Compléments d`analyse : Théorie de la mesure et - IMJ-PRG

Compléments d’analyse : Théorie de la mesure
et analyse spectrale
Extrait d’un cours de M2 donné à l’automne 2013 à l’IMJ
Paul Laurain
15 novembre 2013

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Table des matières
1 Introduction 7
1.1 Théorie de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Théoriespectrale ......................... 7
2 Rappels de théorie de la mesure 11
2.1 Théorie élémentaire de l’intégrale de Lebesgue . . . . . . . . . 11
2.2 Prolongement et complétion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Intégration sur un espace produit . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Mesure de Borel positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Mesure de Lebesgue 29
3.1 Construction de la mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Ensemble non-mesurable au sens de Lebesgue . . . . . . . . . 30
3.3 L’intégrale de Lebesgue généralise l’intégrale de Riemann . . . 31
4 Deux théorèmes fondamentaux 35
4.1 ThéorèmedeRiesz ........................ 35
4.1.1 Convergence et compacité faible des mesures de Radon 40
4.1.2 Mesure de Haar et analyse sur les groupes localement
compacts ......................... 43
4.1.3 Représentation des groupes localement compacts . . . . 47
4.2 Mesures complexes, théorème de Lebesgue-Radon-Nikodym et
applications ............................ 48
4.2.1 Mesures complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.2 Fonction maximale et points de Lebesgue . . . . . . . . 50
4.2.3 Théorème de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.4 Application ........................ 56
3

4TABLE DES MATIÈRES
5 Intégration à valeurs vectorielles 59
5.1 Intégration dans un espace réflexif . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Intégrale de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 Formule de Cauchy généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 Généralités sur les algèbres de Banach 63
6.1 Rappel sur les espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Définitions............................. 64
6.3 Spectre d’un élément d’une algèbre de Banach . . . . . . . . . 66
6.4 Idéaux, caractères et transformé de Gelfand . . . . . . . . . . 68
6.5 Exemples d’applications de la théorie de Gelfand . . . . . . . . 71
6.6 Théorème de Levy-Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7 Opérateur sur un espace de Hilbert et Cú-algèbre 75
8 Théorème de Gelfand-Naimark 79
8.1 Théorème de Gelfand-Naimark(version commutative) . . . . . 79
8.2 Calcul fonctionnelle continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.3 Etats, construction GNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.4 Théorème de Gelfand-Naimark . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9 Opérateurs bornés 87
9.1 Rappel sur les espaces de Hilbert complexes . . . . . . . . . . 89
9.2 Généralités ............................ 89
9.3 Les opérateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.4 Alternative de Fredholm et spectre d’un opérateur compact . 93
9.5 Un exemple : le laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.5.1 Harmoniques sphériques et représentation de SO(3) . . 99
9.6 Operateur de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.7 Les opérateurs à trace, les opérateurs de Hilbert-Schmidt et
lesopérateursànoyau ......................106
9.8 Théorème de décomposition spectrale . . . . . . . . . . . . . . 110
9.8.1 Mesures spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.8.2 Le théorème spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.8.3 Applications........................113

TABLE DES MATIÈRES 5
10 Opérateurs non-bornés 123
10.1 Définitions et généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.2 Le calcul fonctionnel borélien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.3Théorèmespectral ........................134
10.3.1 Première version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
10.3.2 Deuxième version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10.4 Un exemple : l’équation de Schrödinger 1D . . . . . . . . . . 138
10.4.1 L’opérateur ≠d2
dx2.....................138
10.4.2 L’opérateur ≠d2
dx2+q...................138
10.5 Application au flot d’opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.5.1 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.5.2 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.5.3 L’equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.6 Le laplacien suite et fin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.6.1 Deuxexemples ......................145
10.6.2 Fonction de Green et Noyau de la chaleur . . . . . . . 146
11 La physique quantique, une théorie d’opérateurs... 149
11.1 Opérateurs position et moment . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
11.2 Les axiomes de base de la théorie quantique . . . . . . . . . . 151
11.3 L’équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.4 L’interprétation d’Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11.5 Solution de l’équation de Schrödinger libre sur IR .......155
11.6 L’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
11.7 Le moment angulaire en mécanique quantique et la notion de
spin ................................158
11.8LaQuantification.........................160
12 Problèmes 161
12.1Fonctionmaximale ........................161
12.2 Principe du min-max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Bibliographie 171