Chapitre 6 Relations binaires - Ensembles de nombres I - Relations binaires Définition 1 (Relation binaire). Soit E un ensemble et G ⊂ E × E . Le couple R = (E, G) est une relation binaire sur E . Notation. Soit (x, y) ∈ E × E . Si (x, y) ∈ G, l'élément x est en relation avec y , noté xRy . Exercice 1. Décrire les relations binaires que vous avez rencontrées. Définition 2 (Réflexivité, (Anti)symétrie, Transitivité). Soit R une relation binaire sur un ensemble E . La relation R est réexive si pour tout x ∈ E , xRx. (ii). symétrique si pour tous x, y ∈ E , si xRy , alors yRx. (iii). antisymétrique si pour tous x, y ∈ E , si xRy et yRx, alors x = y . (iv). transitive si pour tous x, y, z ∈ E , si [xRy et yRz], alors xRz . (i). Exercice 2. Parmi les relations binaires que vous avez listées précédemment, lesquelles sont réexives ? symétriques ? antisymétriques ? tranistives ? I.1 - Relations d'équivalence Définition 3 (Relation d’équivalence). Une relation binaire R sur un ensemble E est une réexive, symétrique et transitive. relation d'équivalence sur E si elle est Exercice 3. Parmi les relations binaires listées précédemment, lesquelles sont des relations d'équivalences ? Définition 4 (Classe d’équivalence). Soient R une relation d'équivalence sur un ensemble E et x ∈ E . La l'élément x, notée x ou cl(x), est l'ensemble {y ∈ E ; xRy}. classe d'équivalence de Exercice 4. Deux réels x et y sont en relation, noté xRy , si xey = yex . Montrer que R est une relation d'équivalence, puis, pour tout réel x, déterminer le nombre d'éléments dans la classe d'équivalence de x. Proposition 1 (Partition). Soit R une relation d'équivalence sur un ensemble E . L'ensemble des classes d'équivalence de R forme une partition de E . Définition 5 (Congruences). Soit (z, p) ∈ R × Z. (i). Deux réels x et y sont congrus modulo z , noté x ≡ y [z], s'il existe un entier k tel que x = y + kz . (ii). Deux entiers m et n sont congrus modulo p, noté n ≡ m [p], s'il existe un entier k tel que n = m + kp. Les congruences sont des relations d'équivalence. Stanislas A. Camanes Chapitre 6. Relations binaires - Ensembles de nombres MPSI 1 Propriété 2 (Congruence & Opérations). Soient a, a0 , b, b0 ∈ Z et m, n ∈ N? . (i). Si a ≡ b [n] et a0 ≡ b0 [n], alors a + a0 ≡ b + b0 [n]. (ii). Si a ≡ b [n] et a0 ≡ b0 [n], alors aa0 ≡ bb0 [n]. (iii). Si a ≡ b [n] et m ∈ Z, alors am ≡ bm [nm]. I.2 - Relations d'ordre Définition 6 (Relation d’ordre). Une relation binaire R sur un ensemble E est une antisymétrique, transitive. relation d'ordre sur E si elle est réexive, Exercice 5. Donner des exemples de relations d'ordre. Notation. 4 désigne une relation d'ordre sur E , A ⊂ E et x ∈ E . Définition 7 (Ordre total / partiel). Si, pour tout (x, y) ∈ E 2 , x 4 y ou y 4 x, la relation 4 est une relation d'ordre 4 est une relation d'ordre partiel . total . Sinon, Exercice 6. Parmi les exemples précédents, lesquels sont des relations d'ordre total ? partiel ? Définition 8 (Majorant, Minorant). un majorant de A si ∀ a ∈ A, a 4 x. La partie A est majorée . (ii). L'élément x est un minorant de A si ∀ a ∈ A, x 4 a. La partie A est minorée . (iii). Si A possède un majorant et un minorant, la partie A est bornée . (i). L'élément x est Exercice 7. Donner, lorsqu'il y en a, des majorants et minorants des ensembles suivants : 1. Sur (R, 6) : A1 =] − ∞, 3]. 3. Sur (R, 6) : A3 = n1 , n ∈ N? . 2. Sur (R, 6) : A2 =] − 1, 1]. Définition 9 (Plus grand / petit élément). le plus grand élément de A si ∀ a ∈ A, a 4 x et x ∈ A. (ii). L'élément x est le plus petit élément de A si ∀ a ∈ A, x 4 a et x ∈ A. (i). L'élément x est Exercice 8. Reprendre l'exercice précédent. Théorème 1 (Maximum, Minimum). (i). Si A possède un plus grand élément, il est unique. C'est le maximum de A, noté max(A). (ii). Si A possède un plus petit élément, il est unique. C'est le minimum de A, noté min(A). Définition 10 (Borne supérieure / inférieure). (i). L'élément x est la borne supérieure de A si c'est le plus petit élément de l'ensemble des majorants de A. Il est noté sup(A). (ii). L'élément x est la borne inférieure de A si c'est le plus grand élément de l'ensemble des minorants de A. Il est noté inf(A). Stanislas A. Camanes Chapitre 6. Relations binaires - Ensembles de nombres MPSI 1 Exercice 9. 1. Reprendre l'exercice précédent. 2. Soient A et B deux ensembles possédant des bornes supérieures tels que A ⊂ B . Montrer que sup A sup B . Théorème 2 (Comparaison max / sup). (i). Si A possède un plus grand élément, alors A possède une borne supérieure. De plus, sup(A) = max(A). (ii). Si A possède un plus petit élément, alors A possède une borne inférieure. De plus, inf(A) = min(A). Exercice 10. Reprendre les exemples précédents. II - Ensemble des entiers naturels II.1 - Axiomatique, Relation d'ordre Définition 11 (Axiomatique de Peano, H.P.). Il existe un triplet (0, N, s), où N est un ensemble, 0 un élement de N et s une application de N dans N vériant les axiomes (i). Application successeur. s est injective, (ii). s(N) = N\{0}, (iii). Axiome de récurrence. Si A ⊂ N est telle que 0 ∈ A et A est stable par s, alors A = N. Notations. Pour tout entier naturel n, on note s(n) = n + 1. Cette dénition permet de dénir successivement l'addition par n+0 = n et n+s(m) = s(n+m). Le prédécesseur d'un entier naturel n non nul est noté n − 1. Propriété 3 (Relation d’ordre sur N). Soit (m, n) ∈ N2 . S'il existe un entier k tel que m = n + k , l'entier m est n 6 m. La relation 6 dénit un ordre total sur N. supérieur à n, noté II.2 - Raisonnement par récurrence Théorème 3 (Récurrence faible). Soient n0 un entier naturel et P une propriété dénie sur l'ensemble des entiers plus grands que n0 . Si (i). P(n0 ) est vraie, (ii). ∀ n > n0 , si P(n) est vraie, alors P(n + 1) est vraie, alors, pour tout entier naturel n > n0 , P(n) est vraie. Théorème 4 (Récurrence forte). Soient n0 un entier naturel et P un prédicat déni sur les entiers plus grands que n0 . Si (i). P(n0 ) est vraie, (ii). ∀ n > n0 , si ∀ k ∈ Jn0 , nK, P(k) est vraie, alors P(n + 1) est vraie, alors, pour tout entier naturel n > n0 , P(n) est vraie. Exercice 11. Soit (un ) la suite dénie par u0 = 2, u1 = 3 et pour tout n ∈ N, un+2 = 3un+1 −2un . Montrer que pour tout n ∈ N, un = 2n + 1. Stanislas A. Camanes Chapitre 6. Relations binaires - Ensembles de nombres MPSI 1 II.3 - Éléments minimaux / maximaux Théorème 5 (Théorème de l’élément minimal). Toute partie non vide de N possède un plus petit élément. Exercice 12. Montrer que toute suite strictement décroissante d'entiers naturels est nie. Théorème 6. Toute partie non vide et majorée de N possède un plus grand élément. III - Corps des nombres réels III.1 - Relation d'ordre L'ensemble des réels, noté R, est muni d'une structure de corps (R, +, ·) et d'une relation d'ordre total notée 6. Notations. Pour tout (x, y) ∈ R2 , x < y si x 6 y et x 6= y . x > y si y 6 x. x > y si y 6 x et x 6= y . Propriété 4 (Relation d’ordre & Opérations (admis)). Pour tout (x, y, z) ∈ R3 , (i). Si x 6 y , alors x + z 6 y + z . (ii). Si x > 0 et y > 0, alors xy > 0. Exercice 13. Soient x, y, z ∈ R tels que z > 0. Montrer que si x > y , alors xz > yz . Théorème 7 (Caractérisation des bornes sup / inf). Soit A une partie de R et m ∈ R. (i). On suppose que A admet une borne inférieure. Alors, m = inf(A) si et seulement si ∗ ∀ x ∈ A, x > m, ∗ ∀ ε > 0, ∃ x ∈ A ; m 6 x < m + ε. (ii). On suppose que A admet une borne supérieure. Alors, M = sup(A) si et seulement si ∗ ∀ x ∈ A, x 6 M , ∗ ∀ ε > 0, ∃ x ∈ A ; M − ε < x 6 M . n Exercice 14. Déterminer les bornes supérieures et inférieures de A = (−1)n + 1 n+1 , o n∈N . Théorème 8 (Théorème de la borne supérieure (admis)). Toute partie de R non vide et majorée admet une borne supérieure. Théorème 9 (Théorème de la borne inférieure). Toute partie de R non vide et minorée admet une borne inférieure. Propriété 5 (Caractérisation des intervalles de R). I est un intervalle de R si et seulement si ∀ (a, b) ∈ I 2 tel que a 6 b, [a, b] ⊂ I . III.2 - Droite numérique achevée Définition 12 (Droite numérique achevée). La droite numérique achevée , notée R, est l'ensemble R = R ∪ {−∞, +∞}. On prolonge la relation d'ordre 6 sur R, en posant ∀ x ∈ R, x 6 +∞ et −∞ 6 x. Stanislas A. Camanes Chapitre 6. Relations binaires - Ensembles de nombres MPSI 1 On prolonge les opérations sur R selon les tables + −∞ y ∈ R +∞ −∞ −∞ −∞ n.d. x ∈ R −∞ x + y +∞ +∞ n.d. +∞ +∞ Définition 13 (Voisinage). Soit a ∈ R. L'ensemble W est un × −∞ x ∈ R?− 0 x ∈ R?+ +∞ −∞ y ∈ R?− 0 y ∈ R?+ +∞ +∞ n.d. −∞ +∞ xy 0 xy n.d. 0 0 0 −∞ xy 0 xy −∞ −∞ n.d. +∞ +∞ −∞ −∞ n.d. +∞ +∞ voisinage de a lorsque (i). si a ∈ R, W est un intervalle ouvert centré en a. (ii). si a = +∞, il existe un réel c tel que W =]c, +∞[. (iii). si a = −∞, il existe un réel c tel que W =] − ∞, c[. Exercice 15. Soit a ∈ R et V (a) l'ensemble des voisinages de a. Montrer que V (a) est non vide, stable pas intersections nies et réunions quelconques. III.3 - N, Q, D Théorème 10 (R est archimédien). R est archimédien, i.e. pour tout x ∈ R?+ , pour tout y ∈ R, il existe n ∈ N tel que nx > y . Exercice 16. Soit x ∈ R. Montrer qu'il existe un unique entier naturel n tel que n 6 x < n + 1. Définition 14 (Partie entière). Soit x ∈ R. L'unique entier n vériant n 6 x < n + 1 est la partie entière de x, noté bxc. Théorème 11 (Densité). (i). Q est dense dans R, i.e. pour tout (x, y) ∈ R2 tel que x < y , ]x, y[∩Q 6= ∅. (ii). R\Q est dense dans R, i.e. pour tout (x, y) ∈ R2 tel que x < y , ]x, y[∩(R\Q) 6= ∅. Définition 15 (Nombre décimal). Soit x ∈ R. Le réel x est un nombre décimal s'il existe un entier naturel n tel que 10n x ∈ Z. L'ensemble des nombres décimaux est noté D. Exercice 17. Montrer que l'ensemble des nombres décimaux est dense dans R. Définition 16 (Valeur décimale approchée). Soient x un réel, n un entier naturel et a un entier relatif. Le réel a · 10−n est une valeur décimale approchée de x à 10−n près si |x − a · 10−n | < 10−n . Si a · 10−n 6 x, c'est une valeur approchée par défaut . Sinon, c'est une valeur approchée par excès . Exercice 18. Soit x ∈ R. Donner une valeur décimale approchée de x par défaut, puis par excès. Stanislas A. Camanes