Résonateur optique

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4 Résonateur optique
4.1 Résonateur sphérique
Ce chapitre est consacré à l’étude des résonateurs optiques sphériques. Ces résonateurs sont
passifs et sans pertes. Cependant, l’analyse de leurs modes de résonance est essentiel pour mieux
comprendre le comportement des résonateurs actifs qui seront étudiés au chapitre suivant.
L’analyse géométrique nous permettra de distinguer deux classes de résonateurs sphériques: le
résonateur à modes confinés (stable) et le résonateur à modes non confinés (instable). Ces
résonateurs seront, par la suite, analysés au moyen d’équations intégrales. Une troisième classe
de résonateurs optiques sera introduite à la fin de ce chapitre: le résonateur à modes conjugués,
un type de résonateur qui trouve de plus en plus d’utilisation.
Les résonateurs lasers sont généralement des résonateurs ouverts, afin de diminuer le
nombre de modes pouvant osciller et, ainsi, générer une sortie optique plus cohérente. Ces
résonateurs sont, habituellement, des résonateurs dits sphériques, puisque formés par deux
miroirs sphériques de rayon de courbure RM1 et RM2 se faisant face et séparés par une distance L
(figure 4.1). En pratique, l’un des miroirs est partiellement transparent afin d’assurer un couplage
de l’énergie vers l’extérieur.
Figure 4.1
On suppose, dans cette première analyse théorique, que la dimension transverse des
miroirs est infinie et qu’ainsi, il n’y a pas de pertes. Notre objectif est de chercher les
distributions d’amplitude complexe qui s’auto-reproduisent suite aux aller-retours des ondes
lumineuses présentes dans le résonateur. Ces distributions stationnaires formeront l’ensemble des
modes du résonateur.
L’analyse des modes du résonateur sphérique s’effectue directement en remplaçant le
résonateur par un canal équivalent de lentilles de distance focale FRM
11
2
= et FRM
22
2
=, séparées
par la même distance L (figure 4.2).

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Figure 4.2
Les distributions modales du résonateur sont, en effet, les mêmes que celles qui s’auto-
reproduisent sur F1 ou F2, après une très longue distance de propagation z. Cependant, ce modèle
de propagation ne nous donnera pas, à priori, les fréquences de résonances. De plus, il faudra se
rappeler que ce modèle nous donnera simplement la distribution modale de l’onde progressive
selon z. Les modes du résonateur devront être, par la suite, analysés en supposant une onde
stationnaire formée de la somme des ondes progressives selon +z et -z.
4.1.1 Analyse de l’optique géométrique
L’analyse de l’optique géométrique du résonateur sphérique consiste à chercher le
comportement stationnaire d’un rayon rr
=
θ
qui se propage dans le résonateur, ou dans le
canal de lentilles. Nous savons comment suivre un tel rayon au moyen de la matrice (ABCD) de
transfert des rayons:
rAB
CD
r
10
=
.(4.2.1)
Si on effectue notre analyse à partir du miroir RM1, la matrice de transfert de F1 à F1 ou de RM1 à
RM1 s’écrit:
AB
CD
L
RL R
L
RL R
MMMM
=−−
−−
12121212
1122
,(4.2.2)
soit
et
A
g=−21
2,
B
L
g=22,
D
gg g=−−421
12 2 ,
A
D
BC
−=1.

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Notez que si le résonateur de la figure 4.1 contenait d’autres éléments optiques paraxiaux, ceux-ci
seraient inclus dans la calcul de A, B, C, D. C’est pourquoi nous continuerons notre analyse avec
la notation A, B, C, D pour être général et nous discuterons, lorsque utile, le cas particulier du
résonateur vide correspondant aux valeurs données en (4.2.2).
Nous nous intéressons, maintenant, au comportement de ce rayon
r
0, après un grand
nombre de passes
r
n. Ceci nous conduit à l’équation:
rAB
CDr
n
n
=
0.(4.2.3)
On peut finalement élever une matrice 2×2 à la puissance n, après avoir trouvé ses valeurs et
vecteurs propres. Les valeurs propres Λ sont calculées en exigeant que le déterminant soit nul:
AB
CD
−−= ΛΛ0.
Ce qui s’écrit:
ΛΛ
210−+ +=()AD .(4.2.4)
On obtient ainsi les deux valeurs propres Λ+ et Λ-:
Λ±=+
±+
−
AD AD
22
1
2.(4.2.5)
Ici, on doit distinguer deux possibilités:
AD+
2
2> 1 alors les deux valeurs propres et les vecteurs propres sont réels,
et
AD+
2
2< 1 où les valeurs et vecteurs propres deviennent complexes.
Ces deux cas conduisent à des distributions modales fort différentes. Il convient donc de bien
distinguer ces deux géométries de résonateur sphérique.

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4.1.2 Résonateur à modes non confinés (instable)
La première géométrie définie par la relation AD+
2
2> 1 conduit, comme nous le
verrons, à des distributions modales très larges qui tendent à sortir de l’axe z au fur à mesure de
leur propagation. C’est pourquoi on qualifie ce type de distribution de modes non confinés. Pour
le résonateur sphérique vide de la figure 4.1, cette condition devient:
où g1g2 > 1
g1g2 < 0.
La figure 4.3 permet de visualiser ces diverses géométries.
Figure 4.3
Tous les résonateurs à modes non confinés se retrouvent à l’extérieur de la partie
hachurée du diagramme.
Les valeurs propres pour ces résonateurs peuvent s’écrire:
Λ+=
M
et Λ−=1
M
, (4.2.6)
où MAD AD
=+
++
−
22
1
2,

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et M> 1.
Les deux vecteurs propres correspondants rr
++
+
=
θ
et rr
−−
−
=
θ
peuvent s’écrire en termes de
leurs rayons de courbure respectifs, R1+ et R1- soit:
R
r
B
MA
1
++
+
==
−
θ
,(4.2.7)
R
r
B
M
A
11
−−
−
==−
θ
.(4.2.8)
Notez que ces rayons de courbure sont reliés entre eux par la relation:
11
11
RR DA B
+−
+=−
.(4.2.9)
On peut, maintenant, poursuivre l’analyse géométrique en décomposant le rayon initial
r
0
en termes des deux vecteurs propres:
−−++ += rrr
αα
0.(4.2.10)
Après n passages de la cellule unitaire (F1-F1) par le canal de lentille (fig. 4.2), on obtient:
−−++ 
+
=r
DC
BA
r
DC
BA
r
nn
αα
0.
Puisque r+ et r- sont des vecteurs propres, on peut réécrire cette dernière équation de la façon
suivante:
−
−
++ += r
M
rMr n
n
α
α
0.(4.2.11)
Lorsque le nombre de passages n augmente, M étant > 1, le vecteur propre r− s’atténue de plus
en plus et, finalement, pour n → ∞, on a:
++
→rMr n
n
α .(4.2.12)
On nomme le paramètre M le grandissement puisque, dans cette géométrie, un rayon situé à une
distance r de l’axe se retrouve, à chaque passe à une distance M × r.