Résonateur optique

4
Résonateur optique
4.1 Résonateur sphérique
Ce chapitre est consacré à l’étude des résonateurs optiques sphériques. Ces résonateurs sont
passifs et sans pertes. Cependant, l’analyse de leurs modes de résonance est essentiel pour mieux
comprendre le comportement des résonateurs actifs qui seront étudiés au chapitre suivant.
L’analyse géométrique nous permettra de distinguer deux classes de résonateurs sphériques: le
résonateur à modes confinés (stable) et le résonateur à modes non confinés (instable). Ces
résonateurs seront, par la suite, analysés au moyen d’équations intégrales. Une troisième classe
de résonateurs optiques sera introduite à la fin de ce chapitre: le résonateur à modes conjugués,
un type de résonateur qui trouve de plus en plus d’utilisation.
Les résonateurs lasers sont généralement des résonateurs ouverts, afin de diminuer le
nombre de modes pouvant osciller et, ainsi, générer une sortie optique plus cohérente. Ces
résonateurs sont, habituellement, des résonateurs dits sphériques, puisque formés par deux
miroirs sphériques de rayon de courbure RM1 et RM2 se faisant face et séparés par une distance L
(figure 4.1). En pratique, l’un des miroirs est partiellement transparent afin d’assurer un couplage
de l’énergie vers l’extérieur.
Figure 4.1
On suppose, dans cette première analyse théorique, que la dimension transverse des
miroirs est infinie et qu’ainsi, il n’y a pas de pertes. Notre objectif est de chercher les
distributions d’amplitude complexe qui s’auto-reproduisent suite aux aller-retours des ondes
lumineuses présentes dans le résonateur. Ces distributions stationnaires formeront l’ensemble des
modes du résonateur.
L’analyse des modes du résonateur sphérique s’effectue directement en remplaçant le
R
R
résonateur par un canal équivalent de lentilles de distance focale F1 = M 1 et F2 = M 2 , séparées
2
2
par la même distance L (figure 4.2).
52
Figure 4.2
Les distributions modales du résonateur sont, en effet, les mêmes que celles qui s’autoreproduisent sur F1 ou F2, après une très longue distance de propagation z. Cependant, ce modèle
de propagation ne nous donnera pas, à priori, les fréquences de résonances. De plus, il faudra se
rappeler que ce modèle nous donnera simplement la distribution modale de l’onde progressive
selon z. Les modes du résonateur devront être, par la suite, analysés en supposant une onde
stationnaire formée de la somme des ondes progressives selon +z et -z.
4.1.1 Analyse de l’optique géométrique
L’analyse de l’optique géométrique du résonateur sphérique consiste à chercher le
v  r
comportement stationnaire d’un rayon r =   qui se propage dans le résonateur, ou dans le
θ 
canal de lentilles. Nous savons comment suivre un tel rayon au moyen de la matrice (ABCD) de
transfert des rayons:
 A B v
v
r1 = 
r .
 C D 0
(4.2.1)
Si on effectue notre analyse à partir du miroir RM1, la matrice de transfert de F1 à F1 ou de RM1 à
RM1 s’écrit:
1
 A B  2

=
 C D  − R
M1
L  1
2L  2
1−
−
RM 1   RM 2
soit
A = 2 g2 − 1 ,
B = 2 Lg2 ,
D = 4 g1 g 2 − 2 g2 − 1 ,
et
AD − BC = 1 .
L 
2L  ,
1−

RM 2 
(4.2.2)
53
Notez que si le résonateur de la figure 4.1 contenait d’autres éléments optiques paraxiaux, ceux-ci
seraient inclus dans la calcul de A, B, C, D. C’est pourquoi nous continuerons notre analyse avec
la notation A, B, C, D pour être général et nous discuterons, lorsque utile, le cas particulier du
résonateur vide correspondant aux valeurs données en (4.2.2).
v
Nous nous intéressons, maintenant, au comportement de ce rayon r0 , après un grand
v
nombre de passes rn . Ceci nous conduit à l’équation:
n
 A B v
rn = 
 r .
 C D 0
v
(4.2.3)
On peut finalement élever une matrice 2×2 à la puissance n, après avoir trouvé ses valeurs et
vecteurs propres. Les valeurs propres Λ sont calculées en exigeant que le déterminant soit nul:
A−Λ
C
B
= 0.
D−Λ
Ce qui s’écrit:
Λ2 − ( A + D)Λ + 1 = 0 .
(4.2.4)
On obtient ainsi les deux valeurs propres Λ+ et Λ-:
A + D
 A + D − 1 .
Λ ± = 

± 
 2 
 2 
2
(4.2.5)
Ici, on doit distinguer deux possibilités:
 A + D  > 1
 2 
alors les deux valeurs propres et les vecteurs propres sont réels,
 A + D  < 1
 2 
où les valeurs et vecteurs propres deviennent complexes.
2
et
2
Ces deux cas conduisent à des distributions modales fort différentes. Il convient donc de bien
distinguer ces deux géométries de résonateur sphérique.
54
4.1.2 Résonateur à modes non confinés (instable)
A + D
La première géométrie définie par la relation 
 > 1 conduit, comme nous le
 2 
verrons, à des distributions modales très larges qui tendent à sortir de l’axe z au fur à mesure de
leur propagation. C’est pourquoi on qualifie ce type de distribution de modes non confinés. Pour
le résonateur sphérique vide de la figure 4.1, cette condition devient:
2
où
g1g2 > 1
g1g2 < 0.
La figure 4.3 permet de visualiser ces diverses géométries.
Figure 4.3
Tous les résonateurs à modes non confinés se retrouvent à l’extérieur de la partie
hachurée du diagramme.
Les valeurs propres pour ces résonateurs peuvent s’écrire:
Λ + = M et Λ − =
1
,
M
(4.2.6)
A + D
 A + D − 1 ,
M = 

+ 
 2 
 2 
2
où
55
M > 1.
et
 r+ 
 r− 
v
v
Les deux vecteurs propres correspondants r+ =   et r− =   peuvent s’écrire en termes de
θ + 
θ − 
+
leurs rayons de courbure respectifs, R1 et R1 soit:
R1+ =
r+
B
=
,
θ+ M − A
(4.2.7)
r−
B
=
.
1
θ−
−A
M
(4.2.8)
R1− =
Notez que ces rayons de courbure sont reliés entre eux par la relation:
D − A
1
1
+ − = 
.
+
R1
R1  B 
(4.2.9)
v
On peut, maintenant, poursuivre l’analyse géométrique en décomposant le rayon initial r0
en termes des deux vecteurs propres:
v
v
v
r0 = α + r+ + α − r− .
(4.2.10)
Après n passages de la cellule unitaire (F1-F1) par le canal de lentille (fig. 4.2), on obtient:
n
n
 A B v
 A B v
 r+ + α − 
 r− .
r0 = α + 
C D
C D
v
Puisque r+ et r- sont des vecteurs propres, on peut réécrire cette dernière équation de la façon
suivante:
v
v
r0 = α + M n r+ +
α− v
r− .
Mn
(4.2.11)
v
Lorsque le nombre de passages n augmente, M étant > 1, le vecteur propre r− s’atténue de plus
en plus et, finalement, pour n → ∞, on a:
v
v
rn → α + M n r+ .
(4.2.12)
On nomme le paramètre M le grandissement puisque, dans cette géométrie, un rayon situé à une
distance r de l’axe se retrouve, à chaque passe à une distance M × r.
56
On conclut donc que pour ce type de géométrie, un rayon initial se retrouve très loin hors
de l’axe, après un grand nombre de passes. Puisque les rayons de l’optique géométrique décrivent
la trajectoire du vecteur de Poynting moyen, on doit anticiper que ce type de résonateur possédera
un mode fondamental qui occupera tout l’espace transverse disponible. C’est pourquoi on nomme
cette géométrie résonateur à modes non confinés. Historiquement, cette géométrie était nommée
résonateur instable parce que le rayon géométrique sortait, effectivement, de plus en plus hors de
l’axe. Cependant, ce type de résonateur est intrinsèquement stable aux perturbations; c’est
pourquoi, aujourd’hui, on tente de changer son appellation, bien qu’elle soit solidement ancrée.
v
Puisque le vecteur propre dominant r+ est unique et réel, on peut lui associer une onde
sphérique de rayon de courbure R1+ (4.2.7), ayant son centre situé sur l’axe z, à une distance
B
d1 =
.
M−A
Figure 4.4
D’autre part, comme indiqué à la figure 4.4, cette onde sphérique, vue par le miroir RM2,
s’image en un point source situé à une distance, d2, du miroir RM2 et, résulte en une onde
sphérique de rayon de courbure R2+ sur le miroir RM2. Le mode du résonateur sera donc décrit
comme la superposition de ces deux ondes sphériques provenant de ces deux points sources, d1 et
d2.
Pour le résonateur sphérique vide de la figure 4.1, on obtient, pour la distance d1:
d1 =
Lg 2
[
]
 g g g g −1 2 + g g − g 
 1 2( 1 2 )
1 2
2


1
.
(4.2.13)
v
Le rayon de courbure R2+ peut se calculer en propageant le vecteur propre r+ du miroir RM1 au
miroir RM2, selon:
57

(rv+ )2 = 
1
v
(r+ ) ,
2 g 2 − 1 1
L
 − 2 / RM 2
et on trouve:
1
1
2
=
−
.
+
+
R2 L + R1 RM 2
(4.2.14)
Le centre de courbure de cette onde est situé à une distance d2 du miroir RM2 correspondant à:
d2 =
Lg1
[
]
 g g g g −1 2 + g g − g 
 1 2( 1 2 )
1 2
1


1
.
(4.2.15)
En fait, cette solution d’ondes sphériques, obtenue pour ce type de résonateur sphérique, peut
s’obtenir (voir exercice 4.1) simplement en cherchant les conditions pour que deux points sources
soient auto-imagés par deux miroirs se faisant face.
Le résonateur à modes non confinés (instable) s’avère très utile pour les lasers de très
grandes puissances. En fait, on peut assurer le couplage en utilisant un miroir RM2 de diamètre
plus petit que celui du miroir RM1. La sortie du laser est alors formée par une distribution
annulaire de l’énergie qui déborde du miroir RM2. Il est alors utile d’exiger que la sortie soit
collimée, i.e. que le rayon de courbure de l’onde de sortie, ici R1+ , soit infini. Pour le résonateur
sphérique vide, cette condition (d1 → ∞) se résume à la relation:
2 g1g 2 = g1 + g2 ,
(4.2.16)
RM 1 R M 2
+
= L.
2
2
(4.2.17)
ce qui s’écrit, aussi:
Cette dernière relation implique que le foyer (RM / 2) de chacun des miroirs est situé au même
point. On nomme ce type de résonateur, les résonateurs confocaux généralisés.
58
Figure 4.5
À la figure (4.5), on montre les deux branches distinctes de la relation (4.2.16), soit la
branche négative qui comprend le résonateur confocal, g1 = g2 = 0, et la branche positive qui
comprend le résonateur plan parallèle, g1 = g2 = 1, comme cas limite. La figure (4.6) nous montre
la géométrie type de ces deux branches. On reconnaît alors que ces résonateurs sont,
essentiellement, des télescopes de type Cassegrain.
59
Figure 4.6
 A + D
En résumé, l’analyse géométrique des résonateurs à modes non confinés, 
 > 1,
 2 
nous conduit à une solution sous forme d’ondes sphériques divergentes. Il s’ensuit que l’énergie
qui se retrouve près de l’axe s’étale à chaque passe, suite au grandissement M. En termes des
rayons de l’optique géométrique, on a vu que les rayons propres ne demeurent pas contenus près
de l’axe mais, bien au contraire, le grandissement M les fait sortir, de passe en passe, loin de
l’axe optique. La figure (4.7) nous montre le comportement des ondes sphériques, R+ et R-, pour
un résonateur à modes non confinés de géométrie positive et négative.
2
60
Branche positive :
Branche négative :
Figure 4.7
61
Exercice 4.1
Montrez que la solution géométrique du résonateur sphérique à modes non confinés peut
s’obtenir en cherchant les positions, d1 et d2, de deux points sources qui s’auto-imagent, en
utilisant la loi habituelle de l’optique :
1 1
1
+
=
ρ ρ′ F
d1 vue par RM2 donne d2
d2 vue par RM1 donne d1
Exercice 4.2
On a vu que la solution stationnaire du résonateur à modes non confinés correspondait au
v
vecteur propre r+ qui donne naissance à l’onde sphérique R1+ sur le miroir RM1.
v
Montrez que l’onde sphérique R1− du vecteur propre r− s’écrit:
1
1
−2
=
− +
−
R1 RM 1 R1
et que celle, associée au miroir RM2, R2− , s’écrit:
1
1
−2
=
− +
−
R2
RM 2 R2
Discutez de la relation de ces deux ondes sphériques, R1− et R2− , par rapport aux deux
points sources, d1 et d2.
62
Exercice 4.3
Montrez que, pour un résonateur confocal généralisé (2g1 g2 = g1 + g2 ), le grandissement
M est donné par la relation :
M=
RM 1
RM 2
où R M 1 > R M 2 , puisque M > 1.
4.1.3 Résonateur à modes confinés (stable)
 A + D
Lorsque la géométrie du résonateur satisfait la condition 
 < 1 , les valeurs
 2 
propres Λ ± deviennent complexes. Nous verrons qu’alors, les rayons de l’optique géométrique
demeurent près de l’axe. Ceci nous permet de prédire une distribution d’intensité des modes,
confinée près de l’axe.
2
On introduit l’angle φ, défini par la relation:
A+ D
= cos φ .
2
(4.2.18)
Ce qui nous permet d’écrire les valeurs propres, Λ+ et Λ-, simplement par:
Λ ± = e ± iφ .
(4.2.19)
Le module des deux valeurs propres devrait, alors, être égal à 1. Pour un résonateur sphérique
vide, l’angle φ est relié aux paramètres géométriques, g1 et g2, selon:
cos φ = 2 g1 g 2 − 1 .
(4.2.20)
La condition, cosφ <1 , correspond aux conditions:
0 < g1 g 2 < 1
(4.2.21)
et g1 = g2 = 0.
Cette géométrie correspond à la partie hachurée de la figure 4.3 et comprend le point de l’origine,
soit le résonateur confocal.
v
v
Aux deux valeurs propres, Λ+ et Λ-, correspondent deux vecteurs propres, r+ et r− :
63
Ar+ + Bθ + = e iφ r+ ,
(4.2.22)
Ar− + Bθ − = e − iφ r− .
Puisque les valeurs propres sont complexes, il s’ensuit que les vecteurs propres le sont aussi. Il
n’est pas évident, ici, d’interpréter un rayon géométrique complexe. Cependant, on peut suivre la
v
trajectoire d’un rayon réel quelconque r0 , après n passes dans le résonateur, en utilisant le
résultat de l’exercice 4.4.
Exercice 4.4
Montrez qu’une matrice 2x2, élevée à la puissance n, devient:
B sin(nφ )

1  A sin(nφ ) − sin((n − 1)φ )
 A B



 =
 C D
C sin(nφ )
D sin(nφ ) − sin((n − 1)φ )
sin φ 
n
où cos φ =
A+ D
.
2
On obtient, alors:
rn =
1
sin φ
{[ A sin(nφ ) − sin((n − 1)φ )]r
0
}
+ B sin(nφ )θ 0 ,
(4.2.23)
et θ n =
{
}
1
C sin(nφ )r0 + [ D sin(nφ ) − sin((n − 1)φ )]θ 0 .
sin φ
On constate, donc, que les rayons, dans ce type de résonateur, demeurent près de l’axe. En effet,
l’équation (4.2.23) conduit toujours à une excursion maximale finie, hors de l’axe, du rayon ro.
Afin de bien visualiser les trajectoires des rayons, on considère deux cas particuliers; le premier,
le résonateur confocal, g1 = g2 = 0, le deuxième, le résonateur où g1 g 2 = 12 .
Premier cas: le résonateur confocal, g1 = g2 = 0:
Pour ce résonateur, on montre que φ = π, A = -1, B = 0, et D = -1. On trouve, alors, que:
rn = ( −1) n r0 ,
(4.2.24)
et θ n = (−1) n θ 0 .
64
Pour le résonateur confocal, on conclut donc que les rayons géométriques se retrouvent
exactement dans la même condition après deux passes. La figure 4.8 nous donne un aperçu de ce
type de rayons.
Figure 4.8
Deuxième cas: le résonateur où g1 g2 = ½ :
Pour ce résonateur, on trouve que φ =
π
. On montre alors que:
2
nπ
nπ 
nπ

rn =  A sin  + cos   r0 + B sin   θ 0 ,






2
2 
2
(4.2.25)
pour n > 1.
Pour un rayon d’angle initial θo = 0, on obtient:
r1 = Aro,
r2 = -ro,
r3 = -Aro,
r4 = ro.
La figure 4.9 nous indique que pour ce résonateur, les rayons se referment sur eux-mêmes après
quatre passes complètes.
65
Figure 4.9
Le résonateur à modes confinés (stable) possède, de fait, un grandissement maximal de un, ce qui
confine l’énergie près de son axe optique.
À partir des équations des rayons propres (4.2.22), on peut introduire les rayons de
courbure complexe, R+ et R-, à l’aide de la relation R = r/θ. On trouve, de cette façon:
1  D − A
=
±
R±  2 B 
A + D
i 1 − 

 2 
B
2
.
(4.2.26)
L’interprétation d’un rayon de courbure complexe sera faite plus loin. On analyse, pour l’instant,
la partie réelle de la courbure, soit:
1
D− A
.
=
2B
R0
(4.2.27)
Pour le résonateur sphérique, on montre que:
1
−1
=
,
R0 R M 1
(4.2.28)
c’est-à-dire que la partie réelle de la courbure épouse la courbure du miroir du résonateur. On
peut suivre ce rayon de courbure à chaque passe et montrer que:
1
1 1
=
+ sin φ tan(nφ ) .
Rn R0 B
(4.2.29)
66
On note que la courbure change de passe en passe et qu’après un certain nombre de passes n, il
est possible de retrouver la courbure initiale si nφ = π.
Par exemple, dans le cas du résonateur confocal, on a φ = π. Par conséquent, n = 1, c’està-dire qu’une onde sphérique, de rayon de courbure égal au rayon de courbure du miroir, s’autoreproduit à chaque passe. On pourrait donc conclure que le mode du résonateur confocal
correspond à cette onde sphérique. Il faut noter, ici, que le résonateur confocal, g1 = g2 = 0, est un
cas se situant à la limite des résonateurs à modes confinés et non confinés. Il est, en fait, un
résonateur à modes non confinés de grandissement de un. D’autre part, pour le résonateur
g1 g 2 = ½ (φ = π/2), on remarque que le rayon de courbure alterne entre Ro et ∞, à chaque
passe. Pour ce résonateur, le mode n’est donc pas une onde sphérique simple.
Exercice 4.5
À l’exercice 4.1, on a montré que les modes géométriques du résonateur à modes non
confinés pouvaient s’obtenir à partir de deux points sources qui s’auto-imagent au travers des
deux miroirs. Reconsidérer cette approche pour les résonateurs à modes confinés et interpréter
physiquement le rayon de courbure complexe.
4.1.4 Résonateur à conjugaison de phase
Il est possible de concevoir un miroir dit à conjugaison de phase grâce à des effets
paramétriques comme, par exemple, le mélange à quatre ondes. Ce type de miroir possède la
propriété d’inverser le front d’onde d’un faisceau incident. En notation phaseur, cette inversion
de la phase correspond au complexe conjugué de la phase initiale d’où l’appellation de miroir à
conjugaison de phase (MCP). Ce type de miroir est utilisé dans des résonateurs afin, en
particulier, de diminuer les effets de perturbation du milieu optique interne.
La matrice de transfert d’un miroir à conjugaison de phase s’écrira, pour les rayons
géométriques:
1 0 
(MCP)⇒ 
.
 0 −1
(4.2.30)
En effet, cette matrice, lorsqu’appliquée à un rayon incident, ne change pas sa hauteur mais
r
inverse le signe de l’angle d’incidence. Il s’ensuit que le rayon de courbure   change de signe,
θ 
c’est-à-dire qu’il est inversé. Par exemple, une onde divergente incidente sur un MCP est
réfléchie en une onde convergente.
On considère le résonateur de la figure 4.10, formé d’un miroir sphérique (R M) et d’un
miroir à conjugaison de phase (MCP) séparés par une distance L.
67
Figure 4.10
v
Après une passe complète, un rayon r0 sur le miroir sphérique se retrouvera à une
v
position r1 , selon la transformation suivante:
0  1 L  1
v  1 L  1



r1 = 
 0 1  0 − 1 0 1  − 2 RM
0v
r0 .
1 
(4.2.31)
Ce qui devient, après multiplication:
0 v
 r0 .
− 1
 1
v
r1 = 
 2 RM
(4.2.32)
La matrice de transfert de ce résonateur ne dépend plus de la longueur L du résonateur. Cette
propriété surprenante est justement ce qui rend ce résonateur fort intéressant.
Les valeurs propres de cette matrice (voir équation 4.2.5) s’écrivent:
Λ± = e
±
iπ
2
.
(4.2.33)
Les valeurs propres sont complexes, ce qui nous amène à rapprocher ce type de résonateur à la
π
famille des résonateurs à modes confinés. Puisqu’il correspond à un angle φ = , on peut
2
l’associer à un résonateur sphérique g1g2 = 1/2 . Mais puisque A = 1 et D = -1, on doit l’identifier
à un résonateur sphérique, g2 = 1 et g1 = 1/2, c’est-à-dire à un résonateur semi-confocal. Notez
bien que ceci n’est pas une équivalence pour toutes les propriétés du résonateur à conjugaison de
phase, comme nous le verrons plus loin. Par exemple, à la figure 4.11, on indique la trajectoire
des rayons dans un résonateur à conjugaison de phase. On note que même dans le cas où le
paramètre g du résonateur à conjugaison de phase est ½, la trajectoire des rayons n’est pas la
même que celle des rayons du résonateur sphérique semi-confocal.
68
Figure 4.11
69
Exercice 4.6
1. Calculez la matrice de transfert d’un miroir à conjugaison de phase devant lequel un élément
optique paraxial ABCD est placé.
2. Analysez le résonateur à conjugaison de phase contenant un élément optique paraxial ABCD.
4.2 Équations intégrales des résonateurs ouverts
Afin d’obtenir la distribution transverse des champs des résonateurs ouverts, on doit
revenir au modèle de l’optique physique. Nous avons développé ce modèle de l’optique paraxiale
au chapitre deux, en dérivant un propagateur paraxial en géométrie cartésienne (2.2.5) et en
géométrie circulaire (2.3.14). Les résonateurs laser possèdent, généralement, une géométrie
circulaire et, c’est pourquoi, nous limiterons l’analyse à cette géométrie; les résultats pour la
géométrie rectangulaire pouvant être plus facilement déduit par extension (voir note 4.1).
L’analyse à faire est sensiblement la même que celle du processus laser. En effet, on suppose une
distribution de départ uo(r,φ) en un plan et on observe, après un grand nombre de passages, la
distribution stationnaire us(r,φ) qui s’établira. Pour un résonateur passif, c’est la géométrie du
résonateur qui modifie l’onde se propageant aller-retour à l’intérieur de celui-ci. Dans cette
première analyse, on néglige la diffraction en supposant que les miroirs RM1 et RM2 (figure 4.1)
ont des dimensions transverses très grandes (a → ∞). Par exemple, pour amorcer notre calcul, on
peut situer le plan de référence sur le miroir RM1; la distribution en tout autre plan pourra
éventuellement se calculer par une propagation simple à partir de la solution connue sur ce
miroir. Il est pratique, en fait, de choisir le centre de courbure du miroir comme plan de référence,
c’est-à-dire que le plan de référence, dans le canal équivalent de la figure 4.2, se situe au centre
de la lentille F1.
70
On suppose que l’amplitude du champ peut se décomposer en une partie radiale et une
partie angulaire selon:
cos( lφ ) − ikL
U ( r , φ ) = ul ( r ) 
e .
 sin( lφ ) 
(4.3.1)
Le propagateur pour ul(r) a été écrit à l’équation (2.3.14) soit:
− iπ
 2π(i ) l+1 
( Ar02 + Dr 2 )
 2πrr0 
u1 ( r ) = 
Jl
 ∫ u0 ( r0 )e λB
 r dr .
 λB  0 0
 λB  M 1
(4.3.2)
Les éléments de matrice ABCD sont calculés pour un passage aller-retour dans le résonateur:
 A B   −11

 =
 C D   RM 1
0  1 L  1

 −2
1  0 1 
 RM 2

0  1 L  1

 −1
1  0 1 
 RM 1

0

1 .

(4.3.3)
Pour ce résonateur, on retrouve naturellement:
A = D = 2g1 g 2 − 1 ,
B = 2 Lg 2 ,
et C =
(4.3.4)
2
g 1 ( g 1 g 2 − 1) .
L
Partant d’une distribution initiale uo(r), on peut calculer la distribution u1(r) après une
passe complète, au moyen du propagateur (4.3.2) et, par itérations successives, calculer la
distribution après n passes. Lorsque n → ∞, on peut imaginer que la distribution devient
stationnaire, c’est-à-dire qu’elle ne change que par un facteur γ constant; on a alors atteint la
distribution modale. En fait, le processus mathématique est tout à fait analogue à celui de la
section précédente qui débouchait finalement à la recherche des valeurs et vecteurs de la matrice
de transfert. Ici, l’équation mathématique consiste à solutionner l’équation intégrale suivante:
− iπA (r02 + r 2 )
 2πi l +1 ∞
 2πrr0 
 ∫ u l (r0 )e λB J l 
γ l u l (r ) = 
r0 dr0 ,
 λB 
 λB  0
(4.3.5)
u étant les distributions propres (modes) et γ les valeurs propres de cette équation intégrale. Ce
type d’équation intégrale se nomme intégrale de Fredholm de seconde espèce homogène.
O
O
71
4.2.1 Résonateurs à modes confinés
Heureusement pour notre problème, on peut facilement solutionner cette équation intégrale
(4.3.5) au moyen de la fonction génératrice double de Lebedeff (tableau 4.2) qui nous permet de
remplacer le noyau de l’équation intégrale par une somme simple de fonction de Gauss-Laguerre:
2
2
 l +1 
∞
i  n+
θ
 2πi l +1  − iπA(λr0B+ r )  2πrr0 
l
e

Jl 
r0 dr0 = ∑ψ n ( ρ )e  2  ψ nl ( ρ 0 )dρ 0 ,
 λB 
n= 0
 λB 
 θ
avec cos  = A ,
 2
ρ2 =
π
λ
ρ 20 =
(4.3.6)
−C 2
r et,
B
π
λ
−C 2
r0 .
B
Tableau 4.1
Fonction génératrice double des fonctions Gauss-Hermite Ψn ( x ) :
Développement de Mehler*
[(
1
iπ sin θ
e
)
i x 2 + x02 cos θ − 2 xx0
sin θ
]
∞
= ∑ Ψn ( x )e
n= 0
 1
− i  n + θ
 2
Ψn (x 0 )
* E.T. Whittaker, Proceedings Royal Society of Edinburgh, LXIA 1940-41
Tableau 4.2
Fonction génératrice double des fonctions Gauss-Laguerre Ψ nl (ρ) :
Développement de Lebedeff*
i (ρ
2(− i )
e
θ 
sin  
 2
l +1
2
+ ρ 02
)
θ 
cot  
 2




 l +1 
−i  n +
θ
2 ρρ 0  ∞ l

Jl
= ∑ Ψn ( ρ )e  2  Ψnl (ρ 0 )
  θ   n =0
 sin   
  2
* E.T. Whittaker, Proceedings Royal Society of Edinburgh, LXIA 1940-41
Il s’ensuit que l’équation intégrale (4.3.5) est réduite à l’équation suivante:
72
∞
γ l ul (ρ ) = ∑ ψ ln (ρ )e
(
)
i n + l +2 1 θ
n= 0
∞
∫ u (ρ
l
0
)ψ ln (ρ 0 )ρ 0 dρ 0 .
(4.3.7)
0
Suite à l’orthogonalité des fonctions de Gauss-Laguerre (voir tableau 3.2), il est manifeste que les
distributions propres (modes) de notre équation intégrale sont simplement:
ul,m ( r0 ) = ψ lm (ρ 0 ) ,
(4.3.8)
et les valeurs propres associées sont:
γ l,m = e (
) .
i m+ l2+1 θ
(4.3.9)
Par exemple, le mode fondamental devient:
−π
u 0,0 ( r ) = e λ
−C 2
r
B
(4.3.10)
,
c’est-à-dire que ce mode sera un faisceau gaussien si le rapport C/B est négatif. Pour le
résonateur sphérique décrit précédemment (4.3.4), ce mode devient:
u 0,0 (r ) = e
−π
λL
g1
g2
(1− g1g 2 )r 2
.
(4.3.11)
Ce mode sera un faisceau gaussien seulement si le résonateur est un résonateur à modes confinés,
i.e. 0 < g1 g2 < 1.
Pour cette géométrie, l’angle θ est réel et la valeur propre représentera uniquement un
saut de phase qui fixera la fréquence de résonance du mode. Le module de γ étant l’unité, ce
résonateur à modes confinés n’a pas de pertes. Ceci se comprend facilement en considérant que
les miroirs sont de dimensions infinies. Aussi, parce que le mode est purement réel, sa phase,
suite au choix du plan de référence, épouse la forme du miroir.
D’autre part, lorsque le rapport C/B est plus grand que zéro (g1 g2 > 1 ou g1 g2 < 0) le
mode fondamental devient une onde sphérique paraxiale, ce qui est caractéristique des
résonateurs à modes non confinés. Les valeurs propres γ ,m ont des modules plus grands (ou plus
petits) que l’unité, ce qui correspond à une perte géométrique, suite au facteur de grandissement
de ce type de résonateur. En fait, on peut montrer (voir exercice 4.7) que ce résultat est tout à fait
en accord avec celui obtenu au moyen de l’analyse de l’optique géométrique du résonateur à
modes non confinés. Encore une fois, on constate la concordance entre les solutions de l’optique
géométrique et de l’optique physique. Cependant, pour le résonateur à modes non confinés, il faut
questionner la légitimité du développement de Lebedeff utilisé précédemment et l’orthogonalité
des fonctions imaginaires dans le cas de Gauss-Laguerre. C’est pourquoi nous étudierons, dans la
section suivante, l’équation intégrale particulière pour les résonateurs à modes non confinés.
Nous avons utilisé, ici, une fonction génératrice double des polynômes de Laguerre pour
résoudre l’ensemble des modes transverses de l’équation intégrale. On peut obtenir simplement la
O
73
solution du mode fondamental en cherchant (voir exercice 4.8) le rayon de courbure complexe q,
associé à un faisceau gaussien, qui s’auto-reproduit après une passe complète dans le résonateur.
La solution générale des modes, pour une symétrie cartésienne, s’obtient selon un cheminement
analogue en utilisant la fonction génératrice double de Mehler (voir exercice 4.9).
Exercice 4.7
Montrez que les deux valeurs propres Λ+ et Λ- (4.2.5) du modèle géométrique, pour le
résonateur de la figure 4.1, sont exactement les mêmes que les valeurs propres γ0,0 (4.3.9) de
l’équation intégrale et ce, pour une géométrie à modes confinés ou non confinés.
Exercice 4.8
Déterminez le mode fondamental gaussien du résonateur à modes confinés, en cherchant le rayon
de courbure complexe q qui s’auto-reproduit après une passe complète dans le résonateur de la
figure 4.1. Utilisez le même plan de référence que celui utilisé dans les sections 4.1 et 4.2, c’està-dire le plan situé devant le miroir RM1. Vous constaterez alors que votre résultat vous permet
d’interpréter le rayon de courbure complexe obtenu en (4.2.26). Discutez comment vous pouvez,
selon cette approche, dériver les modes supérieurs.
Exercice 4.9
Pour une géométrie en une dimension transverse (x), déterminez les modes transverses d’un
résonateur général (ABCA) en vous servant du développement de Mehler pour résoudre
l’équation intégrale.
4.2.2 Solution asymptotique du résonateur à modes non confinés
Pour les résonateurs à modes non confinés, le développement de Lebedeff n’est pas
rigoureusement justifié. Cependant, lorsque les dimensions transverses des miroirs sont très
grandes, il est possible de dériver une forme asymptotique des distributions modales du
résonateur à modes non confinés, au moyen de la méthode de la phase stationnaire (voir note 2).
Afin de simplifier l’analyse, nous considérons une géométrie cartésienne à une dimension
transverse (x). Après une passe complète, l’amplitude u1(x) est reliée à l’amplitude initiale u0(x0)
par l’intégrale:
a
u1 ( x ) =
iπ
− ( Ax 02 − 2 xx0 + Dx 2 )
i
λB
ρ
(
x
)
u
(
x
)
e
dx0 .
0
0
0
∫
λB − a
(4.3.12)
74
Ici, on a ajouté une réflectivité ρ(x0) devant le miroir de sortie, afin de pouvoir utiliser le résultat
démontré pour les résonateurs à miroirs de réflectivité variable que nous étudierons plus loin. La
figure 4.12 nous montre une géométrie typique, équivalente en propagation, pour le cas général
(ABCD).
Figure 4.12
Lorsque la dimension transverse (a) du miroir de sortie est très grande, l’exponentielle
complexe du noyau de l’intégrale oscillera rapidement et l’intégration asymptotique, au moyen
du principe de la phase stationnaire, s’avère utile. Cependant, avant de l’appliquer, il faut être
certain que la fonction sous l’intégrale ρ(x0)u0(x0) n’oscille pas elle-même autant que le noyau.
La réflectivité ρ(x0), en pratique, est une fonction qui varie lentement. Mais, lorsque a → ∞, on
sait que la solution pour u0(x0) est donnée par une exponentielle complexe (onde cylindrique) que
l’analyse géométrique nous a permis de calculer (voir éq. 4.2.7). Pour le rayon de courbure R+
correspondant à un grandissement M, cette solution s’écrit:
u0 ( x 0 ) = e
−
iπ
( M − A ) x02
λB
.
(4.3.13)
D’autre part, l’analyse géométrique nous montre qu’après une passe complète dans un système
ABCD, cette amplitude sera changée en:
u1 ( x ) = e
−
iπ 
1 2
 D−  x
λB 
M
.
(4.3.14)
Afin d’enlever de l’intégration ces oscillations rapides anticipées, on pose:
u0 ( x 0 ) = v 0 ( x 0 )e
et
u1 ( x ) = v1 ( x1 )e
−
−
iπ
( M − A) x02
λB
iπ 
1 2
 D−  x
λB 
M
,
(4.3.15)
.
L’intégrale de l’équation (4.3.12) devient alors pour les distributions υ(x):
75
iπ 
a
v1 ( x ) =
x2 
−
 Mx 0 − 2 xx 0 + 
i
M 
λB 
ρ
(
x
)
v
(
x
)
e
dx0 .
0
0
0
∫
λB − a
2
(4.3.16)
Maintenant, lorsque a → ∞, on anticipe que les fonctions υ (x) varient lentement et on peut
appliquer la méthode de la phase stationnaire. Le point stationnaire (voir note 2) se situe à
x et l’intégrale (4.3.16) sera, au premier ordre, donnée par:
xs =
M
1
ρ( x M )v0 ( x M ) ,
M
 λB 
le terme suivant est négligé, étant de l’ordre de  2  .
 πa 
v1 ( x ) ≈ −
(4.3.17)
Pour une géométrie à deux dimensions (x,y), on pourrait écrire cette équation:
v1 ( x , y ) = −
(
1
ρ
M
x
M
) (
, My v0
x
M
)
, My ,
ou, plus simplement, pour la géométrie circulaire habituelle:
v1 (r ) =
1
ρ( Mr )v 0 ( Mr ) .
M
(4.3.18)
Les modes du résonateur seront déterminés selon cette approche asymptotique, en exigeant qu’à
l’état final v1 (r ) = γv (r ) et v0 (r ) = v (r ) soit:
γv ( r ) =
1
ρ( Mr )v( Mr ) .
M
(4.3.19)
Cette équation transcendante correspond bien à la physique du résonateur à modes non confinés.
En effet, en changeant r par Mr, on peut l’écrire:
γv ( Mr ) =
1
ρ(r )v(r ) .
M
(4.3.20)
On voit maintenant qu’un point d’amplitude υ à une distance transverse r est modifié par le
réflectivité locale ρ(r) et se retrouve, après une passe, à une distance Mr, mais atténué d’un
facteur 1 . Il faut aussi se rappeler que cette distribution d’amplitude υ (r) est localisée sur
M
l’onde sphérique prédite par le modèle géométrique. Anan’ev et Sherstolritov (Sov. J. Quantum
Electron., 1, 263, 1971) ont montré que la solution de l’équation (4.3.19) peut s’exprimer comme:
∞
v0 (r ) = ∏
n =1
( ),
ρ
r
Mn
ρ 0 ( 0)
(4.3.21)
76
avec γ 0 =
ρ(0)
,
M
pour le mode fondamental. Les modes supérieurs s’écrivent alors:
v m (r ) = v 0 (r )r m ,
γm =
(4.3.22)
γ0
.
Mm
La perte asymptotique du résonateur sera donc:
Γm = 1 − γ
2
= 1−
ρ 2 (0)
.
M 2+ 2 m
(4.3.23)
Cette solution asymptotique s’avérera très utile pour l’analyse de résonateurs à grand nombre de
2
Fresnel  a  munis de miroirs à réflectivité variable (e.g. voir exercice 4.10).
 λB 
Exercice 4.10
On considère un résonateur à modes non confinés de grandissement M muni d’un miroir de
sortie à réflexion super-gaussienne ρ(r ) = ρ 0 e
coefficient de réflectivité.
 r 
−

 WM 
m
. L’entier m = 0, 1, 2,... défini la forme du
Résolvez l’équation transcendante (4.3.19), avec cette réflectivité pour le mode
fondamental.
1. Déterminez la forme analytique de la distribution sur le miroir de sortie υ (r), ainsi que la
distribution réfléchie vers le résonateur.
2. Calculez la perte du résonateur.
3. Analysez la distribution de sortie en intensité donnée par:
(
)
I sortie (r ) = 1 − ρ2 ( r ) v 2 ( r )
En particulier, étudiez l’intensité de sortie pour:
> 1

ρ M = 1
< 1

2
0
m
77
4.2.3 Résonateurs à conjugaison de phase
À la section 4.2.4, on a introduit le miroir à conjugaison de phase (MCP) et sa matrice de
1 0 
transfert des rayons 
 . Il faut noter que cette matrice n’a pas la propriété essentielle
 0 −1
AD − BC = 1 pour les composants optiques normaux. Il faut donc être prudent lorsqu’on utilise
cette dernière. En fait, l’opération conjugaison de phase d’un tel miroir consiste à réfléchir le
champ sous la forme de son complexe conjugué:
∗
( MCP ) ⇒ usortie ( r ) = ρ 0 uentré
e( r ) ,
(4.3.24)
où ρo est un coefficient de réflexion en amplitude.
On considère, ici, le résonateur à conjugaison de phase de la figure (4.13) et, on tente de
trouver l’équation intégrale de ce résonateur pour la distribution uo(r), sur le miroir sphérique.
Figure 4.13
La propagation de uo(r), vers le miroir à conjugaison de phase, change ce dernier en u1(r) où:
− iπ 2
 2πi l +1 
( r0 + r12 ) J  2πr1 r0  r dr .
u1 ( r1 ) = 
 ∫ u0 ( r0 )e λL

l
 λL  0 0
 λL  M1
(4.3.25)
La distribution u1(r) est changée par le miroir à conjugaison de phase et devient, au retour, u2(r)
tel que:
u 2 ( r ) = u1* (r ) .
(4.3.26)
N.B. Ici, le coefficient de réflexion ρo est supposé l’unité puisqu’on effectue,
actuellement, l’analyse de résonateur passif.
78
Après sa propagation vers le miroir sphérique et sa réflexion sur celui-ci, l’amplitude u2(r)
devient u3(r):
− iπ 2
[r1 +(2 g −1)r 2 ]  2πrr1 
 2πi l +1 
 ∫ u 2 (r1 )e λL
u 3 (r ) = 
Jl 
r1dr1 .
L
λ
λ



M 2
(4.3.27)
Ces trois équations permettent de relier directement la distribution u3(r) à celle de uo(r):
− iπ
u 3 (r ) = ∫ u 0* (r0 )e λL
[r
2
0 +
(2 g −1)r 2 ]
r0ϑ (r , r0 )dr0 ,
(4.3.28)
M1
où:
 2π 
ϑ (r, r0 ) =  
 λL 
2
 2πr0 r1   2πrr1 
J 
 r dr .
λL  l  λL  1 1
∫ J 
l
M2
(4.3.29)
Si on suppose, maintenant, que le miroir à conjugaison de phase a une dimension infinie,
le noyau ϑ(r,ro) devient simplement (voir exercice 4.11) la fonction delta de Dirac et, ainsi, on
obtient:
u 3 (r ) = u 0* (r )e
i 2 πr 2
λR M
puisque g = 1 −
(4.3.30)
,
L
.
RM
La recherche des modes du résonateur se fait en exigeant qu’à l’état stationnaire, le champ
uo(r) s’auto-reproduit à une constante γ près:
γu (r ) = u (r )e
*
i 2πr 2
λRM
.
Cette dernière équation peut s’écrire:
− iπr


γ u (r )e λRM


2
− iπr
 
 =  u (r )e λRM
 
 
2
*

 .


(4.3.31)
La solution de cette équation est immédiate. En effet, n’importe quelle fonction u(r) réelle
(u(r) = u*(r)) qui épouse la forme du miroir RM est solution. Ce résonateur est donc un résonateur
dégénéré qui ne possède pas de fréquence de résonance propre (indépendance sur L) et qui peut
supporter toutes sortes de distributions. Cependant, nous verrons plus loin que ce résonateur perd
cette fameuse propriété lorsque le miroir à conjugaison de phase est de dimension finie.
Exercice 4.11
79
Au moyen de la relation de conservation de l’énergie, montrez que l’intégrale (4.3.29) est
bien une fonction delta de Dirac, lorsque effectuée de 0 à l’∞.
Exercice 4.12
Effectuez l’analyse de l’équation intégrale du résonateur à conjugaison de phase pour la
distribution u(r) située devant le miroir à conjugaison de phase.
Montrez alors que l’équation intégrale se réduit à celle du résonateur à modes confinés
g 1 = g 2 = 0 , c’est-à-dire que ce résonateur est équivalent à un résonateur confocal. En
particulier, le mode fondamental peut s’écrire:
u0 ( r ) = e
iπAr 2
λB
e
− πr 2
λB
.
4.2.4 Résonateurs à miroir de réflectivité gaussienne
Dans les trois sections précédentes, nous avons analysé divers types de résonateurs selon
l’approximation que les miroirs avaient des dimensions transverses très grandes, en fait des
dimensions infinies. Plus loin, nous considérerons les résonateurs de dimensions finies, en tenant
compte de la diffraction autour de l’extérieur des miroirs. Cependant, sauf pour le résonateur
confocal (g1 = g2 = 0), nous devrons limiter l’analyse à travers des exemples numériques. Une
façon fort élégante et pratique de limiter la dimension d’une ouverture, tout en conservant les
mathématiques simples du faisceau gaussien, est d’introduire une transparence gaussienne devant
celle-ci:
ρ(r ) = e
−
r2
WA2
,
(4.3.32)
où WA est la largeur type de l’ouverture au point 1/e en amplitude.
Une distribution initiale quelconque u0(r), après son passage au travers ce filtre gaussien
ρ(r) et, suivie par une propagation au travers un système optique paraxial ABCD, deviendra:
80
iπ
∞
− ( Ar02 + Dr 2 )
 2π 
 2π 
u(r ) =   i l +1 ∫ u0 (r0 )ρ(r0 )e λB
J0 
rr  r dr .
 λB 
 λB 0  0 0
0
(4.3.33)
On remplace le filtre ρ(r0) par son expression (4.3.32) dans (4.3.33) pour obtenir:
iπ
∞
− ( A1r02 + Dr 2 )
 2π 
 2π 
u(r ) =   i l +1 ∫ u0 (r0 )e λB
J0 
rr  r dr ,
 λB 
 λB 0  0 0
0
où A1 = A −
iλB
.
πWA2
(4.3.34)
(4.3.35)
L’effet du filtre gaussien WA change simplement l’élément de matrice A en A1 (4.3.33) sans
modifier B et D.
Cette action du filtre peut de caractériser par une matrice de transfert définie selon:
 A − πiλWBA2

 C1
B  A B   1
 =
  − iλ
D  C D  πWA2
0
.
1
(4.3.36)
On déduit ainsi que le filtre gaussien WA peut se représenter par une matrice des rayons:
 1
Filtre gaussien ⇒  − iλ
 πWA2
0
.
1
(4.3.37)
Cette matrice possède la propriété essentielle AD - BC = 1 mais, l’élément C est imaginaire pur,
ce qui implique que l’effet du filtre affecte l’intensité du faisceau et non sa phase. Naturellement,
ce filtre gaussien atténuera l’intensité transmise et il n’y aura plus conservation de l’énergie mais,
on aura:
∞
∫
0
u(r ) rdr =
2
∞
∫ρ
2
2
(r ) u0 (r ) rdr .
0
D’autre part, il est possible de fabriquer un miroir à réflectivité variable et de coupler,
presque sans pertes, la partie complémentaire vers l’extérieur. La matrice de transfert de ce
nouveau composant s’écrit:
1
0

 ,
miroir gaussien ⇒  2
(4.3.38)
iλ
 − RM − πWA2 0
où RM est le rayon de courbure du miroir sur lequel est fabriqué le filtrage gaussien WA. Ce type
de miroir est de plus en plus utilisé dans les résonateurs laser et il permet de contrôler la taille du
mode fondamental de ceux-ci.
81
Nous analyserons maintenant un résonateur ouvert tel que représenté à la figure 4.1, en
supposant que le miroir de couplage RM1 est muni d’un miroir à réflectivité gaussienne.
L’équation intégrale du mode fondamental (O = 0) sera solution de l’équation suivante:
iπ
∞
− ( Ar02 + Dr 2 )
 2πi 
 2π 
γ 0 u0 (r ) = 
J0 
rr  r dr ,
 ∫ u0 (r0 )e λB
 λB  0
 λB 0  0 0
(4.3.39)
où u0(r) est le champ réfléchi sur le miroir RM1, c’est-à-dire qu’on a alors:
A = 2 g2 − 1 ,
B = 2 g2 L ,
(4.3.40)
D = 4 g1 g2 − 2 g2 − 1 −
2 g2 iλ
.
πWA2
Les équations (4.3.40) sont les mêmes que les équations (4.2.2) où on a changé
g1→ 1 − L − i λ L2 , afin de tenir compte de la réflectivité gaussienne (WA) du miroir M1. On
RM1
πW A
peut résoudre cette équation intégrale (4.3.39) au moyen de l’intégrale I2:
∞
∫e
− α2t 2
0
β2
1 − 4 α2
J 0 (βt )tdt =
e
.
2α 2
(I2)
Cette intégrale I2 nous montre que l’intégrale d’une gaussienne multipliée par la fonction de
Bessel J0 nous redonne une autre gaussienne. On suppose donc que le mode fondamental sera
gaussien:
u0 ( r ) = e
−
iπr 2
λq0
(4.3.41)
,
où q0 est un nombre complexe.
Après intégration, cette gaussienne sera changée en:
γ 0e
−
iπr 2
λq0
iπ  Cq0 + D 
− 
r
1
λ  Aq0 + B 
=
e
.
A + qB0
2
(4.3.42)
La solution sera donnée pour q0 en calculant la valeur qui satisfait:
q0 =
Aq 0 + B
,
Cq 0 + D
(4.3.43)
82
et la valeur de γ0 sera:
γ0 =
1
.
A + qB0
(4.3.44)
La solution de l’équation (4.3.43) consiste à chercher la valeur de rayon de courbure
complexe de faisceau gaussien u0(r) au moyen de la relation (ABCD) des éléments de la matrice
de transfert. Nous aurions bien pu anticiper ce résultat, cependant, ici, nous l’avons légitimé suite
à l’utilisation de l’intégrale connue I2. D’autre part, il faut noter que l’analyse purement
matricielle de ce résonateur ne nous aurait pas donné la valeur de γ0. La solution de la relation
(4.3.43) sera :
B
D− A
 D + A
=
± 
 −1,
 2 
2
q0
2
où
(4.3.45)
iλ
1
1
= −
,
q0
R πW 2
et la valeur de γ0 devient:
D+ A
D + A
γ0 =
m 
 −1.
 2 
2
2
(4.3.46)
Ici, la valeur de D est complexe, ce qui rend difficile le calcul du rayon de courbure
sphérique du mode R et de sa largeur type W. Cependant, on verra plus loin qu’un des signes
conduit à une valeur positive pour W2, c’est-à-dire à un mode confiné gaussien et ce, même si la
géométrie de résonateur est du type à modes non confinés (instable). De même, il est évident
qu’en général le rayon de courbure R ≠ -RM1, c’est-à-dire que le rayon de courbure de l’onde
sphérique stationnaire n’épouse pas la forme du miroir et ce, même si la géométrie du résonateur
est du type à modes confinés (stable). Il y a donc toujours un grandissement dans ce type de
résonateur complexe.
Exercice 4.13
Calculez le mode fondamental du résonateur semi-confocal (g1 = 1, g2 = ½), dont le miroir
plan possède une réflectivité gaussienne ρ(r ) = e
−
r2
WA2
.
Effectuez ce calcul pour le mode sur le miroir plan et, par la suite, transportez la solution
sur le miroir sphérique.
83
2
Discutez votre résultat lorsque la nombre de Fresnel de l’ouverture gaussienne π W A = 1 , 1
λL
2
et 2. Pour ces mêmes valeurs, dessinez le faisceau de sortie suite au passage à travers le miroir
gaussien.
Exercice 4.14
Calculez le mode fondamental du résonateur à géométrie non confinée (g1 = 1, g2 = -½), dont le
2
miroir plan possède une réflectivité gaussienne ayant un nombre de Fresnel N = π W A .
λL
Afin de simplifier les calculs, on suppose que le nombre de Fresnel N est très grand.
Trouvez le mode gaussien incident sur le miroir plan ainsi que le mode gaussien réfléchi par le
miroir gaussien.
84
Note 4.1
En coordonnées circulaires (ρ,φ,z) la partie transverse du Laplacien s’écrit:
∇ 2T u =
1 ∂  ∂u 
1 ∂2u
.
ρ
+


r ∂r  ∂r  r 2 ∂φ 2
Si on cherche une solution de la forme:
cos lφ
1
,
vl 
r  sin lφ
ucir =
on peut montrer que:
1  ∂ 2ν l  1 2  ν l 
∇ νl =
 2 + −l  2 .
r  ∂r
4
r 
2
T
On observe alors que si on possède une solution v pour, par exemple, l’équation d’onde
paraxiale:
O
∇ 2T v l − 2ik
∂v l
= 0,
∂z
les solutions O= ± ½ correspondront à la solution cartésienne:
∂ 2 v ± 12
∂r
2
+ 2ik
∂v ± 1 2
∂z
= 0.
Par exemple, si on utilise toujours le propagateur sous la forme circulaire (2.3.14), les
solutions cartésiennes (2.3.12) pourront en être déduites en remplaçant O = -½ pour les solutions
paires, O = ½ pour les solutions impaires, et en divisant par
r.
On peut vérifier ce résultat général en obtenant le développement de Mehler (tableau 4.1)
à partir de celui de Lebedeff (tableau 4.2) pour O= ± ½ et des relations suivantes:
L−n 2 ( x) =
1
et Ln2 ( x ) =
1
(−1) n
H 2n
n!2 2n
( x ),
( −1) n
H 2 n+1
n ! 2 2n +1 x
( x) ,
qui lient les polynômes de Laguerre à ceux d’Hermite.
85
Note 4.2 Méthode de la phase stationnaire
On rencontre souvent en optique des intégrales de la forme:
c
I = ∫ g ( x )e ikf ( x ) dx .
0
Lorsque le paramètre k est très grand, l’exponentielle complexe est une fonction oscillatoire
rapide. Si g(x) est une fonction qui varie lentement, on montre que le résultat de l’intégration
devient:
I =
iπ
−
−π
e ikf ( xs )
 1
g ( x s )e 4
+ 0  + ...
 k
2 f ( xs )
k
 df 
où xs est le point stationnaire de f(x), c’est-à-dire que  
= 0.
 dx  x = xs
Réf.: Born and Wolf, Principles of optics, Pergamon Press, 1975.
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