Epreuve d`informatique

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Devoir Surveillé informatique
MP,PC,PSI
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.
Le langage de programmation choisi est Python.
Éolienne verticale « ROPATEC »
Document 1 : Photographie d'une éolienne « ROTAPEC » à axe vertical
Document 2 : Extrait de la plaquette commerciale de l'éolienne
Habituellement, les éoliennes sont sur des mâts et demandent un terrain dégagé. Les éoliennes
verticales peuvent être installées sur des toits terrasses. Inutilisé votre toit peut accueillir une éolienne
pour alimenter en électricité votre bâtiment ou faire chauffer votre ballon d’eau chaude. En effet toutes les
éoliennes Ropatec proposent une solution inédite pour l’alimentation de votre ballon d’eau chaude. Que
vous soyez un particulier, une entreprise (hôtel, restaurant, …) ou une collectivité, cette solution est
intéressante pour vous. La gamme de puissance de Ropatec permet de répondre à tous les besoins
d’énergie.
Problématique
Dans le cadre d’un TIPE, un élève cherche à déterminer les performances de ce type d’éolienne.
Nous allons essayer de l’aider.

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I. Profil des pales : définition d’une fonction, tracé de courbes
Les profils NACA sont des profils aérodynamiques pour les ailes d’avion développés par le Comité
consultatif national pour l’aéronautique (NACA). Il s’agit de la série de profils la plus connue et utilisée
dans la construction aéronautique.
La forme des profils NACA est décrite à l’aide d’une série de chiffres qui suit le mot « NACA ».
Le profil des pales utilisé pour l’éolienne Ropatec est le profil symétrique NACA 0015.
L’équation du profil supérieur est donnée (le profil inférieur est symétrique par rapport à l’axe
horizontal) :
432 1015,02843,03516,01260,02969,0
2,0
)( c
x
c
x
c
x
c
x
c
xc
txy
(équation 1)
- c est la longueur de la corde de profil ;
- x est la position le long de la corde variant de 0 à c ;
- y est la moitié de l’épaisseur pour une valeur donnée de x ;
- t est l’épaisseur maximale en tant que fraction de la corde.
Question 1 :
Reporter sur la figure du profil NACA 0015 donné ci-dessus les tracé nécessaire à l’obtention des
grandeurs c et t et donner ci-dessous leur valeur numérique (en unité arbitraire).

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On veut utiliser Python pour tracer le profil de l’aile.
Afin de (re)prendre en main les fonctions de tracé, on trace d’abord la courbe représentative de la
fonction sinus, à partir d’instructions disponibles sur de nombreux sites…
On met dans l’éditeur les
instructions ci-dessous :
var1=2
var2=sin(var1)
print('var2=',var2)
On obtient dans la console le message d’erreur suivant :
Traceback (most recent call last):
File "<tmp 1>", line 2, in <module>
var2=sin(var1)
NameError: name 'sin' is not defined
On met ensuite dans l’éditeur les
instructions ci-dessous :
from numpy import *
var1=2
var2=sin(var1)
print('var2=',var2)
On obtient dans la console le message d’erreur suivant :
var2= 0.909297426826
Question 2 :
Expliquer pourquoi la première série d’instructions renvoie un message d’erreur alors que la
deuxième série d’instructions renvoie une valeur.
On complète le programme avec les instructions suivantes :
1. from numpy import *
2.
3. x=linspace(-2,6.5,20)
4. print('contenu de x :',x)
5. print('type de x',type(x))
6.
7. import matplotlib.pyplot as plt
8. plt.plot(x,sin(x)) # on utilise la fonction sinus de numpy
9. plt.ylabel('fonction sinus')
10. plt.xlabel("l'axe des abscisses")
11. plt.show()
On peut demander l’affichage de l’aide concernant la fonction linspace en exécutant la
commande : help (linspace)
Voici un extrait de l’aide retournée par Python :
Help on function linspace in module numpy.core.function_base:
linspace(start, stop, num=50, endpoint=True, retstep=False, dtype=None)
Return evenly spaced numbers over a specified interval.
Returns `num` evenly spaced samples, calculated over the
interval [`start`, `stop` ].
The endpoint of the interval can optionally be excluded.

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Courbe tracée par Python
Question 3 :
Expliquer ce que fait la commande linspace(-2, 6.5, 20) de la ligne 3. Quel est le type de la
variable x ?
Question 4 :
Quel changement aura lieu dans l’exécution du programme si la ligne 11 est supprimée ?
Question 5 :
Définir une fonction profile_NACA0015(x) qui renvoie l’équation du profil supérieur de la pale
de l’éolienne.

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On souhaite déterminer la valeur maximale du profil y(x) grâce à la méthode de Newton.
Question 6 :
Rappeler le principe de la méthode de Newton. (On pourra s’aider d’un graphique illustratif).
Question 7 :
Écrire une fonction newton1(f, fprim, x0, e) qui prend pour argument une fonction f dont on
cherche un zéro, la fonction dérivée de la fonction f notée fprim, l’abscisse initiale x0 de la suite des
xn, ainsi que la précision e souhaitée (l’algorithme s’arrête lorsque f(xn) ≤ e) et qui renvoie xnf la valeur du
zéro trouvé par la méthode de Newton, la valeur de f(xnf) correspondante ainsi que le nombre d’itération
n effectuées.
Question 8 :
Que se passe-t-il si la fonction f(x) ne s’annule jamais ?