resume_EM
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Révisions I- EM Forces en électromagnétisme : Une particule de charge ݍbaignant dans un champ électrique ܧሬԦ subit une force ݂Ԧ donnée par : ݂Ԧ = ܧݍሬԦ La puissance volumique cédée aux porteurs de charges mobiles est : ܲ௩ = ଔԦ. ܧሬԦ = ߩ ݒԦ. ܧሬԦ Avec ଔԦ vecteur densité de courant volumique et ߩ densité volumique de charges mobiles. Un circuit conducteur filiforme parcouru par un courant ݅( )ݐet baignant dans un champ TSI2_2015_2016 Le champ électrostatique ܧሬԦ ( )ܯcréé en un point ܯpar une charge ponctuelle ݍ située en ು ሬሬሬሬሬሬԦ ܲ est donné par :ܧሬԦ (= )ܯ ܲ = ܯು మ ሬሬሬሬԦ ݑ Avec : ሬሬሬሬሬሬԦ ܲݑݎ = ܯ ሬሬሬሬԦ య ସగఌబ ெ Toute distribution D de charges statiques impose à une charge d’essai ponctuelle ݍெ située en M une énergie potentielle donnée par ܧ = ݍெ ܸ()ܯ Le potentiel électrostatique associé à une charge ponctuelle ݍ est donc donné par ܸ (= )ܯ ሬԦ subit une force de Laplace : ݂Ԧ = ሬԦ. Avec ݈݀Ԧ orienté dans le sens magnétique ܤ ݈݅݀Ԧ ∧ ܤ ௨௧ ು ସగఌబ III- si ܸ (∞) = 0 Equations de Maxwell de ݅ et ݈݅݀Ԧ orienté en fonction du signe de ݅. Un circuit conducteur fermé (dipôle magnétique) ou un aimant baignant dans un champ ሬԦ uniforme et perpendiculaire à son axe de rotation subit un moment ܯ ሬሬሬሬሬԦ magnétique ܤ ሬԦ avec ݉ donné par ሬሬሬሬሬԦ ܯ = ݉ ሬሬԦ ∧ ܤ ሬሬԦ moment dipolaire (݉ ሬሬԦ = ݊ܵܫሬԦ) II- Tous régimes et tous milieux ܯ. ARQS (fréquences inférieures à 100 MHz) et circuit conducteur fermé (pas d’accumulation de charge) MG ݀݅ܧݒሬԦ = ߩ ߝ ݀݅ܧݒሬԦ = 0 MT ሬԦ = 0 ݀݅ܤݒ ሬԦ = 0 ݀݅ܤݒ ሬԦ ߲ܤ ߲ݐ MF ሬሬሬሬሬሬԦ ܧሬԦ = − ݐݎ MA ሬԦ = µ ଔԦ + µ ߝ ሬሬሬሬሬሬԦ ܤݐݎ Charge ponctuelle fixe Une charge ponctuelle ݍ située en ܲ exerce une force électrostatique ݂Ԧ sur une charge d’essai ݍெ placée en ସగఌబ IV- ሬሬሬሬሬሬԦ ܧሬԦ = − ݐݎ ߲ܧሬԦ ߲ݐ ሬԦ ߲ܤ ߲ݐ ሬԦ = µ ଔԦ ሬሬሬሬሬሬԦ ܤ ݐݎ En Régime stationnaire ߩ ߝ ߩ(ܲ)ࣰ݀ ሬሬሬሬሬሬԦ ܧሬԦ = ම ܲܯ ଷ 4ߨߝ ܲܯ ሬԦ = 0 ݀݅ܤݒ ሬሬሬሬሬሬԦ ܧݐݎሬԦ = ሬԦ 0 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܸ ܧሬԦ = −݃݀ܽݎ ߩ(ܲ)ࣰ݀ ܸ=ම ଶ 4ߨߝ ܲܯ ሬԦ ሬሬሬሬሬሬԦ = ܤµ ଔԦ ݐݎ ݀݅ܧݒሬԦ = Théorème de Gauss et d’Ampère On utilise ces théorèmes pour déterminer, respectivement, le champ électrique et le champ magnétique dans le cas de distribution présentant de « hautes symétries » : La force ݂Ԧ s’exprime par : ݂Ԧ = ݍெ ು ସగఌబ ெయ ሬሬሬሬሬሬԦ = ݍெ ܲܯ ು ସగఌబ మ ݑ avec ݑ ሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬԦ = ሬሬሬሬሬሬԦ ெ ெ Révisions EM Théorème de Gauss ఌబ charges enfermées dans la surface de Gauss choisie V- indépendant du temps, la variation du flux engendre également une tension induite ݁ ሬሬሬሬሬሬԦ = ඵ ሬሬሬሬሬሬԦ ሬԦ. ܱ݀ܯ ሬԦ݀ܵԦ රܤ ܤݐݎ ௌ + µ ߝ - - - donnée par ݁ = − = ඵ ቆµ ଔԦ ௌ On calcule ܧ װሬԦ . ݀ܵԦ en : Proposant un système de coordonnées adapté à la distribution (caractérisée par ߩ) L’analyse des symétries de la distribution permet de trouver la direction de ܧሬԦ : Si ܲ ∈ ܯ௦ alors ܧሬԦ (ܲ ∈ )ܯ௦ Si ܲ ∈ ܯ alors ܧሬԦ (ܲ ⊥ )ܯ En analysant les invariances de la distribution En proposant une surface de Gauss permettant un calcul simple de ܧ װሬԦ . ݀ܵԦ = On calcule en analysant la quantité de Dans le cas d’un circuit fermé, mobile ou en déformation dans un champ magnétique Théorème d’Ampère ݍ௧ ܧሬԦ . ݀ܵԦ = ම ݀݅ܧݒሬԦ ݀߬ = ߝ ሬԦ డ ሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ ݐݎ ܧ = − champ ௗ௧ ݅ ݁ ሬሬሬሬሬሬԦ en : ሬԦ. ܱ݀ܯ On calcule ܤ ׯ Proposant un système de coordonnées adapté à la distribution (caractérisée par ଔԦ ou డாሬԦ డ௧ VI- ) En cherchant les symétries de la distribution de charges ሬԦ(ܲ ⊥ )ܯ௦ Si ܲ ∈ ܯ௦ alors ܤ Si ܲ ∈ ܯ alors ܧሬԦ (ܲ ∈ )ܯ En analysant les invariances de la distribution En proposant un contour d’Ampère permettant un calcul simple de ሬሬሬሬሬሬԦ ሬԦ. ܱ݀ܯ ܤׯ On calcule ௌ ቀµ ଔԦ + µ ߝ డ௧ ቁ ݀ܵԦ డாሬԦ en mesurant la contribution des seuls champs (ଔԦ et/ou డாሬԦ డ௧ Aspect énergétique Condensateur ܳ = ܷܥ Bobine ߶ = )ݐ(݅ܮ Le champ est localisé entre les armatures uniquement ܳ =ܧ ܵߝ ܷܥଶ ܷ = 2 ߝ ܧଶ ݑ = 2 Le champ est localisé uniquement dans le solénoïde = ܤµ ݊݅()ݐ Relation cause conséquence Champ créé à savoir démontrer Energie stockée à savoir retrouver Densité volumique d’énergie ݅ ܫܮଶ 2 ܤଶ ݑ = 2µ ܷ = ) enlacés par le contour choisi On définit le vecteur de Poynting ߨ ሬԦ = ሬԦ ாሬԦ∧ µబ (ሾߨሿ = ሾܹ. ݉ିଶ ሿ traduisant le vecteur densité de flux d’énergie électromagnétique (soit une puissance surfacique). Phénomènes d’induction de ௗథ ߲ܧሬԦ ቇ ݀ܵԦ ߲ݐ Les phénomènes d’induction sont étudiés le plus souvent en ARQS et dans des milieux conducteurs. Le champ électrique est alors appelé champ électromoteur ሬሬሬሬሬԦ ܧ et ses es lignes TSI2_2015_2016 peuvent être On définit la densité ݑ fermées : volumique d’énergie ߝ ܧଶ ܤଶ = ݑ + ݑ = + 2 2µ électromagnétique : Soit l’énergie électromagnétique ܷ contenue dans un volume ܸ sans charge : డ௧ Pour un circuit fixe, fermé dans champ magnétique variable, il apparaît une tension induite ݁ : ሬሬሬሬሬሬԦ = ඵ ݐݎ ሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ ݁ = ර ሬሬሬሬሬԦ ܧ . ܱ݀ܯ ܧ ݀ܵԦ = − ඵ ௌ ௌ ሬԦ ߲ܤ ݀ ݀߶ ሬԦ݀ܵԦ = − ݀ܵԦ = − ඵ ܤ ߲ݐ ݀ ݐௌ ݀ݐ ܷ݀ ݀ ݀ ߝ ܧଶ ܤଶ = ම ݑ ࣰ݀ = ම ቆ + ሬԦ݀ܵԦ − ම ଔԦ. ܧሬԦ ࣰ݀ ቇ ࣰ݀ = − ߨ ݀ݐ ݀ ݐ ݀ ݐ 2 2µ Ou en local : డ௨ డ௧ = −݀݅ߨݒ ሬԦ − ଔԦ. ܧሬԦ Révisions VII- EM ሬԦ et Avec la notation complexe alors : ሬ∇Ԧ= −݆݇ Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ (݀݅ܽݒԦ) − ∆ܽԦ ሬሬሬሬሬሬԦ ൫ݐݎ ሬሬሬሬሬሬԦ ܽԦ൯ = ݃݀ܽݎ On rappelle que ݐݎ ∆ܧሬԦ − ሬԦ − ∆ܤ - 1 ߲ ଶ ܧሬԦ ሬԦ =0 ܿ ଶ ߲ ݐଶ ሬԦ 1 ߲ଶܤ ሬԦ =0 ܿ ଶ ߲ ݐଶ - Plane : les lieux d’égale vibration sont des plans perpendiculaires à la direction de propagation. Mathématiquement une telle onde se décrit à l’aide d’une seule variable spatiale en cartésien. Progressive : propagation à vitesse constante ܿ sans Mathématiquement ݂( ݐ− ߬) traduit une perturbation qui est perçue avec un - Harmonique : il s’agit d’une vibration associée à une source purement - Polarisée rectilignement : le champ électrique oscille selon une direction fixe qui monochromatique de pulsation ߱ donnée. fixe la polarisation ሬԦ . ݎԦ + ߮൯ ሬሬሬሬԦ ܿݏ൫߱ ݐ− ݇ Une telle onde est alors décrite par : ܧሬԦ = ܧ ሬԦ . ݎԦ൯ቁ avec ܧ ሬሬሬሬԦ ݁ ݔቀ݆൫߱ ݐ− ݇ ሬሬሬሬԦ = ܧ ሬሬሬሬԦ exp (݆߮) Ou : ܧሬԦ = ܧ ሬԦ orienté dans le sens de propagation et définit Où l’on fait apparaître le vecteur d’onde ݇ ఠ ଶగ ሬԦ = ݇ݑ tel que ݇ ሬԦ = ݑ ሬԦ = ݑ ሬԦ . ఒబ Avec ߣ la longueur d’onde dans le vide. Transversalité du champ électrique Transversalité du champ magnétique - ሬԦ Couplage ܧሬԦ , ܤ L’équation de Maxwell-Faraday sera très utile pour mettre en évidence le couplage des deux champs : ሬԦ ∧ ܧሬԦ = −݆߱ܤ ሬԦ → ܤ ሬԦ = ሬሬሬሬሬሬԦ ܧሬԦ = −݆݇ ݐݎ déformation. temps de retard lié à son temps de propagation. = ݆߱, on trouve à l’aide Maxwell-Faraday : ሬԦ ሬԦ = ∇ ሬԦ. ܤ ሬԦ = 0 → ܤ ሬԦ ⊥ ݇ ݀݅ܤݒ d’équation, l’onde : - డ డ௧ ሬԦ . ܧሬԦ = 0 → ܧሬԦ ⊥ ݇ ሬԦ ሬԦ. ܧሬԦ = −݆݇ ݀݅ܧݒሬԦ = ∇ On a alors une solution élémentaire et génératrice de toutes solutions pour ce type - TSI2_2015_2016 ሬԦ ∧ ܧሬԦ ݑ ݇ ሬԦ ∧ ܧሬԦ = ߱ ܿ ሬԦ൯ forment un trièdre orthogonal direct, les champs sont en phases et Une OemPPH ൫ݑ ሬԦ, ܧሬԦ , ܤ ሬԦ ሬԦ ฮ ܤฮ = ฮ ܧฮ/ܿ ሬԦ൯ forment un trièdre orthonormés direct. ሬԦ, ܧሬԦ , ܤ ൫ݑ VIII- Relations de passage Discontinuité du champ électrique Dans le cas d’une distribution surfacique (σ) de charges statiques (dans un plan )ݕݔ, nous avons vue que : ሬሬሬሬԦ ∆ܧሬԦ = ∆ܧ ୄ = ߪ ݑ ሬሬሬሬԦ ߝ ௭ Révisions EM TSI2_2015_2016 Discontinuité du champ magnétique Dans le cas d’un courant établi sur une faible épaisseur ߝ alors on définit un vecteur x Métal Vide ሬሬሬሬሬሬԦ = ଔሬሬԦ௦ ܱ݀ܯ ሬሬሬሬሬሬԦ ) . densité de courant surfacique ( = ܫௌ ଔԦ. ݀ܵԦ = ଔԦߝ ܱ݀ܯ r Ei ( z, t ) γ=∞ +c Oy z r –c Er ( z , t ) La nullité du champ électrique en = ݖ0 impose l’existence d’un champ réfléchi que l’on écrira : ሬሬሬሬԦ = ܧ, ݁(ఠ௧ା௭)ሬሬሬሬԦ ܧ ݑ௫ L’application du théorème d’Ampère prévoit également une discontinuité du champ magnétique : ሬԦ = ∆ܤ ሬሬሬሬԦ∥ = µ ሬሬԦ ∆ܤ ଔ௦ ∧ ሬሬሬሬԦ ݑ௭ IX- Réflexion sur les conducteurs 1) Champs dans un conducteur parfait Un conducteur parfait est associé à une conductivité ߛ infinie. Sous l’action d’un champ électrique extérieur, un conducteur parfait présente alors une réponse inductive Et la continuité de la composante tangentielle donne : ሬԦ ሬሬሬԦ ሬሬሬሬԦ (0, = )ݐ0 ܧప (0, )ݐ+ ܧ Ainsi ܧ, = −ܧ, et l’onde électrique ܧሬԦ totale dans l’espace < ݖ0 s’écrit alors comme une ሬሬሬሬԦ௫ onde stationnaire : ܧሬԦ = 2ܧ, sin(݇ )ݖsin (߱ݑ)ݐ On obtient l’expression du champ magnétique à l’aide de l’équation de Mawxell-Faraday : impliquant : - ሬԦ = ܤ ሬԦ Le champ électrique dans un conducteur parfait est nul : ሬሬሬሬሬሬሬԦ ܧప௧ = 0 L’absence de champ électrique impose l’absence de courant au sein du conducteur : ሬԦ (un courant surfacique est cependant possible) ଔప௧ = 0 ሬሬሬሬሬሬԦ La nullité des deux champs précédents implique, d’après les équations de Maxwell, la nullité du champ magnétique au sein du conducteur 2) Réflexion en incidence normale Soit un conducteur occupant le demi-espace > ݖ0 et une OemPPH incidente, polarisée rectilignement et telle que ሬሬሬԦ ܧప = ܧ, ݁(ఠ௧ି௭)ሬሬሬሬԦ ݑ௫ 2ܧ, cos(݇ )ݖcos(߱ )ݐሬሬሬሬԦ ݑ௬ ܿ Nous constatons que le champ magnétique est en quadrature spatio-temporelle avec le champ électrique Avec la relation ሬԦ(0) = ∆ܤ ሬሬሬሬԦ∥ (0) = µ ሬሬԦ ∆ܤ ଔ௦ ∧ ሬሬሬሬԦ ݑ௭ alors : µ ሬሬԦ ଔ௦ ∧ ሬሬሬሬԦ ݑ௭ = − de 2ܧ, cos(߱ )ݐሬሬሬሬԦ ݑ௬ ܿ passage (admise) ሬሬሬሬԦCe courant est à associé directement au champ électrique Et : ሬሬԦ ଔ௦ = 2ߝ ܿܧ, cos (߱ݑ)ݐ ௫ incident à l’origine du mouvement des électrons en surface.
