Q - ULB

Electrostatique (analogies formelles avec la gravitation)
gravitation
électricité
FG = G mM
r2
r
qQ 1r
FC = k
r
2
r
force gravitationnelle attractive
charges + ou (en coulomb: C)
k = 9 109 Nm2C-2
force coulombienne
répulsive (qQ > 0)
attractive (qQ < 0)
Convention: le vecteur unitaire 1r est orienté depuis la
charge qui crée la force vers la charge qui subit la force
r
FC,Q/q
Exemples:
q
+
+
-
r
1r
Q
+
+
Energie potentielle (convention: U(R → ∞) = 0 )
électricité
gravitation
énergie potentielle gravitationnelle
de m placé à une distance R de M:
énergie potentielle coulombienne
de q placé à une distance R de Q:
U(R) = - m GM
R
U(R) = q
signe "-" car attraction
kQ
R
le signe de U(R) dépend des charges
U(R)
répulsion (qQ > 0)
U(R)
0
R
0
R
attraction (qQ < 0)
Energie potentielle et Potentiel
est l'énergie potentielle U d'une charge (q)
kQ
due à une autre charge (Q)
U(R) = q
R
est le potentiel électrique V créé par la charge Q
par convention: V=0 à l'infini. Unité: volt (V = J/C)
La charge (test) q placé en un point de potentiel V
possède une énergie potentielle qV:
Uq = qV
kQ
s'il n'y a qu'une charge créant le potentiel
R
N
kQi
avec V = ∑
s'il y a N charges créant le potentiel
R
i=1 i
avec V =
Attention aux signes des charges Qi: addition algébrique des potentiels!
Différence de potentiel ∆V entre deux points de potentiels différents,
et donc différence d'énergie potentielle ∆U = q ∆V.
Force et Champ
est la force F qu'exerce la charge Q
sur la charge q
est le champ E créé par la charge Q
Unités: N/C ou V/m
La charge (test) q placé en un point d'un champ E
est soumise à une force qE:
r
r
Q
F = q k 1r
r2
Fq = qE
r
r
Q
avec E = k 1 r s'il n'y a qu'une charge créant le champ
r2
r N Q r
avec E = ∑k i 1 ri s'il y a N charges créant le champ
2
r
i=1 i
Attention à l'orientation du champ qui dépend du signe de la charge Q.
Les champs s'additionnent vectoriellement!
Application
y
Que valent au point P le potentiel et
le champ électrique créés par les deux charges?
q
VP,+q = k
a
+q (0,2a)
−3q
-3kq
VP,-3q = k
=
a2+a2 a 2
a
P (0,a)
*
a
0
a
-3q (a,0)
x
q
EP,+q = k
a2
3q
EP,−3q = k
2a2
q⎛
⎞
VP,total = k ⎜1 - 3 ⎟
a⎝
2⎠
selon Ox
0
3q
cos45°
k
2a2
selon Oy
−k
q
a2
3q
sin45°
-k
2a 2
(
)
r
⎡ 3q
⎤
q 3
Etotal = ⎢k
cos45° , - k 1+ sin45° ⎥
a2 2
⎣ 2a2
⎦
Fq = qE
Pour déterminer la force, il suffit de connaître le champ,
peu importe les charges qui créent le champ!
La loi de Newton pour une charge q soumise à un champ devient:
Quelques valeurs:
mq a = q E
e- = -1.6 10-19 C
p+ = 1.6 10-19 C
me = 9.1 10-31 kg
mp = 1.7 10-27 kg
D'où l'importance de pouvoir calculer un champ !
Par exemple: calculer le champ en un point P à l'extérieur
d'une plaque plane infinie chargée de façon homogène.
Stratégie:
à ne pas
étudier!
1. en P, le champ est perpendiculaire à la plaque (symétrie)
2. plaque = {anneaux concentriques centrés sur projection de P}
3. anneau = {segments sur toute la circonférence}
4. calcul en P du champ dû à un segment d'un anneau
5. calcul de la composante du champ perpendiculaire à la plaque
6. intégrer sur toute la circonférence de l'anneau
7. intégrer sur toute la surface de la plaque
Résultat pour une plaque chargée infinie:
r
r
Q
E = 2πk 1z
Ce champ est homogène
A
Q
où est la densité de charge
A
r
1z s'écarte de la plaque chargée
Si les deux plaques coexistent avec une même
densité de charges mais de signes opposés:
Q+
d
Q-
E = 0 à l'extérieur des plaques
E = 4πk
Q
entre les plaques (de Q+ vers Q-)
A
Ce champ est homogène
Travail pour amener une charge d'une plaque à l'autre: ∆W = Fd = qEd
C'est aussi la variation d'énergie potentielle : ∆U = qEd
d'où différence de potentiel entre les deux plaques: ∆V = ∆U/q = Ed
Oscilloscope permet de faire des mesures de différence de potentiel
(tube cathodique)
La déflexion du faisceau d'électrons (et donc la position du spot)
est fonction de la différence de potentiel entre les plaques de déviation
écran fluorescent
canon à
électrons
spot lumineux produit
par le faisceau d'électrons
plaques de
déviation
faisceau d'électrons
Application: dans un canon à électrons, les électrons sont accélérés
entre 2 plaques mises à ∆V = 20 kV. Vitesse des électrons?
En allant d'une plaque vers l'autre:
- l'électron perd une énergie potentielle ∆U = |qe ∆V|
- l'électron gagne une énergie cinétique ∆K = ½ me v²
-19 * 20000
2 qe ∆V
2
*
1.6
10
d'où v =
=
= 8.4 107m/s
me
9.1 10-31
(à comparer à c = 3 108m/s ⇒ électron "relativiste")
Remarque: une énergie de 1 eV = (1.6 10-19 C)*(1 V) = 1.6 10-19 J