Processus de Markov étiquetés et Systèmes Hybrides probabilistes

JOSEPH ASSOURAMOU
Processus de Markov étiquetés et Systèmes
Hybrides probabilistes
Mémoire présenté
à la Faculté des études supérieures et postdoctorales de l’Université Laval
dans le cadre du programme de maîtrise en informatique
pour l’obtention du grade de Maître ès sciences (M.Sc.)
FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE
UNIVERSITÉ LAVAL
QUÉBEC
2012
c
Joseph Assouramou, 2012

Résumé
Dans ce mémoire, nous comparons deux modèles de processus probabilistes évoluant
dans un environnement continu. Les processus de Markov étiquetés sont des systèmes de
transitions pour lesquels l’ensemble des états est non-dénombrable, mais qui évoluent de
manière discrète dans le temps. Les mesures de probabilité définies sur l’ensemble des
états peuvent avoir un support infini. Les processus hybrides sont une combinaison d’un
processus à espace d’états continu qui évolue de manière continue dans le temps et une
composante discrète qui intervient pour contrôler l’évolution. Les extensions probabi-
listes des processus hybrides présentes dans la littérature restreignent le comportement
probabiliste à la composante discrète. Nous utilisons deux exemples de systèmes, un
avion et un bateau, pour faire ressortir les divergences entre les deux modèles ainsi que
leurs limitations, et nous définissons une généralisation qui peut modéliser fidèlement
ces exemples. Nous avons également pu montrer, dans un article publié dans un atelier
international, comment utiliser, dans le contexte probabiliste, la «substitution d’horloge»
et l’«approximation par portrait» qui sont des techniques proposées par Henzinger
et al. pour les processus non probabilistes. Ces techniques permettent, sous certaines
conditions, de définir un processus probabiliste rectangulaire à partir d’un qui est non
rectangulaire, rendant ainsi possible la vérification formelle de toute classe de système
hybride probabiliste.

Abstract
We compare two models of processes involving uncountable space. Labelled Markov
processes are probabilistic transition systems that can have uncountably many states,
but still make discrete time steps. The probability measures on the state space may
have uncountable support and a tool has been developed for verification of such sys-
tems. Hybrid processes are a combination of a continuous space process that evolves
continuously with time and of a discrete component, such as a controller. Existing
extensions of Hybrid processes with probability restrict the probabilistic behavior to the
discrete component. We have also shown, in a paper, how to compute for probabilistic
hybrid systems, the clock approximation and linear phase-portrait approximation that
have been proposed for non probabilistic processes by Henzinger et al. The techniques
permit, under some conditions, to define a rectangular probabilistic process from a non
rectangular one, hence allowing the model-checking of any class of systems. To highlight
the differences between Labelled Markov processes and probabilistic hybrid systems, we
use two examples, the ones of a boat and an aircraft, and we define a generalization of
both that can model all the features of those examples.

Remerciements
Avant tout, je tiens à remercier ma directrice de recherche, Josée Desharnais, pour
son support exceptionnel durant le temps de ma maîtrise. Son enthousiasme pour ce
sujet et sa confiance en mes habiletés m’ont été très précieux. De plus, sa patience, son
écoute et ses nombreuses lectures et corrections de mes textes m’ont permis de beaucoup
apprendre et de développer le goût à la rédaction. Merci Josée.
Ensuite, je tiens à remercier Pierre Marchand et sa famille pour leur soutien et leur
grande attention.
Je voudrais également remercier mes amis et mes collègues qui m’ont aidé de
différentes façons, de par leur affection et leurs encouragements entre autres.
Enfin, j’aimerais remercier ma mère, ma soeur, mes frères, sans oublier ma conjointe
et mon fils pour leur support et leurs encouragements.

À Lui, qui a toujours veillé sur moi.
«Imagination is more important than
knowledge. For knowledge is limited to
all we now know and understand, while
imagination embraces the entire world,
and all there ever will be to know and
understand.»
Albert Einstein