Modlisation et Simulation Alatoires (42 heures)

Modélisation et Simulation Aléatoires (45 heures)
2005-2006
Méthodes de Monte-Carlo (24 h hors mise à niveau)
Commun avec le Master de Physique Médicale
Les trois cours de mise à niveau (du 21 au 23 septembre) sont conçus spécialement pour les
étudiants de physique médicale. Ils seront suivis avec profit par les étudiants de Rayonnement
Energie. Les deux cours de Marie-Geneviève Porquet (du 3 et 10 octobre) sont communs à
l’UE6.
19 septembre : (Michel Roger)
Introduction aux méthodes de Monte-Carlo..
 Bref historique de ces méthodes
 Calcul d’intégrales multidimensionnelles.
 Génération de nombres pseudo-aléatoires
21 septembre : Mise à niveau (Michel Roger)
Rappel de notions essentielles de la théorie des probabilités
 Expérience aléatoire, événement aléatoire, probabilité, probabilité conditionnelle
 Variable aléatoire, loi de probabilité d’une variable aléatoire, densité de probabilité
 Espérance d’une variable aléatoire, moment d’ordre n, fonction caractéristique
22 septembre : Mise à niveau (Michel Roger)
Rappel de notions essentielles de la théorie des probabilités
 Variables aléatoires indépendantes, somme de variables aléatoires indépendantes
 Loi des grands nombres, théorème de la limite centrale.
 Suites de variables aléatoires, notions élémentaires sur les chaines de Markov.
23 septembre : Mise à niveau (Michel Roger)
Rappels de thermodynamique statistique (classique)
 Entropie statistique de Shannon et entropie Thermodynamique.
 Ensembles microcanonique, canonique et grand-canonique.
 Valeurs moyennes de grandeurs physiques.
 Systèmes hors d’équilibre et tendant vers l’équilibre, équation maitresse, principe du
bilan détaillé.
26 septembre : (Michel Roger)
Calcul d’intégrales multiples par Monte-Carlo :
 Réduction de la variance, échantillonnage suivant l’importance, application pour le calcul
d’une intégrale.
 Techniques d’échantillonnage (méthode de Von Neuman, changement de variable)
 Calcul de moyennes thermodynamiques, algorithme de Métropolis.
3 octobre : (Marie-Geneviève Porquet)
Traitement de données expérimentales (I)
 Distributions de probabilités – généralités : échantillon, distribution-parent, moyenne
expérimentale, variance
 Distributions théoriques : loi binomiale, loi de Poisson, loi de Gauss.

10 octobre : (Marie-Geneviève Porquet)
Traitement de données expérimentales (II)
 Propagation des erreurs
 Estimation des moyennes et des erreurs
 Méthode des moindres carrés : exemple de la droite
 Méthode du maximum de vraisemblance
17 octobre : (Michel Roger)
Travaux dirigés sur ordinateur.
Application de l’algorithme de Métropolis à l’étude de la transition fluide-solide de particules
sur un réseau bidimensionnel.
 Etude pratique de la convergence, temps de corrélation.
 Etude de la courbe de chaleur spécifique en fonction de la température
 Observation du « ralentissement critique »
24 octobre : (Michel Roger)
Simulation d’équations stochastiques par Monte Carlo.
Equation de Langevin.
Différences entre méthodes de Monte-Carlo et Dynamique Moléculaire
7 novembre : (Michel Roger)
Introduction de biais : Etude sur un exemple
Problèmes d’optimisation : Méthode du recuit simulé
14 novembre : (Michel Roger)
Méthodes de Monte-Carlo en Physique Médicale
 Simulation de transport de photons dans la matière
 Imagerie Médicale
22 novembre : Examen

Equations et algorithmes stochastiques pour la physique (21 h)
28 novembre : (Pierre Desesquelles)
Analyse multidimensionnelle
 Sondages et expériences multiparamétriques
 Visualisation de l'information globale
 Classification
 Le problème inverse
29 novembre : (Pierre Desesquelles)
Chaînes de Markov
 Processus en évolution
 La matrice de Markov
 Prédiction de l'état final
5 décembre : (Pierre Desesquelles) – Cours annulé
Les relations de cause à effet
 Corrélations et causalités
 L'analyse de chemin
 La logique floue
6 décembre : (Franck Jedrzejewski)
Introduction au calcul stochastique
 Notion de bruit blanc, bruit coloré
 Mouvement brownien. Formule d’Itô
 Simulation. Introduction à Maple.
12 décembre (matin) : (Franck Jedrzejewski)
Equations différentielles stochastiques
 Processus de diffusion. Pont brownien
 Equation de Fokker-Planck. Formule de Feynman-Kac
 Simulations sous Maple.
12 décembre (après-midi) : (Franck Jedrzejewski)
Méthodes numériques pour l’aléatoire
 Schémas numériques.
 Equation de Bolzman. Equation de Korteweg de Vries stochastique.
 Simulations sous Maple
13 décembre : (Franck Jedrzejewski)
Simulations. Techniques récentes
 Méthodes particulaires. Linéarisation stochastique
 Stabilité stochastique. Coefficients de Lyapunov.
 Simulations sous Maple.
17 janvier : Examen