Cours d`optique 1

Oraux : Ondes électromagnétiques.
Extraits de rapports de jury :
- L’écriture des équations de Maxwell pour des ondes harmoniques planes (pour remonter à la
structure des ondes étudiées) pose étrangement beaucoup de problèmes aux candidats. Les meilleurs
d’entre eux connaissent leur cours et savent « appliquer les recettes », mais les conventions de signes
utilisées dans les énoncés ne sont pas souvent respectées.
- Les candidats différencient avec peine les lois et relations générales de celles spécifiques aux ondes
planes. Ils exploitent donc ces dernières sans en percevoir le domaine de validité restreint. C’est le
cas pour la relation de structure, qui n’a évidemment par la généralité de l’équation de Maxwell
Faraday dont elle est issue.
- De même la notion de vecteur d’onde est rapidement extrapolée de telle sorte que le vecteur k = k1 +
k2 est le vecteur de l’onde plane résultant de la superposition des deux ondes de vecteurs k1 et k2…
- L’analyse sur les ondes est laborieuse que ce soit sur l’écriture d’une onde plane progressive dans une
direction quelconque que pour l’analyse de la relation de dispersion. Les notions de vitesse de groupe,
vitesse de phase, onde plane, …, ne sont pas claires.
- Il manque pour beaucoup la compréhension physique des phénomènes. Qu'est-ce qu'une onde
progressive ? Une onde stationnaire ? Une onde plane ? Comment déterminer l'énergie rayonnée ?
- la réflexion métallique d’une onde plane est souvent mal décrite.
- La relation de structure de l’onde est utilisée, même si les conditions d’application ne sont pas
respectées.
- Le lien entre le vecteur de Poynting et la puissance rayonnée est souvent inexact. De plus, beaucoup
de candidats font l’erreur d’utiliser les expressions complexes des champs électriques et magnétiques
dans l’expression :
Exercice 1 : Problème ouvert
On donne la conductivité de l’eau de mer γ = 5 S.m-1, et on a la permittivité ε=81. ε0.
Montrer qu’il est impossible de communiquer avec un sous-marin depuis la terre avec des ondes
radio.
Exercice 2 : Etude d’une OPPM
Une onde électromagnétique, de longueur d’onde λ = 6.10-7 m, se déplace dans le vide.
Le champ électrique associé a pour composantes : Ex =E0 exp(jφ), Ey, Ez =0. Avec φ = ωtk/3(2x+2y+z)
1.
2.
3.
4.
5.
Déterminer la fréquence de l’onde, à quel domaine appartient-elle ?
Donner l’équation du plan d’onde.
Exprimer Ey en fonction de Ex . Les deux composantes d’ondes sont-elles en phase ?
Exprimer le champ magnétique.
Exprimer la densité électromagnétique en fonction de φ ainsi que le vecteur de Poynting.
Exercice 3 : Réflexion sur un conducteur parfait
1
Oraux : Ondes électromagnétiques.
Exercice 4 : plasma
La ionosphère, couche ionisée de l’atmosphère est un bon exemple de plasma. On note n la nombre
d’électrons libres par unité de volume.
On considère une pseudo-onde plane progressive harmonique de pulsation ω dans ce milieu.
1) Etablir l’expression de la conductance complexe du plasma en fonction de n, e, m (masse
d’un électron) et ω.
2) Etablir la relation de dispersion et la mettre sous la forme : k2 = (ω2-ω02)/c2. Exprimer ω0 en
fonction des données et préciser sa signification. Application numérique pour n = 1012 m-3.
3) Discuter du type d’onde observable en fonction des valeurs de ω.
4) La couche ionosphérique est de h = 700 km d’épaisseur. Le un satellite envoie un signal à
une fréquence de 1,5 Ghz. Sachant que n peut varié de 1010 m-3 à 1012 m-3 durant la journée,
calculer l’écart de temps mis pour traverser la ionosphère.
Exercice 5 : cavité résonnante.
1.
Démontrer l’expression du champ électrique dans une cavité sans perte par la technique de
séparation de variable.
2. Proposer des dimensions acceptables pour créer une cavité pour deux ondes de fréquences
fA = 1 GHz et fB = 1,5 GHz simultanément.
Exercice 6 : puissance moyenne rayonnée.
Un dipôle élémentaire variable d p(t )  dp  t   uz , placé en O,
z
M
parallèle à Oz (Fig. 7), rayonne à grande distance un champ
électromagnétique dont la composante électrique est notée
r
q
dE(M , t) 
dp(t  r / c)
sin   u ,
4 oc
r
1
2
O
dp
j
y
x
Fig. 7 - Dipole rayonnant.
2
Oraux : Ondes électromagnétiques.
avec OM  r et u et u z vecteurs unitaires associés aux coordonnées  et z ; dp désigne la
dérivée seconde de dp par rapport au temps.
1.
Définir la zone de rayonnement et rappeler les hypothèses conduisant à l’expression cidessus du champ rayonné.
2. Quelle est la structure locale du champ électromagnétique ?
3. En déduire le vecteur de Poynting moyen ainsi que la puissance moyenne totale rayonnée.
Exercice 7 : propagation dans un coaxial
On considère un câble coaxial de rayons R1 et R2 dirigé selon Oz. Entre R1 et R2, les champs E et
B s'écrivent :
E =E(r)cos(ωt−kz)ur
B =B(r)cos(ωt−kz)uθ
1)Présenter le câble.
2) Caractériser l'onde.
3) Donner l'expression de E(r). En déduire celle de B(r).
4) Déterminer la puissance transporté par le câble.
3