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PROPRIÉTÉS ET DÉFINITIONS VUES AU COLLÈGE
EN 6e
OBJETS GÉOMÉTRIQUES DE BASES
Définitions
Une droite se note (d) ou (xy) ou (AB) ou (Ax) ou … Une droite n'a pas de longueur.
Une demi-droite se note [Ax) ou [AB) ou … A en est l'origine. Une demi-droite n'a pas de longueur.
Un segment se note [AB]. Il a une longueur qui se note AB.
Un point M est sur la droite (d). On note M (d) qui signifie " M appartient à (d) "
Un point N n’est pas sur la demi-droite [AB). On note N  [AB) signifiant " N n’appartient pas à [AB) "
Le milieu I d'un segment [AB] est le point I tel que : I  [AB] et AI = IB = AB : 2
La médiatrice d'un segment est la droite qui est perpendiculaire au segment en son milieu.
Angles
Deux angles sont adjacents si : - Ils ont le même sommet
- Ils ont un côté commun
- Ils sont de part et d’autre du sommet commun
On appelle bissectrice d'un angle la demi-droite issue du sommet et partageant cet angle en 2 angles adjacents et de
même mesure.
Propriétés
Si un point M appartient à la médiatrice du segment [AB] alors on a : MA = MB
Si un point est tel que MA = MB alors il appartient à la médiatrice du segment [AB].
Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est alors perpendiculaire à l’autre.
SYMÉTRIE AXIALE
Définitions
Deux figures F et F’ sont symétriques par rapport à une droite (d) si elles se superposent par pliage le long de (d).
Une droite (d) est un axe de symétrie d'une figure F si le symétrique de F par rapport à (d) est la figure elle-même.
Le point A’ est le symétrique du point A par rapport à la droite (d) lorsque (d) est la médiatrice de [AA'].
Propriétés
La symétrie par rapport à une droite (d) conserve la nature et les propriétés des figures (forme, longueurs, alignement,
parallélisme, orthogonalité, la mesure des angles…).
La médiatrice d'un segment est un de ses axes de symétrie, le 2e étant la droite portant le segment.
La bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de l'angle.
FIGURES USUELLES
Généralités
Un polygone est une ligne fermée constituée de segments appelés les côtés.
Un triangle est un polygone à 3 côtés. Un quadrilatère un polygone à 4 côtés. …..
Triangles

Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.
Les angles opposés au sommet principal sont de même mesure.
Un triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de sa base et la bissectrice de son sommet principal.
Un triangle équilatéral est un triangle qui a 3 côtés de même longueur.
Un triangle équilatéral est trois fois isocèle : tous ses sommets sont principaux et ses mesurent tous 60°.
Un triangle équilatéral a 3 axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés et les supports de ses 3 bissectrices.
Un triangle rectangle isocèle est à la fois rectangle (le sommet principal est le sommet de l’angle droit)
Le périmètre d’un triangle est la somme des longueurs de ses côtés.
L’aire d’un triangle est égal à : (base × hauteur) : 2
Cercles
Un cercle est l’ensemble de tous les points situés à une même distance (LE rayon du cercle) d’un point, LE centre.
Tout segment joignant le centre à l’un des points du cercle est UN rayon du cercle.
Une corde est un segment qui joint deux points du cercle.
UN diamètre est une corde qui passe par le centre du cercle. Sa longueur s’appelle LE diamètre du cercle.
Tout point d'un cercle est la même distance du centre
Tout point M situé à la même distance d'un point O appartient à un cercle de centre O et de rayon OM
Le périmètre L d’un cercle de rayon R est donné par la formule : L = 2 × π × R
L’aire A d’un disque de rayon R est donnée par la formule : A = π × R²
Carrés, rectangles, losanges : → voir partie 5e
EN 5e
INÉGALITÉ TRIANGULAIRE et CONSTRUCTIBILITÉ DES TRIANGLES
Quels que soient les points A, B et C, on a : AB ≤ AC + CB
 Si le point C appartient au segment [AB], alors AB = AC + CB
 Inversement, si AC + CB = AB alors le point C appartient au segment [AB].
 Si les points A, B et C ne sont pas alignés (ABC est donc un triangle), alors on a :
AB < AC + CB AC < AB + BC BC < BA + AC
 Inversement, on ne peut construire un triangle que si la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des
longueurs des 2 autres côtés. En pratique, il suffit de regarder si la longueur du plus grand des côtés est
inférieure à la somme des 2 autres longueurs.
SOMME DES ANGLES D’UN TRIANGLE
La somme des mesures des 3 angles d’un triangle est égale à 180°.
SYMÉTRIE CENTRALE
Définitions
Dire que 2 figures F et F’ sont symétriques par rapport à un point O signifie que ces 2 figures se superposent par
demi-tour autour de ce point, le centre de symétrie.
Un point O est centre de symétrie d'une figure lorsque cette figure est sa propre image dans la symétrie de centre O.
Le rectangle, le carré, le losange et le cercle ont un centre de symétrie.
Dans la symétrie de centre O, le symétrique d'un point M est le point M' tel que le point O soit le milieu du [MM'].
Propriétés

La symétrie centrale conserve la nature et les propriétés des figures (forme, longueurs, aires, alignement,
parallélisme, orthogonalité, la mesure des angles…).
Le symétrique d’un droite (d) par rapport à un point O est une droite (d’) parallèle à la droite (d), …
ANGLES ET PARALLÉLISME
Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui ont le même sommet et dont les côtés sont dans le
prolongement l’un de l’autre. Deux angles opposés par le sommet sont égaux.
Deux angles sont adjacents lorsqu’ils ont le même sommet, un côté commun et sont de part et d’autre de ce côté
commun .
Deux angles sont complémentaires lorsque leur somme est égale à 90°.
Deux angles sont supplémentaires lorsque leur somme est égale à 180°.
DEFINITION
FIGURE
PROPRIÉTÉS
Soit () sécante commune à 2 droites (d) et (d') respectivement en A et en A'
Deux angles de sommet A et A'
sont alternes-internes lorsqu’ils
sont situés :
 de part et d’autre de la droite
() ;
 entre les droites (d) et (d') ,
Donc  = 
Donc (d) // (d')
Deux angles alternes-internes
formés par deux parallèles et
une sécante commune ont
même mesure.
Si deux droites coupées par une
sécante commune forment deux
angles alternes-internes de
même mesure, alors les droites
sont parallèles.
Deux angles de sommet A et A'
sont correspondants lorsqu’ils
sont situés :
 d’un même côté de la droite
 ;
 l’un entre les droites (d) et
(d') , l’autre pas.
Donc  = 
Donc (d) // (d')
Deux angles correspondants
formés par deux parallèles ont
même mesure.
Si deux droites coupées par une
sécante commune forment deux
angles correspondants de même
mesure, alors les droites sont
parallèles.

QUADRILATÈRES PARTICULIERS
Définitions et propriété fondamentale
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux.
Le parallélogramme a un centre de symétrie O, point d'intersection de ses diagonales.
Ce centre de symétrie est appelé " centre du parallélogramme ".
Propriétés relatives au parallélogramme.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés ont la même longueur.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés ont la même mesure.
Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles 2 à 2, alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a ses diagonales ayant même milieu alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère NON CROISE a 2 côtés opposés parallèles ET de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère NON CROISE a ses côtés opposés 2 à 2 de même longueur, alors c’est un parallélogramme
Parallélogrammes particuliers
Puisque le rectangle, le carré, le losange ont un centre de symétrie, ce sont des parallélogrammes particuliers.
Un rectangle est un quadrilatère ayant 4 angles droits. Les diagonales du rectangle sont de même longueur.
Un losange est un quadrilatère ayant ses 4côtés de même longueur. Les diagonales du losange sont perpendiculaires
Un carré est un quadrilatère qui possède 4 angles droits et qui a ses 4 côtés de même longueur.
C'est donc à la fois un losange et un rectangle. Les diagonales du carré sont perpendiculaires et même longueur
Comment démontrer qu’un parallélogramme est un rectangle
Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs perpendiculaires alors c'est un rectangle.
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c'est un rectangle.
Comment démontrer qu’un parallélogramme est un losange
Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange.
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange.
Comment démontrer qu’un parallélogramme est un carré
Si un quadrilatère est à la fois un losange et un rectangle alors c'est un carré.
Périmètres
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 m = 0,1 dam = 0,01 hm = 0,001 km
Périmètre du rectangle de longueur L et de largeur l : p = 2 (L + l )
Périmètre du carré de côté c : p = 4c
Périmètre du losange de côté c : p = 4c
Périmètre du parallélogramme de longueur L et de largeur l : p 2(L + l)

Aires
1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² = 1 000 000 mm² 1 m² = 0,01 dam² = 0,00001 hm² = 0,0000001 km²
1 ha = 1 hm² 1 a = 1 dam² 1 ca = 1 m²
Aire du rectangle de longueur L et de largeur l : A = L × l
Aire du carré de côté c : A = c²
Aire du losange de diagonale D et d : A = ( D × d ) : 2
Aire du parallélogramme de base b et de hauteur relative h : A = b × h
EN 4e
DÉMONSTRATION
Les Règles du débat mathématiques
Pour savoir si un énoncé (une propriété, par exemple) est juste ou faux, on utilise certaines règles :
- Un énoncé mathématique est soit toujours juste, soit faux.
- Donner des exemples qui vérifient un énoncé ne suffit pas pour prouver que celui-ci est vrai.
- Par contre, pour prouver qu’un énoncé est faux, un exemple suffit : on l'appelle "contre-exemple".
- Une constatation ou des mesures sur un dessin ne suffisent pas pour prouver qu'un énoncé de géométrie est vrai
- Il faut utiliser des propriétés et / ou définitions en géométrie et des propriétés et le calcul littéral en algèbre.
Démonstration en géométrie
Une démonstration est une succession de chainons déductifs qui partent des données et arrivent à la conclusion. Un
chainon déductif ou démonstration à un pas est un enchainement de phrases qui peut se présenter sous la forme :
Ce que je sais Ce que j'utilise Ce que j'en déduit.
On doit s'assurer que l'on a bien compris ce qu'il fallait démontrer.
Les données sont les mesures ; mots-clés ; les codages et les mesures sur la figure (même à main levée).
Mais ce sont aussi les conclusions établies lors de précédents chainons déductifs.
Ce que l'on pense voir sur la figure n'est pas une donnée mais un avis personnel !
Si la figure n'est pas faite, il est conseillé de la construire même à main levée mais elle doit être codée et l'on indiquer
les mesures des angles et des segments connues.
Attention à ne pas utiliser la réciproque à la place de la propriété directe.
Une rédaction aérée est plus facile à lire. Dans la mesure du possible, il vaut mieux écrire des phrases courtes.
Le vocabulaire utilisé doit être précis. Ne pas mettre d'abréviations dans les phrases. Ne pas confondre les notations.
On doit se poser la question : "Est-ce que j'ai répondu à la question ?"
DONNÉES
PROPRIÉTÉ
CONDITIONS CONCLUSION
DE LA PROPRIÉTÉ
CONCLUSION