2006-07 examen session 1

UFR Sciences Luminy
L3 P et PC - GBM1
Année 2006-2007
r
2) Justifier que k r appartient au plan d’incidence (xOz)
r
Examen janvier 2007 : Ondes 1
Durée : 3h - Aucun document ni calculatrice autorisés.
I. Réflexion d’une onde électromagnétique sur un milieu
conducteur - Guide d’ondes TE.
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A : Interface vide/conducteur parfait (10 points)
Soit une interface plane (plan yOz) séparant deux milieux linéaires,
homogènes et isotropes (avec µ 1 = µ 2 = µ 0) :
- le milieu 1 est le vide d’indice n1=1
- le milieu 2 est un conducteur plan parfait
On se propose d’étudier la réflexion d’une onde électromagnétique
r
plane homogène sur cette interface. Le vecteur d’onde k i de l’onde
incidente appartient au plan d’incidence (xOz) (voir figure ci-dessous).
r
r
1) Justifier que E t = 0
r
3) Expliciter k i et k r en fonction de l’angle θi, de la célérité c des ondes
électromagnétiques dans le vide et de la pulsation ω
4) Déduire, de la relation de continuité à l’interface pour le champ
électrique, le coefficient de réflexion r défini par : r =
r
E0r
E0i
r
r
5) En déduire le champ électrique total dans le vide : E total = Ei +E r
r
r
On montrera que E total s’écrit sous la forme E0f(x)g(z,t) u y où E0 est une
constante indépendante du temps et des variables d’espace, f(x) une
fonction sinusoïdale et g(z,t) une fonction caractéristique d’une onde
plane en notation complexe.
r
6) L’onde associée à E total est-elle homogène ?
r
r
7) Calculer le champ Btotal associé au champ E total
r
8) Calculer < Stotal >
Partie B : Guide d’ondes TE (6 points)
On considère l’interface précédente (interface vide-conducteur parfait)
comme étant l’une des parois d’un guide d’ondes composé de deux
plaques parallèles de dimensions infinies suivant Oy et Oz et distantes de a
suivant Ox (voir figure ci-dessous). Entre ces deux plaques règne le vide.
On écrit les champs électriques incident et réfléchi sous la forme :
r r
r r
r
r
i(ki . r −ωt) r
i(k r . r −ωt) r
Ei = E0ie
u y ; E r = E0r e
uy
On suppose que E0i est une constante, indépendante du temps et des
variables d’espace.
En utilisant la partie A, on peut écrire le champ électrique associé à
l’onde se propageant dans le guide d’ondes sous la forme (mode TE) :
1) Ecrire, sans démonstration, l’équation de continuité exprimant la loi de
conservation de la masse. Linéariser cette équation.
i(k g.z −ωt) r
r
E = E 0sin(k1 x)e
uy
r
r
r r r
∂
v
ρ
v
.
v
P
ρ
+
∇
=
−
∇
2) L’équation d’Euler s’écrit :
∂t
(1)
où E0 et k1 sont des constantes indépendantes du temps et des variables
d’espace et kg le module du vecteur d’onde de l’onde guidée se
propageant dans le vide.
On utilisera, dans cette partie B, l’expression (1) du champ
électrique donnée ci-dessus.
On posera k = ω/c avec c2 = 1/ε0µ0 (c : célérité dans le vide).
r
1) Ecrire l’équation d’onde satisfaite par le champ E
2) En déduire kg2 en fonction de k2 et k12
r
3) A partir de la condition de continuité du champ E sur l’interface videconducteur parfait, montrer que l’on a : k1 = pπ/a avec p entier. p peut-il
être nul ?
( )
Linéariser cette équation.
3) Ecrire une équation reliant P’ et ρ’ correspondant à une transformation
adiabatique. On introduira le coefficient de compressibilité
1  ∂ρ 
isentropique : χ S =
ρ0  ∂P S0
4) Déduire des questions précédentes l’équation de propagation des ondes
acoustiques satisfaite par P’. Donner la célérité c de ces ondes.
r r
5) Dans le cas d’un fluide irrotationnel, où v = ∇ φ , montrer que
φ satisfait l’équation d’onde.
6) Une onde acoustique peut-elle se propager dans le vide ? Argumenter
de manière succincte.
4) Un mode est caractérisé par la valeur de p (TE p)
Donner l’expression de la pulsation de coupure ωcp pour le mode p
5) Ecrire la relation kg2(ω) en fonction de c, ω et ωcp
Rappel : Equations de Maxwell
6) Dans quel domaine doit varier la fréquence du générateur d’onde pour
qu’un seul mode se propage dans le guide ?
r r
∇r.Dr = ρL
r ∇r.B = 0 r
∇×E = − ∂B
r r r ∂t r
∇×H = j L + ∂D
∂t
II. Question de cours : Acoustique (4 points)
On considère un fluide initialement au repos, de densité ρ0 et de
pression P0 uniformes. On crée en un point de l’espace une perturbation
qui modifie ces grandeurs : ρ = ρ0 + ρ’, P = P0 + P’ et la vitesse du fluide
r
est v . On s’intéresse à la propagation de cette perturbation, supposée
petite (propagation d’ondes acoustiques), dans ce milieu.
r
r
r r
r D = εrE = ε0rE + Pr
B = µ H = µ0H +µ 0M
r
où ρL est la densité de charges libres et jL la densité de courant libre