Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles Points, segments et droites 1 b. Construis cette figure ci-dessous. Complète les phrases à l'aide de la figure. C B A d2 D E F d1 d3 4 d4 Théorème de Pappus d a. Les droites d1 et d2 se coupent en .................... . b. Le point d'intersection de d1 et d3 est …........... . c. C est le point d'intersection de ........ et ........ . d. Le point B est à l'intersection de ........ et ....... . e. D est ................................................................... ............................................................................... . d' 2 Complète la figure ou la consigne à l'aide des phrases ci-dessous. Place trois points distincts A, B et C sur la droite d alignés dans cet ordre, et trois points distincts A', B' et C' sur la droite d' alignés dans le même ordre. Construis les points d'intersection : d3 d2 d1 d4 • J de (AB') et (A'B) ; • K de (AC') et (A'C) ; • L de (BC') et (B'C). a. A est le point d'intersection de d2 et d4. Marque ces trois points en rouge. b. d1 et d3 se coupent en T. Que remarques-tu ? c. Le point d'intersection de d3 et d4 est H. ................................................................................. d. M est à l'intersection de d4 et de d1. e. Le seul point d'intersection qui n'est pas 5 Longueurs et milieux M A nommé est celui de ........ et ........ . 3 Complète le texte suivant avec les mots qui conviennent. B C F N O D a. Place trois …………….......… I, J et K non alignés. Trace le ……………....... [IJ], le …………….......… [KJ] E et la …………….....… (IK). Sur le ………….......… [IK], a. Mesure les segments ci-dessus. K L P place un ……………...... S. Trace la ……………............................................ [JS). AB = ....... cm ....... = ....... cm ....... = ....... cm CD = ....... cm ....... = ....... cm ....... = ....... cm Construis le milieu de chaque segment et code les longueurs égales. Copyleft – Édition 2013-15 CHAPITRE 9 : POINTS, SEGMENTS, DROITES, ANGLES 71 Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles Droites perpendiculaires et parallèles 8 En utilisant le quadrillage, complète le tableau et code la figure. 6 Parmi les quatre figures ci-dessous, deux paires de droites semblent perpendiculaires. Code-les en les nommant et en utilisant le symbole adéquat. a. D @options; trame(); aimante(); F A @figure; A = point( -3 , 3 ) { noir }; B = point( 3 , 2 ) { noir }; dAB = droite( A , B ) { noir }; C = point( 3 , -2 ) { noir }; D = point( -9 , 0 ) { noir }; dDC = droite( D , C ) { noir }; dBC = droite( B , C ) { noir }; E = point( -4 , -3 ) { noir }; dAE = droite( A , E ) { noir }; dAC = droite( A , C ) { noir }; F = point( 1 , 3 ) { noir }; dEF = droite( E , F ) { noir }; G = intersection( dDC , dAE ) { noir }; B c. H G C E b. Droites perpendiculaires d. 7 Parmi les quatre figures ci-dessous, deux paires de droites semblent parallèles. Code-les en les repassant de la même couleur. 9 Observe le codage du dessin puis complète par : parallèles a. Droites parallèles perpendiculaires sécantes et non perpendiculaires c. d1 b. d. d8 d2 d7 d6 d5 d4 d3 a. d1 et d6 sont …..................................................... b. d1 et d3 sont …..................................................... c. d1 et d2 sont …..................................................... d. d5 et d7 sont …..................................................... e. d6 et d7 sont …..................................................... f. d4 et d8 sont …...................................................... g. d3 et d6 sont …..................................................... 72 POINTS, SEGMENTS, DROITES, ANGLES – CHAPITRE 9 Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles 12 Dans chaque cas, trace, à main levée, la droite perpendiculaire à la droite d passant par le point A. A c. d a. d 10 Sur chaque dessin, trace en vert, la droite d1 perpendiculaire à la droite d passant par A et en rouge, la droite d2 parallèle à la droite d passant par B. A a. A d d' B b. A d. d d d' b. A B A d d' ' c. 13 Les élèves doivent tracer la droite perpendiculaire à la droite d passant par le point A. Entoure le nom des élèves qui ont placé correctement l'équerre. A B 11 Complète, puis écris deux en utilisant les mots « perpendiculaire ». Dans cette qui semblent perpendiculaires sont réellement. S D H Y c. A phrases similaires « parallèle » et figure, les droites ou parallèles le A d d Bastien Audrey b. d. G d A K L R a. d N d Cédric A Dominique P E F C a. La droite perpendiculaire à (HK) passant par H est la droite ......... . b. La droite perpendiculaire à (CE) passant par N est la droite ......... . c. La droite parallèle à (HP) passant par N est la droite ......... . d. La droite parallèle à (CF) passant par S est la droite ......... . CHAPITRE 9 : POINTS, SEGMENTS, DROITES, ANGLES 73 Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles 16 Dans chaque cas, construis, avec les instruments de géométrie, la droite d1 parallèle à la droite d passant par le point M et la droite d2 parallèle à la droite d passant par le point N. a. a. d 14 Dans chaque cas, construis, avec les instruments de géométrie, la droite d1 perpendiculaire à la droite d passant par le point M puis la droite d2 perpendiculaire à la droite d passant par le point N. N d N M M d b. b. M N M N d d' c. c. d' M d M N N 15 Dans chaque cas, trace, à main levée, la droite parallèle à la droite d passant par le point A. c. d A d' a. A d b. d. ' d' A d' A d 74 POINTS, SEGMENTS, DROITES, ANGLES d – CHAPITRE 9 d Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles 17 Hasard ? a. Sur la figure ci-dessous, trace la droite d1 parallèle à la droite d passant par A. b. Trace la droite d2 perpendiculaire à la droite d passant par A. c. Trace la droite d3 perpendiculaire à la droite d c. Trace la droite d3 perpendiculaire à (AC) passant par B. d. Comment semblent être les droites ….............................................................................. droites d1, d2 et ................................................................................. ................................................................................. Médiatrice d'un segment (≥ (≥**) d1 et d3 ......................................................................... les d3 ? .......................................................................... passant par B. d. Comment sont 19 Médiatrices ? d1 e. Comment semblent être les droites d2 et d2 d3 ? .......................................................................... ….............................................................................. A d d3 d4 a. Parmi ces droites, lesquelles semblent être les médiatrices des segments ? ................................... B 18 b. Pour celles qui ne le sont pas, explique pourquoi. A, B et C sont trois points non alignés. ................................................................................. ................................................................................. C ................................................................................. ................................................................................. B A a. Trace la droite d1 perpendiculaire à (AB) passant par C. b. Trace la droite d2 perpendiculaire à (BC) passant par A. CHAPITRE 9 : POINTS, SEGMENTS, DROITES, ANGLES 75 Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles 20 Trouver la médiatrice « à l'œil nu » d1 22 Construis la médiatrice de chaque segment en utilisant le quadrillage. d2 A d3 B C H d4 D F d5 G d8 E d9 23 Construis la médiatrice de chacun des trois côtés du triangle en utilisant ton compas. d6 d7 @options; @figure; A = point( 10.43 , -0.53 ) { i }; B = point( 2.43 , 3.8 ) { i }; C = point( 2.87 , -2.9 ) { i }; polyABC = polygone( A , B , C ); a. Sur la figure, quelle semble être la médiatrice du segment • [AB] ? .......... • [GH] ? ......... • [DE] ? .......... • [AH] ? ......... b. Sur la figure, quel semble être le segment dont la médiatrice est • d2 ? .......... • d4 ? ......... • d3 ? .......... • d8 ? ......... 21 Construis la médiatrice de chaque segment au compas. 24 Trace la médiatrice d1 du segment [HA] puis la médiatrice d2 du segment [HT]. Code la figure. A B E D C H C A F 76 POINTS, SEGMENTS, DROITES, ANGLES T – CHAPITRE 9 Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles 25 Cas du cerf-volant Nom Angle P Sommet Côtés ➍ ➎ ➏ O E 27 N Identifier B a. Justifie pourquoi le point O appartient à la médiatrice de [PN]. E ................................................................................. M ................................................................................. ................................................................................. I L P ................................................................................. Nomme les angles tracés b. Que peut-on dire du point E ? Justifie. a. de sommet E ; ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. b. dont un côté est [LE) ; ................................................................................. ................................................................................. c. Déduis-en que les droites (EO) et (PN) sont perpendiculaires. c. dont les côtés sont [IE) et [IP) ; ................................................................................. ................................................................................. d. qui ont un côté commun avec l'angle EML. ................................................................................. ................................................................................. ................................................................................. y Ou ; b. en bleu, l'angle Complète le tableau. J B ➎ ➊ A L C F ➋ G K ➌ H Angle ➊ ➋ ➌ Nom Sommet Côtés t O w d. en noir, l'angle x Ow. Reconnaître a. Sur cette figure marque ➍ y x zOx ; c. en rouge, l'angle 29 ➏ E D Sur cette figure marque xO y ; a. en vert, l'angle Nommer un angle 26 28 • ER x ; en vert, l'angle • yG x ; en bleu, l'angle • EF y ; en rouge, l'angle • t HK . en noir, l'angle z u y t x F H E K R z G b. Trouve toutes les autres façons de nommer • EF y et l'angle zR x l'angle ................................................................................. ................................................................................. CHAPITRE 9 : POINTS, SEGMENTS, DROITES, ANGLES 77 Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles 30 Pour chaque cas, donne la nature de l'angle (aigu, obtus, droit ou plat). a. 27° .................. b. 32° c. 12,3° .................. d. 179,9° .................. e. 90° .................. f. 80° .................. g. 1° .................. h. 180° .................. i. 154° .................. j. .................. Mesure d'un angle 33 Sans utiliser d'instrument de géométrie, associe chaque angle à sa mesure. N K A E D 93,90° .................. F 31 Pour chaque cas, indique la nature de l'angle grisé (aigu ou obtus). x B M A y ..................... s ..................... ..................... 32 En utilisant l'équerre, classe les angles dans le tableau ci-dessous. K E L C F t Y U D R 5° NDO 20° PEQ 30° t Gu 45° LBM 90° yC x 120° vFw 135° RHS 170° O 0 20 10 180 0 160 17 – CHAPITRE 9 ...................................... 50 SEGMENTS, DROITES, ANGLES 70 0 11 0 6 0 120 50 130 30 Plat ...................................... 90 1080 01 Obtus Q 100 11 0 120 70 80 130 60 0 5 14 POINTS, Droit ZAK 40 Aigu 78 s w Mesure 34 Mathilde a mal placé son rapporteur pour mesurer l'angle grisé. Pourquoi ? z P v S m h A x N G 180 170 1 60 0 10 2 150 0 3 0 140 40 B w R R B G H y Angle O Q u v t C t O C L x P Z ...................................... ...................................... Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles 35 À l'aide de ton rapporteur, mesure les angles f. suivants et écris tes réponses à l'intérieur des angles. a. g. b. 36 Construction À l'aide de ton rapporteur, construis, pour chaque x O y ait cas, une demi-droite [Oy) telle que l'angle la mesure indiquée. c. d. e. CHAPITRE 9 : POINTS, SEGMENTS, DROITES, ANGLES 79 Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles 37 Construction (bis) 39 À l'aide de ton rapporteur, construis, pour chaque x O y ait cas, une demi-droite [Oy) telle que l'angle la mesure indiquée. Étoile Chaque côté de l'étoile mesure 3,5 cm. Reproduis l'étoile ci-contre en respectant les données. 114° 42° 38 En utilisant tes instruments de géométrie, reproduis la ligne brisée ci-contre à partir du point A en respectant les indications données. 40 Sur une feuille blanche, construis la représentation de la constellation donnée par le croquis ci-dessous. Les noms sont ceux des étoiles qui la compose. 1, Eps 2 Constellation d'Aigle cm 16 3° Zet cm 74° 60° 111 ° @options; repereortho(313,263,30,1,1){ 0 , moyen , grisfonce , num1 ,i}; 163° A POINTS, SEGMENTS, DROITES, ANGLES – CHAPITRE 9 Eta 4,4 cm cm B 80 3,4 cm Del 8 4, The @figure; A = point( 1.4 , -1.1 ) { rond2 }; B = point( 3.93 , 3.73 ) { i }; dAB = droite( A , B ) { i }; cerayA1.85 = cerclerayon( A , 1.85 ) { i }; C = intersection( dAB , cerayA1.85 , 1 ) { rond1 }; d1 = droiteangle( C , dAB , 163 ) { i }; cerayC0.3 = cerclerayon( C , 0.3 ) { i }; D = intersection( d1 , cerayC0.3 , 2 ) { rond1 }; sAC = segment( A , C ); sCD = segment( C , D ); d2 = droiteangle( A , dAB , -115 ) { i }; cerayA1.2 = cerclerayon( A , 1.2 ) { i }; E = intersection( d2 , cerayA1.2 , 1 ) { rond1 }; sAE = segment( A , E ); d3 = droiteangle( A , d2 , -111 ) { i }; cerayA1.1 = cerclerayon( A , 1.1 ) { i }; F = intersection( d3 , cerayA1.1 , 1 ) { rond1 }; d4 = droiteangle( F , d3 , -17 ) { i }; cerayF0.85 = cerclerayon( F , 0.85 ) { i }; G = intersection( d4 , cerayF0.85 , 1 ) { rond1 }; d5 = droiteangle( A , d3 , -60 ) { i }; cerayA1.3 = cerclerayon( A , 1.3 ) { i }; H = intersection( d5 , cerayA1.3 , 1 ) { rond1 }; sAE1 = segment( A , E ); sAF = segment( A , F ); sFG = segment( F , G ); sAH = segment( A , H ); angleDCA = angle( D , C , A ); angleCAH = angle( C , A , H ); angleCAE = angle( C , A , E ); angleEAF = angle( E , A , F ); angleAFG = angle( A , F , G ); angleFAH = angle( F , A , H ); 115° 5, 2 7,4 cm Altaïr Lam Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles 43 À l'aide du rapporteur, construis bissectrice de chacun des angles suivants. Bissectrice d'un angle (≥ (≥**) 41 Pour chaque cas, repasse en couleur la demi-droite qui semble être, à vue d'œil, la xO y . bissectrice de l'angle O x x y O y y x x O O y 42 Observe la figure ci-dessous puis réponds aux questions suivantes. a i h 60° 30° 60° O 30° 30° 30° 30° g f e b 30° 60° c d a. Quelle est la bissectrice de l'angle b Oi ? ............. b. Quelle est la bissectrice de l'angle iOe ? ............. c. Quelle est la bissectrice de l'angle f Oc ? ............ d. Quelle est la bissectrice de l'angle a Og ? ............ e. Quelle est la bissectrice de l'angle g Ob ? ............ CHAPITRE 9 : POINTS, SEGMENTS, DROITES, ANGLES 81 la Chapitre 9 : Points, segments, droites, angles 44 ABC est un triangle. Construis la bissectrice de chacun de ses trois angles. 45 ABCDEF est un hexagone régulier inscrit dans un cercle. Construis le dodécagone (figure à 12 côtés) régulier AIBJCKDLEMFN inscrit dans ce même cercle. C A B A F B E C D 82 POINTS, SEGMENTS, DROITES, ANGLES – CHAPITRE 9