Meca1-TDS3-ConsMass.doc 6/02/05 1 ECP Mécanique 1

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ECP Mécanique 1-TDS3- Conservation de la masse 10/2/5
1. Conservation de la masse dans un écoulement par tranches planes
Un gaz compressible de densité ρ s'écoule dans un tuyau divergent d'axe Ox défini par l'aire
S(x) de sa section d'abscisse x.
1. Ecrire l'équation de bilan de masse entre les sections situées en x et et x+Δx
2. En supposant que ρ et vx ne dépendent que de x, en déduire l'équation de bilan de masse le
long du tuyau en faisant tendre Δx vers 0.
2 Eclairement d'un particule fluide en mouvement
On étudie l'écoulement d'un gaz dans la région située entre deux cylindres coaxiaux d'axe Oz
de rayons ri et re et supposés fixes. Le champ de vitesse dans le fluide est donné par: v = r
cosθ iθ
1. On suppose que l'axe Oz est lumineux et que l'intensité d'éclairement en un point (r,θ,z) est
donné par: α = A e-t /r2 (A>0)
Calculer dα/dt d'une même particule dans son mouvement. Caractériser les particules pour
lesquelles l'intensité est stationnaire.
2. On éclaire maintenant le domaine Ω={ri<r<re, 0<θ<π/2, 0<z<1}. Soit I(t) l'intensité
contenue dans Ω. Calculer dI/dt
3. Variation de volume dans un milieu poreux
On considère un matériau poreux (argile, os ou éponge) contenant un
Ωs
fluide remplissant complètement des canaux. On appelle vs la vitesse de
Ωf
la matrice solide et vf la vitesse du fluide. On enferme un échantillon
cylindrique de ce matériau dans une membrane en caoutchouc sur la face
Σse
latérale (r=R). Sur la partie supérieure (z=H), l'échantillon est au contact
avec une plaque rigide imperméable et sur la partie inférieure (z=0) avec
Σfe
une pierre rigide très poreuse si bien que le fluide peut entrer ou sortir
librement, en attendant suffisamment de temps, de l'échantillon. On désire relier la variation
de volume du milieu poreux à la mesure de la quantité de fluide sorti de l'échantillon.
1. On réalise l'expérience de telle sorte que sur la frontière externe de l'échantillon le champ
de vitesses soit de la forme: v = a r ir + b z iz. En déduire la variation relative de volume de
l'échantillon, considéré comme un milieu homogène équivalent
2. On appelle Ωs le domaine solide, Ωf le domaine fluide, la frontière extérieure du domaine
solide, Σfe celle du domaine fluide, Σ sf la frontière commune aux deux phases. En intégrant
l'équation de conservation de la masse de chaque phase, relier la variation de volume
précédente au débit de fluide entrant ou sortant ainsi qu'à la compressibilité κf=(1/ρf) dρf/dt et
κs=(1/ρs) dρ s/dt de chaque phase. Cas particulier où la matrice et le fluide sont
incompressibles.
4. Conservation de la masse d'un fluide entouré d'une région mobile
On considère une membrane V0 totalement perméable sphérique rigide de rayon R0 centrée
en (r0,θ0) à l'instant t et de champ de vitesses v0=v0 r i θ au travers de laquelle un fluide
incompressible s'écoule dont le champ de vitesse est de la forme: v = vf ir/r
1. Montrer que pour une région V0 de frontière ∂V0 animée d'une vitesse v0, on a pour une
quantité α: d/dt ∫V0 α dV = ∫V0(t) ( ∂α/∂t + divx αv0) dV
2. Evaluer alors le taux de variation de masse de fluide contenu dans la membrane.
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Eléments de solution
1. Conservation de la masse dans un écoulement par tranches planes
Un gaz compressible de densité ρ s'écoule dans un tuyau divergent d'axe Ox défini par l'aire
S(x) de sa section d'abscisse x.
1. Ecrire l'équation de bilan de masse entre les sections situées en x et et x+Δx
2. En supposant que ρ et vx ne dépendent que de x, en déduire l'équation de bilan de masse le
long du tuyau en faisant tendre Δx vers 0.
1. On rappelle:
∫Ω (∂ρ/∂t + div ρ v ) dV = 0
soit:
∫]x,x+Δx[ dx ∫S(x) ∂ρ/∂t dS + ∫Σ ρ (v,n) dS + ∫S(x+Δx) ρ (v,n) dS + ∫S(x) ρ (v,n) dS = 0
d'où, compte tenu que (v,n) = 0 sur la surface latérale.
∫]x,x+Δx[ dx ∫S(x) ∂ρ/∂t dS + ∫S(x+Δx) ρ vx dS - ∫S(x) ρ vx dS = 0
2.
∫]x,x+Δx[ S ∂ρ/∂t dx + (ρSvx)+ - (ρSvx)- = 0
puis en passanr à la limite
S ∂ρ/∂t + ∂(ρSvx)/∂x = 0
2 Eclairement d'un particule fluide en mouvement
On étudie l'écoulement d'un gaz dans la région située entre deux cylindres coaxiaux d'axe Oz
de rayons ri et re et supposés fixes. Le champ de vitesse dans le fluide est donné par:
v = r cosθ iθ
1. On suppose que l'axe Oz est lumineux et que l'intensité d'éclairement en un point (r,θ,z) est
donné par:
α = A e-t /r2 (A>0)
Calculer dα/dt d'une même particule dans son mouvement. Caractériser les particules pour
lesquelles l'intensité est stationnaire.
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2. On éclaire maintenant le domaine Ω={ri<r<re, 0<θ<π/2, 0<z<1}. Soit I(t) l'intensité
contenue dans Ω. Calculer dI/dt
1. Pendant l'intervalle ]t, t+Δt[, une particule passe de x à x+Δt v, on doit donc comparer:
(α(x+Δt v,t+Δt) - α(x,t))/Δt ~ ∂α/∂t + (∇xα, v) = dα/dt
donc, ici:
dα/dt = -A e-t /r2 + (∂rα, vr) + (∂θα/r, vθ) + (∂zα, vz) = -A e-t /r2
si dα/dt =0, r = r0 e-t/2
2. On a :
dI/dt = d/dt ∫Ω α dV = ∫Ω (dα/dt + α div v) dV
div v = (∂v/∂r,ir) + (∂v/∂θ,iθ/r) +(∂v/∂z,iz) = (-rsinθ iθ - r cosθ ir , iθ/r) = -sinθ
dI/dt = ∫Ω (-A e-t /r2 - A e-t /r2 sinθ) dV = -A e-t ∫]0,1[ dz ∫]0,π/2[ dθ ∫]ri,re[ (1+sinθ)/r dr
= -A e-t (π/2 +1) Ln(re/ri)
Rem: on pourrait aussi calculer:
dI/dt =∫Ω (dα/dt + α div v) dV = ∫Ω (∂α/∂t + (∇xα,v) + α div v) dV
= ∫Ω (∂α/∂t + div αv) dV = ∫Ω ∂α/∂t + ∫∂Ω α (v,n) dV
et écrire que (v,n) = 0 sur les parois r=ri et re , sur z=0 et 1; sur θ=0, (v,n) = -r, sur θ=π/2,
(v,n) = 0,
3. Variation de volume dans un milieu poreux
On considère un matériau poreux (argile, os ou éponge) contenant un fluide remplissant
complètement des canaux. On appelle vs la vitesse de la matrice solide et v f la vitesse du
fluide. On enferme un échantillon cylindrique de ce matériau dans une membrane en
caoutchouc sur la face latérale (r=R). Sur la partie supérieure (z=H), l'échantillon est au
contact avec une plaque rigide imperméable et sur la partie inférieure (z=0) avec une pierre
rigide très poreuse si bien que le fluide peut entrer ou sortir librement, en attendant
suffisamment de temps, de l'échantillon. On désire relier la variation de volume du milieu
poreux à la mesure de la quantité de fluide sorti de l'échantillon.
1. On réalise l'expérience de telle sorte que sur la frontière externe de l'échantillon le champ
de vitesses soit de la forme: v = a r ir + b z iz. En déduire la variation relative de volume de
l'échantillon, considéré comme un milieu homogène équivalent
2. On appelle Ωs le domaine solide, Ωf le domaine fluide, la frontière extérieure du domaine
solide, Σfe celle du domaine fluide, Σ sf la frontière commune aux deux phases. En intégrant
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l'équation de conservation de la masse de chaque phase, relier la variation de volume
précédente au débit de fluide entrant ou sortant ainsi qu'à la compressibilité κf=(1/ρf) dρf/dt et
κs=(1/ρs) dρ s/dt de chaque phase. Cas particulier où la matrice et le fluide sont
incompressibles.
Ωs
Ωf
Σse
Σfe
1.
dV/dt = ∫V div v dV = ∫V ( a div (r ir) + b div (z iz) )
div (r ir ) = r div ir + (∇r, ir) = r (∂ir/∂θ,iθ/r) + (ir, ir) = 2
(1/V) dV/dt = 2a + b
2.
(1/ρf) dρf/dt + div vf = 0
(1/ρs) dρs/dt + div vs = 0
on posera: α°=dα/dt; on intègre et on ajoute membre à membre:
∫Ωf (ρf°/ρf + div vf) dV + ∫Ωs (ρs°/ρs + div vs) dV = 0
∫Ωf ρf°/ρf dV + ∫Ωs ρs°/ρs dV + ∫Σfe (vf,nf) dS + ∫Σse (vs,ns) dS + ∫Σfs ((vf,nf)+(vs,ns)) dS = 0
A cause de la condition d'adhérence du fluide et du solide, la dernière intégrande est nulle.
La matrice solide suit la déformation de la frontière de la plaque, de la membrane et de la
pierre poreuse:
∫Σse (vs,ns) dS = ∫Σse∪Σfe (a r ir + b z iz,ns) dS - ∫Σfe (a r ir + b z iz,nf) dS
= a 2πRH R + b H πR2 - ∫Σfe (a r ir + b z iz,nf) dS
= (2a+b)πR2 H - ∫Σfe (a r ir + b z iz,nf) dS = dV/dt - ∫Σfe (v,nf) dS
il reste finalement:
dV/dt = - ∫Ωf ρf°/ρf dV - ∫Ωs ρs°/ρs dV - ∫Σfe (vf-v,nf) dS
ce qui fait apparaître les compressibilités de chaque phase et le débit relatif de sortie du fluide
par rapport au solide. Le volume diminue si le fluide sort, bien entendu. En général, la vitesse
du fluide est beaucoup plus grande.
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Dans le cas où chaque phase est incompressible, on a simplement:
dV/dt = - ∫Σfe (vf-v,nf) dS
4. Conservation de la masse d'un fluide entouré d'une région mobile
On considère une membrane V0 totalement perméable sphérique rigide de rayon R0 centrée
en (r0,θ0) à l'instant t et de champ de vitesses v0=v0 r i θ au travers de laquelle un fluide
incompressible s'écoule dont le champ de vitesse est de la forme: v = vf ir/r
1. Montrer que pour une région V0 de frontière ∂V0 animée d'une vitesse v0, on a pour une
quantité α:
d/dt ∫V0 α dV = ∫V0(t) ( ∂α/∂t + divx αv0) dV
2. Evaluer alors le taux de variation de masse de fluide contenu dans la membrane.
1. Par définition:
d/dt ∫V0 α dV = ( ∫V0(t+Δt) α(x+v0Δt,t+Δt) dV - ∫V0(t) α(x,t) dV ) /Δt
= ( ∫V0(t+Δt) α(x+v0Δt,t+Δt) dV ± ∫V0(t+Δt) α(x,t) dV - ∫V0(t) α(x,t) dV ) /Δt
= (∫V0(t+Δt) (α(x+v0Δt,t+Δt)-α(x,t)) dV) /Δt + (∫V0(t+Δt) α(x,t) dV - ∫V0(t) α(x,t) dV) /Δt
l'intégrande de la première intégrale donne:
α(x+v0Δt,t+Δt)-α(x,t) ~ Δt ( (∇xα,v0) + ∂α/∂t )
dans la deuxième intégrale, on fait le changement de variable: y = x+ Δt v0(x,t)
∫V0(t+Δt) α(y,t) dV = ∫V0(t) α(y,t) J dV
J = det(Dxy) = det(I+Δt Dxv0) ~ 1 + Δt Tr(Dxv0) = 1+ Δt divxv0
d'où finalement:
d/dt ∫V0 α dV = ∫V0(t) ((∇xα,v0) + ∂α/∂t + α divxv0) dV
d/dt ∫V0 α dV = ∫V0(t) ( ∂α/∂t + divx αv0) dV
rem: on retrouve comme cas particulier celui où la vitesse est celle du fluide v en faisant v0=v.
2. Le taux de masse de fluide contenu dans la membrane V0 animée de son mouvement propre
est donc, si on prend en compte que le fluide est incompressible (∂ρ/∂t = 0)
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d/dt ∫V0 ρ dV = ∫V0 ( ∂ρ/∂t + divx ρv0) dV
or la conservation de la masse de fluide localement s'écrit, compte tenu de l'incompressibilité:
div ρv = 0
d/dt ∫V0 ρ dV = ∫V0 divx ρ (v0-v) dV = ∫∂V0 ρ (v0-v,n) dV
Ici:
d/dt ∫V0 ρ dV = ∫V0 div(ρ (v0 r iθ -vf ir/r) dV
= ρ ∫V0 (v0 r div iθ + v0 (∇xr,iθ) - vf (1/r div ir+ (∇x(1/r),ir) dV
div iθ = (∂riθ, ir) + (∂θiθ, iθ/r) +(∂ziθ, ir) = 0
div ir = (∂rir, ir) + (∂θir, iθ/r) +(∂zir, ir) = 0
∇xf(r) = f'(r) ir
d/dt ∫V0 ρ dV =- ρvf ∫V0 (1/r div ir+ (∇x(1/r),ir) dV = 0 !!!
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