes connexes.
On donne quelques propriétés élémentaires de φ(G) lorsque Q ⊂ K.
25
Proposition 6.2.
1. Le nombre de parcours de x à y de longueur s est donnée
s
par (φ (vx )|vy ).
2. La trace de φ(G) est nulle. La trace de φ(G)2 est égale à 2|E| ; la trace de φ(G)3
est égale à 6 fois le nombre de triangles dans G.
6.1.2
Théorème de Sachs
Un graphe simple est dit sesquivalent si et seulement si chacune de ses composantes
est une arête isolée ou un cycle.
Théorème 4 (Théorème de Sachs). Soit G un graphe d’endomorphisme φ. Soit
µφ =
n
X
αk X k
k=0
le polynôme caractéristique de φ. Alors :
αk =
X
(−1)r(H) 2c(H)
H
La somme précédente est prise sur tous les sous-graphes sesquivalents de G ayant
n − k sommets. Les entiers r(H) et c(H) désignent respectivement le nombre de
composantes connexes de H et le nombre de composantes connexes de H qui sont
des cycles.
En particulier, le coefficient αn−2 est égal à −|E| et αn−3 est égal à -2 fois le
nombre de triangles de G.
Démonstration. Supposons tout d’abord k = 0. Alors α0 = det φ. On choisit une
matrice d’adjacence A de φ.
det φ =
X
n
Y
(σ) aiσ(i)
σ∈Sn
i=1
Supposons qu’il existe i tel que aiσ(i) = 0. Alors le terme (σ)
n
Q
aiσ(i) est nul. La
i=1
contribution de σ à det φ est donc non nulle, auquel cas elle est égale à ±1, si et
seulement si aiσ(i) 6= 0 pour tout i. Les orbites de σ sont donc toutes de cardinal au
moins 2. Sur l’orbite O, la permutation σ agit comme un cycle. A O est donc associé
un sous-cycle HO de G défini par X(O) = O et E(O) = {(iσ(i))|i ∈ O}. A σ est
donc associé le graphe sesquivalent Hσ égal à l’union des HO prise sur les orbites de
σ.
Réciproquement, soit H un graphe sesquivalent avec X(H) = X(G). A H est associé un sous-ensemble SH de Sn par le procédé suivant : la permutation σ appartient
à SH si et seulement si Hσ = H. Le cardinal de SH est alors égal à 2c(H) car chaque
composante connexe C de H définit deux permutations : la permutation cyclique
correspondant au parcours des sommets de C dans un sens et celle correspondant
26
au parcours dans l’autre sens. Remarquons que deux permutations de SH ont les
mêmes orbites donc la même signature (H), à savoir (−1)n−r(H) .
D’après la discussion précédente :
det φ = (−1)n
X
(−1)r(H) 2c(H)
H
La somme est prise sur tous les sous-graphes sesquivalents de cardinal n de H. Donc :
α0 =
X
(−1)r(H) 2c(H)
H
et la propriété est bien vraie pour k = 0.
Soit maintenant k quelconque. Alors αk est la somme des déterminants des kmineurs de A. Donc :
X
αk = (−1)n−k
(−1)r(H) 2c(H)
H
La somme est prise sur tous les sous-graphes sesquivalents de G ayant exactement
n − k sommets. En effet, les sous-graphes sesquivalents de G de cardinal n − k sont
les sous-graphes sesquivalents de cardinal maximum des sous-graphes de G obtenus
en supprimant k sommets.
Le cas particulier de αn−2 et αn−3 s’en déduit en observant que les arêtes isolées
sont les seuls graphes sesquivalents à deux sommets et que les K3 sont les seuls
graphes sesquivalents à 3 sommets.
6.2
6.2.1
Spectre
Généralités
Un vecteur v ∈ K X est un vecteur propre de G pour la valeur propre λ ∈ K si et
seulement si v 6= 0 et
φ(G)(v) = λv
donc si et seulement si v 6= 0 et :
∀ x ∈ X,
X
v(y) = λv(x)
y∼x
Proposition 6.3. Un graphe k-régulier connexe G admet k comme valeur propre
maximale avec multiplicité 1. Les vecteurs propres de Ḡ sont les vecteurs propres de
G.
P
Démonstration. Le vecteur
vx est vecteur propre de φ(G) pour la valeur propre
x∈X
k. Soit v ∈ K X un vecteur propre de φ(G) de valeur propre λ normalisé afin qu’il
existe x ∈ X tel que v(x) = 1 et |v(y)| ≤ 1 pour tout y ∈ X. Alors :
X
| v(y)| = |λ|v(x) = |λ| ≤ k max v(y) ≤ k
y
y∼x
27
Donc |λ| ≤ k. Il y a égalité seulement si v(y) = 1 pour tout y ∈ X. La propriété
v(z) = 1 est donc expansive.
Le graphe Ḡ est n − k − 1-régulier et admet n − k − 1 comme valeur propre
P
pour le vecteur propre v =
vx . La matrice A(Ḡ) vérifie A(Ḡ) = J − A(G) − Id.
x∈X
Les vecteurs propres v 0 de Ḡ distincts de v sont orthogonaux à v donc A(Ḡ)v 0 =
−A(G)v − Id v = (−λ − 1)v 0 .
Proposition 6.4.
1. Le spectre du graphe complet Kn est {(−1)n−1 , n − 1(1) }.
2. Soit ζ une racine primitive n-ième de l’unité. Le spectre de Cn est {ζ i + ζ −i |i ∈
[0, n − 1]}.
3. Le polynôme caractéristique µn de Pn vérifie la la relation de récurrence µ0 = 1,
µ1 = X et µn+1 = Xµn − µn−1 . Soit ζ une racine primitive (2n + 2)-ième de
l’unité. Le spectre de Pn est {ζ i + ζ −i |1 ≤ i ≤ n}.
4. Soit ζ une racine primitive n-ième de l’unité. Le spectre d’un graphe circulant
(n, S) est {P (ζ i )|i ∈ [0, n − 1]} avec P ∈ Z[X] le polynôme :
P =
n−1
X
1S (x)X
x=0
5. Si G = (Γ, S) est un graphe de Cayley et si χ est un morphisme de groupes de
Γ dans C× , alors
X
χ(γ)vγ
v=
γ∈Γ
est un vecteur propre de G pour la valeur propre
P
χ(s).
s∈S
6. Soit G = (Γ, S) un graphe de Cayley avec Γ commutatif. Alors Γ admet n
morphismes de groupes vers C× formant une base de vecteurs propres de G.
Démonstration.
1. On considère le spectre de J − Id ou bien on utilise la relation
fondamentale.
2. Le vecteurs vi (x) = ζ ix est propre pour la valeur propre ζ i + ζ −i . Ils forment
une famille libre sauf si vi et vn−i sont liés. Ces deux vecteurs sont distincts et
ont même première composante.
3. Soit v un vecteur propre de Pn pour la valeur propre λ. Alors v 6= 0 donc
l’ensemble des x tels que v(x) 6= 0 a un élément minimal. Si x 6= 1, alors
λv(x − 1) = v(x) + v(x − 2) donc v(x) = 0. C’est absurde donc x = 1. Sans
perte de généralité, on peut donc supposer que v(1) = 1. Alors v(2) = λ et
v(i + 1) = λv(i) − v(i − 1) pour 2 ≤ i ≤ n − 1. Donc v(i + 1) = µi (λ). Donc
v est déterminé par v(1), ce qui implique que λ est de multiplicité 1. Enfin,
λv(n) − v(n − 1) = 0 donc µn (λ) = 0 donc λ est une racine de µn . Soit C le
cycle de cardinal 2n + 2. Alors v(x) = ζ ix et w(x) = ζ −ix sont des vecteurs
propres de C pour la valeur propre ζ i + ζ −i . Donc v − w est un vecteur propre
28
de C pour la même valeur propre et (v − w)(0) = (v − w)(n + 1) = 0. Le vecteur
v − w restreint à Pn est donc un vecteur propre de Pn
4. Soit σ l’endomorphisme de K X qui envoie vx sur vx+1 pour tout x ∈ X. Soit
n−1
P
P le polynôme P =
1S (x)X x . Alors :
x=0
P (σ)(v0 ) =
n−1
X
1S (x)σ x (v0 ) =
x=0
X
X
vx =
vx = φ(G)(v0 )
x∼0
x∈S
Donc φ = P (σ) donc Spec G = {P (ζ)|ζ n = 1}.
5. Soit v comme dans l’assertion.
X
XX
φ(G)(v) =
χ(γ)φ(G)(vγ ) =
χ(γ)vγs−1
γ∈Γ
γ∈Γ s∈S
!
XX
=
χ(us)vu =
u∈Γ s∈S
X
s∈S
χ(s)
X
χ(u)vu
u∈Γ
6. D’après le corollaire 12.4, le groupe Γ admet |Γ| morphismes de groupes vers
C× qui, vus comme éléments de CX , sont orthogonaux pour le produit scalaire
de CX . Ils forment donc une base de CX , et il s’agit d’une base de vecteurs
propres d’après le point précédent.
Proposition 6.5. Soit G un graphe k-régulier et L son graphe des arêtes. Alors
µ(L, X) = (X + 2)e−n µ(G, X − k + 2). Le spectre de L est donc {λ(i) + k − 2|λ(i) ∈
Spec(G)} ∪ {−2(e−n) }
Démonstration. Soit B la matrice dont les colonnes sont indexées par les arêtes de G,
les lignes par les sommets de G et telle que bij = 0 sauf si le sommet i est sur l’arête
j. Le produit scalaire de deux colonnes est 0 sauf si ces colonnes sont confondues,
auquel cas il vaut 2, ou bien si les arêtes correspondantes sont incidentes, auquel
cas il vaut 1. Le produit scalaire de deux lignes vaut 0 sauf si ces deux lignes sont
confondues, auquel cas il vaut k, ou si les deux sommets correspondants sont voisins,
auquel cas il vaut 1. Donc B t B = k Idn +φ(G) et t BB = 2 Ide +φ(L). Donc :
µ(L, X − 2) = det((X − 2) Ide −φ(L)) = det(X Ide −2 Ide −φ(L))
= det(X Ide −t BB) = X e−n det(X Idn −B t B)
= X e−n det((X − k) Idn −φ(G))
Proposition 6.6. Le spectre du graphe de Petersen est {−2(4) , 1(5) , 3(1) }.
29
Démonstration. Le spectre de K5 est {(−1)(4) , 4(1) }. Donc le spectre de L(K5 ) est
{−2(5) } ∪ {1(4) , 6(1) }. Donc le spectre de L(K5 ) est {−2(4) , 1(5) , 3(1) }. On donne une
autre preuve de ce résultat. Soit ψ ∈ End(KX ) défini par :
X
ψ(vx ) =
vz
z∈X
Remarquons que le nombre de parcours de longueur 2 d’un sommet x du graphe de
Petersen à un autre sommet y est 3 si x = y (un pour chaque voisin de x), 0 si x ∼ y
car dans ce cas x et y n’ont aucun sommet voisin et 1 si x ∼ y et x 6= y car x et y ont
alors unique voisin commun (l’unique arête de K5 incidente à aucun des sommets de
x et y). Donc φ(G)2 = 3 Id +(ψ − Id −φ(G)) ou encore φ(G)2 + φ(G) − 2 Id = ψ.
Les vecteurs propres pour λ 6= 0 sont dans le noyau de ψ donc λ2 + λ − 2 = 0
donc λ ∈ {1, −2}. La valeur propre 3 est de multiplicité 1, ce qui détermine les
multiplicités de 1 et -2.
6.2.2
Entrelacement
Dans cette sous-section, le corps K est choisi égal à R. Un endomorphisme symétrique
ψ de RX est dit semi-défini positif si et seulement si :
∀ v ∈ RX , (ψ(v)|v) ≥ 0
En exprimant v dans une base de vecteurs propres pour ψ orthonormés, on voit que
ψ est semi-défini positif si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives.
Proposition 6.7. Soit λmin et λmax la plus petite et la plus grande valeur propre de
G respectivement. Alors δG ≤ λmax ≤ ∆G . Soit H un sous-graphe induit de G et
µmin et µmax la plus petite et la plus grande valeur propre de H. Alors λmin ≤ µmin ≤
µmax ≤ λmax
Démonstration. Nous savons déjà que λmax ≤ ∆G . L’endomorphisme λmax Id −φ(G)
est positif semi-défini donc (λmax v|v) − (φ(G)v|v) ≥ 0 pour tout v. En appliquant
P
ce résultat à v =
vx et en remarquant que (φ(G)v|v) ≥ nδG , on obtient que
x∈X
λmax ≥ δG .
L’endomorphisme λmax Id −φ(G) est positif semi-défini. Soit v ∈ RX(H) . Alors :
((λmax Id −φ(H))v|v) = ((λmax − φ(G))v|v) ≥ 0
Dans la deuxième égalité, on considère v comme un vecteur de RX en posant v(x) = 0
si x ∈
/ H. Donc λmax Id −φ(H) est positif semi-défini donc µmax ≤ λmax . De même,
l’endomorphisme φ(G) − λmin Id est positif semi-défini donc λmin ≤ µmin .
La preuve du théorème suivant est admise.
Théorème 5 (Entrelacement). Soit H un sous-graphe induit de G. Soit {λi |1 ≤ i ≤
n} le spectre de G rangé en ordre décroissant et soit {µi |1 ≤ i ≤ m} le spectre de H
rangé en ordre décroissant. Alors :
∀ 1 ≤ i ≤ m, λn−m+i ≤ µi ≤ λi
30
6.2.3
Bipartition
Proposition 6.8. Soit G un graphe biparti. Si λ(i) ∈ Spec G, alors −λ(i) ∈ Spec G.
Soit G un graphe connexe tel que −∆ ∈ Spec G. Alors G est régulier biparti.
S
P
Démonstration. Soit G un graphe biparti et X1 X2 une bipartition. Soit v =
αx vx +
x∈X1
P
P
βx vx un vecteur propre de G pour la valeur propre λ. Le vecteur w =
αx vx −
x∈X2
x∈X1
P
βx vx vérifie
x∈X2
φ(G)w(x) =
X
X
w(y) = ± v(y) = ±λv(x) = ± ∓ λw(x) = −λw(x)
y∼x
y∼x
donc est vecteur propre pour la valeur propre −λ.
Soit G un graphe connexe tel que −∆ ∈ Spec G. Nous savons déjà que G est
régulier. Considérons un vecteur propre v pour la valeur propre −∆ de plus grande
composante 1. Les ensembles X+ et X− des x ∈ X tels que v(x) = 1 et v(x) = −1
réalisent alors une bipartition de G.
La preuve du théorème suivant est admise.
Théorème 6 (Bipartition générale). Un graphe G est biparti si et seulement si
−λmax appartient à Spec G. Dans ce cas, son spectre est symétrique par rapport à
zéro.
31
7
Graphes hamiltoniens
Le rapporteur avoue n’en avoir pas fait entièrement le tour. (Alexandre Grothendieck).
7.1
Cycles hamiltoniens
Un graphe G possède un cycle hamiltonien s’il admet un cycle couvrant, c’est-à-dire
un sous-graphe H qui soit un cycle avec |H| = |G|. De manière équivalente, un
graphe est hamiltonien s’il existe un cycle passant par tous les sommets de G. Un
graphe G possède un chemin hamiltonien s’il admet un chemin couvrant. Les graphes
possédant un chemin hamiltoniens, et donc les graphes hamiltoniens, sont connexes.
Les graphes hamiltoniens sont 2-connexes.
Les graphes complets à au moins 3 sommets, les cycles, plus généralement les
graphes circulants connexes, plus généralement les graphes de Cayley abéliens connexes
(par exemple les cubes) sont hamiltoniens. Les graphes complets bipartis Km,n avec
m 6= n et le graphe de Petersen ne sont pas hamiltoniens.
Proposition 7.1. Le graphe de Petersen n’est pas hamiltonien.
Démonstration. Soit C un cycle de longueur maximale dans P . Alors L(C) = C
est un cycle induit de même longueur dans L(P ). D’après la proposition 6.5, le
spectre de L(P ) rangé dans l’ordre décroissant est {4(1) , 2(5) , −1(4) , −2(5) }. D’après la
√ (2)
√ (2)
√ (2)
√ (2)
proposition 6.4, le spectre de C10 est {2(1)
, 1+2 5 , 1−2 5 , −1+2 5 , −1−2 5 , −2(1) }.
√
La septième valeur de C10 est donc −1+2 5 , qui est plus grand que la septième valeur
propre −1 de L(P ). Les valeurs propres de C10 n’entrelacent donc pas les valeurs
propres de L(P ). D’après le théorème 5 d’entrelacement fort, C n’est donc pas C10 .
Donc P n’a pas de cycle couvrant.
Proposition 7.2. Soit G un graphe de cardinal n ≥ 3. Supposons que δG ≥ n/2.
Alors G est hamiltonien.
Démonstration. La plus petite composante connexe de G a au moins n/2+1 sommets,
donc est G tout entier. Donc G est connexe. Soit P = {x1 , · · · , xs } un chemin
maximal. Tous les voisins de x1 et de xs sont sur P . L’ensemble des voisins de xs
est de cardinal au moins n/2 et l’ensemble des prédécesseurs des voisins de x1 est
de cardinal au moins n/2. L’union de ces deux ensembles inclus dans {x1 , · · · , xs−1 }
est donc de cardinal au moins n. Donc leur intersection est non-vide. Donc le sousgraphe induit par les xi contient un cycle C passant par tous les xi . Par connexité de
G et maximalité de P , il n’existe pas de sommet de G externe à P . Donc s = n.
Le lemme suivant est particulièrement utile dans l’étude des graphes sommetstransitifs.
Lemme 7.3. Soit G un graphe pouvant s’écrire comme l’union disjointe de graphes
(Hi )1≤i≤n tous isomorphes et tous hamiltoniens. Supposons que les sommets xi,j et
xi,j+1 de Hi et Hj+1 soient adjacents pour tout j (avec la convention que n + 1 = 1).
Alors G est hamiltonien.
32
Démonstration. Si n = 1, alors G = H1 donc est hamiltonien. Sinon, soit Ci un
cycle hamiltonien de Hi . Sans perte de généralité, on peut supposer que Hi = Ci .
Le chemin (x1,1 , x1,2 , · · · , x1,n , Cn ) se termine sur un voisin x2,n de x1,n sur Cn . Le
chemin (x2,n , x2,n−1 , Cn−1 ) se termine sur xk,n−1 , l’autre voisin de x1,n sur Hn−1 . Le
sommet xk,n−1 est voisin de xk,n−2 . En répétant ce processus, on arrive sur un voisin
de x1,1 et on termine par C1 . Le chemin obtenu est un cycle hamiltonien de G.
Corollaire 7.4. Le n-cube est hamiltonien pour n ≥ 2.
Démonstration. Le 2-cube est un cycle donc est hamiltonien. Par définition, le (n+1)cube est l’union de deux copies du n-cube reliées sommets à sommets. C’est donc
l’union de deux graphes hamiltoniens isomorphes reliés sommets à sommets.
Soit G = (X, E) un graphe et k ∈ N. Le graphe Gk est le graphe (X, {x, y|dG (x, y) ≤
k}). Le graphe G0 est donc le graphe isolé et G1 est égal à G.
Proposition 7.5. Si P est un chemin de cardinal supérieur à 3, alors P 2 est hamiltonien. Si G est connexe et |G| ≤ 3, alors G3 est hamiltonien.
Démonstration. Si |P | est pair, alors le cycle
(x1 , x3 , x5 , · · · , x2n+1 , x2n , x2n−2 , · · · , x2 , x1 )
convient. Sinon, (x1 , x3 , · · · , x2n−1 , x2n , x2n−2 , · · · , x2 , x1 ) convient.
Pour démontrer la deuxième assertion, il suffit de la montrer pour un arbre couvrant T de G. Une branche de T est un sous-graphe de T induit par des sommets de
degrés 1 ou 2 dans T . Une feuille est une branche donc T admet des branches donc
T admet une branche maximale L = (x1 , · · · , x` ). Si T = L, alors T est un chemin
donc T 2 est hamiltonien donc T 3 est hamiltonien. Sinon, x = x1 ∈ L a un voisin y
dans T qui est de degré au moins 3 dans T . Le graphe T1 = T − L est acyclique et
l’unique chemin de a ∈ T1 à b ∈ T1 dans T est un chemin de T1 , donc T1 est connexe.
Donc T1 est un arbre ayant au moins 3 sommets. Par récurrence, on peut supposer
que T13 admet un cycle hamiltonien C.
Soit y a un voisin z sur C tel que dT (z, y) ≤ 2. Alors dT (x, z) ≤ 3 donc
(y, x2 , · · · , x, z, · · · , y)
est un cycle hamiltonien de T 3 . Soit les deux voisins z1 et z2 de y sur C sont à distance
3 de y. Dans ce cas, on nomme Tzi la composante connexe de zi dans T1 − {y}. Si w
est un sommet de Tzi qui n’est pas sur l’unique chemin de z1 à z2 dans T , alors tous
les sommets à distance au plus 3 de w sont dans Tzi . Donc les voisins de w sur C sont
dans Tzi . Soit P le chemin de z1 à z2 sur C qui ne passe pas par y. Soit t le dernier
sommet de P qui est dans Tz1 . D’après ce que nous venons de voir, t1 est à distance
au plus 2 de y. Son unique voisin t0 sur C qui n’est pas dans Tz1 est donc à distance
au plus 2 de y et l’un des deux sommets t, t0 est à distance 1 de y. Renommons t1
l’un des deux sommets t, t0 à distance 1 de y. Le cycle (t1 , x2 , · · · , x, t2 , · · · , t1 ) est
alors un cycle hamiltonien de T 3 .
33
7.2
Deux classes de graphes hamiltoniens
Théorème 7. Soit G un graphe de cardinal au moins 3. Soit α(G) le cardinal du
plus grand sous-ensemble de X dont le sous-graphe induit est isolé. Supposons que
la connectivité κ(G) de G soit plus grande que α(G). Alors G est hamiltonien.
Démonstration. Soit G un graphe κ-connexe et soit C un cycle de longueur maximale
de G dont nous notons {vs }1≤s≤m les sommets dans un ordre cyclique fixé. Supposons
que |C| < |G|. Il existe alors un sommet x ∈ X externe à C. D’après le théorème de
Menger, il existe au moins κ(G) chemins distincts de x à C. Notons I ⊂ {1, · · · , m}
l’ensemble des indices de leurs extrémités sur C. Si i ∈ I, alors i + 1 ∈
/ I par
maximalité de C. Pour la même raison, il n’existe pas de paires d’indices i et j dans
I telle que vi+1 ∼ vj+1 . Il s’en suit que {vi+1 |i ∈ I} ∪ {x} induit un sous-graphe isolé.
Donc α(G) > κ(G).
La conjecture suivante est un des problèmes ouverts les plus importants de la
théorie algébrique des graphes.
Conjecture 7.6. Le seul graphe de Cayley connexe non hamiltonien est K2 .
Théorème 8. Les graphes de Cayley abéliens connexes sauf K2 sont hamiltoniens.
Démonstration. Soit G = (Γ, S) un graphe de Cayley connexe avec Γ commutatif et
|G| > 2. Si x ∼G y, alors x − y ∈ S. On se permettra donc d’identifier les arêtes de
G avec des éléments de S.
Supposons tout d’abord que Γ = (Z/2Z)2 . Le graphe G étant connexe, il n’est
pas l’union disjointe de sommets ou d’arêtes isolées. Il est donc au moins 2-régulier.
D’après la proposition 7.2, il est donc hamiltonien.
Supposons maintenant que Γ = Z/pα Z avec p impair ou α > 2. L’ensemble S
engendre Z/pα Z donc contient un générateur s de Z/pα Z. Donc G contient un cycle
formé de la répétition de l’arête s.
D’après le théorème 13 de structure des groupes finis commutatifs, on peut désormais supposer que Γ s’écrit Γ = Γ1 × Γ2 avec Γ1 = (Z/2Z)2 ou Γ1 = Z/pα Z avec p
impair ou α > 2. Soit G1 le groupe (Γ1 , S mod Γ2 − {0}). L’ensemble S engendre Γ
donc S1 = S mod Γ2 −{0} engendre Γ1 . Donc G1 est connexe. Donc il est hamiltonien.
Soit {ei ∈ S1 |1 ≤ i ≤ |Γ1 |} l’ensemble ordonné des arêtes d’un cycle hamiltonien de
G1 . Soit {fi ∈ S|1 ≤ i ≤ |Γ1 |} un ensemble ordonné de relèvement des ei à S. On
appelle Ce le plus long chemin formé par la répétition des fi dans l’ordre et contenant
(0, 0). L’ensemble Γ étant un groupe, C1 est un cycle.
Si Ce = G, alors G est hamiltonien. Sinon, il existe g ∈ Γ n’appartenant pas à Ce .
Soit Cg le plus long chemin formé par la répétition des fi dans l’ordre et contenant
(0, 0). Le graphe G s’écrit alors comme l’union disjointe des Cg . Le graphe G est
connexe donc il existe g 6= g 0 et une arête a entre xg ∈ Cg et xg0 ∈ Cg0 . Le graphe G
étant sommet-transitif, il existe une numérotation des Cg telle que Ci et Ci+1 soient
reliés par une arête a pour tout i. Les cycles Ci ayant tous les mêmes arêtes, pour
tout sommet xi ∈ Ci , il existe une arête a de xi à xi+1 . D’après le lemme 7.3, le
graphe G est donc hamiltonien.
34
8
Coloration
Sabi wa ku no hiro 3 . (Matsuo Basho).
8.1
Généralités
Soit G = (X, E) un graphe. Un stable est un sous-ensemble S ⊂ X tel que le sousgraphe induit par S soit isolé. Une clique est un sous-ensemble S ⊂ X tel que le
sous-graphe induit par S soit complet. Le graphe G admet un stable et une clique.
Un stable de G est une clique de Ḡ et réciproquement. On appelle stabilité et on
note α(G) le cardinal du plus grand stable de G et on appelle nombre de clique et
on note ω(G) le cardinal de la plus grande clique de G.
Une coloration de G en k couleurs est une partition de X en k sous-ensembles
k
S
X = Xi telle que chaque Xi soit un stable. Un graphe est dit k-coloriable s’il existe
i=1
une coloration de G en k couleurs. Le graphe G est |G|-coloriable. Le nombre de coloration χ(G) de G est le plus petit entier k tel que G soit k-coloriable. Les graphes
1-coloriables sont les graphe isolés ; les graphes 2-coloriables sont les graphes bipartis. La propriété d’être k-coloriable est connexe-ascendante et fortement connexedescendante ; elle est donc vraie pour G si et seulement si elle est vraie pour toutes
les composantes connexes de G, si bien que l’on peut se ramener au cas des graphes
connexes lorsque l’on étudie les problèmes de coloration.
Proposition 8.1. Soit G un graphe de cardinal n. Alors :
ω(G) ≤ χ(G) ≤ max{δH |H ⊂ G} + 1 ≤ ∆G + 1
Démonstration. La première et la dernière inégalités résultent directement de la définition. Pour démontrer la deuxième, on considère une coloration de G construite
de la manière suivante. On choisit vn ∈ X parmi les sommets de degré minimal. Si
vi , · · · , vn sont supposés choisis, on prend vi−1 parmi les sommets de degré minimal
de G − {vi , · · · , vn }. Pour 1 ≤ i ≤ n, on assigne ensuite vi à la première classe Cs ne
contenant aucun des voisins de vi dans le sous-graphe Hi de G induit par {v1 , · · · , vi }.
Cette procédure requiert au maximum δHi + 1 couleurs à chaque étape.
On remarque que ces inégalités sont les meilleurs possibles, puisqu’elles deviennent
des égalités lorsque G est un cycle impair ou un graphe complet. Inversement, les
graphes de Mycielski montrent que l’on peut rendre arbitrairement grand la différence
entre ω(G) et χ(G). La preuve du théorème suivant est admise (et il ne sera pas utilisé
dans le cours).
Théorème 9 (Brooks 1941). Soit G un graphe qui n’est ni complet ni un cycle
impair. Alors χ(G) ≤ ∆G .
Une coloration de E en k couleurs est une partition de E en k sous-ensembles
k
S
E = Ei telle que si e ∈ Ei , alors e n’est incidente à aucune arête de Ei . Un graphe
i=1
3
Les poèmes sont colorés par le passage du temps
35
est dit k-arête-coloriable s’il existe une coloration de E en k couleurs. Le graphe
|G| est |E|-coloriable. Le nombre d’arête-coloration χ0 (G) est le plus petit entier k
tel que G soit k-arête-coloriable. Alternativement, il s’agit de χ(L(G)). Le nombre
d’arête-coloration de G est plus grand que ∆G .
Proposition 8.2. Soit G un graphe biparti. Alors χ0 (G) = ∆(G).
Démonstration. On raisonne par récurrence sur |E|. Le résultat est vrai si |E| = 0.
Supposons maintenant |E| = m > 0 et que la proposition soit vraie pour les graphes
bipartis ayant moins d’arêtes. Soit ∆ le degré maximal de G. Soit e = (x, y) une
arête. Considérons une ∆-coloration de G − e. Dans G − e, les sommets x et y sont
de degré au plus ∆ − 1 donc il existe deux couleurs α et β telles qu’aucune arête
incidente à x ne soit dans Cα et aucune arête incidente à y ne soit dans Cβ . Si on
peut choisir α = β, on peut assigner e à Cα et χ0 (G) ≤ ∆(G). Sinon, il existe une
arête e1 incidente à x de couleur β et une arête incidente à y de couleur α. Soit P
le plus long circuit de G contenant e1 et tel que les arêtes de P sont dans Cα ∪ Cβ .
Dans le sous-graphe induit par les sommets de P , les sommets sont de degré 2 au
plus et x est de degré 1 donc P est un chemin. Le graphe G ne contient pas de cycle
impair donc tout chemin de x à y est de longueur impaire. Donc P ne passe par y.
Soit z le dernier sommet de P . Par maximalité, il existe γ ∈ {α, β} tel qu’aucune
arête incidente à z soit de couleur γ. Recolorions G en échangeant α et β sur toutes
les arêtes de P . Ceci produit bien un coloration de G. Maintenant, on peut choisir
α = β et donc χ0 (G) ≤ ∆G .
Proposition 8.3. Le graphe de Petersen vérifie χ0 (P ) = 4.
Démonstration. Il est aisé de colorer les arêtes de P en 4 couleurs. Nous montrons
donc que χ0 (P ) > 3. Soit une coloration des arêtes de P en 3 couleurs C1 , C2 , C3 .
Le C5 externe de P est un cycle impair donc n’est pas 2-coloriable donc les trois
couleurs Ci sont présentes. Soit (x, y) une arête colorée de Ci . Les arêtes (x, x0 ) et
(y, y 0 ) vers le C5 interne ne sont alors pas dans Ci . Donc le C5 interne contient une
arête incidente à x0 de Ci . Cette arête n’est pas (x0 , y 0 ) car x0 y 0 donc il existe
une autre arête du C5 interne incidente à y 0 de Ci . Donc C5 a au moins 6 arêtes.
Contradiction.
Corollaire 8.4. Le graphe de Petersen n’est pas hamiltonien.
Démonstration. Soit C un cycle couvrant de P . C’est un cycle pair donc ses arêtes
sont 2-coloriables. De chaque sommet de P part une unique troisième arête. Colorions là en une troisième couleur. Ceci produit une 3-coloration des arêtes de P , en
contradiction avec la proposition précédente.
8.2
Perfection
Nous avons vu que pour tout graphe G, le nombre de coloration χ(G) est supérieur au
nombre de clique ω(G). Un graphe G est dit parfait si et seulement si χ(G) = ω(G)
et si χ(H) = ω(H) pour tout sous-graphe induit de G.
36
Lemme 8.5. La propriété d’être parfait est connexe-ascendante et fortement connexedescendante. Les graphes 2-coloriables sont parfaits.
Démonstration. Supposons toutes les composantes connexes de G parfaites. Soit H
un sous-graphe induit de G. Le graphe H est une union disjointe de sous-graphes
induits Hi des composantes connexes de G. Pour chacun de ces sous-graphes χ(Hi ) =
ω(Hi ) donc χ(H) = max χ(Hi ) = max ω(Hi ) = ω(H). Donc G est parfait. Si G est
parfait et si C est une composante connexe de G, alors tout sous-graphe induit de C
est un sous-graphe induit de G donc C est parfait.
Les graphes de nombre chromatique 1 sont les graphes isolés. Ils sont effectivement
parfaits. Les graphes de nombre chromatique 2 sont les graphes bipartis qui ne sont
pas isolés. Un sous-graphe induit d’un graphe biparti est biparti donc isolé ou de
nombre chromatique 2. Dans les deux cas, c’est bien le cardinal de la plus grande
clique.
En vertu de la première assertion du lemme précédent, on peut se ramener au cas
des graphes connexes pour étudier la perfection.
Proposition 8.6. Soit G un graphe. Tout sous-graphe induit H de G contient un
stable A tel que ω(H − A) < ω(H) si et seulement si G est parfait.
Démonstration. Supposons G parfait et soit H un sous-graphe induit de G. Soit
A = C1 . Alors ω(H − A) = χ(H − A) = χ(H) − 1 < χ(H) = ω(H). Réciproquement,
supposons que tout sous-graphe induit H de G contient un stable A tel que ω(H −
A) < ω(H) et raisonnons par récurrence sur |H|. Si |H| = 1, alors ω(H) = χ(H).
Supposons que χ(H) = ω(H) pour tout sous-graphe induit de cardinal inférieur
à n > 0. Soit H un sous-graphe induit de cardinal n + 1. Posons C1 = A. Alors
ω(H − A) = χ(H − A) < ω(H). Donc χ(H − A) + 1 ≤ ω(H) et donc χ(H) = ω(H).
Donc G est parfait.
Corollaire 8.7. Soit G un graphe tel que α(H) soit égal au nombre de cliques maximales de H pour tout sous-graphe induit H. Alors G est parfait.
Démonstration. Sans perte de généralité, on peut supposer G connexe. Soit u un
sommet de degré maximal et soit v un voisin de u. Soit w un voisin de v et x un
voisin de u. Soit H le sous-graphe induit par uvwx. Alors α(H) < 3 donc H contient
au plus 2 cliques maximales donc ses cliques maximales ne sont pas des K2 . Il y a
donc un K3 dans H. Si u G w, alors v ∼G x donc dG (v) > dG (u), ce qui est contraire
à notre hypothèse. Donc u ∼G w. Donc u est voisin de tous les sommets de G. Donc
u appartient à toutes les cliques maximales de G. Donc ω(G − {u}) < ω(G). Donc
G est parfait.
Les graphes vérifiant les hypothèses de la proposition précédente sont appelés les
graphes trivialement parfaits.
Un graphe G est dit triangulé si et seulement si K3 est le seul cycle induit possible
de G.
37
Lemme 8.8 (Induction structurelle sur les graphes triangulés). La classe des graphes
triangulés est définie par induction structurelle de la manière suivante. Objets initiaux : les graphes complets. Opérations : Soit G1 et G2 triangulés. Alors G = G1 ∪G2
et G1 ∩ G2 est vide ou un graphe complet.
Démonstration. Appelons pour cette preuve les graphes complets ou bien s’écrivant
G = G1 ∪ G2 avec G1 et G2 triangulés d’induction et avec G1 ∩ G2 vide ou un graphe
complet les graphes triangulés d’induction.
Les graphes complets sont triangulés. Soit G s’écrivant G = G1 ∪ G2 avec G1 et
G2 triangulés et avec G1 ∩ G2 un graphe complet. Soit C un cycle induit de G. Alors
C est contenu dans G1 ou G2 . Donc C est un K3 . Donc G est triangulé. Donc les
graphes triangulés d’induction sont triangulés.
Réciproquement, supposons que tous les graphes triangulés de cardinal n soient
triangulés d’induction et soit G un graphe triangulé avec |G| = n + 1. Si G est nonconnexe, c’est une union disjointe de graphes triangulés d’induction, donc de graphes
triangulés. Donc il est triangulé. Si G est complet, il est triangulés d’induction. Sinon,
soit u et v deux sommets non-adjacents et soit S un ensemble minimal séparant u
de v. Soit C la composante connexe de u. Soit G1 le sous-graphe de G induit par
les sommets de C et par les sommets de S. Soit G2 le sous-graphe de G induit par
les sommets qui ne sont pas dans C. Les graphes G1 et G2 sont des sous-graphes
induits de G donc sont triangulés. Ce sont des sous-graphes stricts donc ils sont
triangulés d’induction. De plus, G1 ∪ G2 est égal à G et G1 ∩ G2 = S. Soit x et y
deux éléments de S. Il existe un cycle contenant u, v, x, y donc un cycle de longueur
minimale contenant des sommets de G1 , des sommets de G2 ainsi que x, y. Ce cycle
est induit, donc il s’agit d’un K3 . Donc il existe une arête entre x et y. Donc S est
complet. Donc G est triangulé d’induction.
Théorème 10. Les graphes triangulés sont parfaits.
Démonstration. Soit G un graphe triangulé. Sans perte de généralité, on peut le
supposer connexe. Si G est complet, il est parfait. Sinon, il s’écrit G1 ∪ G2 avec G1 et
G2 triangulés et S = G1 ∩ G2 complet. Sans perte de généralité, on peut supposer G1
et G2 parfaits. Soit H un sous-graphe induit de G et soit H1 et H2 les sous-graphes
de G1 et G2 induits par les sommets de H. Les graphes Hi sont coloriables avec
ω(Hi ) couleurs. Si H1 ∩ H2 est vide, alors H est coloriable avec max ω(Hi ) couleurs
donc χ(H) ≤ ω(H). Sinon H1 ∪ H2 est un sous-graphe induit de S donc est complet.
Quitte à permuter les classes de couleur si nécessaire, une coloration des Hi s’étend
à une coloration de H. Donc χ(G) ≤ ω(H). Donc G est parfait.
Théorème 11. Soit G un graphe. Le graphe G est parfait si et seulement si pour
tout sous-graphe induit H de G, l’inégalité
|H| ≤ α(H)ω(H)
(1)
est vérifiée.
Démonstration. Si G est parfait et si H est un sous-graphe induit, on peut le colorer
en ω(H) couleurs. Chacune classe de couleur est un stable de H donc a moins de
α(H) sommets. Donc |H| est plus petit que α(H)ω(H).
38
Supposons réciproquement que G ne soit pas parfait. Sans perte de généralité,
on peut supposer que tout sous-graphe induit strict de G est parfait. Soit S un
stable non-vide de G. Le graphe G − S est parfait donc χ(G − S) = ω(G − S). Si
χ(G − S) < ω(G), alors une coloration minimale de G − S s’étend en une coloration
de G en χ(G − S) + 1 ≤ ω(G) couleurs donc G est parfait. Nous savons donc que
χ(G − S) = ω(G − S) = ω(G) pour tout stable de G. Soit en particulier C0 =
{s1 , · · · , sα } un stable de taille α(G). Pour 1 ≤ i ≤ ω(G) et 1 ≤ j ≤ α, soit Ci,j la
classe de la couleur i dans une coloration minimale fixée de G − {sj }. Les sommets
d’un Ci,j forment donc un stable. Les Ci,j et C0 forment donc α(G)ω(G) + 1 stables.
Soit K une clique maximale fixée de G. Si K ∩ C0 est vide, alors, pour tout
1 ≤ j ≤ α, K est une clique de G − {sj } donc est colorée par toutes les couleurs
de notre coloration fixée de G − {sj }. Donc K ∩ Ci,j 6= ∅. Si K ∩ C0 6= ∅, alors
K ∩ C0 = {s` }. Donc K est une clique de G − {si } pour j 6= ` donc K ∩ Ci,j 6= ∅ pour
tout i et tout j 6= `. Si j = `, la clique K − {s` } est colorée par toutes les couleurs de
la coloration fixée de G − {s` } sauf exactement une donc il existe exactement un i
tel que K ∩ Ci,` = ∅. Finalement, il existe un unique ensemble C parmi les éléments
C0 , C1,1 , · · · , Cω(G),α(G) tel que K ∩ C = ∅ et lorsque K ∩ C 6= ∅, alors K ∩ C est de
cardinal 1.
Si C = C0 ou C = Ci,j , alors ω(C) = ω(G). Choisissons une numérotation des
sommets de G et une numérotation des α(G)ω(G)+1 stables C0 , C1,1 , · · · , Cω(G),α(G) .
Soit Ki ⊂ G − Ci une clique maximale fixée. Soit A = (aij ) la matrice de taille
(α(G)ω(G) + 1) × |G| dont les coefficients sont nuls sauf si le sommet j appartient
à Ci auquel cas aij = 1. Soit B = (bij ) la matrice de taille |G| × (α(G)ω(G) + 1)
dont les coefficients sont nuls sauf si le sommet i appartient à Kj auquel cas bij = 1.
Calculons AB. L’entrée ij de AB compte le nombre de sommets k qui appartiennent
à la fois au stable Ci et à la clique Kj . Il n’y en a pas par définition de Kj si i = j.
Sinon, Kj ∩ Ci 6= ∅ et est de cardinal 1. Donc AB est la matrice J − Id donc est de
rang n. Donc A et B sont de rang au moins n donc α(G)ω(G) + 1 ≤ n. Donc G ne
vérifie pas l’hypothèse (1).
Corollaire 8.9. Un graphe G est parfait si et seulement si Ḡ est parfait.
Démonstration. Il suffit de montrer que si G est parfait, alors Ḡ est parfait. Supposons donc G parfait. Soit H un sous-graphe induit de Ḡ. Alors H̄ est un sous-graphe
induit de G donc |H| = |H̄| ≤ α(H̄)ω(H̄) = ω(H)α(H). Donc Ḡ est parfait d’après
le théorème.
39
9
Morphismes
I hear it in the deep heart’s core. (William Yeats).
9.1
Définitions
Un morphisme de graphes f de G1 = (X1 , E1 ) dans G2 = (X2 , E2 ) est une application de X1 dans X2 qui envoie un élément de E1 sur un élément de E2 . De manière
équivalente : x ∼G1 y implique f (x) ∼G2 y. Ceci implique en particulier que deux
sommets adjacents de G1 sont envoyés sur deux sommets distincts de G2 . Un morphisme n’est ni nécessairement injectif, ni nécessairement surjectif. L’ensemble des
x ∈ X(G1 ) tel que f (x) = y ∈ X(G2 ) est appelé la fibre de f au-dessus y. Une fibre
est un stable.
L’ensemble des morphismes de G1 dans G2 est noté Mor(G1 , G2 ). Il contient
Hom(G1 , G2 ). Si f ∈ Mor(G1 , G2 ) et g ∈ Mor(G2 , G3 ), alors g ◦ f ∈ Mor(G1 , G3 ).
On note End(G) l’ensemble Mor(G, G). C’est un monoïde pour la composition.
Lemme 9.1. L’image d’un graphe connexe est connexe.
Démonstration. Cela résulte du fait que f préserve l’adjacence.
Lorsque Mor(G1 , G2 ) est non-vide, on écrit G1 −→ G2 . Lorsque G1 −→ G2 et
G2 −→ G1 , on écrit G ≡ G2 .
Proposition 9.2. La relation ≡ est une relation d’équivalence.
Démonstration. L’identité est un élément de Mor(G, G) donc G ≡ G. Si G ≡ H,
alors G −→ H et H −→ G donc H ≡ G. Si G ≡ H et H ≡ U , alors G −→ H et
H −→ U . En composant deux morphismes de Mor(G, H) et Mor(H, U ), on obtient
un morphisme de G vers U . Donc G −→ U . La même démonstration en échangeant
G et U montre que U −→ G. Donc G ≡ U .
Si G ≡ H, il existe f ∈ Mor(G, H) et g ∈ Mor(H, G). Donc g ◦ f ∈ End(G).
Lorsque de plus il existe de tels f et g vérifiant g ◦ f = Id, on dit que G est une
rétraction de H et on note G ,→ H. La relation ,→, être une rétraction, est réflexive
et transitive mais n’est pas symétrique. Si G est une rétraction de H et si f et g
sont comme dans la définition d’une rétraction, alors f (G) est un sous-graphe de H
isomorphe à G par g. C’est donc un sous-graphe induit. Si l’on identifie G et f (G),
la restriction de g à G devient l’identité. Un élément de la classe d’équivalence de G
ayant un nombre minimum de sommets est appelé un coeur4 de G.
Proposition 9.3. Les coeurs de G sont tous isomorphes. Le graphe C est un coeur
si et seulement si End(C) = Aut(C). Un coeur de G est une rétraction de G.
Démonstration. Soit C1 et C2 deux coeurs de G. Alors C1 ≡ C2 donc il existe f ∈
Mor(C1 , C2 ) et g ∈ Mor(C2 , C1 ). La composée g ◦f est un endomorphisme de C1 ; soit
C son image. C’est un sous-graphe induit de C1 . De plus g◦f appartient à Mor(C1 , C),
4
En Anglais, core.
40
donc C1 −→ C, et l’inclusion appartient à Mor(C, C1 ), donc C −→ C1 . Donc C ≡ C1
donc |C| = |C1 | et g ◦ f est une bijection. Donc f est une injection et g est une
bijection de f (C1 ) sur C1 . L’arête (x, y) ∈ E(C1 ) est transformée par f en une arête
(f (x), f (y)) ∈ E(C1 ) et (u, v) 6= (x, y) est transformée en (f (u), f (v)) 6= (f (x), f (y)).
Donc le sous-graphe C3 induit dans C2 par les sommets de f (C1 ) a plus d’arêtes que
C1 . Donc g(C3 ) = C a plus d’arêtes que C1 ; étant par ailleurs un sous-graphe de C1 ,
il lui est égal. Donc C = C1 et g ◦ f est un automorphisme de C1 . Les applications f
et g sont alors également des bijections. Si f (x) ∼C2 f (y), alors g ◦ f (x) ∼C1 g ◦ f (y)
donc x ∼C1 y. Donc f est un isomorphisme de C1 vers C2 .
Si f appartient à End(C), alors f (C) est un sous-graphe de C donc est dans la
classe d’équivalence de C. D’après la première assertion, f est donc un automorphisme. Réciproquement, si G ≡ H, alors G −→ H −→ G est un endomorphisme
de G. Si tous les endomorphismes de G sont des automorphismes, appliquer cette
propriété au coeur de G montre que G est un coeur.
D’après l’assertion précédente, il existe f ∈ Mor(C, G) et g ∈ Mor(G, C) tels que
g ◦ f ∈ End(C) = Aut(C). Composer avec g avec l’inverse de g ◦ f produit les deux
morphismes de la définition d’une rétraction.
Corollaire 9.4. Le coeur d’un graphe connexe est connexe. Le coeur d’un graphe
sommet-transitif est un graphe connexe.
Démonstration. Soit x et y deux sommets du coeur d’un graphe connexe G. Dans
G, il existe un chemin de x à y. L’image de ce chemin par la rétraction de G à C est
un chemin de x à y.
Soit G un graphe sommet-transitif et C sa composante connexe de cardinal maximal. Soit Ci une composante connexe de G et x un sommet de Ci . Il existe σi ∈
Aut(G) tel que σi (x) appartienne à C. Alors σi (Ci ) ⊂ C. L’application qui envoie x
sur σi (x) est un morphisme de G vers C. Donc G ≡ C. Il n’y a donc pas de perte de
généralité à supposer que G est connexe. Son coeur est alors un graphe connexe.
Exemples : Les graphes complets sont des coeurs. Le coeur du cycle pair C2n est
l’arête isolée K2 . Soit G le graphe formé par l’union disjointe de M (M (K2 )) et de K3
(voir la sous-section 11.6 pour la notation M (·)). Alors G est un coeur non-connexe.
Proposition 9.5. Le coeur C d’un graphe G sommet-transitif est sommet-transitif.
Le cardinal de la fibre d’un morphisme f de G vers C au-dessus de x ∈ X(C) ne
dépend pas de x. De plus, |C|||G|.
Démonstration. Soit G un graphe sommet-transitif et C son coeur. C’est une rétraction donc il existe un morphisme f de C vers G et un morphisme g de G vers C dont
la composée est l’identité. Nous identifions C avec le sous-graphe induit f (C), ce qui
identifie g avec l’identité. Soit x et y deux sommets de C. Il existe un automorphisme
σ de G tel que σ(x) = y. La composée de σ et de g est un endomorphisme, donc un
automorphisme, de C qui envoie x sur y.
Soit x ∈ X(G) et y = τ (x) un autre sommet de G. S’il existe un σ ∈ Aut(G) tel que
x ∈ σ(C), alors y ∈ τ σ(C). Le cardinal N 6= 0 de l’ensemble des σ tel que x ∈ σ(C)
ne dépend donc pas de x. Considérons maintenant la fibre F (z) d’un morphisme
41
f ∈ Mor(G, C) au-dessus de z ∈ X(C). Le morphisme f induit un isomorphisme de
σ(C) vers C pour tout σ ∈ Aut(G). Donc l’intersection F (z) ∩ σ(C) est un singleton
pour tout σ. Si l’on énumère les F (z) ∩ σ(C) pour tout σ ∈ Aut(G), on compte N
fois chaque sommet de F (z). Le cardinal de F (z) est donc | Aut(G)|/N . Il est donc
indépendant de z. Le graphe G est l’union des fibres au-dessus des sommets de C
donc |C|||G|.
Corollaire 9.6. Un graphe sommet-transitif ayant un nombre premier de sommets
et au moins une arête est son propre coeur.
Démonstration. En effet, le sommet isolé n’est pas le coeur d’un graphe ayant au
moins une arête.
9.2
Lien avec la coloration
Soit G un graphe k-coloriable. Une coloration de G induit alors un morphisme de
G vers Kk envoyant x ∈ Ci sur le sommet i ∈ Kk . Réciproquement, un morphisme
de G vers Kn induit, en prenant les fibres, une coloration de G en n couleurs. En
particulier, si G −→ H, alors χ(G) ≤ χ(H) et le nombre chromatique est constant
dans la classe d’équivalence d’un graphe. Les graphes complets étant des coeurs, un
graphe G vérifie Kn −→ G si et seulement si G contient une clique de taille n. Donc,
si G −→ H, alors ω(G) ≤ ω(H) et le nombre de clique est constant dans une classe
d’équivalence. Un graphe vérifie χ(G) = ω(G) si et seulement si son coeur est Kχ(G) .
Un graphe est donc parfait si et seulement si le coeur de tout sous-graphe induit est
un Kn .
Proposition 9.7.
est K2 .
1. Le coeur d’un graphe G biparti ayant au moins une arête
2. Les cycles impairs sont des coeurs.
3. Le graphe de Petersen est un coeur.
4. M (M (K2 )) est un coeur.
5. L’union disjointe de M (M (K2 )) et de K3 est un coeur non-connexe.
1. En effet, G −→ K2 et K2 −→ G.
2. Soit C un cycle impair. Alors χ(C) = 3 et tout sous-graphe induit strict de C
vérifie χ(C) ≤ 2. Donc C est un coeur.
3. Soit P le graphe de Petersen et C son coeur. Le graphe P est sommet-transitif
donc C est un graphe connexe sommet-transitif, donc régulier, et |C||10. Le
graphe P contient une arête donc |C| 6= 1. Il n’est pas biparti donc C 6= K2
donc |C| =
6 2. Supposons |C| = 5. Alors C est régulier d’ordre k > 0 pair. Il
n’y a pas de 5-cliques dans P donc C 6= K5 donc k 6= 4. Donc k = 2 donc
C est le cycle C5 et la fibre au-dessus de z ∈ C5 de f : P −→ C est de
cardinal 2, disons {x, y}. Les sommets x et y de P sont sur un même 5-cycle Γ.
La restriction de f à Γ est un isomorphisme donc f (x) 6= f (y). Contradiction.
Donc |C| = 10 et P = C.
42
4. Soit H un sous-graphe induit de M (M (K2 )). Alors χ(H) ≤ 3. Donc il n’exsite
pas de morphismes de M (M (K2 )) vers H.
5. Soit G l’union disjointe de M (M (K2 )) et de K3 . Soit f ∈ End(G). Il n’y a
pas de morphisme de K3 vers M (M (K2 )) car χ(K3 ) < χ(M (M (K2 ))) ni de
M (M (K2 )) vers K3 car ω(M (M (K2 ))) < ω(K3 ). Donc f envoie M (M (K2 ))
et K3 sur eux-mêmes. Comme ces deux graphes sont des coeurs, f induit un
automorphisme de chacun d’entre eux, et donc un automorphisme de G. Donc
G est un coeur.
43
10
Planarité
Education doesn’t change life much. It just lifts trouble to a higher plane of regard.
(Robert Frost).
10.1
Dessins, multigraphes, planarités
Un dessin (X, C) de R2 est la donnée d’un ensemble X fini de points distincts de
R2 et d’un ensemble fini C ⊂ {fi (x, y, ·)|i ∈ N, (x, y) ∈ X 2 } de fonctions de [0, 1]
dans R2 telles que fi (x, y, ·) soit continue, linéaire par morceaux avec fi (x, y, 0) = x
et fi (x, y, 1) = y ou bien fi (x, y, 0) = y et fi (x, y, 1) = x. Un dessin est dit plan si et
seulement si les seuls points de R2 dans l’image à la fois de fi (x, y, ·) et fj (x0 , y 0 , ·) sont
les points de X. On appelle l’image d’une fonction de C une ligne brisée. Lorsqu’il
existe fi (x, y, ·) ∈ C avec i > 0, on dit que (X, C) a une ligne brisée multiple (entre
x et y). Lorsqu’il existe fi (x, x, ·) ∈ C, on dit que (X, C) a une boucle.
Un multigraphe (X, C) est la donnée d’un ensemble fini X et d’un sous-ensemble
fini E ⊂ {(x, y)i |i ∈ N, (x, y) ∈ X 2 }. A la différence d’un graphe, on permet donc
dans un multigraphe les arêtes multiples ainsi que le fait qu’un sommet soit joint à
lui-même.
A un dessin D = (X, C) sans ligne brisée multiple et sans boucle est associé un
graphe G = (X, E) donné par e ∈ X o X si et seulement si f0 (x, y, ·) appartient à
C. Plus généralement, à un dessin D est associé un multigraphe G = (X, E) avec
(x, y)i ∈ E si et seulement fi (x, y, ·) ∈ C. Un multigraphe G, et donc en particulier
un graphe, est dit plan si et seulement s’il existe un dessin plan D tel que G soit
associé à D par la procédure ci-dessus.
10.2
Pré-requis de topologie de R2
Deux points x et y de R2 appartiennent à la même composante connexe par lignes
brisées de P ⊂ R2 si et seulement si x = y ou s’il existe un dessin D dont les
lignes sont dans P avec x et y sur une ligne de D. La propriété d’appartenir à la
même composante connexe par lignes brisées est une relation d’équivalence. Une
partie P ⊂ R2 est dite connexe par lignes si et seulement si elle n’a qu’une seule
composante connexe par lignes brisées. Le plan est connexe par lignes. Si D est un
dessin tel que R2 privé des lignes de D n’est pas connexe par lignes, on dit que D
sépare R. Un cycle de R2 , c’est-à-dire un ensemble homéomorphe à S 1 , sépare R2
en deux régions ayant le cycle comme frontière. Réciproquement, si un dessin D ne
contient pas de sous-ensemble homéomorphe à S 1 , alors R2 − D est un ensemble
connexe par lignes.
10.3
Graphes planaires
Un multigraphe G = (X, E) est dit planaire si et seulement s’il existe un multigraphe
plan G0 = (X 0 , E 0 ) et une bijection φ de X dans X 0 telle que (x, y) ∈ E si et seulement
si (φ(x), φ(y)) ∈ E 0 . Soit G un multigraphe planaire et soit D un dessin plan qui lui
44
est associé. Une face de D est un ouvert maximal de R2 − D. Deux faces sont dites
adjacentes si l’intersection de leurs adhérences est non-vide.
Lemme 10.1. Les chemins, les cycles et les forêts sont planaires. Le graphe K4 est
planaire. Les chemins et les forêts n’ont qu’une seule face. Les cycles ont deux faces.
Démonstration. Cela résulte de nos pré-requis de topologie.
Un dessin plan est dit maximal si D ∪ {e} n’est pas un dessin plan pour tout
e ∈ X o X − E.
Lemme 10.2. Soit D un dessin plan d’ordre au moins 3. Alors D est maximal si et
seulement la frontière de toutes faces F de D est un triangle.
Démonstration. Si la frontière de toutes faces F de D est un triangle, alors D est
maximal d’après nos pré-requis de topologie. Réciproquement, soit F une face de D
un dessin plan maximal. Soit x et y deux sommets de l’adhérence de F . Les sommets
x et y appartiennent à la même composante connexe par lignes de R2 − D ∪ {x, y}
donc sont reliés par une ligne de D par maximalité de D. Les sommets de l’adhérence
de F forment donc un graphe complet. Les lignes de la frontière de F séparent R2
donc contiennent un cycle. Supposons qu’ils contiennent un cycle de longueur 4. Ce
cycle a deux faces ; soit F1 celle qui contient F . Alors l’une des lignes x1 x3 ou x2 x4
est contenu dans F1 donc l’autre sépare F1 . Donc F ne contient pas tous les sommets
de C, ce qui est une contradiction. Donc ce cycle est de longueur 3.
Le dual plan G∗ d’un multigraphe planaire connexe G associé à un dessin plan D
de G est le multigraphe connexe construit par le procédé suivant. Soit D∗ un dessin
dont les sommets sont dans chacune des faces de D. Entre deux sommets de deux
faces adjacentes, il existe une unique ligne incidente à chacune des lignes de leurs
frontières communes. Soit G∗ le multigraphe associé à D∗ . Le dual plan G∗∗ de G∗
peut s’identifier à G.
Théorème 12. Soit G = (X, E) un multigraphe planaire connexe. Soit F l’ensemble
des faces d’un dessin plan D de G. Alors |X| − |E| + |F | = 2.
Démonstration. Soit G est acyclique. Alors G est un arbre donc |X| − |E| = 1 et D
a une seule face donc la formule est vraie.
Soit maintenant E 0 ⊂ E un ensemble d’arêtes et H = (X, E 0 ) le sous-graphe de G
ayant pour arête E 0 . A H est associé le sous-graphe G∗H de G∗ dont les arêtes sont
les arêtes correspondant aux lignes de D∗ qui ne sont pas incidentes à E 0 . Si E 0 = ∅,
le graphe G∗H est le graphe dual G∗ . Au contraire, si E 0 = E, le graphe G∗H est un
graphe isolé ayant autant de sommets que G a de faces.
Si E 0 contient un cycle C, alors l’ensemble des lignes de C sépare R2 en deux régions
dont une est bornée. Le sommet de G∗H correspondant à la face infinie de G n’est
donc pas dans la composante connexe des sommets correspondant aux faces incluses
dans la région intérieure de C. Le graphe G∗H est donc non-connexe. Réciproquement,
si G∗H est non-connexe, il existe une face qui n’est pas dans la composante connexe
de la face infinie, donc cette face est bornée par des ligness homéomorphes à S 1 donc
E 0 contient un cycle.
45
Soit T un arbre couvrant de G. D’après ce que nous avons vu plus haut, le graphe
est connexe. Si l’on ajoute une arête à T , donc si on supprime une arête à G∗T ,
on crée un cycle, donc on déconnecte G∗T . Donc G∗T est un arbre. Par construction,
c’est donc un arbre couvrant de G∗ . Alors :
G∗T
|X| − |E| + |F | = |X(T )| − |E(T )| − |E(G∗T )| + |X(G∗T )| = 1 + 1 = 2
Ce théorème montre que le nombre de faces d’un graphe planaire ne dépend pas
du choix du dessin D qui lui est associé.
Corollaire 10.3. Le nombre d’arête e d’un graphe planaire G ayant n sommets est
au plus 3n − 6. Plus généralement, si G est un graphe planaire dont les faces sont
toutes bornées par des cycles de longueur `, alors (` − 2)e ≤ (n − 2)`
Démonstration. Sans perte de généralité, on peut supposer que G est associé à un
dessin plan maximal. Alors chaque face de G a pour frontière une triangle donc
2e = 3|F |. De 3n − 3e + 3|F | = 6, on déduit que 3n − 6 = e. Si toutes les faces de G
sont bornées par un cycle de longueur au moins `, alors 2e ≥ `|F | donc `n−`e+`|F | =
2` ≤ `n − (` − 2)e donc (` − 2)e ≤ (n − 2)`.
Corollaire 10.4. Les graphes K5 , K3,3 et le graphe de Petersen ne sont pas planaires.
Le n-cube est planaire si et seulement si n ≤ 3.
Démonstration. Le graphe K5 a 10 arêtes ce qui est plus que les 9 permises par la
formule d’Euler. Le graphe K3,3 a 9 arêtes, ce qui est plus que les 8 permises par la
formule d’Euler pour les graphes sans triangles. Le graphe de Petersen a 15 arêtes,
ce qui est plus que les 13 permises par la formule d’Euler pour les graphes sans
triangles ni carrés. Le n-cube a n2n−1 arêtes et est planaire seulement s’il en a moins
que 4(2n−1 −1), donc seulement si n ≤ 3. Le n-cube pour n ≤ 3 admet bien un dessin
plan.
46
11
11.1
Exercices
Notions élémentaires
Exercice 1 :
1. Quel est le cardinal de E(Kn ) ?
2. Combien y a-t-il de graphes dont l’ensemble des sommets est {1, · · · , n} ?
3. Y a-t-il plus de graphes connexes ou de graphes non connexes de cardinal n ?
4. Montrer que si G est k-régulier, alors L(G) est k 0 -régulier. Que vaut k 0 ?
5. Déterminer L(Pn ) et L(Cn ). Trouver deux graphes connexes distincts G et H
tel que L(G) = L(H).
Exercice 2 :
1. Que vaut la somme des degrés des sommets d’un graphe ? En déduire que le
nombre de sommets de degré impair d’un graphe est pair.
2. Soit G un graphe tel que |NG (u) ∩ NG (v)| soit impair pour tout (u, v) ∈ X o X.
Montrer que le degré de tout sommet de G est pair.
Exercice 3 :
1. Montrer qu’un graphe de degré δG contient un chemin de longueur δG et un
cycle de longueur au moins δG + 1 si δG ≥ 2.
2. Montrer qu’un graphe de cardinal n et tel que δG ≥ n/2 est connexe.
3. Soit G un graphe connexe et H un sous-graphe strict de G. Montrer qu’il existe
un sommet x de G a distance 1 de H.
4. Soit P = {x1 , · · · , xk } un chemin de longueur maximale d’un graphe G connexe.
Montrer qu’un voisin de x1 est successeur d’un voisin de xk seulement si
P = X(G). En déduire qu’un graphe connexe contient un chemin de longueur
min{2δG , |G| − 1}.
Exercice 4 :
1. Montrer qu’un arbre T contient au moins ∆T feuilles.
2. Un arbre binaire de racine x est un arbre ayant un unique sommet x de degré 0
ou 2 et dont les sommets intérieurs distincts de x sont de degré 3. Montrer que
les arbres binaires sont caractérisés par la propriété d’induction structurelle
suivante : un graphe est un arbre binaire si et seulement si c’est un sommet
isolé x ou bien deux arbres binaires de racines y et z reliées à un sommet x.
47
3. Montrer que tout graphe connexe G contient un arbre couvrant. Soit T (G) le
graphe tel que X(T (G)) soit l’ensemble des arbres couvrants de G et (x, y) ∈
E(T (G)) si et seulement si la différence symétrique de E(x) et E(y) est de
cardinal 2. Montrer que T (G) est connexe.
Exercice 5 :
1. Montrer qu’un sous-graphe d’un graphe biparti est biparti.
2. Montrer qu’un graphe est biparti si et seulement s’il ne contient pas de cycle
impair.
3. Montrer qu’un graphe est biparti si et seulement s’il ne contient pas de cycle
impair induit.
Exercice 6 : Donner un exemple de graphe circulant connexe qui ne soit ni un
cycle, ni complet. Donner un exemple de graphe de Cayley connexe qui ne soit pas
un graphe circulant.
Exercice 7 : Le n-cube C n est le graphe de Cayley ((Z/2Z)n , {x|∃! i, xi = 1}).
Que valent X(C n ) et E(C n ) ? Montrer que le n-cube est connexe et biparti.
Exercice 8 :
1. Une griffe est un arbre à quatre sommets et trois feuilles. Montrer que le graphe
des arêtes L(G) d’un graphe G ne contient pas de griffe induite.
2. Montrer que si deux arbres T et U ont même graphe des arêtes ; alors T est
isomorphe à U .
Exercice 9 :
1. Soit H ⊂ G un sous-graphe. Montrer que L(H) ⊂ L(G).
2. Déterminer tous les graphes G tels que L(G) = G.
11.2
Automorphismes
Exercice 1 : Énumérer les graphes de Cayley connexes de cardinal 4 et 7 nonisomorphes. Montrer qu’à isomorphisme près, il n’existe que deux graphes circulants
connexes, de cardinal 10 et 3-réguliers.
48
Exercice 2 :
1. Montrer que le groupe des automorphismes d’un arbre binaire a pour cardinal
une puissance de 2.
2. Soit T un arbre non-asymétrique et x un sommet fixé par Aut(T ). On appelle
sous-arbre de u ∈ X(T ) le sous-graphe induit par l’ensemble des sommets z
de T tels que le chemin de x à z passe par u. Montrer que T admet deux
sous-arbres isomorphes.
3. En déduire que si Aut(T ) ne contient pas d’élément d’ordre 2, alors Aut(T ) est
trivial.
Exercice 3 : Soit S un sous-ensemble des transpositions de Sn . Le graphe G(S) =
(X, E) est défini par X = {1, · · · , n} et E = {(i, j) ∈ S}.
1. Montrer que G(S) est connexe si et seulement si S engendre Sn .
2. Montrer que S est un ensemble générateur minimal de Sn (c’est-à-dire que
S engendre Sn mais un sous-ensembe strict de S n’engendre pas Sn ) si et
seulement si G(S) est un arbre.
3. Montre que le graphe de Cayley (Sn , S) est biparti.
Exercice 4 : Montrer que le groupe D2n des automorphismes du cycle Cn est le
groupe engendré par σ : x 7→ x + 1 et τ : x 7→ −x. Montrer que c’est exactement
le groupe {< σ, τ >|σ n = 1, τ 2 = 1, τ στ = σ −1 } et donc qu’il est de cardinal 2n.
Exercice 5 : Montrer qu’il n’existe pas de graphe connexe non-trivial de cardinal
4 au plus qui soit asymétrique. Exhiber un graphe connexe asymétrique de cardinal
6. Exhiber un arbre asymétrique. Existe-t-il des arbres binaires non-triviaux asymétriques ?
Exercice 6 : Déterminer le groupe des automorphismes du graphe complet biparti
Km,n .
Exercice 7 : Soit G = (X, E) un graphe de cardinal n et Γ un sous-groupe de
Aut(X) vérifiant les propriétés suivantes : pour tout x ∈ X et σ ∈ Γ, σ(x) = x
seulement si σ = Id ; pour tout (x, y) ∈ X o X, il existe σ ∈ Γ tel que σ(x) = y.
Montrer que G est un graphe de Cayley pour le graphe Γ.
Exercice 8 : Montrer que le graphe de Petersen n’est pas un graphe circulant.
49
Exercice 9 (difficile) :
1. Soit G un graphe et soit Ci ses composantes connexes. Déterminer Aut(G) en
fonction des Aut(Ci ) (on prendra garde à ce que deux composantes connexes
distinctes peuvent être isomorphes).
2. Montrer que si un groupe G est le groupe des automorphismes d’un arbre T ,
c’est aussi le groupe des automorphismes d’un arbre T 0 qui n’est pas isomorphe
à T.
3. Soit Γ la classe des groupes définie inductivement de la manière suivante. Le
groupe restreint à l’identité appartient à Γ ; si (G, H) ∈ Γ2 , alors G × H ∈ Γ ;
si G ∈ Γ et n ≥ 2, alors G o Sn ∈ Γ. Montrer que Γ est la classe des groupes
G tels qu’il existe un arbre T tel que Aut(T ) = G.
11.3
Connectivité
Exercice 1 : (Induction structurelle sur les graphes 2-connexes) On se propose de
montrer que la classe des graphes 2-connexes est la classe des graphes obtenus par
induction structurelle de la façon suivante : un graphe G est 2-connexe si et seulement
si c’est un cycle ou bien s’il existe un graphe 2-connexe H et Pn un chemin H −H tels
que G = H ∪Pn . On appelle les graphes construits par ce procédé graphes 2-connexes
d’induction.
1. Montrer qu’un graphe 2-connexe d’induction est 2-connexe.
2. Soit G un graphe 2-connexe. Montrer que G admet un sous-graphe maximal H
qui est 2-connexe d’induction.
3. Montrer que H est un sous-graphe induit.
4. Montrer que la propriété d’appartenir à H est expansive et conclure.
5. Montrer, sans utiliser le théorème de Menger, que deux sommets d’un graphe
2-connexe sont sur un même cycle.
Exercice 2 :
1. Montrer que pour tout entier n, il existe un graphe connexe G et un sommet
x tel que G − x ait au moins n composantes connexes.
2. Soit G 2-connexe avec G 6= K3 . Soit e ∈ E(G). Montrer que G − e ou G/e est
2-connexe.
Exercice 3 : Soit G un graphe k-connexe.
1. Montrer que k sommets quelconques appartiennent à un même cycle.
2. Montrer que si G est de cardinal supérieur à 2k, alors G contient un cycle de
longueur au moins 2k.
50
Exercice 4 : Quelle est la connectivité du graphe de Petersen ? Quelle est la connectivité du graphe circulant (7, {1, 3, 4, 6}) ? Quelle est la connectivité du n-cube ?
Exercice 5 : Un bloc est un sous-graphe maximal pour la propriété de ne pas avoir
de séparateur de cardinal 1. Soit G un graphe.
1. Montrer qu’un bloc est un sommet isolé, ou bien une arête, ou bien un sousgraphe 2-connexe maximal.
2. Montrer qu’un cycle est contenu dans un unique bloc.
3. Montrer que l’intersection de deux blocs est vide ou bien est un unique sommet
qui sépare G.
4. Soit ∼ la relation sur E(G) définie par e ∼ e0 si et seulement si e et e0 appartiennent à un même cycle de G. Montrer que ∼ est une relation d’équivalence
dont les classes d’équivalence sont les arêtes des blocs.
5. Supposons G connexe. Soit X1 l’ensemble de ses blocs et X2 l’ensemble des
intersections entre blocs. Soit T (G) = (X1 ∪ X2 , E) avec e = (x, y) ∈ E si et
seulement si x ∈ X1 , y ∈ X2 et y ∈ x. Montrer que T (G) est un arbre.
Exercice 6 : Soit G un graphe 3-connexe non biparti. Montrer qu’il contient au
moins 4 cycles impairs.
11.4
Algèbre linéaire
Exercice 1 : Soit A un anneau commutatif (non-nul). Les fonctions symétriques
élémentaires à n éléments sont les polynômes symétriques :
k
Y
Xji ∈ A[X1 , · · · , Xn ]
X
Sk =
1≤j1 <···<jk ≤n i=1
Dans cet exercice, on pourra utiliser les identités polynomiales suivantes :
P =
n
X
i=1
Xi = S1 , Q =
n
X
Xi2
=
S12
n
X
− 2S2 , R =
Xi3 = S13 − 3S1 S2 + 3S3
i=1
1. Soit G un graphe et χ(G) =
i=1
n
P
ai X i son polynôme caractéristique. Montrer
i=0
que |G| = n, que |E(G)| = −an−2 , que an−3 est égal à −2 fois le nombre de
triangles de G.
2. Calculer les quatre coefficients de degré les plus élevés du polynôme caractéristique d’un arbre.
3. Les polynômes suivants sont-ils polynômes caractéristiques d’un graphe ?
X 5 − X 4 + X 3 − X 2 + X − 1, X 5 + 6X 3 − 4X 2 + 5X + 4, X 5 − 5X 3 + 2X
51
Exercice 2 :
1. Déterminer le spectre de C10 , de P5 .
2. Déterminer le spectre du graphe circulant (Z/6Z, {0, ±3}). Déterminer le spectre
du graphe G = (X(G), E(G)) avec X(G) = Z/6Z et E(G) = {(i, i + 1)|i ∈
Z/6Z} ∪ {(0, 3), (1, 5), (2, 4)}.
3. Déterminer deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes d’un
graphe de Cayley pour le groupe Sn , pour le groupe (Z/2Z)n , pour le groupe
GL2 (Z/pZ).
Exercice 3 :
1. Soit G un graphe et φ(G) l’endomorphisme de CX associé. Soit E un sousespace vectoriel non-trivial de CX stable par φ(G). Montrer que E contient un
vecteur propre de φ(G).
2. Un graphe biparti est dit semi-régulier si et seulement si le nombre de voisins
d’un sommet ne dépend que de la classe de bipartition du sommet. Soit G un
graphe semi-régulier. Montrer que l’ensemble des vecteurs de CX constants sur
chacune des classes de bipartition est un sous-espace vectoriel stable par φ(G).
Quelle est sa dimension ?
3. En déduire deux vecteurs propres d’un graphe G biparti semi-régulier.
√
√
4. Montrer que le spectre de Km,n est {0(m+n−2) , mn, − mn}
Exercice 4 : Soit G un graphe et soit Aut(G) son groupe des automorphismes. Il
existe un morphisme ρ de groupes injectif de Aut(G) dans End(K X ) donné par la
formule :
∀ x ∈ X, ρ(σ)(v)(x) = v(σ −1 (x))
1. Pourquoi la formule n’est-elle pas ρ(σ)(v)(x) = v(σ(x)) ? En calculant ρ(σ)(vx )(x)
pour tout x ∈ X, montrer que ρ est effectivement injectif.
2. Soit v un vecteur propre de G pour la valeur propre λ. Montrer que ρ(σ)(v)
est un vecteur propre pour la valeur propre λ.
3. Supposons que toutes les valeurs propres de G soient de multiplicité 1. En
utilisant les deux premières questions, montrer que Aut(G) est un groupe commutatif.
Exercice 5 : L’objectif de cet exercice est de démontrer qu’il n’existe pas de partitions de K10 en 3 copies arêtes disjointes du graphe de Petersen, c’est-à-dire qu’il
n’existe pas de partition de E(K10 ) en E1 , E2 , E3 telle que ({1, · · · , 10}, Ei ) soit isomorphe au graphe de Petersen P pour i ∈ {1, 2, 3}.
52
1. Montrer que l’on peut trouver deux copies arêtes disjointes du graphe de Petersen dans K10 .
2. Soit P1 et P2 deux sous-graphes de K10 isomorphes au graphe de Petersen
et arêtes disjoints. Soit P3 = K10 − (P1 ∪ P2 ). Soit A, B et C les matrices
d’adjacence de P1 , P2 et P3 .
a) Montrer que P3 est 3-régulier et en déduire sa plus grande valeur propre.
b) Soit V1 (resp. V2 ) l’espace vectoriel engendré par les vecteurs propres de
A (resp. de B) de valeur propre 1. Montrer que V1 ∩ V2 6= {0} (on pourra
montrer que Vi est inclus dans l’orthogonal d’un espace de dimension 1).
c) Soit v 6= 0 un vecteur de V1 ∩ V2 . Montrer que Cv = −3v. Conclure.
d) Soit S1 et S2 deux sous-ensembles disjoints à cinq éléments de K10 . Si Pi
est le graphe de Petersen égal à C5 sur Si et à C̄5 sur S3−i , montrer que
P3 est isomorphe au graphe circulant (Z/10Z, {3, 5, −3}).
11.5
Graphes hamiltoniens
Exercice 1 : Soit G un graphe. On dit que G est dur si pour tout ensemble
S ⊂ X(G) de cardinal k, le graphe G − S a au plus k − 1 composantes connexes.
Montrer qu’un graphe hamiltonien est dur. En déduire une construction d’un graphe
2-connexe non hamiltonien, d’un graphe 3-connexe non hamiltonien. Montrer que
pour tout κ ∈ N, il existe des graphes κ-connexe qui ne sont pas hamiltoniens.
Donner un exemple d’un graphe dur qui ne soit pas hamiltonien.
Exercice 2 : Montrer, par exemple par récurrence, que le n-cube est hamiltonien
lorsque n ≥ 2.
Exercice 3 : Soit G = (Γ, S) un graphe de Cayley connexe de cardinal strictement
supérieur à 2 avec Γ commutatif. L’objectif de cet exercice est de montrer que G est
hamiltonien. Si G = (Γ, S) s’écrit (Γ1 × Γ2 , S), on note G/Γi le graphe de Cayley
(Γ3−i , S mod Γi − {0}).
1. Montrer qu’il n’y a pas de perte de généralité à supposer que S est un ensemble
générateur minimal.
2. Montrer que si Γ = Γ1 × Γ2 , alors G/Γi est connexe.
3. Soit Γ = Γ1 × Z/2Z. Montrer que si Γ1 = Z/2Z ou si G1 = G/(Z/2Z) est
hamiltonien, alors G est hamiltonien.
4. Montrer que G est hamiltonien lorsque Γ = Z/pα Z avec p un nombre premier
impair ou α > 1.
5. Montrer que si un graphe G contient comme sous-graphe l’union disjointe de
deux cycles reliés en deux paires de sommets voisins, alors G est hamiltonien.
53
6. Montrer que si G = (Z/pα Z × Γ2 , S) avec p premier impair ou α > 1, alors G
est hamiltonien.
7. Conclure.
11.6
Coloration
Exercice 1 : Soit G un graphe avec m = |E|. Montrer que :
r
1
1
χ(G) ≤ + 2m +
2
4
Exercice 2 : En utilisant la propriété d’entrelacement forte, montrer qu’un graphe
G a au moins α(G) valeurs propres positives ou nulles.
Exercice 3 : Soit k un entier et G = (X = {x1 , · · · , xn }, E) un graphe connexe
ayant au moins une arête avec ω(G) = ω et χ(G) = k. Soit M (G) = (X 0 , E 0 ) le
graphe tel que :
X 0 = {x1 , · · · , xn } ∪ {y1 , · · · , yn } ∪ {z}
E 0 = E ∪ {(yi , z)|∀ i ∈ {1, · · · , n}} ∪ {(xi , yj )|∀ (xi , xj ) ∈ E}
On note X1 , X2 et X3 les sous-ensembles de X 0 égaux respectivement à {x1 , · · · , xn },
{y1 , · · · , yn } et {z}.
0
1. Soit K ω une clique maximale de M (G). En séparant les cas selon que les
0
sommets de K ω sont dans X1 , X2 ou X3 , montrer que ω 0 ≤ ω.
2. Supposons que M (G) soit k-coloriable et choisissons un tel coloriage. Montrer
qu’il existe k sommets de G notés {xi1 , · · · , xik } tels que xij est colorié par la
couleur j et tel que xij a des voisins de toutes les couleurs k 6= i.
3. En déduire que le sommet yij est de la couleur j puis une contradiction.
4. Construire M (K2 ) puis M (M (K2 )). Expliquer comment construire un graphe
G ne contenant pas de triangle et de nombre chromatique supérieur à 100.
5. Montrer que si G est tel que χ(H) < χ(G) pour tout sous-graphe induit strict
H, alors il en est de même pour M (G).
Exercice 4 : Soit G = (X, E) un graphe de nombre chromatique χ(G) = k.
Supposons qu’il existe un coloriage C 0 = C10 ∪ C20 ∪ · · · ∪ Cn0 tel que |Ci0 | ≥ 2 pour
tout i. L’objectif de cet exercice est de démontrer qu’il existe un tel coloriage avec
n = k. Soit C = C1 ∪ · · · ∪ Ck un k-coloriage de G avec C1 = {v1 }.
1. Minorer le cardinal de X en fonction de n. En déduire qu’il existe une classe
Ci de cardinal strictement supérieur à 2.
54
2. Montrer que, quitte à renuméroter les Ci , il existe u2 ∈ C2 de la même couleur
que v1 dans C 0 .
3. Montrer que |C2 | ≥ 2. Si |C2 | > 2, construire un k-coloriage de G avec |C1 | ≥ 2
en changeant la couleur de u2 .
4. Si C2 = {u2 , v2 }, montrer que v1 et v2 ne sont pas de la même couleur dans C 0 .
5. En déduire qu’il existe C3 de cardinal supérieur à 2 et u3 ∈ C3 de la même
couleur que v2 dans C 0 . Conclure si |C3 | > 2. Que peut-on faire si C3 = {u3 , v3 } ?
6. Montrer en utilisant la question (1) que le processus esquissé termine. Conclure.
Exercice 5 :
1. Un graphe G = (X, E) est dit de comparaison si et seulement s’il existe un
ordre partiel ≤ sur X tel que (xy) ∈ E si et seulement si x ≤ y. Montrer que
les graphes de comparaison sont parfaits.
2. Un graphe G = (X, E) est dit d’intervalles si et seulement si X est une réunion
d’intervalles de R et (IJ) ∈ E si et seulement si I ∩ J 6= ∅. Montrer que les
graphes d’intervalles sont triangulés, donc parfaits. Montrer que le complémentaire d’un graphe d’intervalle est parfait.
Exercice 6 : Soit G = (X, E) un graphe et x ∈ X(G). L’expansion de G par
rapport à x est le graphe G0 = (X 0 , E 0 ) avec X 0 = X ∪ {x0 } et E 0 = E ∪ {(x,0 y)|∀ y ∈
NG (x)∪{x}}. L’objectif de cet exercice est de démontrer que l’expansion par rapport
à x d’un graphe parfait est un graphe parfait. On raisonne par récurrence sur le
cardinal du graphe parfait G.
1. Formuler précisément la proposition que l’on souhaite démontrer de récurrence
et traiter le cas n = 1. Soit maintenant G un graphe parfait de cardinal n et
G0 son expansion par rapport à x.
2. Montrer qu’il suffit de démontrer que χ(G0 ) ≤ ω(G0 ) pour conclure.
3. Montrer que si ω(G0 ) = ω(G) + 1, alors G0 est parfait. En déduire que l’on peut
supposer que ω(G0 ) = ω(G).
4. Supposons que ω(G0 ) = ω(G) et fixons un coloriage de G utilisant ω(G) couleurs. Montrer que x n’appartient à aucune clique maximale de G mais que
chaque clique maximale contient un élément de la couleur de x.
5. En déduire que le sous-graphe induit H obtenu à partir de G en supprimant
tous les sommets de la même couleur que x sauf x vérifie χ(H) ≤ ω(G) − 1.
6. Montrer que l’on peut étendre le ω(G) − 1-coloriage de H en un ω(G)-coloriage
de G0 et conclure.
55
12
Annexes
12.1
Annexe I : Algèbre
Proposition 12.1 (Théorème de Cauchy). Si un nombre premier p divise l’ordre
d’un groupe fini G, alors G contient q ≡ −1 mod p éléments d’ordre p.
Démonstration. Soit Γ = (X, E) le graphe défini de la manière suivante :
)
(
p
Y
X = x = (x1 , · · · , xp ) ∈ Gp | xi = e , E = {(x, y) ∈ X o X|xi = yi±1 }
i=1
Alors |X| = |G|p−1 et dG (x) = 0 ou 2. Donc une composante connexe de G est un
cycle ou un sommet isolé. Les cycles sont de cardinal p et p||X| donc p divise le
nombre de sommets isolés. Un sommet est isolé dans Γ si et seulement si xi = xj
pour tout i, j donc si et seulement si x1 est d’ordre divisant p. Le seul élément d’ordre
1 est l’identité. donc il existe q ≡ −1 mod p éléments d’ordre p.
Corollaire 12.2. A isomorphisme près, les deux groupes d’ordre 10 sont Z/10Z et
D10 .
Démonstration. Soit G d’ordre 10. Si G est cyclique, il est isomorphe à Z/10Z.
Sinon, il admet d’après le théorème de Cauchy un élément d’ordre 2 et exactement
4 éléments d’ordre 5. Soit σ un tel élément ; les autres sont alors σ 2 , σ 3 , σ 4 . Donc τ σ
n’est ni d’ordre 5, ni d’ordre 1, donc d’ordre 2. Donc G est le groupe diédral.
Lemme 12.3. Soit Γ un groupe commutatif fini et (xi )1≤i≤n une famille génératrice
de G. Soit (λi )1≤i≤n des entiers premiers entre eux dans leur ensemble. Alors la
n
P
famille ( λi xi ) peut être prolongé en une famille génératrice de G de cardinal n.
i=1
Démonstration. Soit (λi )1≤i≤n des entiers premiers entre eux dans leur ensemble.
Quitte à remplacer xi par −xi , on peut supposer que les λi sont tous positifs. Le
n
P
lemme est vrai si S = λi = 1. Sinon, (zi ) = (x1 , x1 + x2 , x3 , · · · , xn ) engendre G
i=1
n
P
et (µi ) = (|λ1 − λ2 |, λ2 , · · · , λ2 ) est tel que
famille (
n
P
µi zi ) = (
i=1
n
P
µi ≤ S. On peut donc supposer que la
i=1
λi xi ) se prolonge en une famille génératrice de G. Le lemme
i=1
est donc démontré.
Théorème 13 (Théorème de structure des groupes finis commutatifs). Un groupe
G commutatif fini est un produit de groupes cycliques.
Démonstration. Si G est engendré par un unique élément, alors il est cyclique et le
théorème est vrai pour G. Supposons le théorème vraie pour tout groupe commutatif
fini engendré par au plus n éléments. Soit G un groupe commutatif fini engendré
par n + 1 éléments (xi ). Quitte à changer d’ensemble générateur et re-numéroter,
nous pouvons supposer que x1 est d’ordre minimal parmi les générateurs. Le groupe
56
< x1 > × < x2 , · · · , xn > se surjecte sur G. Soit x = (λ1 x1 ,
n+1
P
λi ) un élément du
i=2
noyau. Supposons λ1 6= 0 et soit alors d le plus grand diviseur commun aux λi .
Soit µi = λi /d. Les µi sont premiers entre eux . D’après le lemme 12.3, la famille
n+1
P
(y =
µi xi ) se prolonge en une famille génératrice de g. Or dy = 0 et d|λ1 donc
i=1
d est strictement inférieur à l’ordre de x1 . C’est une contradiction. Donc λ1 = 0.
Donc < x1 > × < x2 , · · · , xn > est isomorphe à G, qui est donc un produit de groupes
cycliques.
Corollaire 12.4. Un groupe commutatif fini G d’ordre n admet n morphismes distincts de G vers C× . Vu comme élément de Cn , ces morphismes sont orthogonaux
pour le produit scalaire hermitien usuel de Cn .
Démonstration. Supposons que G s’écrive G1 ×G2 et soit χi un morphisme de groupes
de Gi vers C× . Alors
χ1 × χ2 :
G = G1 × G2 −→ C×
(g1 , g2 )
7−→ χ1 (g1 )χ2 (g2 )
est un morphisme de groupes de G vers C× . De plus, si χ = χ1 × χ2 et ψ = ψ1 × ψ2
sont égaux, le calcul de l’image de (g, e2 ) et (e1 , g) par l’un et l’autre montre que
χ1 = ψ1 et χ2 = ψ2 . Pour montrer la première assertion, il suffit donc en vertu
du théorème 13 de la démontrer pour le groupe cyclique Z/pα Z avec p un nombre
premier. Soit alors ζ une racine primitive pα -ième de l’unité. Les pα morphismes de
groupes χi définis par χi (1) = ζ i pour 0 ≤ i ≤ pα − 1 conviennent alors.
Soit χ et ψ deux des n caractères construits par le procédé ci-dessus et h un élément
de G.
X
X
χ̄(g)ψ(g) =
χ̄(gh)ψ(gh)
g∈G
g∈G
= χ̄(h)ψ(h)
X
χ̄(g)ψ(g)
g∈G
¯
Donc (1 − χ(h))(χ|ψ)
= 0. Ceci implique que (χ|ψ) = 0 ou bien que χ = ψ.
12.2
Annexe II : Propriétés connexe-descendantes et connexeascendantes
Soit P une propriété relative à un graphe. La propriété P est dite connexe-ascendante
si P est vraie pour G si P est vraie pour toutes les composantes connexes de G. Les
propriétés suivantes sont connexe-ascendante :
1. Être de degré minimal ou maximal d.
2. Être acyclique.
3. Être biparti.
57
4. Plus généralement, ne pas contenir un sous-graphe H connexe spécifique.
5. Être k-coloriable.
6. Avoir un spectre semi-simple.
7. Être parfait.
La propriété P est dite connexe-descendante si P est vraie pour G seulement si P
est vraie pour une composante connexe de G. Les propriétés suivantes sont connexedescendantes :
1. Être de degré minimal ou maximal d.
2. Contenir un cycle.
3. Contenir une clique de taille n.
4. Plus généralement, contenir un sous-graphe H connexe spécifique.
5. Plus généralement, la négation d’une propriété connexe-ascendante.
La propriété P est dite fortement connexe-ascendante si P est vraie pour G si P est
vraie pour une composante connexe de G. Les propriétés suivantes sont fortement
connexe-ascendantes :
1. Contenir un cycle.
2. Contenir une clique de taille n.
3. Plus généralement, contenir un sous-graphe H connexe spécifique.
4. Admettre λ ∈ K comme valeur propre.
La propriété P est dite fortement connexe-descendante si P est vraie pour G seulement si P est vraie pour toutes les composantes connexes de G. Les propriétés suivantes sont fortement connexe-descendantes :
1. Être de degré minimal d.
2. Être biparti.
3. Être k-coloriable.
4. Avoir un spectre semi-simple.
5. Être parfait.
Si P est fortement connexe-ascendante et connexe-descendante, alors P est vraie pour
G si et seulement si P est vraie pour une composante connexe. Si P est connexeascendante et fortement connexe-descendante, alors P est vraie pour toutes les composantes connexes si et seulement si P est vraie pour G.
58
Annexe III : Classe d’isomorphisme
Proposition 12.5. Les propriétés suivantes sont indépendantes de la classe d’isomorphisme.
1. |G| = n, |E| = n, δG = n, ∆G = n.
2. Aut(G) = Γ.
3. χ(G) = P ∈ K[X].
4. Être k-coloriable.
5. Être hamiltonien.
6. Contenir un sous-graphe isomorphe à un graphe H.
Les propriétés suivantes ne sont pas indépendantes de la classe d’isomorphisme.
1. Être un sous-graphe d’un graphe H.
2. Être un graphe circulant, en particulier être un graphe de Cayley.
3. L’ensemble X étant fixé, être un graphe de Cayley.
4. Être un graphe de Cayley étant fixé, être un graphe de Cayley pour un certain
groupe Γ.
5. Être isomorphe en tant que graphe de Cayley à un graphe de Cayley fixé.
Démonstration.
1. Un isomorphisme est une bijection de l’ensemble des sommets
donc préserve le cardinal. Il préserve l’incidence donc préserve le cardinal de E
ainsi que l’ensemble des degrés.
2. L’application qui envoie τ ∈ Aut(G) sur στ σ −1 pour σ ∈ Hom(G, H) est un
isomorphisme de Aut(G) sur Aut(H).
3. L’isomorphisme σ induit un isomorphisme de K X(G) sur K X(H) .
4. L’isomorphisme σ induit un isomorphisme d’un stable de G sur un stable de
H.
5. L’isomorphisme σ envoie un cycle de G sur un cycle de H.
6. L’isomorphisme σ envoie L ⊂ G sur σ(L) ⊂ H.
1. Le sommet isolé est isomorphe au sous-graphe induit par un sommet dans K2 .
2. Le graphe (Z/6Z, {(0, 2), (0, 4), (1, 3), (1, 4), (2, 5), (3, 5)}) n’est pas un graphe
circulant, mais il est isomorphe à un cycle.
3. Le même contre-exemple que plus haut convient.
59
4. Le 4-cycle est un graphe de Cayley pour Z/4Z et pour Z/2Z × Z/2Z.
5. Soit Γ le sous-groupe de S8 engendré par l’ensemble S à trois éléments (a, b, c) 7→
(b, c, a), (a, b, c) 7→ (c, a, b) et (a, b, c) 7→ (a + 1, b, c), où l’on identifie S8
avec l’ensemble des bijections de (Z/2Z)3 . Le graphe (Γ, S) est isomorphe à
(S4 , {(12), (1342), (1423)}) mais ne lui est pas isomorphe en tant que graphes
de Cayley.
60
Table des matières
1 Généralités
1.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Chemins, connexité, cycles, arbres . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3
2 Méthodes
2.1 Maximalité, minimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Récurrence sur le cardinal de G . . . . . . . . .
2.1.2 Récurrence sur le cardinal de E . . . . . . . . .
2.1.3 Maximalité par rapport à une caractérisation du
2.2 Induction structurelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Bestiaire
3.1 Graphes élémentaires . . . . . . . .
3.1.1 Graphes complets, isolés . .
3.1.2 Chemins élémentaires, cycles
3.2 Graphes moins élémentaires . . . .
3.2.1 Graphes circulants . . . . .
3.2.2 Graphes de Cayley . . . . .
3.2.3 Graphes de Mycielski . . . .
3.3 Bêtes curieuses et remarquables . .
3.3.1 Graphes bipartis . . . . . .
3.3.2 Graphe des arêtes . . . . . .
3.3.3 Graphe de Petersen . . . . .
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élémentaires
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4 Isomorphismes
4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Groupes des automorphismes d’un graphe G
4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Graphes complets, isolés . . . . . . . . . . .
4.2.2 Chemins élémentaires, cycles élémentaires .
4.2.3 Arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Graphes circulants . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Graphes de Cayley . . . . . . . . . . . . . .
4.2.6 Graphe de Petersen . . . . . . . . . . . . . .
4.2.7 Graphe asymétrique . . . . . . . . . . . . .
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5 Connectivité
21
5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Théorème de Menger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6 Algèbre linéaire
6.1 Endomorphisme associé à un
6.1.1 Généralités . . . . .
6.1.2 Théorème de Sachs .
6.2 Spectre . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Généralités . . . . .
6.2.2 Entrelacement . . . .
6.2.3 Bipartition . . . . . .
graphe
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25
25
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27
27
30
31
7 Graphes hamiltoniens
32
7.1 Cycles hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7.2 Deux classes de graphes hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8 Coloration
35
8.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.2 Perfection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9 Morphismes
40
9.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.2 Lien avec la coloration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
10 Planarité
44
10.1 Dessins, multigraphes, planarités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
10.2 Pré-requis de topologie de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
10.3 Graphes planaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
11 Exercices
11.1 Notions élémentaires
11.2 Automorphismes . .
11.3 Connectivité . . . . .
11.4 Algèbre linéaire . . .
11.5 Graphes hamiltoniens
11.6 Coloration . . . . . .
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47
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51
53
54
12 Annexes
56
12.1 Annexe I : Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
12.2 Annexe II : Propriétés connexe-descendantes et connexe-ascendantes . 57
62