Le principe de correspondance 2 mai 2014 Nous pouvons considérer que la Théorie Classique est correcte lorsqu’elle est appliquée aux objets macroscopiques, c.à.d. lorsque nous pouvons considérer les discontinuités quantiques comme des infiniment petits. Dans tous ces cas “à la limite”, les prévisions de la Théorie quantique doivent coı̈ncider avec celles de la Théorie classique : c’est une condition très restrictive que l’on impose à la Théorie quantique. (C’est ce que nous avons explicitement invoqué dans le problème du corps noir (voir page 73).) Pour réaliser cette condition aux limites, on pose en principe qu’il existe une analogie formelle entre Théorie quantique et Théorie classique. Un exemple de ce principe de correspondance est la “traduction” quantique du fait que l’énergie totale de la particule est égale à la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle : l’équation de Schrödinger. On y arrive avec les règles de correspondance suivantes (à une dimension) : E → i h̄ ∂ ∂t p → h̄ ∂ i ∂x Equation de Schrödinger Equation d’onde. Nous avons recherché une équation d’onde pour les ondes de matière qui satisfasse aux équations de de Broglie E = h̄ω et p = h̄k, qui soit linéaire pour la fonction d’onde ψ(x, t) et qui montre explicitement que l’énergie totale de la particule est égale à la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle. A une dimension : − h̄2 ∂ 2 ψ(x, t) 2m ∂x2 + V (x, t) ψ(x, t) = i h̄ ∂ψ(x, t) ∂t La densité de probabilité de trouver la particule en x à l’instant t est P (x, t) = ψ ? (x, t) · ψ(x, t) = | ψ(x, t) | 2 Max Born 1926 Si le potentiel V (x, t) est indépendant du temps, on peut “séparer” les variables et obtenir l’équation de Schrödinger indépendante du temps : − h̄2 d2 u(x) 2m dx2 + V (x) u(x) = E u(x) Résolution de l’équation indépendante du temps : nous l’avons fait pour quelques cas particuliers à une dimension. Dans cette résolution, il convient de s’assurer que la fonction d’onde soit toujours de carré sommable, c.à.d. que l’intégrale de u?(x) · u(x) sur tout l’espace soit fini et que la fonction et sa dérivée soient continues en tout point de x. Rappel : a) Dans la région où l’énergie de la particule est inférieure au potentiel, nous avons à résoudre une équation différentielle de la forme d2 u − β 2u = 0 avec β 2 > 0 2 dx Les solutions sont des exponentielles : u = A exp(βx) + B exp(−βx) b) Dans la région où l’énergie de la particule est plus grande que le potentiel, l’équation différentielle à résoudre est d2 u + α2 u = 0 avec α2 > 0 dx2 Les solutions sont des sinus et cosinus : u = A cos αx + B sin αx Pour un “puits de potentiel” : l’exigence du raccordement de la fonction et de sa dérivée aux limites du “puits”, ainsi que celle d’avoir une fonction de carré sommable font que les niveaux d’énergie sont quantifiés. Pour une “barrière de potentiel”, même si l’énergie cinétique de la particule incidente sur la barrière est inférieure à la hauteur de cette dernière, une partie de l’onde est transmise au travers de la barrière et une partie réfléchie : c’est l’effet tunnel.