Mémento de géométrie

Mémento de géométrie
Médiatrice d’un segment :
Définition : c’est la droite perpendiculaire au segment et passant par son milieu.
Propriété caractéristique : soit  la médiatrice du segment [AB].
Alors : M   MA = MB.
Autrement dit :
 si un point est sur la médiatrice d’un segment, il est équidistant de ses extrémités
 si un point est équidistant de deux points A et B alors il est sur la médiatrice du
segment [AB]
Bissectrice d’un angle :
C’est la demi- droite qui partage l’angle en deux angles de même mesure.
Symétrie axiale, symétrie centrale :
Si M (d) le symétrique de M par rapport à la droite
(d) est le point M’ tel que (d) soit la médiatrice de
[MM’].
Si M  (d) le symétrique de M est M lui-même.
Le symétrique d’un point M par rapport à un point O
est le point M’ tel que O soit le milieu de [MM’]
Triangles, droites remarquables :
 La somme des angles d’un triangle est égale à 180°
 Droites remarquables :
Les médiatrices d’un triangle sont
concourantes en un point qui est le
centre du cercle circonscrit au
triangle (passant par les trois
sommets du triangle)
Une hauteur est une droite passant
par un sommet et perpendiculaire au
côté opposé. Les hauteurs d’un
triangle sont concourantes en un
point, appelé orthocentre du
triangle.
Une médiane est une droite passant
par un sommet et le milieu du côté
opposé. Les médianes d’un triangle
sont concourantes en un point
appelé centre de gravité. Le centre
de gravité d’un triangle est situé aux
deux tiers de chaque médiane en
partant du sommet.
Les bissectrices d’un triangle sont
concourantes en un point, qui est le centre du
cercle inscrit dans ce triangle (cercle tangent
aux trois côtés du triangle).

 Triangles particuliers :
Triangle isocèle
Triangle équilatéral
Triangle rectangle
Il a deux côtés égaux, deux angles
égaux et la médiatrice de la base est
aussi médiane, hauteur, bissectrice
et axe de symétrie.
Il a trois côtés égaux, trois angles
égaux à 60°, la médiatrice de
chaque côté est aussi médiane,
hauteur, bissectrice et axe de
symétrie.
Il a un angle droit ; le milieu de son
hypoténuse est le centre du cercle
circonscrit ; ses côtés vérifient
l’égalité de Pythagore .
 Pour justifier qu’un triangle est rectangle, il faut avoir une des propriétés ci-dessous :
le triangle a un angle droit
ou bien
il vérifie l’égalité de Pythagore
ou bien
son cercle circonscrit a pour diamètre un des côtés de ce triangle
 Droite des milieux :
* Dans un triangle ABC, si I et J sont les milieux des côtés [AB] et [AC],
alors (IJ) // (BC) et IJ =
1
2
BC
* La droite qui passe par le milieu d’un côté, en étant parallèle à un deuxième
côté, coupe le troisième en son milieu.
 Théorème de Thales
Soit d et d’ deux droites sécantes en A.
B et E sont deux points de d, C et F deux points de d’.
Si (BC) // (EF) alors :
AE AF EF
AB AC BC
 Réciproque du théorème de Thalès
Soit d et d’ deux droites sécantes en A.
B et E sont deux points de d, C et F deux points de d’.
Si
AE AF
AB AC
et si les points A, B, E et A, C, F sont dans le même ordre alors (BC) // (EF)
Trigonométrie
Dans un triangle rectangle on définit :
cos
B
=
côté adjacent
hypoténuse BA BC
; sin
B
=
côté opposé
hypoténuse AC BC
; tan
sin
cos
B
BB
Angles inscrits ; angles au centre
La mesure d’un angle inscrit est la moitié de la mesure de l’angle au centre correspondant.
1
2
AMB AOB
Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure.

Quadrilatères :
Parallélogramme
Rectangle
Losange
Carré
Propriétés
Il a :
 des côtés opposés
parallèles
 des côtés opposés de
même longueur
 des angles opposés de
même mesure
 des diagonales se coupant
en leur milieu
 un centre de symétrie
Il a :
 toutes les propriétés du
parallélogramme
 quatre angles droits
 des diagonales de même
longueur
 deux axes de symétrie (les
médiatrices des côtés)
Il a :
 toutes les propriétés du
parallélogramme
 quatre côtés de même
longueur
 des diagonales
perpendiculaires
 deux axes de symétrie
(les diagonales)
Il a :
toutes les propriétés du losange
et toutes celles du rectangle.
Pour justifier…
… un parallélogramme, il faut :
des côtés opposés parallèles deux à
deux
ou bien
des diagonales ayant le même
milieu
ou bien
deux côtés opposés parallèles et de
même longueur (le quadrilatère
n’étant pas croisé)
… un rectangle, il faut :
trois angles droits
ou bien
un parallélogramme avec un angle
droit
ou bien
un parallélogramme avec des
diagonales de même longueur
… un losange, il faut :
quatre côtés de même longueur
ou bien
un parallélogramme avec deux
côtés consécutifs de même
longueur
ou bien
un parallélogramme avec des
diagonales perpendiculaires
… un carré, il faut :
un losange avec un angle droit
ou bien
un rectangle avec deux côtés
consécutifs de même longueur
ou bien
des diagonales ayant le même
milieu, la même longueur et
étant perpendiculaires
Trapèze : c’est un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles.
S’il a un angle droit, c’est un trapèze rectangle.
Si ses deux côtés non parallèles ont la même longueur, c’est un trapèze isocèle.