resume_EM

Révisions EM TSI2_2015_2016
I- Forces en électromagnétisme :
Une particule de charge ݍ baignant dans un champ électrique ܧ
ሬ
Ԧ
subit une force ݂Ԧ donnée
par : ݂Ԧ=ݍܧ
ሬ
Ԧ
La puissance volumique cédée aux porteurs de charges mobiles est : ܲ
௩௢௟
=ଔԦ.ܧ
ሬ
Ԧ
=ߩ
௠
ݒԦ.ܧ
ሬ
Ԧ
Avec ଔԦ vecteur densité de courant volumique et ߩ
௠
densité volumique de charges mobiles.
Un circuit conducteur filiforme parcouru par un courant ݅(ݐ) et baignant dans un champ
magnétique ܤ
ሬ
Ԧ
subit une force de Laplace : ݂Ԧ=׬݈݅݀Ԧ∧ܤ
ሬ
Ԧ
௖௜௥௖௨௜௧
. Avec ݈݀Ԧ orienté dans le sens
de ݅ et ݈݅݀Ԧ orienté en fonction du signe de ݅.
Un circuit conducteur fermé (dipôle magnétique) ou un aimant baignant dans un champ
magnétique ܤ
ሬ
Ԧ
uniforme et perpendiculaire à son axe de rotation subit un moment ܯ
଴
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
donné par ܯ
଴
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=݉ሬ
ሬ
Ԧ
∧ܤ
ሬ
Ԧ
avec ݉ሬ
ሬ
Ԧ
moment dipolaire (݉ሬ
ሬ
Ԧ
=ܫܵ݊ሬ
Ԧ
)
II- Charge ponctuelle fixe
Le champ électrostatique ܧ
ሬ
Ԧ
(ܯ) créé en un point ܯ par une charge ponctuelle ݍ
௉
située en
ܲ est donné par :ܧ
ሬ
Ԧ
(ܯ)=
௤
ು
ସగఌ
బ
௉ெ
య
ܲܯ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=
௤
ು
ସగఌ
బ
௥
మ
ݑ
௥
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
Avec : ܲܯ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=ݎݑ
௥
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
Toute distribution D de charges statiques impose à une charge d’essai ponctuelle ݍ
ெ
située en M une énergie potentielle donnée par ܧ
௣
=ݍ
ெ
ܸ(ܯ)
Le potentiel électrostatique associé à une charge ponctuelle ݍ
௣
est donc donné par
ܸ
௉
(ܯ)=
௤
ು
ସగఌ
బ
௥
si ܸ
௉
(∞)=0
III- Equations de Maxwell
Tous régimes et tous
milieux
ARQS (fréquences
inférieures à 100 MHz)
et circuit conducteur
fermé (pas
d’accumulation de
charge)
En Régime stationnaire
MG
݀݅ݒ
ܧ
ሬ
Ԧ
=
ߩ
ߝ
଴
݀݅ݒ
ܧ
ሬ
Ԧ
=
0
݀݅ݒ
ܧ
ሬ
Ԧ
=
ߩ
ߝ
଴
ܧ
ሬ
Ԧ
=
ම
ߩ
(
ܲ
)
ࣰ݀
4
ߨ
ߝ
଴
ܲ
ܯ
ଷ
ܲܯ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
௏
MT
݀݅ݒ
ܤ
ሬ
Ԧ
=
0
݀݅ݒ
ܤ
ሬ
Ԧ
=
0
݀݅ݒ
ܤ
ሬ
Ԧ
=
0
MF
ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ܧ
ሬ
Ԧ
=
−
߲
ܤ
ሬ
Ԧ
߲ݐ
ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ܧ
ሬ
Ԧ
=
−
߲
ܤ
ሬ
Ԧ
߲ݐ
ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ܧ
ሬ
Ԧ
=
0
ሬ
Ԧ
ܧ
ሬ
Ԧ
=
−
݃ݎܽ݀
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ܸ
ܸ
=
ම
ߩ
(
ܲ
)
ࣰ݀
4
ߨ
ߝ
଴
ܲ
ܯ
ଶ
௏
MA
ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ܤ
ሬ
Ԧ
=
µ
଴
ଔ
Ԧ
+
µ
଴
ߝ
଴
߲
ܧ
ሬ
Ԧ
߲ݐ
ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ܤ
ሬ
Ԧ
=
µ
଴
ଔ
Ԧ
ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ܤ
ሬ
Ԧ
=
µ
଴
ଔ
Ԧ
IV- Théorème de Gauss et d’Ampère
On utilise ces théorèmes pour déterminer, respectivement, le champ électrique et le
champ magnétique dans le cas de distribution présentant de « hautes symétries » :
U
ne charge
ponctuelle
ݍ
௉
située en
ܲ
exerce une force
électrostatique
݂
Ԧ
sur une charge d’essai
ݍ
ெ
placée en
ܯ.
La force ݂Ԧ s’exprime par :
݂Ԧ=ݍ
ெ௤
ು
ସగఌ
బ
௉ெ
య
ܲܯ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=ݍ
ெ௤
ು
ସగఌ
బ
௥
మ
ݑ
௥
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
avec ݑ
௥
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=
௉ெ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
௉ெ

Révisions EM TSI2_2015_2016
Théorème de Gauss
Théorème d’Ampère
඾
ܧ
ሬ
Ԧ
.
݀
ܵ
Ԧ
=
ම
݀݅ݒ
ܧ
ሬ
Ԧ
௏
݀߬
=
ݍ
௜௡௧
ߝ
଴
ර
ܤ
ሬ
Ԧ
.
݀
ܱܯ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=
ඵ
ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ܤ
ሬ
Ԧ
݀
ܵ
Ԧ
ௌ
=ඵ ቆ µ
଴
ଔԦ
ௌ
+
µ
଴
ߝ
଴
߲
ܧ
ሬ
Ԧ
߲ݐ
ቇ
݀
ܵ
Ԧ
On calcule
װ
ܧ
ሬ
Ԧ
.
݀
ܵ
Ԧ
en
:
- Proposant un système de
coordonnées adapté à la distribution
(caractérisée par ߩ)
- L’analyse des symétries de la
distribution permet de trouver la
direction de ܧ
ሬ
Ԧ
:
Si ܯ∈ܲ
௦
alors ܧ
ሬ
Ԧ
(ܯ)∈ܲ
௦
Si ܯ∈ܲ
௔
alors ܧ
ሬ
Ԧ
(ܯ)⊥ܲ
௔
- En analysant les invariances de la
distribution
- En proposant une surface de Gauss
permettant un calcul simple de
װ
ܧ
ሬ
Ԧ
.
݀
ܵ
Ԧ
=
On calcule
ׯ
ܤ
ሬ
Ԧ
.
݀
ܱܯ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
en
:
- Proposant un système de coordonnées
adapté à la distribution (caractérisée
par ଔԦ ou
డா
ሬ
Ԧ
డ௧
)
- En cherchant les symétries de la
distribution de charges
Si ܯ∈ܲ
௦
alors ܤ
ሬ
Ԧ
(ܯ)⊥ܲ
௦
Si ܯ∈ܲ
௔
alors ܧ
ሬ
Ԧ
(ܯ)∈ܲ
௔
- En analysant les invariances de la
distribution
- En proposant un contour d’Ampère
permettant un calcul simple de
ׯ
ܤ
ሬ
Ԧ
.
݀
ܱܯ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
On calcule
௤
೔೙೟
ఌ
బ
en
analysant la quantité de
charges enfermées dans la surface de
Gauss choisie
On calcule
׭
ቀ
µ
଴
ଔ
Ԧ
+
µ
଴
ߝ
଴
డ
ா
ሬ
Ԧ
డ௧
ቁ
ௌ
݀
ܵ
Ԧ
en
mesurant la contribution des seuls champs
(
ଔ
Ԧ
et/ou
డ
ா
ሬ
Ԧ
డ௧
) enlacés par le contour choisi
V- Phénomènes d’induction
Les phénomènes d’induction sont étudiés le plus souvent en ARQS et dans des milieux
conducteurs. Le champ électrique est alors appelé champ électromoteur ܧ
௠
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
et ses es
lignes de champ peuvent être fermées :
ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ܧ
௠
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=−
డ஻
ሬ
Ԧ
డ௧
Pour un circuit fixe, fermé dans champ magnétique variable, il apparaît une tension
induite ݁ :
݁=රܧ
௠
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
.ܱ݀ܯ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=ඵ ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ܧ
௠
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
݀ܵ
Ԧ
ௌ
=−ඵ ߲ܤ
ሬ
Ԧ
߲ݐ ݀ܵ
Ԧ
ௌ
=− ݀
݀ݐඵ ܤ
ሬ
Ԧ
݀ܵ
Ԧ
ௌ
=−݀߶
݀ݐ
Dans le cas d’un circuit fermé, mobile ou en déformation dans un champ magnétique
indépendant du temps, la variation du flux engendre également une tension induite ݁
donnée par ݁=−
ௗథ
ௗ௧
VI- Aspect énergétique
Condensateur
Bobine
Relation cause
conséquence
ܳ
=
ܥܷ
߶
௉
=
ܮ݅
(
ݐ
)
Champ créé à
savoir démontrer
Le champ est localisé entre
les armatures uniquement
ܧ
=
ܳ
ܵ
ߝ
଴
Le champ est localisé uniquement
dans le solénoïde
ܤ
=
µ
଴
݊݅
(
ݐ
)
Energie stockée
à
savoir retrouver
ܷ
௘
=
ܥ
ܷ
ଶ
2
ܷ
௠
=
ܮ
ܫ
ଶ
2
Densité volumique
d’énergie
ݑ
௘
=
ߝ
଴
ܧ
ଶ
2
ݑ
௠
=
ܤ
ଶ
2
µ
଴
On définit le vecteur de Poynting ߨሬ
Ԧ
=
ா
ሬ
Ԧ
∧஻
ሬ
Ԧ
µ
బ
(ሾߨሿ=ሾܹ.݉
ିଶ
ሿ traduisant le vecteur densité de
flux d’énergie électromagnétique (soit une puissance surfacique).
On définit la densité volumique d’énergie électromagnétique :
ݑ
௘௠
=ݑ
௘
+ݑ
௠
=ߝ
଴
ܧ
ଶ
2+ܤ
ଶ
2 µ
଴
Soit l’énergie électromagnétique ܷ
௘௠
contenue dans un volume ܸ sans charge :
ܷ݀
௘௠
݀ݐ =݀ ݀ݐම ݑ
௘௠
ࣰ݀
௏
=݀
݀ݐමቆߝ
଴
ܧ
ଶ
2+ܤ
ଶ
2 µ
଴
ቇ
௏
ࣰ݀=−඾ߨሬ
Ԧ
݀ܵ
Ԧ−ම ଔԦ.ܧ
ሬ
Ԧ
ࣰ݀
௏
Ou en local :
డ௨
೐೘
డ௧
=−݀݅ݒߨሬ
Ԧ
−ଔԦ.ܧ
ሬ
Ԧ
݅
݁
݅

Révisions EM TSI2_2015_2016
VII- Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide
On rappelle que ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
൫ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ܽԦ൯=݃ݎܽ݀
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
(݀݅ݒܽԦ)−∆ܽԦ
∆ܧ
ሬ
Ԧ
−1
ܿ
ଶ
߲
ଶ
ܧ
ሬ
Ԧ
߲ݐ
ଶ
=0
ሬ
Ԧ
∆ܤ
ሬ
Ԧ
−1
ܿ
ଶ
߲
ଶ
ܤ
ሬ
Ԧ
߲ݐ
ଶ
=0
ሬ
Ԧ
On a alors une solution élémentaire et génératrice de toutes solutions pour ce type
d’équation, l’onde :
- Plane : les lieux d’égale vibration sont des plans perpendiculaires à la direction
de propagation. Mathématiquement une telle onde se décrit à l’aide d’une seule
variable spatiale en cartésien.
- Progressive : propagation à vitesse constante ܿ sans déformation.
Mathématiquement ݂(ݐ−߬) traduit une perturbation qui est perçue avec un
temps de retard lié à son temps de propagation.
- Harmonique : il s’agit d’une vibration associée à une source purement
monochromatique de pulsation ߱ donnée.
- Polarisée rectilignement : le champ électrique oscille selon une direction fixe qui
fixe la polarisation
Une telle onde est alors décrite par : ܧ
ሬ
Ԧ
=ܧ
଴
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ܿ݋ݏ൫߱ݐ−݇
ሬ
Ԧ
.ݎԦ+߮൯
Ou : ܧ
ሬ
Ԧ
=ܧ
଴
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
݁ݔ݌ቀ݆൫߱ݐ−݇
ሬ
Ԧ
.ݎԦ൯ቁ avec ܧ
଴
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=ܧ
଴
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
exp (݆߮)
Où l’on fait apparaître le vecteur d’onde ݇
ሬ
Ԧ
orienté dans le sens de propagation et définit
tel que ݇
ሬ
Ԧ
=݇ݑሬ
Ԧ
=
ఠ
௖
ݑሬ
Ԧ
=
ଶగ
ఒ
బ
ݑሬ
Ԧ
.
Avec ߣ
଴
la longueur d’onde dans le vide.
Avec la notation complexe alors : ∇
ሬ
ሬ
Ԧ
=−݆݇
ሬ
Ԧ
et
డ
డ௧
=݆߱, on trouve à l’aide Maxwell-Faraday :
- Transversalité du champ électrique
݀݅ݒܧ
ሬ
Ԧ
=∇
ሬ
ሬ
Ԧ
.ܧ
ሬ
Ԧ
=−݆݇
ሬ
Ԧ
.ܧ
ሬ
Ԧ
=0→ܧ
ሬ
Ԧ
⊥݇
ሬ
Ԧ
- Transversalité du champ magnétique
݀݅ݒܤ
ሬ
Ԧ
=∇
ሬ
ሬ
Ԧ
.ܤ
ሬ
Ԧ
=0→ܤ
ሬ
Ԧ
⊥݇
ሬ
Ԧ
- Couplage ܧ
ሬ
Ԧ
,ܤ
ሬ
Ԧ
L’équation de Maxwell-Faraday sera très utile pour mettre en évidence le couplage des
deux champs :
ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ܧ
ሬ
Ԧ
=−݆݇
ሬ
Ԧ
∧ܧ
ሬ
Ԧ
=−݆߱ܤ
ሬ
Ԧ
→ܤ
ሬ
Ԧ
=݇
ሬ
Ԧ
∧ܧ
ሬ
Ԧ
߱=ݑሬ
Ԧ
∧ܧ
ሬ
Ԧ
ܿ
Une OemPPH ൫ݑሬ
Ԧ
,ܧ
ሬ
Ԧ
,ܤ
ሬ
Ԧ
൯ forment un trièdre orthogonal direct, les champs sont en phases et
ฮܤ
ሬ
Ԧ
ฮ=ฮܧ
ሬ
Ԧ
ฮ/ܿ
൫ݑሬ
Ԧ
,ܧ
ሬ
Ԧ
,ܤ
ሬ
Ԧ
൯ forment un trièdre orthonormés direct.
VIII- Relations de passage
Discontinuité du champ électrique
Dans le cas d’une distribution surfacique (σ) de charges statiques (dans un plan ݔ݋ݕ),
nous avons vue que :
∆ܧ
ሬ
Ԧ
=∆ܧ
ୄ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=ߪ
ߝ
଴
ݑ
௭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ

Révisions EM TSI2_2015_2016
Discontinuité du champ magnétique
Dans le cas d’un courant établi sur une faible épaisseur ߝ alors on définit un vecteur
densité de courant surfacique (ܫ=׭ଔԦ.݀ܵ
Ԧ=
ௌ
׬ଔԦߝ
௟
ܱ݀ܯ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=׬ଔ
௦
ሬ
ሬ
Ԧ
௟
ܱ݀ܯ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
) .
L’application du théorème d’Ampère prévoit également une discontinuité du champ
magnétique :
∆ܤ
ሬ
Ԧ
=∆ܤ
∥
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=µ
଴
ଔ
௦
ሬ
ሬ
Ԧ
∧ݑ
௭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
IX- Réflexion sur les conducteurs
1) Champs dans un conducteur parfait
Un conducteur parfait est associé à une conductivité ߛ infinie. Sous l’action d’un champ
électrique extérieur, un conducteur parfait présente alors une réponse inductive
impliquant :
- Le champ électrique dans un conducteur parfait est nul : ܧ
ప௡௧
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=0
ሬ
Ԧ
- L’absence de champ électrique impose l’absence de courant au sein du conducteur :
ଔ
ప௡௧
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=0
ሬ
Ԧ
(un courant surfacique est cependant possible)
- La nullité des deux champs précédents implique, d’après les équations de Maxwell, la
nullité du champ magnétique au sein du conducteur
2) Réflexion en incidence normale
Soit un conducteur occupant le demi-espace ݖ>0 et une OemPPH incidente, polarisée
rectilignement et telle que ܧ
ప
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=ܧ
଴,௜
݁
௝(ఠ௧ି௞௭)
ݑ
௫
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
La nullité du champ électrique en ݖ=0 impose l’existence d’un champ réfléchi que l’on
écrira :
ܧ
௥
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=ܧ
଴,௥
݁
௝(ఠ௧ା௞௭)
ݑ
௫
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
Et la continuité de la composante tangentielle donne :
ܧ
ప
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
(0,ݐ)+ܧ
௥
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
(0,ݐ)=0
ሬ
Ԧ
Ainsi ܧ
଴,௜
=−ܧ
଴,௥
et l’onde électrique ܧ
ሬ
Ԧ
totale dans l’espace ݖ<0 s’écrit alors comme une
onde stationnaire : ܧ
ሬ
Ԧ
=2ܧ
଴,௜
sin(݇ݖ)sin (߱ݐ)ݑ
௫
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
On obtient l’expression du champ magnétique à l’aide de l’équation de Mawxell-Faraday :
ܤ
ሬ
Ԧ
=2ܧ
଴,௜
ܿcos(݇ݖ)cos(߱ݐ)ݑ
௬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
Nous constatons que le champ magnétique est en quadrature spatio-temporelle avec le
champ électrique
Avec la relation de passage (admise)
∆ ܤ
ሬ
Ԧ
(0)=∆ܤ
∥
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
(0)=µ
଴
ଔ
௦
ሬ
ሬ
Ԧ
∧ݑ
௭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
alors :
µ
଴
ଔ
௦
ሬ
ሬ
Ԧ
∧ݑ
௭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=−2ܧ
଴,௜
ܿcos(߱ݐ)ݑ
௬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
Et : ଔ
௦
ሬ
ሬ
Ԧ
=2ߝ
଴
ܿܧ
଴,௜
cos (߱ݐ)ݑ
௫
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
Ce courant est à associé directement au champ électrique
incident à l’origine du mouvement des électrons en surface.
z
Oy
Métal
γ = ∞
+c
–c
Vide
(
)
,
z t
E
r
i
(
)
,
z t
E
r
r
x