Mathématiques
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CONCOURS ENSEIGNEMENT 2016 2e édition Concours Professeur des écoles Mathématiques Cours et exercices opérations fonctions équations géométrie proportionnalité probabilités L’essentiel en 3 5 fiches ✔ Connaissances indispensables du programme ✔ Remarques du formateur ✔ Exercices corri gés Concours Professeur des écoles ENSEIGNEMENT 2e édition Concours Professeur des écoles Épreuve écrite Mathématiques Cours et exercices Ouvrage coordonné par Marc Loison Maître de conférences en histoire, didactique de l’histoire et histoire de l’éducation, membre titulaire du creHs (EA 4027) de l’université d’Artois Éric Greff Professeur agrégé de mathématiques en éSPé André Mul Professeur honoraire de mathématiques ISBN : 978-2-311-20178-9 Conception couverture : Atelier Didier Thimonier Conception maquette : Bleu T Composition : So’graph La loi du 11 mars 1957 n’autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite » (alinéa 1er de l’article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Le « photocopillage », c’est l’usage abusif et collectif de la photocopie sans autorisation des auteurs et des éditeurs. Largement répandu dans les établissements d’enseignement, le « photocopillage » menace l’avenir du livre, car il met en danger son équilibre économique. Il prive les auteurs d’une juste rémunération. En dehors de l’usage privé du copiste, toute reproduction totale ou partielle de cet ouvrage est interdite. Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au Centre français d’exploitation du droit de copie : 20, rue des Grands-Augustins, F-75006 Paris. Tél. : 01 44 07 47 70 © Vuibert – octobre 2015 – 5, allée de la 2e DB – 75015 Paris Site Internet : http://www.vuibert.fr Sommaire Votre concours, votre métier 5 Partie 1 | Arithmétique Nombres Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche 1 2 3 4 5 umération12 N umération (suite) N 14 nsembles16 E aleurs approchées, encadrements et écriture scientifique 20 V ntraînement22 E 6 7 8 9 ombres premiers N 28 ultiples et diviseurs M 32 Fractions34 ntraînement38 E 10 11 12 13 14 15 léments de calcul algébrique é 46 tude de quelques fonctions numériques é 51 quations et systèmes d’équations é 56 quations et systèmes d’équations (suite) é 59 perçu sur les inéquations et les systèmes d’inéquations 61 A Entraînement65 Opérations Fiche Fiche Fiche Fiche Algèbre Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche Partie 2 | Géométrie Repères dans l’espace Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche 16 17 18 19 20 Les bases de la géométrie plane 80 onstructions avec la règle et le compas C 88 Transformations du plan 94 oordonnées et équations de droites C 100 ntraînement106 E Figures et propriétés Fiche 21 Triangles118 Fiche 22 Théorème de Pythagore 122 Fiche 23 Théorème de Thalès 127 Fiche 24 Polygones131 Fiche 25 Cercle et disque 136 Fiche 26 Entraînement143 Solides Fiche 27 Polyèdres163 Fiche 28 Cylindre, cône, sphère 168 Fiche 29 Entraînement173 Partie 3 | Grandeurs et traitement des données Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche 30 31 32 33 34 35 randeurs usuelles G 178 roportionnalité180 P roportionnalité (suite) P 184 tatistiques189 S léments de probabilités é 196 Entraînement199 Votre concours, votre métier Vous avez choisi de devenir professeur des écoles. Vous vous interrogez sans doute sur les études à suivre, les modalités de recrutement, le contenu et le calendrier des épreuves et peut-être les perspectives de carrière. Autant de questions auxquelles le présent ouvrage va tenter de rapidement répondre en préambule, avant d’aborder les contenus scientifiques nécessaires à la préparation de l’épreuve écrite d’admissibilité de mathématiques du concours de recrutement de professeurs des écoles (CRPE). Quelques éléments sur le CRPE Conditions de diplômes requises Pour accéder au métier de professeur des écoles, il faut avoir obtenu un master et satisfaire aux épreuves du concours de recrutement de professeurs des écoles (CRPE). Le CRPE, dont les épreuves comportent une dimension professionnelle importante, s’adresse principalement aux étudiants qui ont commencé en septembre 2015 un Master métiers de l’enseignement, de l’éducation et de la formation (MEEF) au sein d’une école supérieure du professorat et de l’éducation (ÉSPÉ). Il se déroulera en totalité (admissibilité et admission) à la fin de la première année de master. Le nouveau CRPE est également ouvert aux étudiants inscrits en Master 2 et aux personnes titulaires d’un diplôme de master ou d’un grade équivalent. Par grade équivalent il faut entendre : – un titre ou diplôme sanctionnant un cycle d’études postsecondaires d’au moins cinq années, acquis en France ou dans un autre État, et attesté par l’autorité compétente de l’État considéré ; – ou un diplôme conférant le grade de master, conformément aux dispositions de l’article 2 du décret du 30 août 1999, par exemple, DESS, DEA, diplôme d’ingénieur ; – ou un titre ou diplôme classé au niveau 1 du répertoire national des certifications professionnelles. Vous êtes dispensé de diplôme si vous êtes mère ou père d’au moins trois enfants ou sportif de haut niveau. Les étudiants admis au CRPE seront, au cours de leur seconde année de master, rémunérés à plein temps en tant que fonctionnaires stagiaires et effectueront un service d’enseignement à mi-temps. Qualifications requises En France, les personnels d’enseignement et d’éducation font partie de la fonction publique d’État. Ils sont recrutés sur concours du ministère de l’Éducation nationale. Pour postuler au CRPE, vous devez vous inscrire lors de la campagne menée par le ministère de l’Éducation nationale, sous réserve, rappelons-le, d’être inscrit en Master 1 ou d’être titulaire d’un master complet. Par ailleurs, pour être candidat au CRPE, vous devrez obligatoirement justifier : – d’une attestation certifiant que vous avez réalisé un parcours d’au moins 50 mètres dans une piscine placée sous la responsabilité d’un service public, établie par un service universitaire (STAPS, SCAPS), par une autorité d’un service public territorial des activités physiques et VOTRE CONCOURS, VOTRE MÉTIER | 5 sportives (piscine municipale) ou par une autre autorité publique habilitée à assurer une formation dans le domaine de la natation ; – d’une attestation certifiant votre qualification en secourisme reconnue de niveau au moins égal à celui de l’unité d’enseignement « prévention et secours civiques de niveau 1 » (PSC1) par le ministère de l’Intérieur (sécurité civile). Les candidats détenteurs de l’ancienne formation aux premiers secours (AFPS) n’ont pas à justifier du PSC1. Les dispenses de diplôme consenties aux mères et aux pères d’au moins trois enfants et aux sportifs de haut niveau ne s’étendent pas aux qualifications en natation et en secourisme exigées. 6 | Contenu des épreuves L’arrêté du 19 avril 2013 paru au Journal officiel du 27 avril 2013 fixe les modalités d’organisation du concours externe, du concours externe spécial, du second concours interne, du second concours interne spécial et du troisième concours de recrutement de professeurs des écoles. Deux grandes séries d’épreuves sont définies par référence aux programmes de l’école primaire (Bulletin officiel, n° 3, 19 juin 2008, complété depuis par celui du 5 janvier 2012 et celui du 26 mars 2015) mais aussi par référence aux compétences professionnelles des maîtres (annexe de l’arrêté du 1er juillet 2013 paru au Journal officiel du 18 juillet 2013). VOTRE CONCOURS, VOTRE MÉTIER P a r t i e 2 Géométrie Repères dans l’espace FICHE 16 Les bases de la géométrie plane 1. Les noms des objets géométriques Les objets géométriques sont constitués par des points. Les points sont désignés par des lettres capitales et les noms des figures sont constitués à l’aide des noms des points qui les caractérisent. Soit A et B deux points différents. a. La notation (AB) désigne la droite qui passe par A et par B. FICHE 16 B A Figure 1 b. La notation [AB) désigne la demi-droite d’origine A qui passe par B. A B Figure 2 c. La notation [AB] désigne le segment d’extrémités A et B ; la notation AB désigne la longueur du segment [AB]. A B Figure 3 80 | Géométrie désigne un angle de Soit A, B et C trois points différents. La notation BAC sommet A dont les côtés passent respectivement par les points B et C. B A C Les noms des polygones sont constitués de la succession des noms de leurs sommets pris tels qu’on les rencontre si on suit le bord de ce polygone dans un sens ou dans l’autre. C’est ainsi qu’un carré ABCD peut être désigné en tout par huit noms différents : ABCD, BCDA, CDAB, DABC, ADCB, DCBA, CBAD et BADC. 2. Points et droites Si des points appartiennent à une même droite, on dit qu’ils sont alignés. A B C Figure 5 Si deux droites (d) et (d’) ont un point commun et un seul appelé I, on dit qu’elles sont sécantes en I. On dit aussi que I est l’intersection des droites (d) et (d’). I (d) (d’) Figure 6 Géométrie | 81 FICHE 16 Figure 4 Si trois droites (d), (d’) et (d’’) ont un point commun O, on dit qu’elles sont concourantes en O. On dit que O est leur point de concours. (d) O (d’) (d’’) FICHE 16 Figure 7 3. Les angles Un angle se mesure avec un rapporteur. Sa mesure s’exprime généralement1� en degrés. Par définition, un angle droit mesure 90°. Un angle de 180° est un angle plat. Un angle aigu a une mesure inférieure à 90°. Un angle obtus a une mesure comprise entre 90° et 180°. Un angle aigu Un angle obtus Figure 8 1. On peut l’exprimer également en grades ou en radians. 82 | Géométrie Deux angles aigus sont complémentaires quand la somme de leurs mesures vaut 90°. 2 angles complémentaires Figure 9 FICHE 16 Deux angles sont supplémentaires quand la somme de leurs mesures vaut 180°. 2 angles supplémentaires Figure 10 Deux angles opposés par le sommet sont égaux. Figure 11 Géométrie | 83 Une sécante qui coupe deux droites forme avec elles deux paires d’angles alternes-internes (figure 12) et quatre paires d’angles correspondants (figure 13). FICHE 16 Figure 12 Figure 13 84 | Géométrie 4. Parallèles et perpendiculaires Figure 14 Par un point donné, on ne peut faire passer qu’une seule droite perpendiculaire à une droite donnée. Deux droites parallèles n’ont aucun point commun. Un axiome d’Euclide affirme que par un point qui n’appartient pas à une droite on peut faire ­passer une parallèle et une seule à cette droite. (d) P (d’) Figure 15 Si deux droites sont parallèles, toute parallèle à l’une est parallèle à l’autre. Si deux droites parallèles ont un point commun alors elles sont confondues. R emarque du formateur : Cette propriété est souvent utilisée quand on veut démontrer que 3 points sont alignés. Géométrie | 85 FICHE 16 Deux droites sont perpendiculaires quand elles forment un angle droit. Comme sur la figure 14, on utilise très souvent un codage pour indiquer que deux droites sont perpendiculaires. On dit aussi que les droites sont orthogonales. 5. Propriétés des droites parallèles FICHE 16 La figure 16 illustre les quatre propriétés désignées ci-dessous par les mentions a., b., c. et d. Figure 16 a. Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. b. Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est ­perpendiculaire à l’autre. c. Si deux droites sont perpendiculaires, toute parallèle à l’une est perpendiculaire à l’autre. d. Si deux droites sont perpendiculaires, toute perpendiculaire à l’une est parallèle à l’autre. 86 | Géométrie 6. Angles et parallélisme Si une sécante coupe deux droites parallèles, alors elle détermine deux angles alternes-internes égaux. Réciproquement, si une sécante coupe deux droites en formant avec elles (d) une paire d’angles alternes-internes égaux, alors ces deux droites sont ­parallèles. (d’) Figure 17 Si une sécante coupe deux droites parallèles, alors elle détermine deux angles correspondants égaux. Réciproquement, si une sécante coupe deux droites en formant avec elles une paire d’angles correspondants égaux, alors ces deux droites sont parallèles. (d) (d) (d’) Figure 18 (d’) Géométrie | 87 FICHE 16 (d) (d’) ENSEIGNEMENT CONCOURS 2016 Concours Professeur des écoles Mathématiques Cours et exercices Mettez toutes les chances de votre côté ! 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