3.4 Topologie sur le dual - E

3.4 Topologie sur le dual
Objekttyp: Chapter
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 47 (2001)
Heft 3-4: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am: 25.05.2017
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et £<p ?H<p est un vecteur de norme y/(p(e) tels que l'orbite de sous
Faction de tt^G) est totale dans H^ et, pour tout gGG, on a
Un tel triple est appelé £np/<? GAfë associé àip .Il est unique àisomorphisme
près. Pour rappel, si Vdésigne l'espace vectoriel des fonctions /: G-> Cde
support fini alors Ti^ est l'espace de Hilbert obtenu en séparant et complétant
Vpour la forme sesquilinéaire
Cette construction possède les propriétés suivantes :
(1) si (p, î(j et xsonttrois fonctions de type positif telles que ip =ip +\
alors la représentation tt^ est une sous-représentation de tt^ ;
(2) la fonction de type positif cp est pure si et seulement si la représentation
Tr^p est irréductible;
(3) si <p =1 alors u^ =\G ;
(4) si (p est une fonction de type positif associée àune représentation it alors
la représentation tt^ qu'on associe àtp par construction GNS est une
sous-représentation de tt.
3.4 Topologie sur le dual
Considérons la topologie de Fell (inner hull-kernel topology) sur l'ensem
bleRep(G) des (classes d'équivalence de) représentations unitaires du groupe
localement compact G. Cette topologie est définie comme ceci. Soient tt
une représentation, s>0, Kun ensemble compact de G, et cpi 1...,(1 ...,(pn
des fonctions de type positif associées àtt. On note W(tt;K, e,(pu...,(pn)
l'ensemble des représentations pGSpour lesquelles il existe des fonctions
ipi,...^n,chacune étant une somme de fonctions de type positif associées
àp, telles que
Les sous-ensembles du type W(tt;^T, e, (/?i, ...,(pn)forment un système
fondamental de voisinages de la représentation vdans Rep(G) (voir [Fel2],
Section 2).
Cette topologie peut aussi être décrite en termes de contenance faible:
la représentation vest faiblement contenue dans un ensemble Sde repré
sentationsdeG si toute fonction de type positif associée àix est limite,

pour la topologie de la convergence compacte, de sommes de fonctions de
type positif associées àdes représentations de S. Avec ces définitions, une
suite (généralisée) ttude représentations unitaires de Gconverge vers tt si
et seulement si, pour toute sous-suite infinie ttv de ?rn,tt est faiblement
contenue dans {tïv} .
Pour les représentations irréductibles, la topologie ainsi induite sur Gn'est
autre que la topologie quotient définie par l'application surjective
qui associe àun état pur la classe de la représentation GNS correspondante,
P(G) étant muni d'une quelconque des topologies mentionnées au §3.2. De
plus, si tt est une représentation irréductible et Sest un sous-ensemble de
G, alors tt est faiblement contenue dans Ssi et seulement si tt est dans
l'adhérence de Spour la topologie de Fell.
3.5 COHOMOLOGIE ET ACTIONS AFFINES
Une action par isométries affines du groupe Gsur un espace de Hilbert
affine Hest un morphisme ade Gdans le groupe Zso(7ï) des isométries
affines de 7ï tel que l'application
soit continue. Par le choix d'une origine, on identifie un espace de Hilbert
affine TL àl'espace de Hilbert de ses translations. Si aest une action par
isométries affines alors, pour tout gdans Get tout élément £de H,on peut
écrire
où 7r(g) est un opérateur linéaire unitaire et b(g) GH. En imposant la
continuité et la condition de morphisme pour a, on trouve d'une part que tt
est une représentation unitaire de Gsur H, appelée partie linéaire de a, et
d'autre part que best une application continue de Gdans Hqui satisfait la
condition de cocycle
Réciproquement, la donnée d'une représentation unitaire tt de Gsur Het
d'une application continue bde Gdans Hvérifiant la condition de cocycle
par rapport àtt définit une action par isométries affines ade Gsur W, par
la formule a(g) £=Tr(g) £+b(g) .