Corrigé de Microéconomie

Corrigé de Microéconomie
Prof. Stéphane Saussier
Université Paris 11
DEUG 1ère Année
1. Les préférences et l’utilité
Exercice 1
a. Ensemble de paniers de biens
Dans l’énoncé, on sait que
A∼B∼D
D∼L
K∼J ∼M
C"B
F "M
F ∼G
C∼M ∼E H∼I∼F
On voit donc que
F ∼G∼H ∼I "C ∼E∼J ∼K ∼M "A∼B∼D∼L
Rappel 1 (La courbe d’indifférence). La courbe d’indifférence permet de décrire graphiquement les préférences d’un consommateur de façon commode.
La courbe d’indifférence décrit l’ensemble des paniers pour lesquels le consom1
mateur est indifférent. Prénons la panier A par exemple, l’ensemble de paniers qui laisse le consommateur indifférent est le panier B, D et L.
On peut avoir plusieurs courbes d’indifférence, qui réprésentent les différentes
préfénce du consommateur. Une propriété de la courbe d’indifférence est que
les différentes courbes d’indifférence correspondant à des niveaux de satisfaction différents ne peuvent pas se croiser.
x2
A
Une courbe d’indifférence :
paniers indifférents à A
x1
On a 3 courbes d’indifférence ici : ABDL, CEJKM et F GHI. Puisque
F " C " B, alors la courbe d’indifférence F GHI donne au consommateur
2
plus de satisfaction que les paniers CEJKM, qui eux sont préférés par notre
consommateur à la courbe d’indifférence/paniers ABDL.
b. Réprésenter graphiquement les courbes d’indifférence
Y
12
Préférence +
C
11
H
10
9
8
K
7
G
D
F
6
5
I
E
4
J
A
M
3
B
2
L
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 X
Notons ici qu’on a supposé que le choix du consommateur porte sur les biens
divisibles.
3
Exercice 2
a. Vermouth et gin
« un doigt de Vermouth ou trois doigts de Gin ne me procure aucune
satisfaction, mais un doigt de Vermouth et trois doigts de Gin me
satisfont beaucoup »
Pour ce consommateur, le Vermouth et le Gin sont des biens complémentaires.
Ainsi la courbe d’indifférence de ce consommateur est donnée par :
Vermouth
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
4
6
7
8 Gin
b. Gold ou Kronenbourg
« Je ne fais pas attention si mon verre contient de la Gold ou de
la Kronenbourg dès lors qu’il s’agit de bière »
Il s’agit ici donc de biens parfaitement substituables, ou des substituts parfaits. De plus, ici le taux de susbtituabilité est de −1.
Kronenbourg
0
1
2
3
4 Gold
c. cheveux
« Je ne couperais pas mes cheveux pour faire plaisir à ma patronne
à moins qu’elle ne me paye pour cela. Mon prix serait alors de 300
euros plus 1 euro pour chaque centimètre de mes cheveux coupés »
Dans ce cas là, la courbe d’indifférence est alors :
5
Euros
300
Cheveux (cm)
d. Bières et Bretzels
« J’aime la bière et les bretzels. Mais après 12 bouteilles, toute
bouteille de bière supplémentaire me rend malade »
On voit donc ici qu’à partir de 12 bouteilles de bière, le consomateur n’aura
plus de satisfaction à consommer des bouteilles supplémentaire. Après 12
bouteilles de bière, toute bouteille supplémentaire lui est indésirable. Le
consommateur atteint un point de saturation en 12 bouteilles de bière.
6
Bretzels
12
Bières
Exercice 4
Dans l’énoncé, on sait que A ∼ B et A ∼ C. Si ces préférences appartiennent
au même consommateur, on devrait avoir B ∼ C, i.e. le consommateur est
indifférent entre les 2 paniers. En plus, on sait que XB > XC et YB > YC , et
que les courbes d’indifférence sont convexes, donc on sait que les préférences
sont strictement monotone (et strictement convexe). Alors, B " C. Or, il est
impossible, avec une préférence strictement convexe et strictement monotone,
d’avoir B ∼ C et B " C. Les deux courbes n’appartiennent pas au même
consommateur.
x2
x1
Graphiquement, on choisit un point quelconque A et C, et on essaie de placer
le panier B sans que les courbes ne se croisent.
7
Exercice 4
Droite de budgét
Rappel 2 (La droite de budget). La droite de budget l’ensemble des paniers
de biens (x1 , x2 ) qui coûtent exactement R. Ce sont des paniers qui absorbent
complètement le revenu du consommateur.
On écrit donc la droite de budget pour le consommateur :
p1 q1 + p2 q2 = R
⇔
2q1 + 2q2 = 20
On peut facilement représenter cette droite sur un plan q2 ◦ q1 . Pour ce faire,
on réécrit l’équation ci-dessus sous forme suivante :
q2 = 10 − q1
b. L’ensemble des consommations possibles
L’ensemble des consommations possibles est défini par
{(q1 , q2 |2q1 + 2q2 ≤ 20}
Il définie les paniers de biens qui sont acessibles au consommateur compte
tenu de son revenu et les prix des biens.
8
q2
10
Ensemble de consommations possibles
(6,7)
La droite de budget
10 q1
c. Revenu nécessaire
Si le consommateur veut consommer 6 unitées de bien 1 et 7 unitées de bien
2, on voit que ce panier lui est inaccessible compte tenu de son revenu et les
prix des bien. A prix constant, si le consommateur veut consommer ce panier
de biens, il lui faut disposer un revenu R! tel que
2 × 6 + 2 × 7 ≤ R!
28 ≤ R!
R! ≥ 26
Donc le consommateur doit disposer un revenu d’au moins 28, c’est-à-dire
que par rapport à son revenu actuel, qu’il devrait avoir au moins 6 de plus.
9
d. Variation des prix
Une hausse de p2 (p2 = 3) aura pour effet un pivotement vers le bas de la
droite de budget, sans changement de l’origine de son abscisse. La nouvelle
droite de budget s’écrit :
2x1 + 3x2 = 20
20 2
x2 =
+ x1
3
3
q2
10
20
3
10 q1
SI le prix de bien 1 baisse de 2 à 1, la nouvelle droite de budget s’écrit :
x1 + 2x2 = 20
1
x2 = 10 − x1
2
Le consommateur pourra alors consommer plus de bien 1, mais sa consommation de bien 2 maximale reste inchangée.
10
q2
10
20 q1
10
Une diminution du prix simultané de bien 1 et de bien 2 équivaut à une
augmentation de revenu. Dans ce cas là, la nouvelle droite de budget s’écrit :
x1 + x2 = 20
x2 = 20 − x1
q2
20
10
10
20 q1
Au prix d’avant, c’est-à-dire p1 = p2 = 20, la variation de revenu qui aurait
le même effet sur la droite de budget est une augmentation de 10.
11
Exercice 6
a. Fonction d’utilité
Dans cet exercice, on a le fonction d’utilité suivante
U(x1 , x2 ) = x1 x22
On peut donc définir les courbes d’utilité qui sont en fait les courbes de
niveau de cette fonction à 2 variables de la manière suivante :
{(x1 , x2 |k ∈ R, U(x1 , x2 ) = k}
Les courbes d’indifférences sont donc des courbes de niveau pour des valeurs
définies de la fonction U(x1 , x2 ).
Pour désigner les courbes d’infférence pour un niveau d’utilité 4, on va écrire
La fonction de la manière suivante :
4 = x1 x22
!
4
2
⇔ x2 =
=√
x1
x1
On voit donc que
x2
2
1
0.66
0.25
x1
1
4
9
16
12
De la même manière, pour un niveau d’utilité égal à 16, on peut écrire la
fonction suivante pour la courbe d’indifférence :
4
x2 = √
x1
On a donc les valeurs suivantes pour les deux variables :
x2
4
2
1.66
1
x1
1
4
9
16
A partir de ces valeurs, les courbes d’indifférence peuvent être tracées sans
problème particulier. Il suffit de rapporter ces points sur un plan x2 ◦ x1 .
x2
U(x1 , x2 ) = 16
U(x1 , x2 ) = 4
X1
13
b. Taux marginale de substitution
Pour cette exercice, on a donc :
T MS2,1
Ux! 1 (x1 , x2 )
=
Ux! 2 (x1 , x2 )
x22
=
2x1 x2
x2
=
2x1
x2
U(x1 , x2 ) = 16
U(x1 , x2 ) = 4
X1
Commentaires :
1. Le taux marginal de substitution est décroissant en x1 le long de la
courbe d’indifférence. Ceci signifie que le taux auquel le consommateur
est prêt à échanger le bien 2 contre le bien 1 diminue au fur et à mesure
que x1 augmente. En plus, le consommateur a des préférences convexes.
2. Le TMS n’est pas constante. Elle dépend des différents paniers de biens.
Les biens ne sont pas de suubstitus parfaits.
14
3. Le taux marginal de substitution est partout défini : les deux biens ne
sont pas de compléments.
15
2. Les choix de consommation
Exercice 1*
a. Calcul des élasticité niveau
On constate la courbe de demande pour la location de cassettes est linéaire
avec une pente en valeur absolue de 20. On sait que l’élasticité de la démande
est définie par
variation rélative de quantité
variation rélative de prix
∆q p
=
∆p q
p
= 20
q
ep =
Donc, pour une élasticité prix égale à 1, on résout :
p
1 = 20
q
q = 20p
On voit dans la table que cette condition est satisfaite pour q = 60, p = 3.
On vérifie bien que c’est le cas de la graphique avant.
16
De le même façon, pour une élasticité prix égale à 0, on a :
0 = 20
p
q
p=0
Donc, au point où p = 0, q = 6 l’élasticité est égale à 0.
Calcul de l’élasticité d’une variation
On utilise la définition de l’élasticité pour calculer l’élasticité prix de la demande. On sait qu’au point q = 60, p = 3, ep = 1. De la même façon, si le
prix est de 4 euros, l’élasticité prix de la demande devient :
4
q(p = 4)
4
= 20
40
= 2
ep=4 = 20
Donc, quand le prix passe de 3 euros à 4 euros, l’élasticité de la demande va
passer de 1 à 2. L’élasticité prix de la demande en valeur absolue augmente
quand le prix augmente.
c. Expliquez litérairement
L’élasticité prix directe de la demande mesure la variation relative de la
demande suit à une variation d’1% de prix. Au prix p = 3 euros par exemple,
la demande est dite iso-élastique, c’est-à-dire qu’une augmentation de 1% du
prix de location va entraı̂ner un diminuation de 1% de la demande de location
en cassettes vidéo.
17
Exercice 2
L’élasticité directe de la demande est l’élasticité prix de la demande : elle
mesure la variation de la demande suite à une variation de 1% de prix du
bien considéré. Ici cette élasticité est de -1,2. Ceci signifie que quand le prix du
bien augmente de 1%, la demande va diminuer de 1,2%. L’élasticité revenu de
la demande mesure la variation rélative de la demande suite à une variation
de 1% du revenu. Ici cette élasticité est de -0,4, ce qui signifie que si le revenu
augmente de 1%, la demande va diminuer de 0,4%. Le transport d’autobus
est un bien inférieur.
Rappel 3 (Bien normal, inférieur, luxe).
demande augmente
demande diminue
Revenu augmente
bien normal / super- bien inférieur
ieur
Prix augmente
bien Giffen
bien normal / typique /
ordinaire
Prix de l’autre bien bien substituables / bien complémentaires
augmente
concurrent
L’élasticité croisée mesure la variation de la demande suite à une variation du
prix d’un autre bien. Ici, on considère que le consommateur va choisir entre le
transport par autobus et le transport férroviaire Cette élasticté croisée est de
+2,1, ce qui signifie que si le prix du transport ferroviaires augmente d’1%,
alors la demande du transport par l’autobus augmente de 2,1%. On voit
donc que pour les consommateurs, le transport par autobus et le transport
férroviaire sont substituables. Les deux biens sont donc des biens concurrents. Votre entreprise connaı̂t des pertes. Pour la sauver, vous avez besoin
d’augmenter la recette, ce qui pourrait se faire en deux façons :
• faire des investissements pour être plus efficace et augmenter la capacité.
Cependant, l’élasticité revenu du transport d’autobus est de -0,4, ce qui
signifie que le transport par autobus est un bien inférieur. En clair, quand le
revenu augmente, la demande du transport va diminuer. Sachant que dans
une économie normale, le revenu des agents a une tendance à augmenter,
18
ceci laisse prévoir que la demande pour l’autobus va diminuer. Il n’est donc
pas intéressant d’investir.
• augmenter le prix du transport. En effet, la recette étant définie par
R = pq
On voit donc qu’une augmentation de prix va permettre d’augmenter la
recette. Cependant, une augmentation de prix va également entraı̂ner une
modification de la demande. Supposons que le prix et la quantité se modifient et deviennent respectivement p + δp et q + ∆q, alors la nouvelle
recette est égale à
R! = (p + ∆p)(q + ∆q)
= pq + q∆p + p∆q + ∆p∆q
En soustrayant R de R! , on a donc
∆R = q∆p + p∆q + ∆p∆q
≈ q∆p + p∆q
si le valeurs de ∆p et ∆q sont petites. On voit donc que
∆R
∆q
=q+p
∆p
∆p
Donc, pour que la recette augmente suite à une variation du prix, il faut
que :
∆R
∆p
∆q
⇔
q+p
∆p
∆q
⇔
p
∆p
p ∆q
⇔
q ∆p
⇔
ep
19
≥ 0
≥ 0
≥ −q
≥ −1
≥ −1
L’élasticité-prix est une grandeur négative, donc il faut multiplier par −1
les deux côtés, on obtient donc la condition suivante :
⇔
⇔
−ep ≤ 1
|ep | ≤ 1
Pour que la recette augmente suite à une augmentation du prix, il faut que
l’élasticité-prix en valeur absolue soit inférieur à l’unité. C’est un résultat
attendu : en effet, quand le prix augmente de 1%, et que l’élasticité-prix
en valeur absolu est superieur à l’unité, alors la demande va baisser plus
que proportionellement par rapport au prix. En revanche, si la demande
est inélastique, i.e. avec une élasticité-prix en valeur absolue inférieur à 1,
alors la demande se modifie peu suite à une modification des prix. Ainsi
pour que l’augmentation du prix ait un impact positif sur la recette, il faut
que la demande ne baisse pas trop, d’où la condition que la demande soit
peu élastique. Ici, on voit donc qu’une augmentation du prix n’aura pas un
impact positif sur la recette de l’entreprise, car la demande du transport
par autobus est élastique. Quand on augmente le prix, la demande va
diminuer plus que proportionellement, ce qui entraı̂ne au contraire une
diminution de la recette. De plus, il faut tenir compte de la concurrence
avec le transport férroviaire. En effet, cette élasticité croisée indique que le
transport férroviaire est un bien concurrent avec le transport par autobus.
En augmentant le prix de l’autobus, on risque de faire baisser encore plus
la demande, et donc d’essuyer plus de pertes.
La seule solution possible pour l’entreprise est donc de modifier l’offre.
Exercice 3
On a la demande de bien 1 qui s’écrit :
x1 =
R2
2p1 + 0, 5p2 − 0, 2p3
20
Afin d’étudier la nature de ce bien avec les autres biens liés, il faut déterminer
les élasticités de la demande par rapport au revenu, et aux prix.
On calcule d’abord l’élasticité-revenu de bien 1 :
ex1 /R =
∂x1 R
∂R x1
2R
R
2p1 + 0, 5p2 − 0, 2p3 x1
1
2R2
=
2p1 + 0, 5p2 − 0, 2p3 x1
2R2
2p1 + 0, 5p2 − 0, 2p3
=
2p1 + 0, 5p2 − 0, 2p3
R2
= 2
=
On voit que si le revenu augmente de 1%, la demande de bien X1 va augmenter
de 2%. X1 est un bien normal de luxe de façon isoélastique. On utilise le terme
isoélastique quand l’élasticité est constante le long de la courbe de demande.
On calcule ensuite l’élasticité-prix de bien X1 :
ex1 /p1 =
∂x1 p1
∂p1 x1
−2R2
p1 (2p1 + 0, 5p2 − 0, 2p3 )
2
(2p1 + 0, 5p2 − 0, 2p3 )
R2
−2p1
=
2p1 + 0, 5p2 − 0, 2p3 )
−2p1 x1
=
R2
=
On voit donc que cette élasticité est négative (car p1 > 0, x1 > 0 et R2 > 0).
La demande du bien X1 diminue quand le prix p1 augmente. Il s’agit donc
d’un bien typique/ordinaire non isoélastique.
21
On calcule ensuite l’élasticité croisée de bien X1 par rapport à p2 :
ex1 /p2 =
∂x1 p2
∂p2 x1
−0, 5R2
p2 (2p1 + 0, 5p2 − 0, 2p3 )
2
(2p1 + 0, 5p2 − 0, 2p3 )
R2
−0, 5p2 x1
=
R2
=
Cette élasticité est de signe négatif. La demande du bien X1 diminue donc
quand le prix du bien X2 augmente de 1%. On peut donc voir que le bien X2
est un bien complémentaire au bien X1 qui est non isoélastique.
On calcule l’élasticité croisée du bien X1 par rapport au bien X3 :
ex1 /p3 =
∂x1 p3
∂p3 x1
0, 2R2
p3 (2p1 + 0, 5p2 − 0, 2p3 )
2
(2p1 + 0, 5p2 − 0, 2p3 )
R2
0, 2p3x1
=
R2
=
Cette élasticité est de signe positif. La demande du bien X1 augmente avec
le prix du bien X3 varie de 1%. X1 est donc un substitut de X3 , de façon non
iso-élastique.
Exercice 4
Les préférences d’un consommateur sont représentées par la fonction d’utilité
suivante :
0,75
U(x1 , x2 ) = 6x0,25
1 x2
22
a. Les fonctions de demande des biens
On suppose en général que le consommateur cherche à maximiser sa fonction
d’utilité sous contrainte budgétaire. On sait en plus que sa fonction d’utilité
atteint son maximum, étant donnée sa contrainte budgétaire quand le taux
marginal de substitution est égale au rapport des prix.
Le contraite budgétaire du consommateur s’écrit :
p1 x1 + p2 x2 ≤ R
A l’optimum, cette contrainte est saturée. C’est-à-dire que le consommateur
va dépenser la totalité de son revenu dans la consommation des biens. L’optimum se trouve donc sur la droite de budget, qui est :
p1 x1 + p2 x2 = R
On sait en outre qu’à l’optimum, le taux marginal de substitution est égal
au rapport des prix. Ceci nous donne :
p1
p2
∂U(x1 , x2 /∂x1
p1
=
∂U(x1 , x2 /∂x2
p2
−0,75 0,75
6 × 0, 25x1 x2
p1
0,25 −0,25 =
p2
6 × 0, 75x1 x2
x2
p1
=
3x1
p2
p2 x2 = 3p1 x1
T MS =
Sachant que le panier optimum se trouve sur la droite de budget, il suffit de
23
rapporter cette équation sur dans la droite de budget, ce qui nous donne :
p1 x1 + 3p1 x1 = R
R
x∗1 =
4p1
De la même façon, on aura :
1
p2 x2 + p2 x2 = R
3
3R
x∗2 =
4p2
On constate que le prix du bien 1 n’aura pas d’impact direct sur le prix du
bien 2 pour ce consommateur, et vice-versa. Les deux biens ne sont ni des
biens concurrents, ni des biens complémentaires.
b. Elasticité revenu du bien 1
On calcule l’élasticité revenu du bien 1 qui est défini comme suit :
∂x1 R
∂R x1
1 R
=
4p1 x1
= 1>0
ex1 /R =
On voit donc que le bien 1 est un bien normal/superieur car l’élasticité revenu
de ce bien est positive. En effet, ceci indique la demande de bien 1 augmente
lorsque le revenu du consommateur augmente. C’est un bien dont la demande
est isoélastique.
24
c. Elasticité prix du bien 2
L’élasticité prix du bien 2 est donné par
∂x2 p2
∂p2 x2
3R p2
= − 2
4p2 x2
= −1 < 0
ex2 /p2 =
On voit que l’élasticité prix du bien 2 est négative, ce qui implique que la
demande de bien 2 diminue suite à une augmentation du prix de bien 2.
Le bien 2 est donc un bien de type/ordinaire/normal dont la demande est
isoélastique.
25
3. L’échange
Exercice 1
On a deux consommateurs qui ont les fonctions d’utilités suivantes respectivement :
UA (q1 , q2 ) = q2
UB (q1 , q2 ) = 2q1 + Q2
et les dotation initiales qA0 = (7; 5) et qB0 (4; 2).
a. Courbe d’indifférence
De la fonction d’utilité de l’agent A on voit que le consommateur est indifférent par rapport au bien 1. Son utilité augmente uniquement avec le bien
2.
De la fonction d’utilité de l’agent B , on voit que pour ce consommateur,
le bien 1 et le bien 2 sont des substituts parfaits. Ce qui compte pour le
consommateur, c’est le nombre total des deux biens qu’il consomme.
26
Les courbes d’indifférence pour le consommateur A sont données par le graphique suivant :
q2
UA (7; 5) = 5
q1
Les courbes d’indifférence pour le consommateur B sont données par le graphique suivant :
Ici, on voit donc que les utilités des agents vont augmenter s’ils échangent
leurs biens.
27
q2
UB (4; 2) = 5
q1
b. TMS et rapport de prix
Pour étudier ceci, on utilise les résultats de la théorie du consommateur
précédement étudiée. On sait qu’à l’optimum, le TMS devrait être égal au
rapport des prix.
Pour l’agent A, le TMS du bien 2 par rapport au bien 1 s’écrit :
A
T MS2/1
Uq!1 (q1 , q2 )
=
Uq!2 (q1 , q2 )
0
=
1
= 0
Donc, le consommateur est prêt à renoncer à 0 bien 2 pour augmenter sa
consommation du bien 1, tout en restant sur la même courbe d’indifférence.
Le rapport des prix pp12 expriment le taux d’échange objectif (que le consommateur obtiendra sur le marché) du bien 1 par rapport au bien 2. Donc, si
p1
A
> T MS2/1
alors le consommateur A a intérêt d’échanger, car il obtient
p2
plus de bien 2 par rapport à ce qu’il est prêt à renoncer pour l’obtenir. Le
28
consomateur A est un demandeur de bien 2 et un offreur de bien 1.
Pour le consommateur B, le TMS du bien 2 par rapport au bien 1 est :
Uq!1 (q1 , q2 )
Uq!2 (q1 , q2 )
2
=
1
= 2
B
T MS2/1
=
Donc pour augmenter sa consommation d’une unité de bien 1, le consommateur B est prêt à renoncer à 2 unités de bien 2. On a de la même façon,
• si pp12 > 2, alors le consommateur B devrait renoncer à plus de 2 unités de
bien 2 contre 1 unité supplémentaire de bien1 : il n’a pas intérêt a renoncer
à la consommation du bien 2. Il est donc demandeur du bien 2 et offreur
du bien 1 pour ces prix.
• si pp12 > 2, alors pour obtenir 1 unité supplémentaire du bien 1, il devrait
renoncer à moins de bien 2 qu’il est prêt à le faire. Donc il a intérêt à
renoncer à la consommation du bien 2 pour augmenter sa consommation
de bien 1. Pour ces prix, le consommateur B est demandeur de bien 1 et
offreur du bien 2.
c. Intérêt à l’échange
On a vu que
• le consommateur A est un offreur de bien 1 et un demandeur de bien 2. Si
le rapport des prix est tel que pp21 > 0, il aura plus de bien 2 et il sera plus
satisfait.
• le consommateur B est prêt à renoncer à du bien 2 pour augmenter sa
consommation de bien 1 si pp12 < 2. Il augmentera ainsi son niveau d’utilité.
En revanche, si pp21 > 2, alors il préfère augmenter sa consommation de bien
2 et diminuer sa consommation du bien 1. Son niveau d’utilité sera plus
grand dans ce cas.
29
Ces 2 agents ont intérêt à échanger si 2 > pp12 > 0. Les deux agents gagnent
alors en niveau d’utilité par rapport à la consommation de leurs paniers
initiaux. On voit que dès lors les TMS sont différents. Les agents à intérêt à
échanger.
En revanche, si pp12 > 2, les deux agents sont demandeurs de bien 2 et offreurs
du bien 1. Il n’y a aucun échange possible.
d. Les différents paniers
Au prix p = (1; 1), on est dans la fourchette où les deux agents à intérêt à échanger. Le consommateur A est demandeur de bien 2 alors que le
consommateur B est offreur du bien 2 et demandeur du bien 1. Il y aura
donc échange.
Au prix p = (6; 2), le rapport de prix est de 3. A ce prix, les deux agents
sont des demandeurs de bien 2 et offreurs de bien 1. Il n’y aura donc pas
d’échange, car les deux agents n’ont pas de gain à tirer de l’échange.
On voit donc quel’échange peut avoir lieu si et seulement si elle augmente les
utilités des deux agents.
30
Exercice 1**
On a ici une économie formé de 2 agents et 2 biens. L’agent 1 et 2 ont la
fonction d’utilité suivante :
U1 (qx , qy ) = 3qy
U2 (qx , qy ) = 5qx
Les agents sont dotés initialement de
1
2
de chaque bien.
a. Tracer les courbes d’indifférence dans la boı̂te d’Edgeworth
On remarque d’abord que les fonctions d’utilité de chaque agent ne dependent
que d’un seul bien. Ainsi l’agent 1 est neutre au bien x et l’agent 2 est neutre
au bien y. Les courbes d’indifférence vont être des lignes, horizontales ou
verticales.
La boı̂te d’Edgeworth est un outil graphique permettant de représenter les
dotations et les préférences de 2 agents afin d’étudier les différents résultats
de l’échange.
Une allocation est une paire de paniers de consommation. Une allocation est
dite réalisable si la quantité totale consommée de chaque bien est égale à la
quantité totale disponible. Ici la quantité totale disponible
• de bien x est 12 + 12 = 1
• de bien y est 12 + 12 = 1
31
Donc l’ensemble des allocations réalisables est caratérisé par qx1 , qx2 , qy1 , qy2 tel
que
• qx1 + qx2 = 1
• qy1 + qy2 = 1
La « taille »de la boı̂te d’Edgeworth est déterminée donc par les quantités
disponibles de chaque bien dans l’économie.
C
Agent 2
qy
EDotation initiale
Agent 1
qx
b. Allocation initiale Paréto optimal ?
Une allocation est dite Paréto optimale s’il n’existe pas d’autre allocation
réalisable qui améliore le bien-être d’un agent sans détériorer le bien-être des
autres agents. On rappelle que si les taux marginal de substitution de tous
les agents sont égaux, alors l’allocation est Paréto optimale dans le cas des
préférences normales.
32
Dans cet exercice, les agents n’ont pas de préférences normales (i.e. préférences convexes). En effet, il est facile de constater que pour l’agent 1, le
T MSq12 ,q1 est égal à 0, alors que celui de l’agent 2 est +∞. Il n’est donc pas
possible d’appliquer le critère de l’égalité des TMS pour vérifier l’optimalité
d’une allocation ici.
On voit que l’agent 1 ne se soucie que du bien y alors que l’agent 2 ne se soucie
que de bien x. Donc tout transfert de bien y de l’agent 2 permet d’améliorer
le niveau d’utilité de l’agent 1, sans que le niveau d’utilité se détériore pour
l’agent 2. De la même façon, tout transfert de bien x de l’agent 1 vers l’agent
2 permet d’augmenter le niveau d’utilité de l’agent 2, sans que le niveau
d’utilité de l’agent 1 en soit détériorer. Donc tout échange du bien x contre
le bien y entre les deux agents permet d’améliorer le niveau d’utilité des deux
agents simultanément. On en déduit que l’allocation initiale des biens n’est
pas Paréto optimale.
c. Courbe des contrats
La courbe des contrats est l’ensemble des allocations qui sont optimales au
sens de Paréto dans une boı̂te d’Edgeworth. Cette appelation découle de
l’idée que tous les contrats finaux résultant du processus d’échange doivent
être situés dans le’n ensemble de Pareto, car si ce n’est pas le cas, alors il est
possible d’exploiter encore des gains des échanges.
Dans notre cas, on peut facilement reprendre le raisonnement entamé précédemment. Il est facile à voir que seul le point C en haut à gauche de la
boı̂te d’Edgeworth peut être optimal au sens de Pareto. L’agent 1 consomme
alors 1 unité de bien y et l’agent 2 consomme une unité de bien x. Ce point
constitue donc la courbe des contrats.
33
d. Allocation concurentielle et rapport d’échange
L’allocation concurrentielle est l’allocation telle que la quantité totale que les
agents désirent acheter ou vendre aux prix en vigueur est égale à la quantité
totale disponible. Le rapport d’échange concurrentiel ou le prix de marché,
est alors l’ensemble de prix tel que chaque consommateur choisisse, parmi les
paniers accessibles, celui qu’il préfère et que les choix de tous les consommateurs soient compatibles dans le sens où la demande est égale à l’offre sur
chaque marché.
Ici le seul point d’équilibre est le point C indiqué ci-dessus. Le rapport de
prix d’équilibre est donné par la pente du segment CE, qui est égale à 1.
Exercice 2**
a. TMS pour les différents dotations des biens
On note pour l’agent i, sa dotation de bien (q1i , q2i ), i = A, B. Pour un agent
i
i, i = A, B, le T MS2,1
est donné par le rapport des utilités marginales :
i
T MS2,1
(q1i , q2i )
Uq!1 ,i (q1 , q2 )
=
Uq!2 ,i (q1 , q2 )
=
34
q2i
q1i
b. Montrer l’égalité des rapports d’allocation optimale
On va écrire les dotations q1 et q2 qui sont réparties entre les deux individus :
q1 = q1A + q1B
q2 = q2A + q2B
Donc la somme des dotations en différents biens entre les deux individus est
égale à la ressource disponible dans l’économie.
On sait en plus qu’à l’optimum, il faut que le TMS des deux individus soient
égaux (sinon ils auraient avanatge à convenir d’un troc entre les biens) :
A
B
T MS2,1
= T MS2,1
, d’où on a
q2A
q2B
=
q1A
q1B
On sait en plus que lorsque deux fractions sont égales, elles sont égales à la
fraction obtenue en additionnant les numerateurs et les dénominateurs. Par
exemple si
4
2
=
3
6
alors
2
4
2+4
6
= =
=
3
6
3+6
9
Il en résulte donc
q2A
q2B
=
q1A
q1B
q A + q2B
= 2A
q1 + q1B
q2
=
q1
35
c. Représentation graphique
36
q1
Agent B
60
la ligne des optima de Pareto
Agent A
6
q2
37
d. Utilité de l’agent B=49
Ici, on cherche à déterminer le niveau d’utilité de l’agent A quand le niveau
d’utilité de l’agent B est égal à 49. La dotation (q1B , q2B ) qui procure un niveau
d’utilité 49 est donc
49 = q1B q2B
Or on sait en plus qu’à l’optima on a
q2B =
q2 B
q
q1 1
Donc on en déduit que
q2 B 1
(q ) = 49
q1 2
!
q1
B
q1 = 7
q2
Les dotations de l’agent A sont alors :
q1A = q1 − q1B
q2A = q2 − q2B
d’où l’utilité de l’agent A à l’optimum :
UA = q1A aA
2
= (q1 − q1B )(q2 − q2B )
!
q1
q2
= (q2 − 7
)(q2 − q1B )
q2
q1
38
e. Déterminer l’allocation Paréto optimale parmi les allocations
Pour calculer le niveau d’utilité de A pour les trois allocations, et tel que le
niveau d’utilité de l’agent B est égal à 49, on a employé successivement les
formules calculées ci-dessus :
!
q1
B
q1 = 7
q2
q
2
q2B = q1B
q1
q1A = q1 − q1B
q2A = q2 − q2B
UA = q1A q2A
Le tableau suivant retrace les calculs numériques :
Cas I
Cas II
Cas III
q1 /q2
0,0476
0,5
0,1
q1B
1,53
3,5
2,21
q2B
32,13
14,0
22,14
q1A
2,47
4,5
3,79
q2A
51,87
18
37,86
UA env.
128
81
143
Le cas II est évidemment la solution optimale permettant à l’individu B un
niveau d’utilité de 49. Le niveau d’utilité de l’individu A est alors d’environ
143.
39
4. La firme néoclassique,
technologie, contraintes
techniques et les coûts
Exercice 1*
On considère une entreprise et deux facteurs de production : le travail noté
L et le capital noté K, les deux mesurés en heures d’utilisation. On a dans le
tableau le volume produits pour certaines valeurs d’utilisation des facteurs.
a. Productivité marginale du travail,K=10
On appelle la productivité marginale du travail le supplément d’output obtenu par unité additionnelle de travail. Formellement, on a
∆Q
f (L + ∆L, K) − f (L, K))
=
∆L
∆L
Dans l’exercice, en considérant K = 10, quand on passe de 35 à 36 heures de
40
travail, le volume produit passe de 149 à 151, d’où
151 − 149
36 − 35
2
=
=2
1
P mL (35, 10) =
quand on passe de 36 à 38 heures, le volume produit passe de 151 à 154, d’où
P mL (36, 10) =
154 − 151
= 1, 5
2
La productivité marginale de travail pour une utilisation de 10 heures de
capital quand les heures de travail passent de 35 à 38 est en moyenne 1,75.
b. Productivité marginale de travail, K=16
Pour une utilisation de 16 heures de capital,
L
31
32
35
36
38
42
43
47
Q
158
166
180
183
187
192
193
196
Variation
6
14
3
4
5
Rapport
8
4,66
3
2
1
P mL
6
6,3
3,83
2,5
1,5
3
2
0,75
0,25
0,5
On constate donc que la productivité marginale décroit avec le travail. Il s’agit
d’une caratéristique habituelle de la plupart des processus de production.
Notons qu’ici les autres facteurs de production (ici K) sont maintenus à un
niveau constant.
41
c. Calcul du TMST direct
Le taux marginal de susbtitution technique mesure le taux auquel la firme
doit substituer un input par l’autre tout en maintenant constante la quantité
d’output. Formellement,
T MST(K,L) = −
∆L
P mK
=
∆K
P mL
qui est l’expression du taux de substitution technologique du capital par le
travail.
Pour cette exercice, quand on passe de L=38 et K=12 à L=38 et K=13, le
taux marginal de substitution technologique est de
T MST = −
∆L
=2
∆K
d. Calcul du TMST par la productivité marginale
On va calculer le TMST à partir des productivités marginales.
Au point L=32 et K=16,
P mL (32, 16) = 6, 3
1 171 − 166 166 − 162
(
+
) = 4, 5
P mK (32, 16) =
2
1
1
4, 5
T MSTK =
= 0, 7
6, 3
Pour rester sur la même isoquante, on doit substituer 0,7 heures de travail à
1 heure d’utilisation de capital.
42
Au point L=36 et K=13,
1 170 − 166 166 − 165
(
+
) = 1, 5
2
2
1
1 172 − 166 166 − 162
P mK (36, 12) =
(
+
)=5
2
1
1
5
= 3, 3
T MSTK =
1, 5
P mL (36, 13) =
On remarque pour ce couple d’inputs, le niveau d’outputs est de 166 aussi.
Au point L=47 et K=11,
1 168 − 166 166 − 164
(
+
) = 0, 5
2
4
4
1 172 − 166 166 − 160
(
+
)=6
P mK (47, 11) =
2
1
1
5
= 12
T MSTK =
1, 5
P mL (47, 11) =
Auxiliairement, on constate également une productivité marginale du capital
décroissante.
On constate que en K=13, il y a un écart sensible entre TMST et le rapport
des productivités marginales (2-=3,3). Ceci est dû au fait les variations ici ne
sont pas assez petites pour l’approximation par le calcul des dérivées.
Au fur et à mesure que le capital augmente, on constate également une décroissance de la TMST en K.
43
e. Graphique
Exercice 2
La fonction de production s’écrit Q(K, L) = (3K 0,5 + 2L0,5 )2 .
a. Productivité moyennes
La productivité moyenne d’un facteur est la quantité d’outputs en moyenne
par unité de facteur de production. Il s’agit donc de mesurer combien d’outputs en moyenne 1 unité de facteur de production peut produire. Il suffit
donc de diviser la quantité totale produite par la quantité totale de facteur
44
utilisé. La productivité moyenne du travail est donc,
P MoL =
Q(K, L)
(3K 0,5 + 2L0,5 )2
=
L
L
De la même façon, la productivité moyenne du capital est donc,
P MoK =
Q(K, L)
(3K 0,5 + 2L0,5 )2
=
K
K
b. Productivités marginales
La productivité marginale d’un facteur est le supplément de quantité produite
suite à une unité supplémentaire de ce facteur utilisé dans la production.
C’est donc, si on passe à la limite, la dérivée de la fonction de production
par rapport à ce facteur. Ainsi la productivité marginale du travail est
∂Q(K, L)
∂L
= 2L−0,5 (3K 0,5 + 2L0,5 )
P mL =
De la même façon, la productivité marginale du capital est
∂Q(K, L)
∂L
= 3K −0,5 (3K 0,5 + 2L0,5 )
P mL =
c. Rendement d’échelle
Le rendement d’échelle mesure de combien la quantité produite va être multipliée si on multiple par la même proportion tous les facteurs de production.
Si le niveau d’outputs double quand les inputs ont doublé, alors on parle de
45
rendements d’échelle constants. Si le niveau d’outputs font plus que doubler
quand tous les inputs ont doublé, alors on parle de rendements d’échelle croissants. Pour étudier le rendement d’échelle de cette fonction de production,
supposons qu’on multiple par λ le capital et le travail, où λ > 1 :
Q(λK, λL) = [3(λK)0,5 + 2(λL)0,5 ]2
= [3λ0,5 K 0,5 + 2λ0,5 L0,5 ]2
= [λ0,5 (3K 0,5 + 2L0,5 )]2
= λ(3K 0,5 + 2L0,5 )2
= λQ(K, L)
On voit que la technologie est caractérisée par des rendements d’échelle
constants.
d. TMST
On peut facilement calculer le TMST à partir de productivités marginales :
P mL
P mK
2K 0,5
=
3L0,5
T MSTK =
On note qu’ici, qu’on a ce qu’on appelle une fonction CES, qui a la forme
générale suivante :
f (K, L) = (αK ρ + βLρ )1/ρ
avec α > 0, β > 0 et ρ < 1. Ce type de fonction est caractérisée par le
fait qu’elles sont homogènes de degré 1 (rendements d’échelle constants) et
qu’elles ont une élasticité de substitution constante.
46
Exercice 3
On prétend parfois qur la profession de taxi est une activité à rendements
constants. L’output de l’activité : le nombre de kilomètres par jour (par
exemple). L’input de l’activité : conducteur de taxi (travail), voiture On
voit donc qu’en augmentant les inputs dans la même proportion, on voit
que l’output produit va augmenter dans la même proportion. Ainsi, cette
activité est caractérisée par des rendements d’échelles constants. En effet,
si on augmente D’une unité voiture et chaffeur, a priori on est capable de
doubler le nombre de kilomètres des trajets par jours.
Exercice 4
L’investissement nécessaire à la réalisation d’une capacité de production dans
une fourchette [500; 100] est défini par la relation :
I = 10000X 0,7
a. Graphique et le coût marginal de l’investissement
Graphiquement, on peut représenter cette relation comme suivante :
47
I
500
X
Le coût marginal de l’investissement est donné par l’expression :
∂I(X)
∂X
∂aX b
=
∂X
= abX b−1
Im(X) =
On peut dès lors calculer l’investissement de son coût marginal pour les valeurs respectives de 500 et 1000. Pour un niveau de capacité de 500, l’investissement nécessaire est de :
I(500) = a(500)b = 7, 75 × 105
et le coût marginal est alors :
Im(500) = abX b−1 = 1, 085 × 103
Pour un niveau de capacité de 1000, l’investissement nécessaire est alors :
I(1000) = a(1000)b = 1, 259 × 106
48
et le coût marginal est alors :
Im(1000) = abX b−1 = 881, 248
On voit donc qu’au fur et à mesure que la capacité augmente, le niveau d’investissement nécessaire augmente également. Le coût marginal d’investissement diminu au fur et à mesure. Le coût marginal de l’investissement est
décroissant : une augmentation de l’investissement va augmenter la capacité
de production à une taux décroissant.
b. Effets d’apprentissage
On considère une activité dans laquelle les effets d’apprentissage conduisent
à une reduction de la quantité de travail nécessaire à la production d’un bien
donné, d’autant plus important que le nombre n de ce bien, déjà produit, est
élevé. Cet effet d’apprentissage se traduit par la relation suivante :
hn = h1 (n)b
où hn représente la quantité d’heures de travail pour la production de l’unité
n.
On cherche la valeur de b telle que le doublement de la quantité produite
se traduit par une baisse de 20% de la quantité de travail nécessaire par
unité. Sans effets d’apprentissage, pour produire en total 2n unités, il faut
2nh1 unité de travail. Aves l’effet d’apprentissage, en produisant 2n unité en
totale, la quantité de travail nécessaire est alors h1 (2n)b . A 20% d’économies,
on a donc :
0, 8 × h1 = h1 (2)b
ln 0, 8
b =
ln 2
= −0, 322
49
De façon général, pour une économie de (1 − k) en terme d’heures de travail
liée à des effets d’apprentissage, on a :
b(k) =
ln k
ln 2
c. Loi de progrès à 80%
Avec une économie de 20%, il faudra pour l’unité n = 10, une quantité de
travail h(10, −0, 322) = 4, 76 · 104 .
Exercice
On a une fonction de coût qui s’écrit
C(Q) = Q2 + 3Q + 20
avec Q le volume produit.
a. Allure des coûts
De la forme de la fonction de coût, on pourra déjà en déduire que la courbe
du coût total sera croissante et convexe. La courbe de coût marginal est
croissante et linéaire, alors que la courbe de coût variable moyen est, elle
aussi, linéaire. En ce qui concerne la courbe du coût moyen de long terme,
elle sera en forme de U.
50
Coût
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Q
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
51
b. Les autres coûts
Le coût marginal est alors
Cm(Q) =
∂CT (Q)
= 2Q + 3
∂Q
Le coût moyen est donné par
CM(Q) =
CT (Q)
20
=Q+3+
Q
Q
Le coût variable total est
CV T (Q) = Q2 + 3Q
Le coût variable moyen est alors
CV M(Q) = Q + 3
On voit donc le coût marginal est bien croissant. Il coupe la courbe de coût
moyen de long terme au point où ce dernier est minimum. Il en est de même
en ce qui concerne le coût variable moyen. Le coût total moyen est en forme de
U car il y a des coût fixes. Le coût variable moyen, quant à lui, est croissant.
52
5. Les coûts de production
Exercice 0
a. Coût moyens et marginaux de long terme
Le coût moyen (coût unitaire) est le coût total de production divisé par la
quantité totale.
CT (y)
CMo(y) =
y
Qx = 100 − 8px − 9py
où px est le prix du bien X et py est le prix du bien Y .
Le coût marginal est le supplément de coût de production engendré par la
production d’une unité supplémentaire d’output.
Cma(y) =
CT (y + ∆y)
∂CT (y)
≈
∆y
∂y
Pour cette exercice, on a le tableau suivant :
53
Production
0
1
2
3
4
5
6
Coût Total
0
32
48
82
140
228
352
CMo
32
24
27,33
35
45,6
58,67
∆Q
Rapport
32
16
34
58
88
124
Cma
(32)
24
25
46
73
106
124
32
1
34
58
88
124
b. Courbes des coûts
Coût (×10)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Q
0
0
1
2
3
4
5
54
6
7
8
9
On constate donc que
1. le coût moyen décroı̂t avant de croı̂tre. La courbe de coût moyen est en
forme de U.
2. le coût marginal est croissant
c. Coût moyen minimal
Le coût moyen de long terme est minimal pour un niveau de production
Q = 2.
d. Cma=CMo
Le coût marginal de long terme est égal au coût moyen de long terme pour le
niveau de production tel que ce dernier est minimum. Ici, le coût marginal de
long terme est égal au coût moyen de long terme pour le niveau de production
Q = 2.
Exercice 1
a. Coût marginal en Q=15
De 14 à 15, le coût augmente de C1 = 800 = 22890 − 22090. De 15 à 19,
la production augmente de 4 unités (=19-15), alors que le coût augmente de
3670 = 26560 − 22890, donc C2 = 3670/4 = 917 environs.
55
Le coût marginal pour Q = 15 peut alors être estimé par la moyenne de ces
résultats, soit 858.
b. Calcul de coûts moyens
Le tableau suivant indique les résultats. On note Q le niveau de production,
∆C
C(Q) le coût total, ∆Q
le coût marginal dans les zones intermédiaires et
CM(Q) le coût moyen.
Q
C(Q)
14
15
19
22
25
26
29
32
33
35
40
22090
22890
26560
29800
33700
34700
38800
43800
45040
48650
58000
∆C
∆Q
800
917
1080
1216
1310
1406
1540
1640
1705
1870
56
CM(Q)
1577
1526
1397
1354
1338
1336
1344
1362
1370
1390
1450
c. Graphique
Le coût moyen est en forme de U, et le coût marginal est croissant. Ces deux
cas peuvent être considérés comme étant normaux.
Le coût moyen est minimum autour de Q = 26. Il coupe visiblement le coût
marginal dans cette zone, ce qui est absolument général.
d. Approximation coût marginal et coût fixe
Le coût marginal est approximativement linéaire. Donc on pourra lui donner
une forme approximative qui s’écrit :
Cm(Q) = aQ + b
où a est la pente de la courbe de coût marginal, et b est une constante.
On sait que le pente peut être estimée par
a=
∆C
∆Q
Ici, quand le production augmente de 14,5 à 37,5, le coût marginal augmente
57
de 800 à 1870, d’où le coût marginal augmente en moyenne de
1870 − 800
= 46, 5
37, 5 − 14, 5
par unité supplémentaire de produit.
On a donc
Cm(Q) = 46, 5Q + b
Il reste à déterminer la constante.
On sait de plus que la courbe de coût marginal coupe la courbe de coût moyen
au point où le coût moyen est minimum. On voit que pour Q = 26, le coût
moyen est minimum : CM(26) = 1336. Puisque les deux courbes se coupent
à ce point, on sait qu’au point Q = 26, Cm(26) = 1336. On a donc :
Cm(26) = 46, 5 × 26 + b = 1336
⇔ b = 126
d’où le coût marginal est aproximativement donné par
Cm(Q) = 46, 5Q + 126
Sachant que le coût marginal est obtenu en dérivant la fonction de coût total
par rapport au quantité produite. Il en résulte que :
"
CT (Q) =
Cm(x)∂x
Q
46, 5 2
=
Q + 126Q + c
2
où c est la constante de l’intégration, ou bien, le coût fixe (car le coût fixe
est la partie du coût qui ne dépend pas de la quantité produite).
Pour estimer le coût fixe, i.e. la constante de l’intégration, il suffit de prendre
n’importe que niveau de production et de résoudre l’équation qui en résulte.
58
Par exemple, pour Q = 26, le coût total est de 34700, d’où
CT (26) = 23, 25 × (26)2 + 126 × 26 + CF = 34700
CF = 16000
Les coûts fixes représentent donc environ la moitié du coût total autour de
Q = 26. Cette part considérable explique la décroissance du coût moyen
jusqu’à cette valeur.
Exercice 2
On a une fonction de coût qui s’écrit
C(Q) = Q2 + 3Q + 20
avec Q le volume produit.
a. Allure des coûts
De la forme de la fonction de coût, on pourra déjà en déduire que la courbe
du coût total sera croissante et convexe. La courbe de coût marginal est
croissante et linéaire, alors que la courbe de coût variable moyen est, elle
aussi, linéaire. En ce qui concerne la courbe du coût moyenne de long terme,
elle sera en forme de U.
59
Coût
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Q
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
b. Les autres coûts
Le coût marginal est alors
Cm(Q) =
60
∂CT (Q)
= 2Q + 3
∂Q
Le coût moyen est donné par
CM(Q) =
CT (Q)
20
=Q+3+
Q
Q
Le coût variable total est
CV T (Q) = Q2 + 3Q
Le coût variable moyen est alors
CV M(Q) = Q + 3
On voit donc le coût marginal est bien croissant, et qu’il coupe la courbe de
coût moyen de long terme au point où ce dernier est minimum. Il en est de
même en ce qui concerne le coût variable moyen. Le coût total moyen est en
forme de U car il y a des coût fixes. Le coût variable moyen, quant à lui, est
croissant.
Exercice 3
61
Exercice 4
On a une fonction de production CES qui s’écrit :
Q(K, L) = (2K 2 + 2L2 )1/2
Le prix des facteurs est de w = 10 pour le travail et r = 70 pour le capital.
Le coût fixe est égal à 30.
L’objectif de cet exercice est de trouver la fonction de coût total à prtir de la
fonction de production. On appelle la fonction de coût total la fonction qui
associe le coût minimum pour produire un niveau d’output donné.
a. Sentier d’expansion
La fonction de coût se déduit de l’équation du sentier d’expansion, de la
fonction de production et de l’equation du coût.
On sait que l’entreprise cherche à maximiser son profit. Si elle est pricetaker, alors elle va déterminer le niveau d’output qui maximiserait son profit.
L’équation du profit s’écrit :
π = pQ − wL − rK − 30
Si une entreprise maximise ses profits et choisit un niveau d’output, elle doit
minimiser son coût de production pour ce niveau d’output. S’il n’en était pas
ainsi, alors il existerait une autre façon plus économique de produire cette
quantité d’output, et l’entreprise ne maximise alors pas son profit au départ.
Ainsi, pour un niveau d’output donné, on sait que le problème de la firme
62
est de minimiser son coût de production :
max
wL + rK + 30
s.t.
Q(K, L) = Q
K,L
Pour un niveau donné de production, et compte tenu des prix des facteurs de
production, la firme va choisir la combinaison des facteurs de telle façon que
le coût de production sera minimum. Cette combinaison optimale est donné
par l’égalité de la productivité marginale des facteurs et le prix de facteur :
pP mL (K, L) = w = 0, 5(2K 2 + 2L2 )−0,5 4L
pP mK (K, L) = r = 0, 5(2K 2 + 2L2 )−0,5 4K
En effet, si la productivité marginale de facteur est plus grande que le prix
que l’entreprise va payer, alors l’entreprise aura intérêt à en acheter plus.
elle est capable de produire marginalement plus que ce que cette unité supplémentaire de facteur lui coûte. Dans le cas contraire, elle aura intérêt à
diminuer la quantité du facteur utilisée.
En terme équivalent, la quantité du travail et de capital utilisée optimales
pour un niveau de production donné est telle que le TMST est égale au
rapport des prix :
P mK (K, L)
0, 5(2K 2 + 2L2 )−0,5 4K
K
70
=
=
=
2
2
−0,5
P mL (K, L)
0, 5(2K + 2L ) 4L
L
10
En d’autres termes, K = 7L. C’est le sentier d’expansion.
b. Fonction de coût
On a alors, si l’entreprise respecte cette combinaison optimal des facteurs,
avec une quantité L de travail, l’entreprise est capable de produire :
Q = Q(K(L), L) = [2(7L)2 + 2L2 ]0,5 = (98L2 + 2L2 )0,5 = 10L
63
Or, pour un niveau de production donné, l’entreprise devrait utiliser
L = 0, 1Q
quantité de travail.
De la même façon, on trouve
K = 7 × 0, 1Q = 0, 7Q
Ainsi, l’équation du coût s’écrit :
C(K, L) = wL + rK + 30
Or, sachant que l’entreprise à combiner de façon optimal le travail et le capital
pour un niveau de production donné, on a alors la fonction de coût suivante :
CT (Q) = C(K(Q), L(Q))
= 70 × 0, 7Q + 10 × 0, 1Q + 30
= 50Q + 30
c. Coût marginal, moyen
Une fois que la fonction de coût est trouvée, il est facile de connaı̂tre le coût
marginal et le coût moyen. Le coût marginal est tout simplement ici :
Cm(Q) =
∂CT (Q)
= 50
∂Q
et le coût moyen est
CM(Q) =
CT (Q)
30
= 50 +
Q
Q
64