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Triangles
Triangles
Deux propriétés générales
a) La somme des angles d'un triangle est toujours égale à 180°
b) Dans un triangle, la longueur d'un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés, mais supérieure à leur
différence
Droites remarquables
a) Les médianes d'un triangle sont les segments qui joignent chaque sommet au milieu du côté opposé. Les trois médianes d'un triangle
sont concourantes. Leur point commun est appelé le centre de gravité du triangle. Il se trouve aux deux tiers de chaque médiane à
partir du sommet.
b) Les hauteurs d'un triangle sont les segments (ou les droites) qui passent par chaque sommet et qui sont perpendiculaires au côté
opposé. Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point commun est appelé l'orthocentre du triangle.
c) Les médiatrices d'un triangle sont les médiatrices de ses côtés. Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes. Leur point
commun est le centre du cercle circonscrit au triangle, ce cercle passe par les trois sommets du triangle.
d) Les bissectrices d'un triangle sont les bissectrices de ses angles. Les trois bissectrices intérieures d'un triangle sont
concourantes. Leur point commun est le centre du cercle inscrit dans le triangle, ce cercle est tangent aux trois côtés du triangle.
Le triangle isocèle
Un triangle ABC est isocèle en A s'il possède l'une des propriétés
suivantes :
•ses côtés [AB] et [AC] ont la même longueur
•ses angles BCA et CBA sont égaux
•sa médiane [AM] est perpendiculaire à [BC] d'où la hauteur, la
médiane, la médiatrice et la bissectrice issues de A sont
confondues.
Si l'une des trois propriétés est vraie, les deux autres le sont aussi.
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A
B
C
AB < BC + CA
AB > BC – CA

Le triangle équilatéral
Un triangle ABC est équilatéral s'il possède l'une des propriétés suivantes :
•ses trois côtés ont la même longueur
•ses trois angles sont égaux et valent chacun 60°
Si l'une de ces propriétés est vraie, l'autre l'est aussi.
Dans un triangle équilatéral, les 4 droites remarquables issues de chacun des sommets sont confondues.
Sa hauteur est égale à :
Le triangle rectangle
Un triangle ABC est rectangle quand l'un de ses angles est droit. Si on connaît les longueurs des
trois côtés d'un triangle, on peut prouver qu'il est rectangle à l'aide de la réciproque du
théorème de Pythagore.
Th : Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse.
Th : Trois points A, B et C étant donnés, si C appartient au cercle de diamètre [AC], alors le triangle ABC est rectangle en C.
Aire du triangle
Soit ABC un triangles et [AH] l'une de ses hauteurs
l'aire d'un triangle s'obtient en multipliant la →longueur d'un côté par la hauteur relative à ce côté et en divisant par 2 le résultat
obtenu.
AABC =
Calcul de l'aire d'un triangle sans connaître sa hauteur
Dans le cas de triangles particuliers, les formules de base permettent de calculer leur aire sans connaître leur hauteur h :
Aire d'un triangle rectangle
A =
Aire d'un triangle isocèle
A = a √b²-
Aire d'un triangle équilatéral
A = a
L'aire d'un triangle quelconque peut être calculée sans connaître sa hauteur à partir de la formule de Héron ou de la loi des sinus.
Soit un triangle quelconque défini par trois points A, B et C :
Les angles du triangle sont définis comme suit :
•Angle de A : α
•Angle de B : β
•Angle de C : γ
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a √3
2
A
B
C
BC x AH
2
B
A
C H
L x l
2
1
2
a²
4
√3
4

1. Calcul de l'aire d'un triangle avec la formule de Héron
Le périmètre P d'un triangle est défini par la formule : P = a +b +c
La formule de Héron permet de calculer l'aire d'une triangle quelconque à partir de son demi-périmètre p : p =
D'où A = √p( p – a) ( p – b) ( p – c)
2. Calcul de l'aire d'un triangle à partir de la loi des sinus
La loi des sinus spécifie que dans un triangle : = =
Si on connaît la valeur d'un angle et la longueur des deux côtés adjacents, l'aire A du triangle peut se calculer à partir de la formule :
A = = =
Si on connaît la longueur d'un côté et la mesure des deux angles adjacents, l'aire A du triangle peut se calculer à partir de la
formule :
A =
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P
2
a
sin (α)
b
sin (β)
c
sin (γ)
ab.sin (γ)
2
ac.sin (β)
2
bc.sin (α)
2
a².sin(β).sin(γ)
[2.sin (β+γ)]