etude de la methode d`optimisation de rackwitz

Institut Supérieur d’Informatique, Polytech’ Clermont-Ferrand
de Modélisation et de leurs Applications
Complexe des Cézeaux Complexe des Cézeaux
BP 125 BP 206
63173 Aubière Cedex 63174 Aubière Cedex
Rapport de projet de 3ème année
Filière F4 - Calcul et modélisation scientifiques
________________________________________________________________________________
ETUDE DE LA METHODE D’OPTIMISATION
DE RACKWITZ
________________________________________________________________________________
Présenté par : Benoît GALLAND et Christophe MAETZ
Responsable : Michel FOGLI (Polytech' Clermont-Ferrand)
Durée : 100h
Octobre 2007 à mars 2008

Institut Supérieur d’Informatique, Polytech’ Clermont-Ferrand
de Modélisation et de leurs Applications
Complexe des Cézeaux Complexe des Cézeaux
BP 125 BP 206
63173 Aubière Cedex 63174 Aubière Cedex
Rapport de projet de 3ème année
Filière F4 - Calcul et modélisation scientifiques
________________________________________________________________________________
ETUDE DE LA METHODE D’OPTIMISATION
DE RACKWITZ
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Présenté par : Benoît GALLAND et Christophe MAETZ
Responsable : Michel FOGLI (Polytech' Clermont-Ferrand)
Durée : 100h
Octobre 2007 à mars 2008

Remerciements
Nous remercions M. Michel Fogli, notre responsable de projet, pour son aide et ses
conseils pour la compréhension de l’algorithme principal et l’élaboration du projet. Nous
remercions également M. Jonas Koko, professeur à l’ISIMA, pour ses explications dans
l’utilisation de fonctions d’optimisation de Matlab.

Table des figures et illustrations
1.1 Représentation graphique de la fonction contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Illustration de l’algorithme de Rackwitz (initialisation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Illustration de l’algorithme de Rackwitz (itération 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Illustration de l’algorithme de Rackwitz (itération 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Illustration de l’algorithme de Rackwitz (solution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1 Exécution de l’algorithme de Rackwitz dans le cas d’un hyperplan en 2D . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Convergence en nombre d’itérations dans le cas d’un hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Convergence en temps d’exécution dans le cas d’un hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Influence de l’initialisation sur le nombre d’itérations dans le cas d’un hyperplan . . . . . . . . 22
3.5 Intersections possibles entre une droite issue de l’origine et une parabole . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6 Intersections possibles entre une droite issue de l’origine et une hyperbole . . . . . . . . . . . . . 23
3.7 Cas de non convergence de l’algorithme de Rackwitz avec une parabole. . . . . . . . . . . . . . . 24
3.8 Exécution de l’algorithme de Rackwitz avec un domaine non connexe . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.9 Exécution de l’algorithme de Rackwitz avec un domaine non connexe (zoom) . . . . . . . . . . 26
3.10 Convergence en nombre d’itérations dans le cas de paraboloïdes / hyperboloïdes . . . . . . . . 26
3.11 Exemple d’un domaine délimité par un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.12 Convergence en nombre d’itérations dans le cas d’ellipsoïdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.13 Convergence en nombre d’itérations pour des cas divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.14 Convergence en temps d’exécution pour des cas divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Résumé
L’objet de ce projet est l’étude de la méthode d’optimisation de Rackwitz. Nous avons testé
cette méthode récente, principalement utilisée dans le domaine de la fiabilité, sur un problème
d’optimisation non linéaire : la minimisation, dans un espace à n dimensions, d’une norme d’un
vecteur avec une fonction contrainte non linéaire.
Notre travail a consisté tout d’abord à implémenter l’algorithme de Rackwitz, puis deux
autres algorithmes itératifs de type gradient projeté et lagrangien augmenté. La méthode de
Rackwitz a été analysée quant à sa convergence et comparée aux autres méthodes selon des critères
que nous avons sélectionnés.
L’implémentation des différentes méthodes d’optimisation ainsi que la visualisation des
résultats ont été faites dans l’environnement Matlab.
Mots-clés : optimisation non linéaire, algorithme de Rackwitz, gradient projeté,
lagrangien augmenté, Matlab
Abstract
The purpose of this project is the study of the Rackwitz optimization method. We have tested
this recent method, principally used in the reliability domain, on a nonlinear optimization
problem: the minimization, in a n-dimensional space, of a vector’s norm with a nonlinear constraint
function.
We have first implemented the Rackwitz algorithm, then two other iterative algorithms,
projected gradient and augmented Lagrangian methods. We have analysed the Rackwitz method
about its convergence and compared it to the other methods with criteria we have selected.
The implementation of the different optimization methods and the visualization of results
have been realized in the Matlab environment.
Keywords : nonlinear optimization, Rackwitz algorithm, projected gradient
augmented Lagrangian, Matlab