2006-07 examen session 1

UFR Sciences Luminy Année 2006-2007
L3 P et PC - GBM1
Examen janvier 2007 : Ondes 1
Durée : 3h - Aucun document ni calculatrice autorisés.
I. Réflexion d’une onde électromagnétique sur un milieu
conducteur - Guide d’ondes TE.
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A : Interface vide/conducteur parfait (10 points)
Soit une interface plane (plan yOz) séparant deux milieux linéaires,
homogènes et isotropes (avec µ
1
= µ
2
= µ
0
) :
- le milieu 1 est le vide d’indice n
1
=1
- le milieu 2 est un conducteur plan parfait
On se propose d’étudier la réflexion d’une onde électromagnétique
plane homogène sur cette interface. Le vecteur d’onde
i
k
r
de l’onde
incidente appartient au plan d’incidence (xOz) (voir figure ci-dessous).
On écrit les champs électriques incident et réfléchi sous la forme :
y
u
ωt)r.
r
ki(
e
0r
E
r
E ;
y
u
ωt)r.
i
ki(
e
0i
E
i
Er
r
r
r
r
r
r
r−
=
−
=
On suppose que E
0i
est une constante, indépendante du temps et des
variables d’espace.
1) Justifier que
0 E
t
r
r
=
2) Justifier que
k
r
r
appartient au plan d’incidence (xOz)
3) Expliciter
ket k
ri
r
r
en fonction de l’angle θ
i
, de la célérité c des ondes
électromagnétiques dans le vide et de la pulsation ω
4) Déduire, de la relation de continuité à l’interface pour le champ
électrique, le coefficient de réflexion r défini par : 0i
0r
E
E
r =
5) En déduire le champ électrique total dans le vide :
r
itotal
EE E
r
r
r
+=
On montrera que
total
E
r
s’écrit sous la forme E
0
f(x)g(z,t)
y
u
r
où E
0
est une
constante indépendante du temps et des variables d’espace, f(x) une
fonction sinusoïdale et g(z,t) une fonction caractéristique d’une onde
plane en notation complexe.
6) L’onde associée à
total
E
r
est-elle homogène ?
7) Calculer le champ
B
total
r
associé au champ
total
E
r
8) Calculer <
total
S
r
>
Partie B : Guide d’ondes TE (6 points)
On considère l’interface précédente (interface vide-conducteur parfait)
comme étant l’une des parois d’un guide d’ondes composé de deux
plaques parallèles de dimensions infinies suivant Oy et Oz et distantes de a
suivant Ox (voir figure ci-dessous). Entre ces deux plaques règne le vide.

En utilisant la partie A, on peut écrire le champ électrique associé à
l’onde se propageant dans le guide d’ondes sous la forme (mode TE) :
y
u
ωt).z
g
i(k
x)e
1
sin(k
0
E E r
r−
=
(1)
où E
0
et k
1
sont des constantes indépendantes du temps et des variables
d’espace et k
g
le module du vecteur d’onde de l’onde guidée se
propageant dans le vide.
On utilisera, dans cette partie B, l’expression (1) du champ
électrique donnée ci-dessus.
On posera k = ω/c avec c
2
= 1/ε
0
µ
0
(c : célérité dans le vide).
1) Ecrire l’équation d’onde satisfaite par le champ
E
r
2) En déduire k
g2
en fonction de k
2
et k
12
3) A partir de la condition de continuité du champ
E
r
sur l’interface vide-
conducteur parfait, montrer que l’on a : k
1
= pπ/a avec p entier. p peut-il
être nul ?
4) Un mode est caractérisé par la valeur de p (TE
p
)
Donner l’expression de la pulsation de coupure ω
cp
pour le mode p
5) Ecrire la relation k
g2
(ω) en fonction de c, ω et ω
cp
6) Dans quel domaine doit varier la fréquence du générateur d’onde pour
qu’un seul mode se propage dans le guide ?
II. Question de cours : Acoustique (4 points)
On considère un fluide initialement au repos, de densité ρ
0
et de
pression P
0
uniformes. On crée en un point de l’espace une perturbation
qui modifie ces grandeurs : ρ = ρ
0
+ ρ’, P = P
0
+ P’ et la vitesse du fluide
est
v
r
.
. .
. On s’intéresse à la propagation de cette perturbation, supposée
petite (propagation d’ondes acoustiques), dans ce milieu.
1) Ecrire, sans démonstration, l’équation de continuité exprimant la loi de
conservation de la masse. Linéariser cette équation.
2) L’équation d’Euler s’écrit :
(
)
P v .v ρ
t
v
ρ∇−=∇+
∂
∂
r
r
r
r
r
Linéariser cette équation.
3) Ecrire une équation reliant P’ et ρ’ correspondant à une transformation
adiabatique. On introduira le coefficient de compressibilité
isentropique :
0
S
0
SP
ρ
ρ
1
χ
∂
∂
=
4) Déduire des questions précédentes l’équation de propagation des ondes
acoustiques satisfaite par P’. Donner la célérité c de ces ondes.
5) Dans le cas d’un fluide irrotationnel, où
φ v ∇=
r
r
, montrer que
φ satisfait l’équation d’onde.
6) Une onde acoustique peut-elle se propager dans le vide ? Argumenter
de manière succincte.
Rappel : Equations de Maxwell
Mµ Hµ Hµ B P E ε E ε D
t
D
jH t
B
E 0 B. ρ D.
00
0
L
L
rrrr
rrrr
r
r
rr
r
rr
rr
r
r
+== +==
∂
∂
+=×∇ ∂
∂
−=×∇ =∇ =∇
où ρ
ρρ
ρ
L
est la densité de charges libres et
L
j
r
la densité de courant libre