République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur & de la Recherche Scientifique FACULTE DES SCIENCES DE LA TECHNOLOGIE DEPARTEMENT ELECTROTECHNIQUE MEMOIRE DE MASTER DOMAINE : SCIENCES & TECHNOLOGIE FILIERE : ELECTROTECHNIQUE SPECIALITE : ELECTROTECHNIQUE Thème Modélisation et calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre M.BIDI MANEL Encadreur Présenté par : CHEKHMOUM SALIHA Promotion : Juin 2015 Abstract Maxwell’s partial differential equations of electrodynamics formulated in the late nineteenth century represent a fundamental unification of electric and magnetic fields, predicting electromagnetic propagation phenomena. In this thesis, a lightning return stroke model is chosen to illustrate an electrodynamic phenomenon. The lightning channel current is modelled by analytic approximation in the form of Heidler function taking into account the speed of propagation and the decreasing amplitude giving an accurate representation of the phenomenon. Key words: Electrodynamics, Maxwell’s equations, FDTD, lightning strike. RESUME Les équations aux dérivées partielles de Maxwell de l’électrodynamique étaient formulées au début du 19eme siècle caractérisant une unification fondamentale entre les champs électriques et magnétiques pour prédire les ondes électromagnétiques. Dans cette thèse, le modèle du canal de la foudre a été choisi pour illustrer un phénomène électromagnétique. Plusieurs modèles analytiques représentant le courant dans le canal, ont été développés. Le modèle choisi pour cette étude est la fonction de Heidler. Le modèle Heidler prend en considération la vitesse de propagation et la décroissance d’amplitude permettant ainsi une bonne représentation du phénomène. Mots clés : Electrodynamique, équations de Maxwell, FDTD, coup de foudre اﻟﺘﻤﮭﯿﺪ اﻟﺘﻲ ﺻﯿﻐﺖ أواﺧﺮ اﻟﻘﺮن اﻟﺘﺎﺳﻊ ﻋﺸﺮ ﺗﻤﺜﻞ اﻷﺳﺎس اﻟﻤﻮﺣﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﺤﻘﻮل،ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺎﻛﺴﻮال اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﯿﺔ ﻟﻠﻜﮭﺮودﯾﻨﺎﻣﯿﻚ .اﻟﻜﮭﺮﺑﺎﺋﯿﺔ و اﻟﻤﻐﻨﺎطﯿﺴﯿﺔ و اﻟﺘﻲ ﺗﻨﺒﺄت ﺑﻈﺎھﺮة اﻷﻣﻮاج اﻟﻜﮭﺮوﻣﻐﻨﺎطﯿﺴﯿﺔ ﻟﺘﻮﺿﯿﺢ ظﺎھﺮة ﻣﻦ اﻟﻈﻮاھﺮ اﻟﻜﮭﺮودﯾﻨﺎﻣﯿﻜﯿﺔ اﺧﺘﯿﺮ ﻟﮭﺬه اﻷطﺮوﺣﺔ ﻧﻤﻮذج اﻟﻀﺮﺑﺔ اﻟﻤﺮﺗﺪة ﻟﻠﺼﺎﻋﻘﺔ ﺗﻢ ﺗﻄﻮﯾﺮ ﻧﻤﺎذج ﺗﺤﻠﯿﻠﯿﺔ ﻟﺘﻤﺜﯿﻞ اﻟﺘﯿﺎر اﻟﻜﮭﺮﺑﺎﺋﻲ ﻟﻠﺼﺎﻋﻘﺔ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﻋﻼﻗﺔ ھﺎﯾﺪﻟﺮ آﺧﺬﯾﻦ ﺑﻌﯿﻦ اﻻﻋﺘﺒﺎر ﺳﺮﻋﺔ و ﺗﻨﺎﻗﺺ اﻟﺴﻌﺔ ﻣﻤﺎ .ﯾﺴﻤﺢ ﺑﺘﻤﺜﯿﻞ ﺟﯿﺪ ﻟﻠﻈﺎھﺮة . ﺿﺮﺑﺔ ﺻﺎﻋﻘﺔ،FDTD ، ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺎﻛﺴﻮال، اﻟﻜﮭﺮودﯾﻨﺎﻣﯿﻚ:اﻟﻜﻠﻤﺎت اﻟﻤﻔﺘﺎﺣﯿﺔ REMERCIEMENTS AU TERME DE CE TRAVAIL JE REMERCIE PREMIÈREMENT « DIEU» QUI NOUS A AIDÉ ET POUR LA VOLONTÉ, LA SANTÉ, QU’IL NOUS A DONNÉ DURANT TOUTES CES ANNÉES D’ÉTUDE. JE TIENS À REMERCIER TRÈS VIVEMENT MON ENCADREUR Mme BIDI MANEL POUR LE SUIVI, LE CONSEIL LA CONFIANCE ET QUI GRÂCE À ELLE J’AI PU RÉALISER CET OBJECTIF. LE GRAND REMERCIEMENT AUSSI POUR TOUS LES ENSEIGNANTS DU DÉPARTEMENT D’ELECTROTECHNIQUE QUI ONT CONTRIBUÉ À NOTRE FORMATION. EN FIN JE TIENS À EXPRIMER MA RECONNAISSANCE À TOUS MES AMIS ET COLLÈGUES POUR LEUR SOUTIEN ET LEUR COMPRÉHENSION, ET TOUTE MA FAMILLE. Dédicace Je dédie ce modeste travail… A mes chers parents, A mes frères et sœurs, A toute ma famille, A tous mes amies, A tous ceux qui m’ont soutenu pendant toute la durée de mes études. Liste des Symboles et Acronymes 2014/2015 LISTE DES SYMBOLES ET ACRONYMES Symboles Acronymes R Résistance de terre L L'inductance propre I Le courant de foudre v La vitesse de l’arc en retour Z' Un point du canal de foudre t Le temps λ Le facteur de décroissance H La longueur totale du canal de foudre c La vitesse de la lumière P (z') Est le facteur d’atténuation d’écrit dans les modèles MTLE et MTLL. ݒ La vitesse du front v La vitesse de propagation de l'onde du courant ݅ L’amplitude du courant à la base du canal ܪ௧௧ La hauteur totale du canal de foudre ݅ଵ L’amplitude du courant à la base du canal ݅ଶ L’amplitude du courant à la base du canal α Constante de temps β Constante de temps γ Constante de temps iii Liste des Symboles et Acronymes δ Constante de temps ߬ଵ Constante du temps du front du courant ߬ଶ Constante du temps de décroissance du courant η Facteur de correction de l’amplitude n Est un exposant variable entre 2 et 10 ܧ௭ Le champ électrique vertical ܪఝ Le champ magnétique azimutal ܧ 2014/2015 Le champ électrique radial ߝ La permittivité diélectrique du vide ߤ La perméabilité magnétique du vide R La distance du dipôle au point d’observation r La distance horizontale entre le canal de foudre et le point d’observation P Le point d’observation ߪ௦ La conductivité du sol ߩ La densité de charge volumique ሬԦ ܦ L’induction électrique ሬԦ ܤ L’induction magnétique ܧሬԦ Le champ électrique ሬԦ ܪ Le champ magnétique ଔԦ La densité surfacique du courant ଔԦ La densité de courant de conduction électrique induit ou iii Liste des Symboles et Acronymes 2014/2015 inducteur ଔԦ௦ La densité de courant source ଔԦௗ La densité de courant résultant de phénomène induit. ଔԦ La densité de courant de déplacement iii Bibliographie 2014/2015 INTRODUCTION GENERALE ……………………………………………………………1 Chapitre I : Généralité sur la foudre Introduction……………………………………………………………………………………..2 I.1 Historique……………………………………………………………………………………2 I.2 Mécanisme de la formation de l'orage…………………………………………………….....2 I.3.L’effet de pointe……………………………………………………………………………..3 I.4Les différents coups de foudre…………………………………………………………….....4 I.5 L’éclair et le déclenchement du foudre……………………………………………………...5 I.6 Le traceur………………………………………………………………………………….....6 I.7 L’arc en retour…………………………………………………………………………….....7 I.8 Type de coup de foudre……………………………………………………………………..8 I.8.1 Coups de foudre indirect (sur conducteurs de garde ou pylônes) ………………………..8 I.8.2 Coups de foudre direct (sur conducteurs de phase)………………………………………8 I.9 Propagation d’onde………………………………………………………………………….9 I.10 Onde de foudre …………………………………………………………………………....9 I.11 Le champ électromagnétique génère par la foudre………………………………………..10 I.12 Caractérisation du champ électromagnétique rayonné par la foudre……………………...11 I.13 Les paramètres électriques de la foudre…………………………………………………...12 I. 14 Les effets de la foudre……………………………………………………………………12 I.14.1 Les effets électriques……………………………………………………………………12 I.14.2 Les effets thermique…………………………………………………………………….12 I.14.3 Les effets électromagnétiques…………………………………………………………..13 I.14.4 Les effets acoustiques…………………………………………………………………..14 I.14.5 Les effets sur l’homme et l’être vivants…………………………………………………14 I.14.6 Les effets sur les structures……………………………………………………………...14 I.15Un système qui protège l’ensemble du bâtiment…………………………………………..14 I.15.1 Les composantes d’un système moderne de protection contre la foudre……………….14 I.15.1.1Le dispositif de capture………………………………………………………………..14 I.15.1.2Les conducteurs de descente…………………………………………………………..15 I.15.1.3La prise de terre………………………………………………………………………...15 I.15.1.4La protection à l’intérieur………………………………………………………………15 I.16 Bâtiments à protéger obligatoirement contre la foudre……………………………………16 Conclusion………………………………………………………………………………………17 iii Bibliographie 2014/2015 Chapitre II : Modélisation du courant de l’arc en retour Introduction…………………………………………………………………………........... 18 II.1 Modélisation de la distribution du courant de l’arc en retour dans le canal de foudre……………………………………………………………………………………... 18 II.1.1 Classification des modèles de l’arc en retour………………………………………. 18 II.1.1 .1 Modèles physiques. ……………………………………………………………... 18 II.1.1 .2 Modèles électromagnétiques. …………………………………………………… 18 II.1.1 .3 Modèles RLC. ………………………………………………................................ 19 II.1.1 .4 Modèles d’ingénieur. ……………………………………………………………. 19 II.1.2 Modèles d’ingénieurs. ……………………………………………………………... 19 II.1.2 .1 Modèle de Bruce et Golde (BG). ……………………………………................... 19 II.1.2 .2 Modèle de Ligne de transmission (TL). ………………………………………… 21 II.1.2 .3 Modèle de ligne de transmission modifiée (MTL). ……………………………... 21 II.1.2 .3.a Modèles de lignes de transmission modifiées avec atténuation linéaire (MTLL)………………………………………………………………………………….... 22 II.1.2 .3.b Modèle de ligne de transmission modifiée avec atténuation exponentielle du courant (MTLE)…………………………………………………………………………... 22 II.1.2 .4 Modèle de la source de courant progressive (Travelling Curent Source) (TCS)... 22 II.1.2 .5 Modèle de Diendorfer Uman (DU, model)……………………………………… 22 II.2 Généralisation : Les modèles ingénieurs. ……………………………………………. 23 II.3 Détermination du courant de foudre à la base du canal. ……………………………... 24 II.3.1 Forme analytique du courant de foudre. …………………………………………… 24 II.3.2 La comparaison entre les différents modèles de distribution du courant de l’arc en retour. …………………………………………………………………………………….. 26 Conclusion. …………………………………………………………………………......... 29 Chapitre III : Modélisation du champ EM Introduction………………………………………………………………………….. 30 III.1 L’électromagnétisme………………………………………………………………. 30 III.1.1 Définition …………………………………………………………………………. 30 III.1.2 Le champ électromagnétique. …………………………………………………….. 30 III.1.3 Les équations de Maxwell…………………………………………………………. 30 iii Bibliographie 2014/2015 III.1.4 Les conditions de passage entre deux milieux différents …………………………. 32 III.2 Le modèle de calcul du champ électromagnétique………………….......................... 32 III.3Géométrie du problème ……………………………………………………………... 33 III.4Formulation du champ électromagnétique rayonné par la foudre …………………… 34 III.4.1 Cas d’un sol parfaitement conducteur …………………………………………….. 34 III.4.1 .1 Le modèle de calcul du champ magnétique ……………………………………. 35 III.4.1 .2 modèle de calcul du champ électrique …………………………………………. 36 III.4.2 Prise en compte de la conductivité finie du sol……………………………............ 46 III.4.3 Expression du champ rayonné dans un sol de conductivité finie ……………........ 49 Conclusion. ……………………………………………………………………………….. 51 CONCLUTION GENERALE …………………………………………………………….53 Bibliographie………………………………………………………………….54 iii Introduction Générale INTRODUCTION GENERALE 2014/2015 INTRODUCTION GENERALE Toutes installions électriques, lignes de transmission aérienne ou appareillages sont soumis aux phénomènes perturbateurs naturels. Parmi ces phénomènes on précise la foudre. Cette dernière influe directement sur les réseaux électriques par l'impact direct sur les lignes ou indirectement par un rayonnement électromagnétiques. Ce travail est consacré à la modélisation du courant et le champ électromagnétique de l’arc en retour engendré par un coup de foudre. Nous avons basé dans cette étude sur la comparaison entre les différents modèles pour la modélisation du courant de l’arc en retour, d'où conclure le quel parmi ces modèles qui s'approche à la réalité. Ce mémoire se composé de trois chapitres, Il est présenté comme suit : Dans le chapitre I je présente des généralités sur la foudre, la formation des orages et les différents coups de foudre ainsi que ses effets. Le chapitre II est consacré à la présentation des principaux modèles d'ingénieur des courants d'arc en retour d'un coup de foudre initié du sol (BG, TL, TCS, MTLL, MTLE).et la présentation des résultats de la modélisation du courant d'arc en retour. Le dernier chapitre est réservé pour la présentation des résultats de la modélisation du champ électromagnétique avec conductivité infinie (cas d’un sol parfait) et aussi le cas d’une conductivité finie du sol. 1 Chapitre I Généralité sur la foudre Chapitre I : Généralité sur la foudre 2014/2015 Introduction Ce premier chapitre a pour but la connaissance de l’origine de la décharge naturelle, d’où en tenant compte leurs causes et conséquences. La foudre constitue une source de perturbation majeure pour le bon fonctionnement des réseaux. En effet, on distingue deux types d’agressions de la décharge orageuse, selon que l’éclair touche directement l’ouvrage où tombe à proximité. I.1 Historique Depuis longue temps de l'humanité, l'homme a été terrorisé et fasciné par la foudre et le tonnerre. Pour expliquer ces phénomènes et pour conjurer le danger, il faisait appel à des divinités. La foudre était associée à la colère des dieux et à la notion de châtiment pour les fautes ou les péchés. On retrouve ces représentations primitives chez tous les peuples et dans toutes les religions de la terre, y compris chez les chrétiens du Moyen Age. Ce n'est qu'au ͳé siècle que l'homme commence à se dégager de ces superstitions, et c'est du ͳͺé siècle que l'on peut dater les débuts de la connaissance proprement scientifique de la foudre. Celle-ci coïncide avec la formidable épopée des travaux de Franklin Nollet.Dalibard et d'autres savants, au cours de laquelle la nature électrique de la foudre fut identifiée, grâce notamment aux expériences du cerf-volant et de la tige de Marly. Le ͳͻé siècle fut principalement consacré à la collecte d'observations visuelles et statistiques de foudroiements, faute d'une instrumentation adéquate pour pouvoir véritablement progresser. Au cours du premier tiers du ʹͲé siècle cependant, disons jusqu'en 1930, divers dispositifs de mesure et d'observation photographique avaient déjà permis de défricher un peu la phénoménologie de l'électricité atmosphérique, et de rassembler quelques données numériques. Depuis le milieu du ʹͲé siècle a aujourd’hui, le développent des réseaux de transport et de distribution d’énergie, de l’informatique et de l’électronique motive sérieusement la recherche en matière de protection contre la foudre et donc sur le phénomène lui-même [1]. I.2 Mécanisme de la formation de l'orage La foudre est définie comme une décharge électrique d'une longueur de plusieurs kilomètres associée à une impulsion de courant transitoire de très forte amplitude. 2 Chapitre I : Généralité sur la foudre 2014/2015 La source la plus commune de la foudre est la séparation des charges dans les nuages d'orage, les cumulo-nimbus. Les orages les plus fréquents font suite à des fronts froids. A l'arrivée d'un de ceux-ci, la masse d'air froid s'infiltre sous l'air chaud et le soulève; ceci engendre des turbulences dans l'air chaud rejeté en altitude: ainsi se forment les nuages d'orage ou les cumulo-nimbus. L'électrisation de ces nuages résulte d'un processus complexe. La distribution des charges dans un nuage d’orage est présentée dans la figure ci-dessous. La partie supérieure, constituée de glace, est chargée positivement (région P), tandis que la partie inférieure constituée de gouttelettes d'eau est chargée négativement (région N). Souvent, un îlot de charges positives (région p) est enserré dans cette masse de charges négatives. A l'approche d'un nuage orageux, le champ électrique atmosphérique au sol qui est de l'ordre d'une centaine de volts par mètre par beau temps commence par s'inverser, puis croît dans de fortes proportions. Lorsqu'il atteint 10 à 20 kV/m, une décharge au sol est imminente [1]. Figure I.1 : La distribution des charges électriques dans la masse d’un nuage répartition du champ électriques au sol au moment au va éclater la foudre [1]. I.3.L’effet de pointe L’effet de pointe peut être mis en évidence de manière simple comme indiqué sur les Figures I.2 et I3. La Figure I.2, présente un claquage dans l’air entre deux sphères de même diamètre, on peut alors noter que le claquage s’effectue sur la plus courte distance 3 2014/2015 Chapitre I : Généralité sur la foudre séparant les deux boules. Dans le cas de la Figure I.3, représentant un phénomène de claquage entre deux pointes, on constate que le claquage se produit entre les deux pointes et ce malgré que la distance soit plus grande [2]. Figure I.2 : claquage dans l'air entre deuxFigure I.3 :claquage dans l'air entre deux sphères pointes I.4Les différents coups de foudre La foudre est la manifestation lumineuse de la décharge électrique entre le sol et le nuage. De nombreuses études menées par Berger, Golde, Mason et Uman , ont permis de mieux comprendre le principe de déclenchement des coups de foudre. Ces diverses études ont permis de classer les coups de foudre en différentes catégories qui sont fonction de deux critères importants : Le premier est lié à l’origine de la décharge et le second à la polarité des charges véhiculées. On obtient alors quatre types de coups de foudre indiqués sur la Figure I.4. 4 Chapitre I : Généralité sur la foudre 2014/2015 Figure I.4: Classification des coups de foudre [2]. Dans les pays tempérés, 90% des décharges orageuses sont de type 1. Ce type de décharge, appelée décharge négative, peut par conséquent être considérée comme la forme la plus commune des décharges nuage-sol. Ce type d'éclair est déclenché par un traceur descendant chargé négativement. Les coups de foudre appartenant à la 3 ème catégorie sont eux aussi déclenchés par un traceur descendant, mais chargé positivement (décharge dite positive). Cette catégorie regroupe moins de 10% des décharges nuage-sol. Enfin, les décharges des catégories 2 et 4 sont déclenchées par des traceurs ascendants et sont relativement rares car elles se produisent généralement aux sommets de montagnes ou de hautes structures [2]. I.5 L’éclair et le déclenchement du foudre L’éclair est un phénomène résulte lorsqu’il y a une décharge produite à l’intérieur du même nuage, ou entre deux nuages orageux (intra-nuage ou inter- nuage) figure I.5. (a) et (b). 5 Chapitre I : Généralité sur la foudre 2014/2015 La décharge qui frappe le sol est appelé foudre ou coup de foudre la figure I.5. (c) illustre le phénomène. Précisons que 90Ψ des décharges se produisent à l’intérieur des nuages (éclaires).on trouve seulement 10Ψ des décharges qui frappent le sol, ce sont les coupes de foudre [1]. Figure I.5 : Les différents types de décharge [1]. I.6 Le traceur Le canal ionise formé établi ainsi entre les deux pôles un pont suffisamment conducteur pour permettre à la foudre de se propager. On dit un traceur car il trace le chemin de l’éclair, en formant une ramification dans le ciel visible par l’œil nu, en progressant par bonds.la figure cidessous présente les différents étapes du développement d’un traceur par bonds [1]. 6 Chapitre I : Généralité sur la foudre 2014/2015 Figure I.6 : Développement du traceur par bonds [1]. I.7 L’arc en retour Dès que la pointe du traceur s’approche du sol, les pré-décharges ascendantes se forment et rejoignent le traceur ascendant situé à quelques dizaines de mètres au-dessus du sol (60 mètre en moyenne), dès que le traceur par bonds négatif rencontre les pré-décharges positives du sol, une connexion se produit entre elle. Les pré-décharges qui neutralisent à ce moment le traceur par bonds en remontant le canal ionisé est appelé « arc en retour» [1]. Figure I.7 : Développement de l’arc en retour [1]. 7 Chapitre I : Généralité sur la foudre 2014/2015 I.8 Type de coup de foudre I.8.1 Coups de foudre indirect (sur conducteurs de garde ou pylônes) Dans ce cas l’écoulement du courant de foudre vers la terre provoque une élévation du potentiel des structures métalliques. La tête du pylône atteint un potentiel dépendant de son inductance propre L et de la résistance de terre R au choc [3]. ܷሺݐሻ ൌ ܴ ݅ כሺݐሻ כ ܮ ௗሺ௧ሻ ௗ௧ (I.1) La tension peut atteindre la limite d’amorçage à l’onde de choc de la chaîne d’isolateurs. Il s’agit de l’«amorçage en retour» ou «backflashover». Une partie du courant se propage alors sur la ou les phases amorcées, vers les utilisateurs ; ce courant est en général supérieur à celui d’un CdF direct [4]. En très haute tension l’amorçage en retour est peu probable (niveau d’amorçage des isolateurs), c’est pourquoi l’installation de câbles de garde est intéressante (interruptions de service limitées). Mais en dessous de 90 kV l’amorçage en retour se produit même pour de faibles valeurs de la résistance de terre (< 15Ω), d’où un intérêt limité (Interruptions de service plus fréquentes) [4]. Figure I.8 : Chute de la foudre sur un câble de garde [4]. I.8.2 Coups de foudre direct (sur conducteurs de phase) On dit un coup de foudre direct lorsque la foudre tombe directement sur un conducteur de phase d’une ligne électrique, la figure suivante illustre le phénomène [4]. 8 Chapitre I : Généralité sur la foudre 2014/2015 Figure I.9 : Chute de la foudre sur un conducteur de phase [4]. I.9 Propagation d’onde La propagation de l’onde de foudre est un concept auquel l’électrotechnicien a peu à faire dans ses travaux quotidiens. Qu’en est-il en réalité ? Toute modification de l’état électrique d’un conducteur en l’un de ses points se propage à grande vitesse, de 150 000 à 300 000 km/s selon le diélectrique entourant le conducteur, soit à la fréquence industrielle de 50 Hz une distance parcourue de 3 000 à 6 000 km en une période. Dans le domaine industriel, cette distance est, sauf cas particulier, sans commune mesure avec la longueur des conducteurs concernés. Il est alors légitime de simplifier en considérant que la transmission d’onde est instantanée en tout point de l’installation. Dans le cas de la foudre, il s’agit de phénomènes à «haute fréquence» : de quelques dizaines de kHz à plusieurs MHz, à comparer avec la «basse fréquence» industrielle de 50 Hz ou60 Hz [4]. I.10 Onde de foudre Le spectre de l’onde de foudre est beaucoup plus large (fréquences très élevées), que celui de l’onde de manœuvre. Un coup de foudre comporte plusieurs décharges 9 Chapitre I : Généralité sur la foudre 2014/2015 (4 en moyenne) et chaque décharge est précédée par des milliers de précurseurs ou traceurs, créant des milliers de surtensions, chacune pouvant être décomposée en série de Fourrier pour former le spectre. La configuration du réseau produit des effets encore plus aléatoires sur ces milliers d’ondes générées par la foudre. En laboratoire, on se borne à simuler la foudre par des ondes bi-expentionnelles, mais cela ne correspond pas à la réalité du spectre observé sur un site donné et résultant d’une multitude de couplages [5]. Exemple d’une onde de laboratoire dite 8/20μs Figure I.10 : Onde normalisée de foudre type 8/20 μs [5]. I.11 Le champ électromagnétique génère par la foudre Les coups de foudre perturbent le fonctionnement des réseaux d’énergie électrique ou de télécommunication, ainsi que les circuits auxiliaires des sous stations. On distingue deux types d’effets de la foudre, selon que l’éclair touche directement l’ouvrage ou tombe à proximité. Dans le premier cas, on parle de coup de foudre direct et dans le second de coup de foudre indirect [6]. On s’intéresse ici au cas du coup de foudre indirect qui génère un champ électromagnétique perturbateur. Ce champ va induire par couplage une tension sur les lignes du réseau de distribution d’énergie et sur les lignes de transmission du système de contrôle commande. L’estimation des effets indirects des coups de foudre est nécessaire pour déterminer une coordination correcte des protections [6]. 10 Chapitre I : Généralité sur la foudre 2014/2015 I.12 Caractérisation du champ électromagnétique rayonné par la foudre Les figures I.11 et I.12 représentent des formes d’ondes typiques des champs électriques et magnétiques pour le premier arc en retour (en trait continu), et les arcs subséquents (en trait discontinu) en fonction de la distance du point d’impact. Les champs EM pour des distances entre 1 km et 200 km présentent un premier pic dont l’intensité est approximativement inversement proportionnelle à la distance. A des distances relativement proches, le champ magnétique présente une bosse (hump) à environ 30 μs, alors que le champ électrique a une croissance en rampe après son pic initial. Les champs électrique et magnétique lointains (distance supérieure à environ 50km du point d’impact) ont essentiellement la même forme d’onde, et présentent une inversion de polarité. Les deux champs sont essentiellement composés de la composante rayonnée des champs totaux. Ils sont caractérisés par un pic initial suivi par une inversion de polarité à quelques dizaines de microsecondes. Nous observons le temps de montée rapide à toutes les distances. Ce temps est un paramètre extrêmement important dans l’évaluation du couplage [7] du champ EM avec une ligne aérienne de transport d’énergie électrique ou avec un câble souterrain. Les Figures I.11 et I.12 : Champ électrique vertical correspondant au premier arc en retour (trait continu) et à l’arc en retour subséquent (trait pointillé) à des distances variant de 1 Km à 200 km [8]. 11 Chapitre I : Généralité sur la foudre 2014/2015 I.13 Les paramètres électriques de la foudre Un coup de foudre est composé en général de plusieurs décharges partielles s’écoulant par le même canal ionisé de l’arc en retour qui est responsable de la majorité des dégâts causés par la foudre, les principales caractéristiques de la foudre sont généralement les suivantes [3] : · Valeur de crête du courant. · Temps de montée. · Temps de décroissance. · Raideur de l’impulsion. · L’énergie spécifique. · La charge totale. · La durée de l’éclair. · Le nombre de l’arc en retour. · L’onde de choc acoustique (tonnerre). I. 14 Les effets de la foudre La foudre est un courant électrique de haute fréquence qui entraine les mêmes effets que tout autre courant circulant dans un conducteur électrique notamment. Dans ce paragraphe sont pris en considération les principaux effets, directs et indirects [3]. I.14.1 Les effets électriques Dans le chemin varies et complexe empruntés par la foudre pour s’écouler dans le sol apparaissent des différences de potentiel importantes sur de faible distances provoquant des claquages locaux qui endommagent les conducteur présents dans le sol. Ces tensions présentent un grave danger pour les êtres vivants en surface (tension de pas) [9]. I.14.2 Les effets thermique La décharge atmosphérique produit la fusion des parties métalliques. Les coups chauds peuvent enflammer du bois sec et provoquer des incendies. On assiste à l’éclatement explosif d’arbre, de mats mauvais conducteurs, de poutres et de murailles là ou s’accumule l’humidité (fortes densité 12 Chapitre I : Généralité sur la foudre 2014/2015 de courant). Dans des sols mauvais conducteurs (silice) il y a vitrification au passage du courant (formation de fulgurites). Sur des surfaces métalliques planes, si l’on suppose que la chute de tension anodique U à la racine de l’arc reste constante pendant la durée de la décharge, l’énergie dissipée localement vaut W = Q U .Par exemple un coup moyen (Q=30 C, U =20 V, W = 600 J) entraine la fusion d’environ 60 ݉݉ଷ d’acier ce qui correspond a une pénétration de 0.15 à 0.25 ݉݉ dans ce métal (0.1 à 0.6 ݉݉ dans le cuivre ou l’aluminium) sur un diamètre de 25 mm en supposant qu’aucune chaleur ne soit dissipé dans la masse du métal. Un coup exceptionnel (Q = 300 C) perce des d’acier de 2 à 3 ݉݉ d’épaisseur Les décharges de longue durée entrainement facilement une mise à feu. Il faut prendre garde aux mauvais contacts. L’eau contenue dans le bois ou les maçonneries (en particulier dans les fissures, les jointures, les cavités, la sève des arbres,…) s’évapore une explosion. Il faut prévoir des conducteurs de section suffisante sans qu’elle ne soit excessive (le courant de foudre à haute fréquence circule par effet pelliculaire) [9]. I.14.3 Les effets électromagnétiques Les effets électromagnétiques se manifestent par différents processus de couplage sur une structure : le couplage résistif (conduction, résistance de blindage des câbles, …), le couplage par champ magnétique (boucles d’induction dans l’installation, inductances de laison,…), le couplage capacitif par champ électrique (antenne tiges isolées du sol,..). Les couplages sont influencés par les mises à la terre, les liaisons d’équipotentalité, les blindages, le cheminement et la disposition des conducteurs métalliques [9]. Lorsqu’un coup de foudre tombe à proximité d’une ligne, le champ électromagnétique intense généré par l’arc en retour induit des surtensions, qui peuvent dans certains cas provoquer un amorçage. Les coups de foudre indirects représentent un danger plus important du fait que ce mécanisme de production de surtensions est bien plus fréquent que celui qui résulte des impacts directs. Les réseaux aériens sont les plus affectés par les surtensions et surintensités d’origine atmosphérique. Une particularité des coups de foudre est leur polarisation : ils sont généralement négatifs (nuage négatif et sol positif). Environ 10 % sont de polarité inverse, mais ce sont les plus violents. A noter que le front de montée des chocs de foudre retenu par les normes, est de 1,2 ms pour la tension et 8 ms pour le courant. Une distinction est souvent établie entre : 13 Chapitre I : Généralité sur la foudre 2014/2015 · le coup de foudre «direct» touchant une ligne, · Le coup de foudre «indirect» tombant à proximité d’une ligne, sur un pylône métallique, ou, ce qui revient au même, sur le câble de garde, (mis à la terre, ce câble relie les sommets des pylônes, il est destiné à protéger les conducteurs actifs des coups de foudre directs) [4]. I.14.4 Les effets acoustiques Le tonnerre est une onde de choc violente qui génère des pressions importantes à courte distance (des centaines des d’atmosphère dans le plasma du canal de foudre) qui peuvent provoquer des bris de vitres a quelque mètres du point d’impact. La perception des tonner ne dépasse guère 10 km dans les régions tempérées a grande densité de population ; elle atteint 30 à 40 km dans les régions tropicales naturelles [9]. I.14.5 Les effets sur l’homme et l’être vivants On peut classer les effets sur l’homme et l’être vivant selon deux classes : · ceux qui sont directement liés au foudroiement et qui sont de nature thermique, électrique, auditif, oculaire etc. et qui sont très spécifiques à la foudre. · ceux qui font suite aux conséquences des effets indirects d’un foudroiement ; brulures liées à un incendie, courants électriques a fréquence industrielles de défauts, etc. [3]. I.14.6 Les effets sur les structures [3] Les coups de foudre peuvent engendrer tous les dégâts suivants : · Incendies, des chutes d’arbre provoquant des accidents. · Explosions de liquides ou de gaz inflammables. · Dommages sur les réseaux électriques et téléphoniques. · Dommage sur les sites industriel : installation portuaires, raffineries de pétrole. · Dommage sur les sites agricoles : élevages, piscicultures. I.15Un système qui protège l’ensemble du bâtiment I.15.1 Les composantes d’un système moderne de protection contre la foudre I.15.1.1Le dispositif de capture Il est constitué par exemple de conducteurs de cuivre d’un diamètre de 6 mm, formant une cage de Faraday autour du bâtiment. 14 Chapitre I : Généralité sur la foudre 2014/2015 I.15.1.2Les conducteurs de descente Il s’agit de conducteurs en cuivre ou d’éléments en matériaux conducteurs, tels que les gouttières, les garde-corps installés sur les toitures terrasses, ou les revêtements en feuille de métal. I.15.1.3La prise de terre Ce dispositif neutralise les courants électriques générés par la foudre en les dissipant dans le sol. I.15.1.4La protection à l’intérieur Elle a pour but de mettre à la terre les éléments métalliques de l’équipement intérieur du bâtiment (conduits d’eau, de chauffage) ainsi que les installations électriques, au moyen d’une liaison équipotentielle. Il est judicieux de compléter ces dispositifs par un parafoudre protégeant les équipements électriques sensibles (téléviseurs, ordinateurs) contre les surtensions dues à la foudre. Vu le caractère onéreux des installations photovoltaïques, celles-ci devraient d’ailleurs y être raccordées. 15 Chapitre I : Généralité sur la foudre 2014/2015 Figure 1.13 : les installations électriques contre la foudre. I.16 Bâtiments à protéger obligatoirement contre la foudre Parmi les bâtiments devant obligatoirement être protégés contre la foudre, il faut citer ceux qui reçoivent du public, tels que les théâtres, les salles de concert, les grandes salles de sport et les halles polyvalentes, mais aussi les établissements hôteliers, les restaurants, les immeubles de grande hauteur ainsi que les grands bâtiments à usage agricole ou industriel. Les bâtiments assujettis à cette obligation sont définis dans les prescriptions suisses de protection incendie, plus précisément dans la directive sur les installations de protection contre la foudre, édictée par l’Association des établissements cantonaux d’assurance incendie (AEAI). Lorsqu’il subsiste un doute, les autorités de protection incendie statuent au cas par cas sur le bâtiment en question. Même les bâtiments non assujettis à cette obligation devraient être dotés d’un paratonnerre moderne, seule protection suffisante contre la foudre, pour un coût qui représente généralement de 1 à 2 % de la valeur d’assurance du bâtiment. Figure 1.14 : Eclaire de la foudre, image prise en Floride USA [7] 16 Chapitre I : Généralité sur la foudre 2014/2015 Conclusion A partir cette étude sur la foudre on peut dire que ce phénomène cause un grand danger pour l’homme, les structures et les installations électriques, d’où le coup de foudre frape directement la victime ou indirect par les rayons électromagnétiques. 17 Chapitre II Modélisation du courant de l’arc en retour Chapitre II : Modélisation du courant de l’arc en retour 2014/2015 Introduction La connaissance et la caractérisation du champ électromagnétique (EM) rayonné par un coup de foudre permettant une meilleure protection des systèmes électriques et électroniques contre les perturbations engendrées par la foudre. Les variations les plus brutales et de grandes amplitudes du champ émis ont lieu lors de la phase de l’arc en retour. Plusieurs modèles de l’arc en retour, avec différents degrés de complexité, ont été développés par plusieurs chercheurs afin de permettre l’évaluation de son rayonnement électromagnétique. Nous abordons ce chapitre par la modélisation du courant d'arc en retour, d'où on considère le canal de foudre est verticale sur le sol. A partir de cette étude nous étudierons aussi les différents modèles de l'arc en retour. II.1 Modélisation de la distribution du courant de l’arc en retour dans le canal de foudre II.1.1. Classification des modèles de l’arc en retour L’étude de l’interaction entre le champ électromagnétique rayonné par la foudre et les systèmes électriques, ainsi que la coordination des stratégies de protection sont, généralement, basées sur des distributions statistiques du courant mesurés à la base du canal de la foudre obtenues en utilisant des tours instrumentées ou par la technique de déclenchement artificiel de la foudre. On distingue dans la littérature 4 modèles [8]-[1]: · Modèles physiques. · Modèles électromagnétiques. · Modèles RLC. · Modèles d’ingénieur. Nous pouvons décrire ces modèles comme suit : II.1.1 .1. Modèles physiques La première catégorie définie la classe des modèles à gaz dynamique ou modèles "physiques", considère principalement l’évolution radiale d’une décharge électrique dans un plasma [1]. II.1.1.2. Modèles électromagnétiques Dans ce modèle, on assimile le canal de la foudre à un fil conducteur mince avec pertes, chargé à l’instant pris pour origine formant, ainsi une antenne. Ce modèle nécessite la résolution numérique des équations de Maxwell pour trouver la distribution du courant dans le canal en 18 Chapitre II : Modélisation du courant de l’arc en retour 2014/2015 utilisant la méthode des moments. Les modèles électromagnétiques peuvent être classés en 5 types selon la représentation du canal [8] : · Un fil mince conducteur/résistif dans l’air au-dessus du sol. · Un fil entouré par milieu diélectrique (différent de l’air) qui occupe le demi- plan audessus du sol · Un fil enveloppé par un isolant dans l’air au-dessus du sol. · Deux fils en parallèles, assimilés à une structure coaxiale verticale, ayant une distribution additionnelle de condensateurs dans l’air. · Un fil ayant une distribution additionnelle d’inductance en série dans l’air. II.1.1.3. Modèles RLC Les modèles de la troisième catégorie sont connus sous le nom « modèles RLC » ou « modèles des lignes de transmission ». La décharge de foudre est représentée comme un processus transitoire sur une ligne de transmission caractérisée par une résistance, une inductance et une capacité, tous par unité de longueur. Ce type de modèles est utilisé pour déterminer le courant de foudre en fonction du temps et de la hauteur et par la suite le calcul du champ électromagnétique rayonné [1]. II.1.1.4. Modèles d’ingénieur La dernière classe est celle des modèles d’ingénieur, dans lesquels la distribution spatiale et temporelle du courant du canal de foudre (ou la densité des charges du canal) est spécifiquement basée sur certaines observations des caractéristiques de l’arc en retour comme le courant à la base du canal, la vitesse de propagation ascendante du front d’onde et le profil de luminosité du canal de foudre [1]. Dans ce travail, nous utilisons les modèles d’ingénieur. II.1.2. Modèles d’ingénieurs Les modèles d’ingénieurs se basent sur la description de la distribution spatiotemporelle du courant le long du canal de foudre en fonction du courant mesuré à la base du canal, ceci a donné une certaine simplicité analytique. Les modèles les plus populaires dans cette classe sont [1] : II.1.2.1. Modèle de Bruce et Golde (BG) Il s’agit de l’un des premiers modèles dans le genre et probablement le plus simple. Il a été développé par Bruce et Golde en 1945. Selon ce modèle, le courant i (z', t), à des hauteurs 19 Chapitre II : Modélisation du courant de l’arc en retour 2014/2015 inférieures au front de l’arc en retour, est égalé au courant à la base du canal, à des hauteurs supérieures au front de l’arc en retour, le courant est nul[1]. Mathématiquement, il est décrit comme suit : ݅ሺ ݖᇱ ǡ ݐሻ ൌ ݅ሺͲǡ ݐሻ ᇱ ɋǤ (II.1) ൝ ᇱ ᇱ ݅ሺ ݖǡ ݐሻ ൌ Ͳ ߥǤ ݐ Où : v : la vitesse de l’arc en retour. z' : un point du canal de foudre. t : le temps. La discontinuité qui apparaît au front d'onde de l'arc en retour implique une neutralisation instantanée des charges avant l'arrivée du courant. De plus le modèle présente une autre limitation. En effet Bruce et Golde proposent que le courant en tout point du canal soit identique à celui situé à la base du canal à ce même instant (Figure II.1). Ceci exigerait une vitesse de propagation des charges infinie, résultats contraires à la recherche présentée par Nucci[2] presque 50 ans plus tard, en 1988. Figure II.1 : Distribution spatio-temporelle selon le modèle de BG [1]. 20 Chapitre II : Modélisation du courant de l’arc en retour 2014/2015 II.1.2.2 Modèle de Ligne de transmission (TL) Ce modèle proposé par Uman et McLain [2], assimile le canal foudre à une ligne de transmission verticale sans pertes. Le courant de foudre se propage donc vers le haut du canal avec une vitesse constante v sans subir de déformation (Figure II.2). Figure II.2 : Modèle de propagation selon la méthode TL [2]. Mathématiquement, le courant à une altitude z' est décrit par la relation (II.2) suivant : ݅ሺ ݖᇱ ǡ ݐሻ ൌ ݅ሺͲǡ ݐെ ԢȀሻ ᇱ ɋǤ (II.2) ቐ ݅ሺ ݖᇱ ǡ ݐሻ ൌ Ͳ ᇱ ߥǤ ݐ Le modèle TL n'est pas en accord avec les observations expérimentales. En effet, il ne prend pas en compte les distorsions et affaiblissements du courant de foudre le long du canal. De plus, ce modèle ne permet pas l’intégration des variations de la vitesse de propagation le long du canal [2]. II.1.2.3. Modèle de ligne de transmission modifiée (MTL) Le modèle de ligne de transmission TL a été modifié par Nucci et al et par Rakov et Dulzon, tout en introduisant le facteur d’atténuation de l’amplitude du courant avec la hauteur [1]. Les deux modèles sont décrits comme suit : 21 Chapitre II : Modélisation du courant de l’arc en retour 2014/2015 II.1.2.3.a Modèles de lignes de transmission modifiées avec atténuation linéaire (MTLL) Dans ce modèle le courant est atténué en fonction de la hauteur : ݅ሺ ݖ′ ǡ ݐሻ ൌ ݅ሺͲǡ ݐെ ′Ȁሻ(ͳ-′Ȁ୲୭୲ ) ′ νǤ (II.3) ቐ ݅ሺ ݖ′ ǡ ݐሻ ൌ Ͳ ′ νǤ Où : ୲୭୲ : est la hauteur totale du canal de la foudre. II.1.2.3.b. Modèle de ligne de transmission modifiée avec atténuation exponentielle du courant (MTLE) ݅ሺ ݖᇱ ǡ ݐሻ ൌ ݅ሺͲǡ ݐെ ԢȀሻሺԢȀɉሻ ᇱ ɋǤ (II.4) ቐ ᇱ ᇱ ݅ሺ ݖǡ ݐሻ ൌ Ͳ ɋǤ Le paramètre lreprésente le taux de décroissance de l’intensité du courant le long du canal, sa valeur, entre 1.5 et 2 km, a été déterminée en utilisant des enregistrements simultanés de champs électromagnétiques à plusieurs distances. II.1.2.4. Modèle de la source de courant progressive (Travelling Curent Source) (TCS) Dans le modèle TCS, une source de courant, se déplace en haut le long d’un canal à une vitesse v du sol vers le nuage [9]. Le courant injecté par cette source à une hauteur z' est assumé de se propager vers le bas à la vitesse de la lumière c. Dans ces conditions, le courant à la hauteur z' doit être égal au courant au sol avec un retard de z' /c qui peut être exprimé de la façon suivante : ݅ሺ ݖᇱ ǡ ݐሻ ൌ ݅ሺͲǡ ݐ ԢȀ ሻ ᇱ ɋǤ (II.5) ቐ ᇱ ᇱ ݅ሺ ݖǡ ݐሻ ൌ Ͳ ɋǤ c : la vitesse de la lumière. Dans les 2 modèles BG et TCS, une discontinuité apparaît au front de l’arc en retour qui représente l’enlèvement instantané de la charge à chaque hauteur z'=ɋǤ par le front de l’arc en retour. II.1.2.5. Modèle de Diendorfer Uman (DU, model) Présenté par Diendorfer et Uman en 1990, il ajoute un terme au modèle TCS permettant de prendre en compte une décroissance exponentielle inverse du courant de front ascendant grâce à l’expression(II.6) : 22 Chapitre II : Modélisation du courant de l’arc en retour ൞ ′ ݅ሺ ݖ′ ǡ ݐሻ ൌ ݅ ቀͲǡ ݐ ୡ ቁ െ ቀെ ൫୲ି′ ൯τషభ ీ ୴ 2014/2015 ′ ቁ ݅ ቀͲǡ ୴כቁ ′ νǤ ݅ሺ ݖ′ ǡ ݐሻ ൌ Ͳ ′ νǤ (II.6) Avec v* = v / (1+v/c). Ce modèle permet une modélisation plus précise de la propagation du courant de foudre dans l’arc en retour. En effet, c’est le seul modèle prenant en compte une décroissance du courant de base et une prise en compte du leader [2]. II.2 Généralisation : Les modèles ingénieurs Plusieurs études [2] [1] montrent que ces modèles peuvent être mis sous la forme mathématique généraliste (II.7) : ′ ݅ሺ ݖ′ ǡ ݐሻ ൌ ݅ ቀͲǡ ݐെ ௩ ቁ ( כ′ ) (ݑ כ- ′ Ȁ()݂ݒII.7) Où : ͳ ݔ Ͳ ݑሺݔሻ ൌ ቄ ͲǤ ݑሺݔሻ: La fonction de Heaviside égale à l'unité pour t ≥ z'/ ݂ݒet zéro ailleurs. ( ′ ) : Le facteur d’atténuation d’écrit dans les modèles MTLE et MTLL. ୲୭୲ : La hauteur totale du canal de foudre. c : La vitesse de la lumière. ݂ݒ: La vitesse du front. ݒ: La vitesse de propagation de l'onde du courant. Le tableau II.1 est le résumé des modèles d’ingénieurs décrits précédemment. Le modèle TL MTLE MTLL BG TCS ( ᇱ ) 1 1݁ ି௭Ȁλ ͳ-ԢȀ୲୭୲ 1 1 ݒ ݂ݒ ݂ݒ ݂ݒ λ -c Tableau II.1 ( ᇱ )et ݒpour les cinq modèles d’ingénieur [1]. 23 Chapitre II : Modélisation du courant de l’arc en retour 2014/2015 II.3 Détermination du courant de foudre à la base du canal Afin de pouvoir calculer le champ rayonné par l'arc en retour d'une décharge orageuse, il importe de connaître en premier lieu le courant situé à la base du canal, ainsi que sa vitesse de propagation le long de l’arc en retour [2]. Afin de pouvoir le modéliser facilement, en négligeant la tortuosité du canal, l’arc en retour est assimilé à une antenne verticale, excitée à sa base par un générateur de courant symbolisant le rattachement de l’arc au sol. II.3.1 Forme analytique du courant de foudre Les formes analytiques du courant de foudre, généralement rencontrées au sein de la littérature, se composent de sommes de fonctions exponentielles. Ce type de fonction présente l’intérêt d’avoir une transformée de Fourier pouvant être calculée de manière analytique, ce qui facilite l’analyse dans le domaine fréquentiel [2]. La formule (II.8) est l’expression analytique d’une bi-exponentielle, ou ܫ représente la valeur crête du courant, α est l’inverse du temps de descente et β est l’inverse du temps de montée. Cette fonction est la plus utilisée dans la littérature. ܫሺͲǡ ݐሻ ൌ ܫ ሺሺെߙݐሻ െ ሺെߚݐሻሻ(II.8) Cette formule peut être normalisée par l’expression (II.10) afin d’obtenir une amplitude maximale égale à ܫ selon la formule suivante (II.9): ܫሺͲǡ ݐሻே ൌ ܰܫ כ ݉ݎ כሺሺെߙݐሻ െ ሺെߚݐሻሻ(II.9) ಊ ಉ ିכ୪୭ቀ ቁ Avec ܰ ݉ݎൌ ቆሺ ቆ ିஒ ಊ ಉ ିஒכ୪୭ቀ ቁ ቇ െ ቆ ିஒ ିଵ ቇሻቇ (II.10) Cependant on retrouve dans la littérature une deuxième forme d’onde proposée par Heidler et composée de la somme de deux fonctions : ܫሺͲǡ ݐሻ ൌ ݅ଵ ሺݐሻ ݅ଶ ሺݐሻ ݅ଵ ሺݐሻ ൌ భ ூబభ ሺഓభభ ሻ ఎభ ଵାሺ ሻభ ഓభభ ሺെ ߬ଵଵ : Temps de montée. ௧ ఛభమ ሻ ߬ଵଶ : Durée de l’impulsion. et ݅ଶ ሺݐሻ ൌ ߟଵ : Paramètre défini de telle sorte que le maximum d’݅ଵ ሺݐሻ soit ܫଵ : ିఛ ߟଵ ൌ ሾ ఛ భభ כሺ 24 భమ ୬భ ఛభమ ଵȀ୬ ሻ భ ሿ(II.12) ఛభభ మ ூబమ ሺഓమభ ሻ ఎమ ଵାሺ ሻమ ഓమభ ሺെ ௧ ఛమమ ሻ(II.11) Chapitre II : Modélisation du courant de l’arc en retour 2014/2015 n : est un paramètre ayant une valeur entre 2 à 10. La table ci-dessous présente les paramètres des fonctions d’Heidler correspondant au premier arc en retour et l’arc en retour subséquent typique, selon les données expérimentales [10]. L’arc en retour subséquent ܫଵ (kA) 10.7 ߬ଵଵ ሺߤݏሻ 0.25 ߬ଶଵ ሺߤݏሻ 2.5 ݊ଵ 2 ܫଶ (kA) 6.5 ߬ଵଶ ሺߤݏሻ 2 ߬ଶଶ ሺߤݏሻ 230 ݊ଶ 2 Le tableau II.2 : les paramètres des deux fonctions utilisés pour reproduire la forme du courant à la base du canal. le courant à la base du canal 14 12 le courant en [kA] 10 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 50 60 le temps en [micro s] 70 80 90 100 Figure II.3 : le courant de foudre à la base du canal de foudredes fonctions d’Heidler. 12 le courant en [kA] 10 8 6 4 2 0 0 50 100 150 200 le temps en [micro s] 250 300 Figure II.4 :le courant de foudre à la base du canal de foudre des fonctions bi-exponentielle. 25 Chapitre II : Modélisation du courant de l’arc en retour 2014/2015 II.3.2 La comparaison entre les différents modèles de distribution du courant de l’arc en retour Les Figures II.5 et II.6 présentent respectivement la distribution spatiale et temporelle du courant de l’arc en retour pour les cinq modèles MTLE,MTLL,TL,BG,TCS. Afin de rendre possible la comparaison, les calculs ont été effectués en partant d’un même courant à la base du canal. Nous pouvons observer la discontinuité au front de l’arc en retour pour les modèles BG et TCS. Pour tous les modèles excepte TL, il y’a une décroissance de l’intensité du courant avec la hauteur. La forme et l’origine de cette décroissance différente d’un modèle à l’autre. Pourles modèles MTLL et MTLE, la décroissance est le résultat de la contribution des charges du traceur et est indépendante de la forme du courant à la base du canal.par contre, pour les modèles BG et TCS cette décroissance est due à celle du courant à la base du canal, en d’autre termes pour un courant à la base du canal ayant une amplitude constante avec le temps, on n’observerait aucune décroissance du courant le long du canal pour les modèles BG et TCS [9]. 26 Chapitre II : Modélisation du courant de l’arc en retour 2014/2015 le modèle MTLE le modèle MTLL 8 10 10 micro s 20 micro s 30 micro s 7 8 le courant en [kA] 6 le courant en [kA] 10 micro s 20 micro s 30 micro s 5 4 3 6 4 2 2 1 0 0 1 2 3 4 5 la distance en [km] 6 7 0 8 0 1 2 3 4 5 la distance en [km] 6 7 8 le modèle TL le modèle BG 14 10 micro s 20 micro s 30 micro s 12 8 10 6 le courant en [kA] le courant en [kA] 10 micro s 20 micro s 30 micro s 7 8 6 4 5 4 3 2 2 0 0 1 1 2 3 4 5 la distance en [km] 6 7 8 0 0 1 2 3 4 5 la distance en [km] 6 7 8 le modèle TCS 8 10 micro s 20 micro s 30 micro s 7 le courant en [kA] 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 la distance en [km] 6 7 8 Figure II.5 :la distribution spatiale du courant de l’arc en retour pour les cinq modèles examinés. 27 Chapitre II : Modélisation du courant de l’arc en retour le modèle MTLE le modèle MTLL 12 12 0 Km 2 Km 4 Km 0 Km 2 Km 4 Km 10 8 le courant en [kA] le courant en [kA] 10 6 4 2 0 8 6 4 2 0 10 20 30 40 50 60 le temps en [micro s] 70 80 90 0 100 0 10 20 30 40 50 60 le temps en [micro s] 80 90 100 12 0 Km 2 Km 4 Km 10 0 Km 2 Km 4 Km 10 le courant en [kA] 8 6 4 8 6 4 2 2 0 70 le modèle BG le modèle TL 12 le courant en [kA] 2014/2015 0 10 20 30 40 50 60 le temps en [micro s] 70 80 90 100 0 0 10 20 30 40 50 60 le temps en [micro s] 70 80 90 100 le modèle TCS 12 0 Km 2 Km 4 Km le courant en [kA] 10 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 50 60 le temps en [micro s] 70 80 90 100 Figure II.6 :la distribution temporelle du courant de l’arc en retour pour les cinq modèles examinés. 28 Chapitre II : Modélisation du courant de l’arc en retour 2014/2015 Conclusion Le but de ce chapitre était de présenter les modèles d'ingénieur utilisés pour la modélisation du courant de l’arc en retour. Cette modélisation se base sur la connaissance de la seule grandeur mesurable qui est le courant à la base du canal de la foudre, dans le cas d’un coup de foudre tombant au sol. 29 Chapitre III Modélisation du champ EM Chapitre III : Modélisation du champ EM 2014/2015 Introduction La connaissance et la caractérisation du champ électromagnétique (EM) rayonné par un coup de foudre permettant une meilleure protection des systèmes électriques et électroniques contre les perturbations engendrées par la foudre. Ce chapitre a pour but la modélisation du champ électromagnétique de la foudre, on considère le canal de foudre est verticale sur le sol et on utilise trois cas : sol parfaitement conducteur, sol du la conductivité finie, sol du la conductivité finie. III.1 L’électromagnétisme III.1.1 Définition L’électromagnétisme est une partie de la physique, qui étudie les phénomènes électrique et magnétique à un niveau macroscopiques. Les forces électromagnétiques sur les particules chargées, sont liées à l’existence de grandeur vectorielle appelées : le champ électromagnétique [9]. III.1.2 Le champ électromagnétique Le champ électromagnétique est le concept central de l’électromagnétisme. On le conçoit souvent comme composition des deux champs vectoriels que l’on peut mesurer indépendamment : le champ électrique E et le champ magnétique H. Mais ces deux champs ne sont pas séparables. Le champ électromagnétique produit une force sur une particule chargée : la force électromagnétique. Le comportement (la variation spatio-temporelle) des champs électromagnétique est décrit par les équations de Maxwell. III.1.3 Les équations de Maxwell Tous les phénomènes électromagnétiques sont régis par les quatre équations de Maxwell, sous leurs formes générales, ces équations s’écrivent [9] : · L’équation de Maxwell-Faraday : · ሬሬሬሬሬሬԦ ܧሬԦ ൌ െ డ ݐݎ డ௧ · ሬሬሬሬሬሬሬԦܤ ሬԦ ൌ Ͳ ܦଓݒ ሬԦ III.1 L’équation de la conservation du flux magnétique : L’équation de Maxwell-Ampère : 30 III.2 Chapitre III : Modélisation du champ EM 2014/2015 III.3 · ሬԦ ൌ ଔԦ ሬሬሬሬሬሬԦ ܪ ݐݎ III.4 Ou : ሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬԦ ൌ ߩ ܦଓܦݒ L’équation de Maxwell-Gauss : ߩ :est densité de charge volumique [C/݉ଷ ], ሬԦ :est l’induction électrique [A*S/݉ଶ ], ܦ ܧሬԦ :est le champ électrique [V/m], ሬԦ :est induction magnétique [T], ܤ ሬԦ :est le champ magnétique [A/m], ܪ ଔԦ :est la densité surfacique du courant [A/݉ଶ ], elle est donnée par : ଔԦ ൌ ଔԦ ଔԦ III.5 Ou : ଔԦ : exprime la densité de courant de conduction électrique induit ou inducteur donnée par : ଔԦ ൌ ଔԦ௦ ଔԦௗ III.6 ଔԦ௦ :étant la densité de courant source, et ଔԦௗ représente la densité de courant résultant de phénomène induit. ଔԦ :représente la densité de courant de déplacement dont l’ expression est la suivante : ሬԦ డ ଔԦ ൌ െ డ௧ III.7 Ces équations ne sont pas indépandantes les unes des autres,leurs liaisons sont fonctions du milieu ou les champs électriques et magnétiques règnent. Ainsi,pour définir complètement le phénomène électromagnétique à l’intérieur d’un milieu isotrope et homogène,caractérisé du point de vue électromagnétique par une conductivité électrique ߪሾΩȀ݉ሿ ,une permittivivité diélectrique ߝሾܨȀ݉ሿ ,et une perméabilité magnétique ߤሾܪȀ݉ሿ,on rajoute aux équations précédentes les lois de comportement dans ce milieu : · La loi d’ohm : · ܬԦ ൌ ߪǤ ܧሬԦ La relation magnétique : 31 III.8 Chapitre III : Modélisation du champ EM · 2014/2015 ሬԦ ൌ ߤǤ ܪ ሬԦ ܤ III.9 La relation diélectrique : ሬԦ ൌ ߝǤ ܧሬԦ ܦ Ou : III.10 ߤ ൌ ߤ Ǥ ߤ et ߝ ൌ ߝ Ǥ ߝ III.11 ߤ et ߝ :sont respectivement la perméabilité,et la permittivité relative. ߤ et ߝ : sont respectivement la perméabilité,et la permittivité du vide égales à : ߤ ൌ ͶߨǤ ͳͲି ሾܪȀ݉ሿ et ߝ ൌ ͺǡͺͷͶǤ ͳͲିଵଶ ሾܨȀ݉ሿ. III.1.4 Les conditions de passage entre deux milieux différents Une fois les relations sources-champs et les relations champs électrique-magnétiques Et les caractéristiques du milieu ont été définis,les quatre équations de Maxwell induisent des conditions de passage aux interfaces entre deux milieux électriquement et magnétiquement différantes.En les intégrant entre deux points très voisins d’une part et d’autre part d’une surface séparant ces deux milieux,le résultat nous permet de déduire : · Qu’il y a une conservation de la composante normale de l’induction magnétique ሬԦଶ െ ܤ ሬԦଵ ൯ ൌ Ͳ ݊ሬԦǤ ൫ܤ III.12 ݊ሬԦ ൈ ൫ܧሬԦଶ௧ െ ܧሬԦଵ௧ ൯ ൌ ሬԦ Ͳ III.13 · · Qu’il y a une conservation de la composante tangentielle du champ électrique Qu’il y a une discontinuité de la composante normale de l’induction électrique,due aux charges surfaciques ݍ௦ . ሬԦଶ െ ܦ ሬԦଵ ൯ ൌ ݍ௦ ݊ሬԦǤ ൫ܦ · III.14 Qu’il y a une discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique,due aux courants surfaciques ܬ௦ . ሬԦଶ௧ െ ܪ ሬԦଵ௧ ൯ ൌ ܬԦ௦ III.15 ݊ሬԦ ൈ ൫ܪ III.2Le modèle de calcul du champ électromagnétique Trois méthode du calcul temporel du champ électromagnétique qui se présentent : 32 Chapitre III : Modélisation du champ EM 2014/2015 1. La méthode des dipoles hertziens : Le principe de base de cette méthode consiste à discrétiser le support physique (l’antenne :le canal ) en petites cellules appelées : « dipoles ». Le champ en tout point de l’espace est obtenu par superposition des contributions de l’ensemble des dipoles. 2. La méthode des rampes des courants : Son principe est de discrétiser temporellement le signal transmis (les ondes de courant).Et le champ est obtenu aussi par superposition des contributions de chacune des rampes. 3. La méthode analytique exacte : Dans cette méthode,on ne discrétise ni le support,ni le signal,elle propose des formules permettant le calcul du champ électromagnétique à partir des grandeurs électriques(courant,tensions) nodales. Dans ce travail nous utilisons la première méthode, car elle est la plus facile et la plus efficace[10]. III.3Géométrie du problème Pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par une décharge de foudre sol-nuage, la géométrie communément adoptée est celle présentée à la figure III.2 Le canal de foudre est considéré comme une antenne verticale unidimensionnelle de hauteur H placée au-dessus d'un plan conducteur. L'arc en retour se propage verticalement à partir du sol avec une vitesse v [1]. Figure. III.1Représentation du canal de foudre [1]. 33 Chapitre III : Modélisation du champ EM 2014/2015 III.4 Formulation du champ électromagnétique rayonné par la foudre III.4.1 Cas d’un sol parfaitement conducteur Le canal de foudre est considéré comme une antenne verticale unidimensionnelle de hauteur H perpendiculaire à un plan infini parfaitement conducteur, comme la montre la figure III.3 [1]. Figure III.2 : Le canal de foudre et son image [1]. En un point quelconque de l’espace, le champ électromagnétique est caractérise par : · · · Le champ électrique vertical ܧ௭ ; Le champ électrique radial ܧ ; Le champ magnétique azimutalܪఝ . 34 Chapitre III : Modélisation du champ EM 2014/2015 Les champs électriquesܧ௭ , ܧ et magnétique ܪఝ sont la somme de plusieurs contributions dues à des sources différentes: ܧ௭ ሺݎǡ ݖǡ ݐሻ ൌ ܧ௭± ሺݎǡ ݖǡ ݐሻ ܧ௭ௗ ሺݎǡ ݖǡ ݐሻ ܧ௭௬ ሺݎǡ ݖǡ ݐሻIII.16 ܧ ሺݎǡ ݖǡ ݐሻ ൌ ܧ± ሺݎǡ ݖǡ ݐሻ ܧௗ ሺݎǡ ݖǡ ݐሻ ܧ௬ ሺݎǡ ݖǡ ݐሻ III.17 ܪఝ ሺݎǡ ݖǡ ݐሻ ൌ ܧఝ± ሺݎǡ ݖǡ ݐሻ ܧఝௗ ሺݎǡ ݖǡ ݐሻ ܧఝ௬ ሺݎǡ ݖǡ ݐሻ III.18 III .4.1.1Le modèle de calcul du champ magnétique Le calcul du champ magnétique se base sur la définition du rotationnel du potentiel vecteur magnétique ܣԦ : ሬԦ ൌ ܪ ଵ ఓబ Alors : ሬሬሬሬሬሬԦ ሺܣԦሻ III.19 ݐݎ ሬԦ ൌ ଵ ݐݎ ሬሬሬሬሬሬԦ ሺܣԦሻ dܪ ఓ ou : III.20 బ ఓ dܣԦ ൌ ܣԦ௭ ሺݐሻ ൌ ସగబ ோ En utilisant l’identité : ୖ డ ౙ ୧ሺǯǡ୲ି ሻ ଵ డ ݀ݑݖ ሬԦ௭ III.21 ୖ ሺǯǡ െ ୡ ሻ ൌ െ డ௧ ሺǯǡ െ ୡ ሻIII.22 డோ 35 Chapitre III : Modélisation du champ EM 2014/2015 Nous obtenons l’expression du champ magnétique azimutal en coodonnées cylindriques[10] : ݀ܤఝ ൌ ఓబ ୢ′ ସగ ቂ ோయ ୖ ቀǯǡ െ ቁ ୡ డ ோ మ డ௧ ୖ ቀǯǡ െ ቁቃIII.23 ୡ III .4.1.2 Le modèle de calcul du champ électrique ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ߮൯ ൌ Ͳdonc nous déduisons que : Nous savons que ሬሬሬሬሬሬԦ ݐݎ൫݃݀ܽݎ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ߮ െ డԦIII.24 ܧሬԦ ൌ െ݃݀ܽݎ డ௧ Avec la condition de lorentz : ଵ డఝ ݀݅ܣݒԦ మ డ௧ ൌ0 III.25 Après la conversion de la dérivée spatiale en dérivée temporelle.nous obtenons l’expression du champ électrique en coordonnées cylindrique ‘qui résultent de trois contribution’comme suit : ݀ܧ௭ ሺݔǡ ݕǡ ݐሻ ൌ ୢ′ ସగఌబ మ ଶ൫௭ି௭ ′ ൯ ି మ ሾ ோఱ ݀ܧ ሺݔǡ ݕǡ ݐሻ ൌ ௧ ோ ݅ሺ ݖ′ ǡ ߬ െ ሻ݀߬ మ ଶ൫௭ି௭ ′ ൯ ି మ ோ ర ோ మ ݅ ቀ ݖ′ ǡ ݐെ ቁ െ మ ோయ డ డ௧ ோ ݅ሺ ݖ′ ǡ ݐ ሻሿIII.26 ͵ݎ൫ ݖെ ݖ′ ൯ ′ ′ ͵ݎ൫ ݖെ ݖ′ ൯ ௧ ′ ܴ ܴ ሾ න ݅ሺݖ ǡ ߬ െ ሻ݀߬ ݅ሺ ݖǡ ݐെ ሻ ହ ସ Ͷߨߝ ܴܿ ܴ ܿ ܿ െ ݎ൫ ݖെ ݖ′ ൯ ߲ ܴ ݅ሺ ݖ′ ǡ ݐെ ሻሿǤ ʹ ଶ ଷ ߲ݐ ܿ ܿ ܴ ܴ ൌ ඥ ݎଶ ሺ ݖെ ݖᇱ ሻଶ Les termes contenants l’intégrale du courant dans les équations (III.26) et (III.27) sont nommés ‘les champs électrostatiques’.et ils sont les composants dominants du champ prés de la source. Les trois termes intervenant dans les équations (III.26) et (III.27)représentent respectivement les champs électrostatiques (ils sont les composants dominants du champ prés de la source)d’induction et de rayonnement (ils sont les composants dominants du champ loin de la source).Tandis que le premier terme de l’équation (III.23) représente le champ d’induction « ou le champ magnétostatique »(le dominant prés de la source),et le second est le champ de rayonnement(le dominant loin de la source). 36 Chapitre III : Modélisation du champ EM 2014/2015 Les champs totaux produit par le courant de l’arc en retour sont obtenus par l’integral des équations précédantes le long du canal «H ». ߝ est la permittivité diélectrique du vide, µ0 la perméabilité magnétique du vide, c la vitesse de la lumière, R la distance du dipôle au point d’observation et r la distance horizontale entre le canal de foudre et le point d’observation P. Comparaison avec un programme utilisant une méthode temporelle. ܫଵ (kA) 17 ߬ଵଵ ሺߤݏሻ 0.4 ߬ଵଶ ሺߤݏሻ 4 2 ݊ଵ ܫଶ (kA) 8 ߬ଶଵ ሺߤݏሻ ߬ଶଶ ሺߤݏሻ 4 50 2 ݊ଶ ߣ(Km) V(m/s) 60 80 1.5 Cas 1 1ൈ ͳͲ଼ 20 18 le courant en [kA] 16 14 12 10 8 6 4 2 0 10 20 30 40 50 le temps en [micro s] 70 Figure III.3: Courant à la base du canal avec ߣ ൌ ͳǤͷ݇݉ etv ൌ ͳ ൈ ͳͲ଼ 80 70 60 Ez[V/m] 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 le temps en [micro s] 60 Figure III.4 : Le champ électrique vertical à 4.6 km du point d’impact. 37 70 80 Chapitre III : Modélisation du champ EM 2014/2015 -7 2.5 x 10 2 H[A/m] 1.5 1 0.5 0 0 10 20 30 40 50 le temps en [micro s] 60 70 80 Figure III.5 : Le champ magnétique azimutal à 4.6 km du point d’impact. 1.5 Ez[V/m] 1 0.5 0 640 650 660 670 680 690 700 le temps en [micro s] 710 720 730 Figure III.6 : Le champ électrique vertical à 200 km du point d’impact. Cas 2 ܫଵ (kA) 10.5 ߬ଵଵ ሺߤݏሻ 2 ߬ଵଶ ሺߤݏሻ 4.8 2 ݊ଵ ܫଶ (kA) 9 ߬ଶଵ ሺߤݏሻ ߬ଶଶ ሺߤݏሻ 20 26 2 ݊ଶ ߣ(Km) V(m/s) 2 1.5 ൈ ͳͲ଼ 38 Chapitre III : Modélisation du champ EM 2014/2015 11 10 9 le courant en [kA] 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 20 30 40 50 le temps en [micro s] 60 70 80 60 70 60 70 Figure III.7 : Courant à la base du canal avec ߣ ൌ ʹ݇݉ etv ൌ ͳǤͷ ൈ ͳͲ଼ 450 400 350 Ez[V/m] 300 250 200 150 100 50 0 0 10 20 30 40 le temps en [micro s] 50 Figure III.8: Le champ électrique vertical à 2 km du point d’impact. -7 5 x 10 4.5 4 3.5 H[A/m] 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 10 20 30 40 le temps en [micro s] 50 Figure III.9 : Le champ magnétique azimutal à 2 km du point d’impact. 39 Chapitre III : Modélisation du champ EM 2014/2015 1.2 1 Ez[V/m] 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 650 660 670 680 690 700 710 le temps en [micro s] 720 730 740 Figure III.10 : Le champ électrique vertical à 200 km du point d’impact. Cas 3 ܫଵ (kA) 19.5 ߬ଵଵ ሺߤݏሻ 1 ߬ଵଶ ሺߤݏሻ 2 2 ݊ଵ ܫଶ (kA) 12 ߬ଶଵ ሺߤݏሻ ߬ଶଶ ሺߤݏሻ 8 30 2 ݊ଶ ߣ(Km) V (m/s) 1ൈ ͳͲ଼ 1.5 Résultats 18 16 le courant en [kA] 14 12 10 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 50 le temps en [micro s] 60 Figure III.11 : Courant à la base du canal avec ߣ ൌ ͳǤͷ݇݉ etv ൌ ͳ ൈ ͳͲ଼ 40 70 80 Chapitre III : Modélisation du champ EM 2014/2015 40 35 30 Ez[V/m] 25 20 15 10 5 0 0 10 20 30 40 le temps en [micro s] 50 60 70 60 70 Figure III.12 : Le champ électrique vertical à 9 km du point d’impact. -7 1.4 x 10 1.2 H[A/m] 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 30 40 le temps en [micro s] 50 Figure III.13 : Le champ magnétique azimutal à 9 km du point d’impact. 1.4 1.2 1 Ez[V/m] 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 650 660 670 680 le temps en [micro s] 690 Figure III.14 : Le champ électrique vertical à 200 km du point d’impact. 41 700 Chapitre III : Modélisation du champ EM 2014/2015 Remarque On trouve un bon accord entre les courbes en trais tirets de la première colonne et celles de la seconde. On peut donc en conclure que les deux programmes donnent des résultats similaires et proches des mesures(en trait plein sur les graphiques de la colonne de gauche).Onretrouve aussi l’inversion de polarité caractéristique des champs lointains (à200km du point d’impact). Influence de la distance r Pour (r=50 m) La distance r influe sur la distribution du champ électrique vertical et magnétique azimutal, la forme du champ magnétique azimutal si la même forme du courant de la foudre, et la forme du champ électrique vertical si la même forme du champ électrostatique (l’intégrale du courant). -10 16 x 10 14 12 dErele dErind dErray Er Er[KV/m] 10 8 6 4 2 0 -2 0 10 20 30 40 50 60 le temps en [micro s] 70 80 90 100 Figure III.15Le champ électrique radial pour v=1.9 [km], H=7.5 [km], lamda=2[km] et r=50[m]. 200 150 dEzele dEzind dEzray Ez 100 Ez[KV/m] · 50 0 -50 0 10 20 30 40 50 60 le temps en [micro s] a)Résultat de calcul 70 80 90 100 b) Résultat publié Figure III.16Le champ électrique vertical pour v=1.9 [km], H=7.5 [km], lamda=2[km] et r=50[m]. 42 Chapitre III : Modélisation du champ EM 2014/2015 40 dHfiind dHfiray Hfi 35 30 H[A/m] 25 20 15 10 5 0 -5 0 10 20 30 40 50 60 le temps en [micro s] 70 80 90 100 a)Résultat de calcul b) Résultat publié Figure III.17Le champ magnétique azimutal pour v=1.9 [km], H=7.5 [km], lamda=2[km] et r=50[m]. Pour (r=1 km) 3 2.5 Ez[KV/m] 2 dEzele dEzind dEzray Ez 1.5 1 0.5 0 -0.5 0 10 20 30 40 50 60 le temps en [micro s] 70 80 90 100 Figure III.18Le champ électrique vertical pour v=1.9 [km], H=7.5 [km], lamda=2[km] et r=1 [km]. 1.4 dHfiind dHfiray Hfi 1.2 1 H[A/m] 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0 10 20 30 40 50 60 le temps en [micro s] 70 80 90 100 Figure III.19Le champ magnétique azimutal pour v=1.9 [km], H=7.5 [km], lamda=2[km] et r=1 [km]. 43 Chapitre III : Modélisation du champ EM 2014/2015 -13 7 x 10 dErele dErind dErray Er 6 5 Er[KV/m] 4 3 2 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60 le temps en [micro s] 70 80 90 100 Figure III.20Le champ électrique radial pour v=1.9 [km], H=7.5 [km], lamda=2[km] et r=1 [km]. Pour (r=100 km) -3 4 x 10 -3 x 10 dEzele dEzind dEzray Ez 3.5 dEzele dEzind dEzray Ez 3 2.5 2.5 2 2 Ez[KV/m] Ez[KV/m] 3 3.5 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 -0.5 0 0 50 100 150 200 250 300 le temps en [micro s] 350 400 450 500 320 330 340 350 360 370 le temps en [micro s] 380 390 400 Figure III.21Le champ électrique vertical pour v=1.9 [km], H=7.5 [km], lamda=2[km] et r=100[km]. -3 -3 x 10 x 10 10 dHfiind dHfiray Hfi 9 8 dHfiind dHfiray Hfi 8 7 6 5 H[A/m] H[A/m] 6 4 4 3 2 2 1 0 0 -1 320 330 340 350 360 370 380 le temps en [micro s] 390 400 410 420 -2 0 50 100 150 200 250 300 le temps en [micro s] 350 400 450 500 Figure III.22Le champ magnétique azimutal pour v=1.9 [km], H=7.5 [km], lamda=2[km] et r=100[km]. 44 Chapitre III : Modélisation du champ EM 2014/2015 -17 -17 7 x 10 x 10 dErele dErind dErray Er 6 5 5 4 Er[KV/m] Er[KV/m] 4 3 2 3 2 1 1 0 -1 dErele dErind dErray Er 6 0 0 50 100 150 200 250 300 le temps en [micro s] 350 400 450 320 500 330 340 350 360 le temps en [micro s] 370 380 Figure III.23Le champ électrique radial pour v=1.9 [km], H=7.5 [km], lamda=2[km] et r=100 [km]. Influence de la vitesse ‘v’ · la variation de la vitesse de l’arc en retour ’v’ n’influe pas seulement sur la distribution du champ électrique vertical et magnétique azimutal de la foudre, avec que la variation des courbes du champ électrique vertical et du champ électrique azimutal presque si la même forme quel que soit la variation de la vitesse ‘v’. 120 v=1.9[km] v=2 [km] v=1 [km] 100 Ez[KV/m] 80 60 40 20 0 0 10 20 30 40 50 60 le temps en [micro s] 70 80 90 100 Figure III.24Le champ électrique vertical pour H=7.5 [km], r=50[km], lamda=2[km] et v variable. 45 Chapitre III : Modélisation du champ EM 2014/2015 40 v=1.9[km] v=2 [km] v=1 [km] 35 H[A/m] 30 25 20 15 10 0 10 20 30 40 50 60 le temps en [micro s] 70 80 90 100 Figure III.25Le champ magnétique azimutal pour H=7.5 [km], r=50[km], lamda=2[km] et v variable. Influence de ࣅ · Le facteur λ influe sur la distribution du champ électrique vertical et magnétique azimutal avec le sol conducteur parfait. 200 lamda=2 [km] lamda=1.7[km] lamda=1 [km] 180 160 140 Ez[KV/m] 120 100 80 60 40 20 0 0 10 20 30 40 50 60 le temps en [micro s] 70 80 90 100 Figure III.26Le champ électrique vertical pour v=1.9 [km], H=7.5 [km], r=50[km], et lamda variable. 40 lamda=2 [km] lamda=1.7[km] lamda=1 [km] 35 H[A/m] 30 25 20 15 10 0 10 20 30 40 50 60 le temps en [micro s] 70 80 90 100 Figure III.27Le champ magnétique azimutal pour v=1.9 [km], H=7.5 [km], r=50[km], et lamda variable. 46 Chapitre III : Modélisation du champ EM 2014/2015 Influence de la hauteur H · la variation de la hauteur du canal’’ H’’ n’influe pas aussi sur la distribution du champ électrique vertical et magnétique azimutal de la foudre,si la même forme quel que soit la variation de la vitesse ‘H’. 110 H=7.5[km] H=5 [km] H=4 [km] 100 90 80 Ez[KV/m] 70 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 le temps en [micro s] 70 80 90 100 Figure III.28Le champ électrique vertical pour v=1.9 [km], r=50[km], lamda=2[km] et H variable 40 H=7.5[km] H=5 [km] H=4 [km] 35 H[A/m] 30 25 20 15 10 0 10 20 30 40 50 60 le temps en [micro s] 70 80 90 100 Figure III.29Le champ magnétique azimutal pour v=1.9 [km] r=50[km], lamda=2[km] et H variable. III.4.2Prise en compte de la conductivité finie du sol La prise en compte rigoureuse de la conductivité du sol nécessite l’utilisation des Intégrales de Sommerfeld qui présentent l’inconvénient d’être lentement convergentes. Ainsi différents auteurs ont proposé des formules simplificatrices permettant de calculer le champ horizontal en tenant compte de la conductivité du sol [2]. Nous utiliserons la formule de Rubinstein qui permet d’obtenir un bon compromis en temps de calcul et en précision. La formulation proposée considère que le champ électrique vertical et le champ 47 Chapitre III : Modélisation du champ EM 2014/2015 magnétique azimutal sont indépendants de la conductivité du sol. L’approximation s’effectue de la manière suivante : ଵା ݔܧሺݎǡ ݖǡ ݆߱ሻ ൌ ݔܧ ሺݎǡ ݖǡ ݆߱ሻ െ ܪ ሺݎǡ Ͳǡ ݆߱ሻǤ ఙ ఋ III.28 ೞ ݔܧ ሺݎǡ ݖǡ ݆߱ሻ : Champ électrique horizontal calculé dans le cas d’un sol parfait à l’altitude ݖ. ܪ ሺݎǡ Ͳǡ ݆߱ሻ : Champ azimutal calculé avec un sol parfait à l’altitude z=0. ଶ ߜ ൌ ටఠఙ ఓ : Épaisseur de peau ೞ ೞ Cette épaisseur est représente dans le schéma suivant: Figure III.30 : Représentation de la profondeur de peau [10] ߤ௦ Et ߪ௦ : perméabilité magnétique et permittivité électrique du sol Cette approximation est réalisée dans le domaine fréquentiel mais présente l’avantage de pouvoir être facilement transposée dans le domaine temporel [31]. En effet la fonction H peut être considérée comme une fonction linéaire par morceau (Figure III.4)et peut être décomposée en une somme de pôle tels que : ܪ ሺݎǡ Ͳǡ ݐሻ ൌ Ǥ ሺ ݐെ ݐ ሻǤ ܷሺ ݐെ ݐ ሻ ሺଵ െ ሻሺ ݐെ ݐଵ ሻǤ ܷሺ ݐെ ݐଵ ሻ ڮ ሺேೞ െ ݎܾܰ௧௦ െ ͳሻǤ ሺ ݐെ ݎܾܰݐ௧௦ ሻǤ ܷሺ ݐെ ݎܾܰݐ௧௦ ሻIII.29 48 Chapitre III : Modélisation du champ EM Avec ൌ 2014/2015 ு ሺǡǡ௧ೖషభ ሻିு ሺǡǡ௧ೖ ሻ ௧ೖషభ ି௧ೖ Et ܷ൫ ݐെ ݎܾܰݐ௧௦ ൯ ൌ ͳ si ݐ ݐ et ܷ൫ ݐെ ݎܾܰݐ௧௦ ൯ ൌ Ͳ si ݐ൏ ݐ Figure III.31 : Exemple de fonction linéaire par morceau [2]. Or si une fonction de la forme ݂ሺݐሻ ൌ Ǥ ሺ ݐെ ݐ ሻǤ ܷሺ ݐെ ݐ ሻ ǥǤa une transformée de Fourier égale à ܨሺ߱ሻ la transformée de Fourier inverse de ඥఌೝೞ ଵା ఙೞ ఋ ܨሺ߱ሻ peut s’écrire : Ǥ ሺ ݐെ ݐ ሻ൛ܫ ൫ܽǤ ሺ ݐെ ݐ ሻ൯ ܫଵ ൫ܽǤ ሺ ݐെ ݐ ሻ൯ൟǤ ݁ିݔǤሺ௧ି௧బ ሻ Ǥ ܷሺ ݐെ ݐ ሻIII.30 Avec : ܫ Et ܫଵ les fonctions de Bessel modifiées de première espèce d’ordre 0 et 1 ఙೞ Et ܽ ൌ ଶఌ బ ఌೝೞ Soit en posant : 49 Chapitre III : Modélisation du champ EM ܻሺݐሻ ൌ ଵ ඥఌೝೞ 2014/2015 Ǥ ሺݐሻሼܫ ሺܽǤ ݐሻ ܫଵ ሺܽǤ ݐሻሽǤ ݁ିݔǤ௧ Ǥ ܷሺݐሻIII.31 On obtient dans le domaine temporel l’équation ሺ െ ିଵ ሻ Ǥ ܻሺ ݐെ ݐ ሻIII.32 ݔܧሺݎǡ ݖǡ ݐሻ ൌ ݔܧ ሺݎǡ ݖǡ ݐሻ െ ܻሺݐሻ െ σே̴௧௦ ୀଵ III.4.3 Expression du champ rayonné dans un sol de conductivité finie Afin de déterminer le courant induit sur les câbles de télécommunications enterrés, il est nécessaire de pouvoir modéliser le champ rayonné dans un sol de conductivité finie Pour cela, on trouve dans la littérature trois méthodes classiquement appliquées [2]: Ø La méthode FDTD Cette méthode consiste à résoudre les équations de Maxwell par l’utilisation des différences finies. Ø L’Algorithme de Delfino Proposée par Delfino et al en 2006, cette solution se base sur la résolution des intégrales de Sommerfeld, en suivant une méthode d’intégration innovante. Ø La formule de Cooray En 2001, Cooray propose des expressions simplifiées permettant le calcul des champs électriques pénétrant dans le sol et générés par une onde de type foudre. Ces expressions du champ se basent sur la connaissance du champ électrique dans le cas d’un sol de conductivité finie, au niveau de Ainsi dans le domaine fréquentiel elles sont données par : ఌ Ǥ షሺೖ ሻ ܧ௭ ሺݎǡ ݆߱ǡ െݖሻ ൌ ܧ௭ ሺݎǡ ݆߱ǡ ͲሻǤ ఙ బାఠఌ బ ఌೝ III.33 ܧ ሺݎǡ ݆߱ǡ െݖሻ ൌ ܧ ሺݎǡ ݆߱ǡ ͲሻǤ ݁ ିሺ ௭ሻ III.34 ܪఝ ሺݎǡ ݆߱ǡ െݖሻ ൌ ܪఝ ሺݎǡ ݆߱ǡ ͲሻǤ ݁ ିሺ௭ሻ III.35 Avec : ݇ ൌ ඥ߱ ଶ ߤ ߝ ߝ ݆߱ߤ ߝ 50 l’interface sol-air. Chapitre III : Modélisation du champ EM 2014/2015 1000 800 Er[V/m] 600 400 200 0 -200 0 5 10 15 20 le temps en [micro s] 25 a)Résultat de calcul 30 b) Résultat publié Figure III.32Le champ électrique horizontal à r=100m et z=6m Conclusion Dans ce chapitre, nous avons présenté la modélisation du champ électromagnétique de la foudre, et aussi présenté les équations de Maxwell. 51 Conclusion Générale CONCLUSION GENERALE 2014/2015 CONCLUSION GENERALE Afin de protéger nos installations électriques et nos structures contre les coups de foudre, il faut tenir compte de la distribution spatio-temporelle du courant de l’arc en retour. Dans ce travail nous avons modélisé ce courant. Après la réalisation de ce travail, nous avons déduit les conclusions suivantes : • La distribution du courant est indépendante des modèles, ainsi que tous les modèles ont une discontinuité au front du courant de l’arc en retour. Cette discontinuité est très importante pour les modèles BG et TCS ce qui favorise les autres modèles. • Pour tous les modèles excepte TL, il y’a une décroissance de l’intensité du courant avec la hauteur, la forme et l’origine de cette décroissance différente d’un modèle à l’autre. • Pour les modèles MTLL et MTLE, la décroissance est le résultat de la contribution des charges du traceur et est indépendante de la forme du courant à la base du canal.par contre, pour les modèles BG et TCS cette décroissance est due à celle du courant à la base du canal. •Le facteur λ n'influe pas sur la distribution du champ électromagnétique. • la variation de la vitesse v n’influe pas sur la distribution du champ électromagnétique au niveau du canal de la foudre. 53 Bibliographie 2014/2015 Bibliographie [1] Ataoua Mohamedet MehamdiaOualid «Comparaison des Modèles d'Arc en Retour de Foudre en Présence d'une Tour ». Mémoire de fin d’étude, juin2010. [2]Yannick Bourgeois«Modélisation des perturbations électromagnétiques générées sur un réseau de télécommunications par une agression de type foudre".Thèse de doctorat, 2009. [3]Institution national de l’Environnement industriel et des risques«Le risque foudre et les Installations Classées pour la Protection de l’Environnement».Direction des Risques Accidentels, Septembre 2001. [4] Cahier technique 168 : « la foudre et les installations électriques HT ».juillet 1993. [5] Christian Bouquegneau « la foudre : Phénoménologie, effets et protection » 2004. [6] Dib Djalel «L’impact de LA Foudre Sur les Réseaux Electriques Etude, Analyse et Modélisation». Thèse de Doctorat, Mai 2007. [7] Blitzschutz _def_2011_V0-0_f«une protection efficace contre la foudre»Association des établissements cantonaux d’assurance incendie. [8] Mr Boukelkoul Lahcene «étude & simulation des modèles électrodynamiques par la méthode FDTD : la foudre» Thèse de Doctorat, 2011. [9] Bidi Manel«CEM et réseaux de transport d’énergie : estimation des perturbations sur les réseaux» Mémoire de Magister, 2006. [10] Mammeri Toufik « Contribution à l’Etude Théorique d’un Four à induction» Mémoire de Magister, 2012 51