TD - PCSI-PSI AUX ULIS

TD
TD-Révisions : Mécanique du point
1
Point matériel soumis à un seul champ de force centrale
→
−
Soit un point matériel M de masse m soumis à une force centrale F de centre de force O. On étudie
son mouvement dans un référentiel galiléen Rg . Dans un premier temps on repère le point M en coordonnées
sphériques (r, θ, φ).
1. Définir une force centrale.
→
−
2. Montrer que le moment cinétique de M en O L O se conserve. Montrer alors que le mouvement s’effectue
dans un plan passant par le centre de force.
Par la suite on étudiera le mouvement du point M dans le plan du mouvement défini à la question précédente,
→
→
de repère polaire (O, −
u r, −
u θ ).
→
−
→
3. Montrer que L O = mC −
u z où C = r 2 θ̇ est appelée constante des aires.
−−→
4. On rappelle que la vitesse aréolaire correspond à l’aire balayée par le vecteur OM par unité de temps
dA
dt . Montrer la loi des aires :
|C |
dA
=
dt
2
−−→
−−→
−−→
On donne l’aire balayée par OM pendant dt : dA = 12 OM ∧ dOM .
2
Conservation de l’énergie mécanique : état lié et état de diffusion
On considère la situation du paragraphe précédent, en considèrant cette fois que la force centrale est de
→
−
→
norme invariante par rotation autour de O : F = F (r)−
u r , et dérove d’une énergie potentielle Ep (r).
1. Montrer que l’énergie mécanique peut s’écrire sous la forme :
Em = Ecr + Epef f
1
Ecr = mṙ 2 est l’énergie cinétique radiale
2
1 C2
Epef f = m 2 + Ep (r) est l’énergie potentielle effective
2 r
2. Sur les graphes ci-dessous on a tracé l’énergie potentielle effective enf onction de r dans les cas d’une
force d’intreraction de type newtonienne attractive et répulsive. Dans chacun des cas suivants, préciser si
le point matériel M se trouve dans un état lié ou un état de diffusion, ainsi que le domaine de définition
de r :
a)
b)
c)
d)
e)
Interaction
Interaction
Interaction
Interaction
Interaction
attractive, Em > 0
attractive, Em = 0
attractive, Em < 0
attractive, Em = Epef f (ro ). Préciser la nature du mouvement.
répulsive, Em > 0
1
PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016
TD
3
Mouvement dans un champ de force newtonien
On étudie le mouvement d’une planète, considérée comme un point matériel P de masse m, dans le référentiel
héliocentrique, de centre S. On note M la masse du Soleil.
1. Enoncer les trois lois de Kepler.
Pour simplifier, on considère le cas particulier où le mouvement de la planète est circulaire de rayon R. On
−→
→
a donc SP = R −
u r.
2. Montrer que le mouvement est uniforme et donner l’expression de la vitesse v de P en fonction de G la
constante de gravitation universelle, M et R.
3. Etablir la troisième loi de Kepler dans le cas de l’orbite circulaire.
Certains satellites de communication doivent toujours être positionnés au même endroit du ciel à partir d’un
point terrestre (par exemple, certaines antennes paraboliques de télévision par satellite pointent vers un satellite
donné et sont réglées une seule fois) : de tels satellites sont dits géostationnaires. Leur période de révolution
autour de la Terre doit donc être égale à celle de rotation de la Terre sur elle-même. La trajectoire d’un satellite
est située dans un plan contenant le centre de la Terre. Si ce plan n’est pas celui de l’Équateur, le satellite ne
peut rester au-dessus d’un même point de la surface terrestre. Un satellite géostationnaire évolue donc dans le
plan équatorial.
4. Calculer l’altitude d’un satellite géostationnaire. Données : G = 6, 69.10−11 SI, MT = 6, 0.1024 K g.
On définit les vitesses cosmiques :
— Vitesse en orbite basse : il s’agit de la vitesse d’un satellite "rasant" la surface de l’astre considéré.
— Vitesse de libération : il s’agit de la vitesse minimale à communiquer à un objet soumis uniquement à
une force gravitationnelle pour qu’il puisse s’éloigner à l’infini du centre de force.
5. Exprimer puis calculer la vitesse en orbite basse d’un satellite terrestre.
6. Exprimer puis calculer la vitesse de libération d’un satellite terrestre. On fera l’hypothèse que le satellite
n’est soumis à aucun frottement.
4
Quelques sujets de concours
— Extrait de e3a-PSI-2007 : étude mécanique d’une fusée et de son satellite. Thèmes abordés : bilan
de quantité de mouvement (bon entrainement sur les bilans macroscopiques !) et mouvement en orbite
circulaire.
— Extrait de Mines-Pont-PSI-2011 : métro gravitationnel. Thèmes abordés : théorème de Gauss pour le
champ de gravitation (bon entrainement !), mouvement à force centrale .
— Extrait de e3a-MP-2015 : Atterrissage du module Philae. Thèmes abordés : mouvement à force centrale,
énergie, résolution grapho-numérique.
2
PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT–ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP)
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2011
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l’épreuve: 3 heures)
L’usage de la calculatrice est autorisé
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE–EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I — PSI.
L’énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.
– Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il est invité à le
signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura été
amené à prendre.
– Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous
sembleront pertinents, même lorsque l’énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
TRANSPORTS PLANÉTAIRES
Ce problème étudie divers aspects physiques du voyage à l’échelle planétaire. Il est composé de
deux parties indépendantes, la première envisage le déplacement d’un train dans un tunnel creusé
dans la sphère terrestre, la seconde étudie la montée d’un ascenseur le long d’un câble vertical fixé à
l’équateur. Dans tout le problème la Terre est assimilée à un corps sphérique homogène de rayon rT ,
de centre OT et de masse volumique homogène µT .
Pour les applications numériques on prendra µT = 5, 50·103 kg.m−3 , rT = 6, 38·106 m , et on utilisera
3 chiffres significatifs. On rappelle la valeur de la constante universelle de gravitation de Newton
G = 6, 67 · 10−11 m3 .kg−1 .s−2 . Les vecteurs sont surmontés d’un chapeau s’ils sont unitaires ubx ou
−→
d’une flèche dans le cas général OP. Une quantité surmontée d’un point désigne la dérivée totale par
dθ
rapport au temps de cette quantité θ̇ =
. Les nombres complexes sont soulignés z ∈ C, à l’exception
dt
de j tel que j2 = −1.
I. — Le métro gravitationnel
Dans toute cette partie on néglige tous les effets de la rotation de la terre sur elle-même et on se place
dans le référentiel géocentrique que l’on supposera galiléen.
I.A. — Etude préliminaire
−−→
−−→ −
On considère un point P situé à l’intérieur de la sphère terrestre. On note OT P = →
r = r ubr et g (P)
le champ gravitationnel créé par la terre en P.
Transports planétaires
−−→
1 — Justifier que g (P) est porté par ubr et que son module ne dépend que de r, on notera donc
−−→
g (P) = g (r) ubr . En utilisant le théorème de Gauss gravitationnel, déterminer l’expression de g (r) en
4
fonction de ω 2 = π GµT et r.
3
2 — Déduire de la question précédente que la force de gravitation s’exerçant sur un point de masse
m situé en P dérive de l’énergie potentielle
1
E p (r) = E p0 + mω 2 r2
2
où E p0 est une constante qui dépend de la référence choisie et que l’on ne demande pas d’expliciter.
Quelle est la dimension de ω ?
I.B. — Le tunnel droit
On relie deux points A et B de l’équateur terrestre par un tunnel cylindrique traversant la Terre selon
le schéma de la figure 1 qui présente également les notations utilisées.
F IG . 1 – Le tunnel droit
On considère un mobile ponctuel P de masse m se déplaçant dans le tunnel sous l’effet du champ
gravitationnel terrestre. La position du mobile est repérée sur le segment [AB] par la coordonnée x
−
→
−→
telle que PH = x ubx où le vecteur unitaire ubx est colinéaire à AB et de même sens et H est la projection
orthogonale de OT sur [AB]. On note finalement h = OT H.
Dans toute la partie I, on suppose que le point P reste en permanence dans l’axe du tunnel grâce à un
système de confinement. Il n’y a donc pas de contact avec les parois et donc pas de frottement avec
celles-ci. Un tel confinement est envisageable en utilisant des parois magnétiques ! On suppose enfin
qu’un vide suffisament poussé a été créé dans le tunnel. Sous toutes ces hypothèses, on considérera
que la seule force qui s’applique au mobile est la force de gravitation qu’exerce sur lui la terre.
À l’instant t = 0, on abandonne le mobile au point A sans vitesse initiale.
3 — Déterminer l’équation différentielle (linéaire) du second ordre vérifiée par x (t). En déduire
l’expression de x (t) en fonction de h, rT , ω et t.
4 — Déterminer la valeur de la vitesse maximale atteinte par le point P sur le trajet. En quel point
cette vitesse est-elle atteinte ?
5 — Exprimer la durée τ0 du trajet entre AB et calculer sa valeur numérique.
I.C. — Projet de métro
Pour desservir plusieurs points sur l’équateur, on considère un système de tunnels représentés sur la
figure 2.
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Physique I, année 2011 — filière PSI
F IG . 2 – Le système de tunnels
Un tunnel circulaire est percé à une distance rH du centre de la Terre dans le plan de l’équateur et l’on
creuse des tunnels rectilignes de descente ou de remontée A1 H1 A2 H2 , etc... Ces tunnels se raccordent
au tunnel circulaire interne en des points H1 , H2 , · · · . Chaque jonction est tangentielle, c’est-à-dire que
−−−→ −−−→ −−−→ −−−→
A1 H1 .OT H1 = A2 H2 .OT H2 = · · · = 0. Les points H1 , H2 , ... sont équipés d’un système d’aiguillage
assurant la continuité du vecteur vitesse de la rame de transport des voyageurs lors du transfert entre
le tunnel de descente ou de remontée et le tunnel circulaire.
On assimile cette rame à un point matériel P de masse m astreint à circuler dans l’axe du tunnel et
sans contact avec ses parois grâce au système de confinement. À l’instant t = 0, on laisse tomber une
rame du point A1 et sans vitesse initiale.
6 — Quelle est la nature du mouvement de la rame sur le trajet circulaire interne H1 H2 . Déterminer
la vitesse de la rame sur cette portion, en déduire que la durée τ1 du transfert de H1 vers H2 se met
sous la forme
θ
τ1 =
f (y)
ω
où y = rT /rH et f est une fonction que l’on déterminera.
7 — Déterminer la durée totale τ du voyage de A1 vers A2 en fonction de θ , ω et y. Déterminer la
valeur numérique de τ pour un voyage tel que θ = π /3 avec rH = rT /2. Comparer les caractéristiques
de ce voyage avec son équivalent à la surface de la terre.
8 — Avec un diamètre moyen de 7 m, évaluer la quantité de déblais à évacuer pour creuser le
tunnel circulaire, ainsi qu’un tunnel radial. Commenter le résultat obtenu.
L’une des nombreuses hypothèses nécessaires à la réalisation d’un tel projet est la création et le
maintien d’un vide suffisant dans le tunnel. En fait, ce vide ne peut être que partiel sur un tel volume
et le tunnel contient de l’air de densité volumique de masse ρ maintenu à la pression p et à la
température ambiante. Ce dernier point serait à discuter dans le cadre d’une étude plus complète que
nous ne mènerons pas ici. On supposera que p et ρ sont constantes dans l’enceinte du tunnel et que
l’air s’y comporte comme un gaz parfait. Pour cette étude on se place dans le cas du mouvement dans
le tunnel circulaire.
Des expériences d’aérodynamique montrent que le mouvement d’un solide dans un gaz au repos est
soumis à une force de frottement, dite traı̂née. Cette traı̂née dépend de la taille caractéristique L et de
la vitesse v du solide ainsi que de la densité ρ du gaz dans lequel s’effectue le mouvement.
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Tournez la page S.V.P.
e3a MP 2015
(Les questions relatives au caractère non galiléen du référentiel sont hors
programme)
Rosetta est une mission spatiale de l'Agence spatiale européenne dont l'objectif principal
est de recueillir des données sur la composition du noyau de la comète 67P/TchourioumovGuérassimenko et sur son comportement à l'approche du Soleil.
La sonde spatiale s'est placée en orbite autour de la comète puis, après une période
d'observation de plusieurs mois, a envoyé le 12 novembre 2014 Philae, un petit atterrisseur, se
poser sur sa surface pour analyser la composition de son sol et sa structure.
Le problème est constitué de quatre parties.La première traite de la descente du
module Philae vers la comète.La seconde s’intéresse aux communications entre la
sonde Rosetta et la Terre. La troisième concerne les aspects thermiques de la comète
lorsque celle-ci se rapproche du Soleil.
La dernière partie de cette épreuve est consacrée à la chimie des ergols,
composés destinés à fournir l’énergie nécessaire à la propulsion de Rosetta.
PREMIÈRE PARTIE
ATTERRISSAGE DU MODULE PHILAE
Données :
• masse de la comète : 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 1,0.1013 𝑘𝑘𝑘𝑘
• masse volumique de la comète : 𝜇𝜇𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 400 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚−3
• période de rotation propre de la comète : 𝑇𝑇𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 12,4 ℎ
• constante gravitationnelle : 𝐺𝐺 = 6,67.10−11 𝑚𝑚3 ⋅ 𝑘𝑘𝑔𝑔−1 ⋅ 𝑠𝑠 −2
• distance de largage par rapport au centre : 𝑟𝑟𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 22,5 𝑘𝑘𝑘𝑘
• masse de la sonde Rosetta : 𝑚𝑚𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 1500 𝑘𝑘𝑘𝑘
• masse de l’atterrisseur Philae : 𝑚𝑚𝑝𝑝ℎ = 98 𝑘𝑘𝑘𝑘
• vitesse de la lumière dans le vide : 𝑐𝑐 = 3,00.108 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠 −1
Dans cette partie, la comète est modélisée par une boule homogène de masse 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 et de
masse volumique 𝜇𝜇𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 .
La distance entre un point 𝑀𝑀 et le centre 𝑂𝑂 de la comète est notée𝑟𝑟 = 𝑂𝑂𝑂𝑂.
A / CHAMP GRAVITATIONNEL DE LA COMETE
A2.
Déterminer le rayon 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 de la boule équivalente à la comète.
A3.
Vérifier par analyse dimensionnelle l’homogénéité de la relation obtenue.
A1.
A4.
Montrer, en appliquant soigneusement le théorème de Gauss, que
𝑚𝑚
gravitationnel𝑔𝑔⃗𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 dû à la comète, s’écrit 𝑔𝑔⃗𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = −𝐺𝐺 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑒𝑒⃗𝑟𝑟 (pour 𝑟𝑟 > 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ).
𝑟𝑟 2
le
champ
Peut-on considérer le champ gravitationnel de la comète uniforme lors de la chute du module
Philae, suite à son largage ?
B / TRAJECTOIRE DE PHILAE
Approche numérique de l’équation du mouvement
On étudie la chute libre de l’atterrisseur Philae, dans un référentiel dont l’origine est le
centre 𝑂𝑂 de la comète et qui tourne avec Rosetta, de sorte que le vecteur 𝑒𝑒⃗𝑟𝑟 pointe constamment
vers l’atterrisseur (accélération 𝑎𝑎⃗ = 𝑟𝑟̈ 𝑒𝑒⃗𝑟𝑟 ). Ce référentiel peut être considéré comme galiléen.
B1.
Etablir l’équation du mouvement de l’atterrisseur Philae, une fois séparé de Rosetta, en
projection sur l’axe radial.
Cette équation peut être résolue numériquement. L’évolution temporelle de la distance 𝑟𝑟est
représentéesur la figure 1, à partir de la distanceinitiale 𝑟𝑟(𝑡𝑡 = 0) = 𝑟𝑟𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 , pour différentes vitesses
verticales initiales 𝑣𝑣0 = 𝑟𝑟̇ (𝑡𝑡 = 0).
distance𝑟𝑟(𝑚𝑚)
i
i h gf e d
c
b
h g
f
e
d
a
temps(𝑠𝑠)
Figure 1 - Evolution temporelle de l’altitude pour différentes vitesses initiales :
a :𝑣𝑣0 = 0 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠 −1
b : 𝑣𝑣0 = −0,15 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠 −1
c : 𝑣𝑣0 = −0,30 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠 −1
−1
−1
d :𝑣𝑣0 = −0,45 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠
e : 𝑣𝑣0 = −0,60 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠
f : 𝑣𝑣0 = −0,75 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠 −1
−1
−1
g :𝑣𝑣0 = −0,90 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠
h : 𝑣𝑣0 = −1,05 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠
i : 𝑣𝑣0 = −1,20 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠 −1
B2.
Déterminer la durée𝜏𝜏0 de la chute de Philae s’il est abandonné par Rosetta avec une vitesse
verticale nulle.
B3.
La durée réelle de la chute est𝜏𝜏 ≃ 7 ℎ. En déduire la vitesse verticale initiale communiquée à
l’atterrisseur.
Différentes trajectoires de phase sont représentées sur la figure 2, en fonction de la vitesse
verticale initiale.
B4.
Déterminer, par lecture graphique, la vitesse verticale atteinte par Philae au moment du
contact avec la comète.
distance𝑟𝑟(𝑚𝑚)
vitesse verticale
𝑟𝑟̇ (𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠 −1 )
Figure 2 - Trajectoires de phase pour différentes vitesses initiales
Approche énergétique
L’objectif est de retrouver la vitesse atteinte par l’atterrisseur au moment du contact avec la
comète.
B5.
B6.
B7.
Etablir l’expression de l’énergie potentielle gravitationnelle𝐸𝐸𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 d’un point matériel de
masse𝑚𝑚 situé à la distance𝑟𝑟 > 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 du centre de la comète, en fonction de𝐺𝐺, 𝑚𝑚, 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 et 𝑟𝑟
(on fixe𝐸𝐸𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝑟𝑟 → ∞) = 0).
Lors de la chute de Philae, préciser comment évolue l’énergie mécanique de l’atterrisseur.
En déduire, littéralement puis numériquement, la vitesse atteinte par l’atterrisseur lors du
contact avec la comète.
C / PHILAE A LA SURFACE DE LA COMETE
On s’intéresse à présent au module Philae, une fois celui-ci posé sur la surface de la
comète.
C1.
Lors du largage de Philae, le 12 novembre 2014, plusieurs journalistes commentent
l’événement : « Philae pèse 1,7 𝑔𝑔 sur la comète ». Qu’en pensez-vous ?
La comète 67P/Tchourioumov-Guérassimenko tourne sur elle-même avec une période
𝑇𝑇𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 dans le référentiel « cométocentrique »galiléenℛ0 , dont l’origine est le centre 𝑂𝑂 de la comète
et dont les axes pointent vers des directions fixes.Le référentielℛ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 lié à la comète n’est pas
galiléen.
C2.
Pour appliquer le principe fondamental de la dynamique à l’atterrisseur Philae dans le
référentiel ℛ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 lié à la comète, indiquer quelle force doit être ajoutée à la force
gravitationnelle, ainsi que son nom usuel.
C3.
Représenter sur un schéma la comète, son axe de rotation, le module Philae posé à sa
surface et les deux forces (en plus de la réaction du sol) auxquelles il est soumis. Comment
est modifié qualitativement le poids réel de l’atterrisseur, par rapport à celui calculé à la
question C1 ?
C4.
Exprimer littéralement, puis calculer numériquement la variation relative du poids due à la
rotation propre de la comète (on suppose que Philae s’est posé dans le plan équatorial).
Commenter.
D / ROSETTA AUTOUR DE LA COMETE
Avant de larguer l’atterrisseur Philae, la sonde Rosetta s’est rapprochée par paliers de la
comète. Le 10 septembre 2014, elle se situe sur une orbite circulaire de rayon 𝑟𝑟1 = 30 𝑘𝑘𝑘𝑘.
D1.
Donner les expressions en coordonnées polaires de la vitesse et de l’accélération d’un point
matériel𝑀𝑀 en mouvement circulaire.
D2.
Exprimer la vitesse𝑣𝑣1 de la sonde en orbite circulaire de rayon 𝑟𝑟1 autour de la comète, en
fonction de 𝐺𝐺, 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 et 𝑟𝑟1 . Effectuer l’application numérique.
D3.
En déduire sa période 𝑇𝑇1 . Effectuer l’application numérique.
La sonde parcourt, à partir du 8 octobre 2014, une orbite elliptique avec un apocentre𝐴𝐴
situé à la distance 𝑟𝑟𝑎𝑎 = 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 20 𝑘𝑘𝑘𝑘 du centre𝑂𝑂 de la comète et un péricentre 𝑃𝑃 caractérisé par
𝑟𝑟𝑝𝑝 = 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 10 𝑘𝑘𝑘𝑘. Le 15 octobre, la propulsion est utilisée pour placer la sonde sur une orbite
circulaire de rayon 𝑟𝑟𝑝𝑝 = 10 𝑘𝑘𝑘𝑘.
D4.
D5.
Représenter sur un schéma l’orbite elliptique, en faisant apparaître le centre 𝑂𝑂 de la comète,
ainsi que les distances 𝑟𝑟𝑎𝑎 et 𝑟𝑟𝑝𝑝 .
Exprimer l’énergie mécanique de la sonde sur l’orbite elliptique.
D6.
Sur cette orbite, en déduire la vitesse 𝑣𝑣𝑝𝑝 de Rosetta en 𝑃𝑃, en fonction de 𝐺𝐺, 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 , 𝑟𝑟𝑎𝑎 et 𝑟𝑟𝑝𝑝 .
Effectuer l’application numérique.
D7.
Pour placer la sonde en orbite circulaire de rayon𝑟𝑟𝑝𝑝 , la propulsion est utilisée lorsque Rosetta
est au péricentre. Préciser numériquement la variation de vitesse nécessaire.