L`Effet Poynting-Roberston - Bienvenue sur le site de Damien Poitou

Université Paul Sabatier
Licence de Physique
L’Effet Poynting-Roberston
Mémoire
Le Lostec Nechtan
POITOU Damien
Année universitaire : 2003-2004
2
Sommaire
1
Introduction_________________________________________ 4
2
Matériel et méthode___________________________________ 4
3
2.1
Système solaire_____________________________________________________ 4
2.2
Mouvement autour d’une planète _____________________________________ 6
Résultats ___________________________________________ 7
3.1
Système solaire (progsol.m) __________________________________________ 7
3.2
Mouvement autour d’une planète (progpla.m) __________________________ 8
4
Discussion __________________________________________ 8
5
Conclusion__________________________________________ 9
Figures ___________________________________________ 10 à 14
6
Annexes ___________________________________________ 15
6.1
Programme progsol.m _____________________________________________ 15
6.2
Programme progpla.m _____________________________________________ 17
3
1 Introduction
Dans le système solaire tous les corps sont soumis à la gravitation exercée par le soleil,
à l’échelle d’une poussière le soleil exerce une autre force liée à la pression de radiation, c’est
l’effet Poynting-Roberston.
L'effet Poynting-Robertson correspond à combinaison de deux facteurs sur le
déplacement des poussières interplanétaires. Il y a d'une part la pression de radiation que les
photons émis par le Soleil imposent à ces poussières et qui les repoussent. Et d'autre part le
phénomène d'aberration de la lumière, qui fait que la direction des impacts des photons sur les
poussières n'est pas perpendiculaire à leur orbite, mais légèrement inclinés. Il s'ensuit que les
grains de lumière font finalement obstacle aux grains de poussière. Les poussières soumises à
l'effet Poynting-Robertson resserrent alors leur orbite autour du Soleil en s'accélérant
(autrement dit, elles "tombent"), jusqu'à leur vaporisation et leur engloutissement par notre
étoile. L'effet Poynting-Robertson est également la cause de l'augmentation de l'excentricité et
de l'inclinaison des orbites des poussières, et partant de l'étalement du Nuage zodiacal.
Nous nous intéresserons à modéliser ce phénomène physique en utilisant Matlab.
Dans un premier temps nous mettrons en place un programme permettant de faire
tourner la Terre autour du soleil puis en remplaçant la Terre par une poussière nous tiendrons
compte des facteurs de l’effet Poynting-Roberston.
Dans un second temps nous étudierons l’influence de l’effet Poynting-Roberston sur
une poussière autour de la Terre, ayant au préalable fait un modèle de la Lune qui tourne
autour de la Terre.
2 Matériel et méthode
Nous avons effectué des recherches sur Internet et à la Bibliothèque Universitaire mais
nous n’avons trouvé que quelques descriptions sommaires du phénomène physique. Nous
avons utilisé le site du bureau des longitudes (www.bdl.fr) pour obtenir des valeurs précises
des constantes et des paramètres physiques.
2.1 Système solaire
Le premier programme consiste à faire tourner la Terre autour du soleil sur une orbite
circulaire. On peut alors remplacer la Terre par une poussière (la masse n’intervient pas dans
les équations du mouvement).
→
••
→
m r =− GmM Θ er
r2
Ensuite on prend en compte le facteur lié à la pression lié à la pression de radiation sur
la poussière
→
••
→
→
m r =− GmM Θ er + LΘ S er
r²
4π r ² c
4
Enfin il est nécessaire de tenir compte de la finitude de la vitesse de la lumière qui
freine la poussière car les photons percutent la poussière dans une direction non
perpendiculaire au mouvement.
→
v
eϕ
er
α
→
G
→
P
→
→
G =− GmM Θ er
r2
→
→
→
P = LΘ S (cosα e r −sinα e ϕ ) avec sinα=v/c et cosα≅1
4 π r ²c
→
••
→
→
→
→
Donc r =(−GM Θ + LΘ S ) e r − LΘ S v e ϕ = A e r − B e ϕ
4π cm
4π c²m
→
→
→
Or e r =cosϕ e x +sinϕ e y
→
→
→
e ϕ =−sinϕ e x +cosϕ e y
•
•
1
•
•
1
B(x² + y ²) 2
x = A 3 x+
3 y
(x² + y²) 2
(x² + y²) 2
••
B(x²+ y ²) 2
y= A 3 y+
3 x
(x² + y²) 2
(x²+ y²) 2
••
Il est nécessaire de transformer ce système d’équations du second ordre pour le
résoudre avec Matlab qui ne peut résoudre que des systèmes d’équations du premier ordre.
On pose : q1 = x
q2 = y
•
q3 =x
•
q4 = y
5
Donc on a
••
•
••
•
q1 =q3 =
1
1
3 (Aq1 + B(q3² + q4 ²) 2 q2)
(q1²+ q2²) 2
q2 =q4 =
1
1
3 (Aq2 − B(q3² + q4 ²) 2 q1)
(q1² + q2²) 2
•
q3 =q1
•
q4 =q2
Le calcul du rapport du module des forces nous permet de déterminer les paramètres
de la poussière (rayon) pour que les deux forces soient du même ordre de grandeur (rapport de
l’ordre de 1) pour que les effets soient visibles.
G 16GM Θ c
ρR
=
3LΘ
P
Pour une masse volumique ρ =1000 kg.m-3 le calcul nous amène à choisir une taille
caractéristique R≅10-5 m .
2.2 Mouvement autour d’une planète
On s’intéresse ici au mouvement d’une poussière qui tourne autour d’une planète.
Comme précédemment on ferra d’abord un programme qui fait tourner la Lune autour de la
Terre. Puis on tient compte de la pression de radiation qui n’est plus radiale comme tout à
l’heure mais dans une direction fixe (on ne tient pas compte du mouvement de la planète
autour du soleil). De plus, on ne tiendra pas compte de l’effet relativiste dans ce cas.
On utilise alors les équations suivantes dans Matlab :
••
•
••
•
q1 =q3 =
LΘR²
1
3 Aq1 +
4mc×(150e9)²
(q1² +q2²) 2
q2 =q4 =
1
3 Aq2
(q1² + q2²) 2
•
q3 =q1
•
q4 =q2
6
3 Résultats
3.1 Système solaire (progsol.m)
Pour faire tourner la Terre autour du soleil et que le modèle soit stable sur une durée
satisfaisante plusieurs contraintes apparaissent. Tout d’abord la recherche de conditions
initiales optimales, c’est pourquoi nous avons choisit la Terre dont on connaît la vitesse en
fonction de son orbite. Puis par tâtonnement en multipliant la vitesse initiale par un faible
facteur correctif l’orbite est plus stable.
De plus numériquement on utilise la fonction ode15s au lieu de ode45 pour résoudre
les équations différentielles et augmentons la précision (odeset) pour diminuer les erreurs
numériques. L’orbite n'est pas exactement circulaire, le rayon de même que la vitesse varient
avec une oscillation faible autour d’une valeur moyenne presque constante. Cela est du aux
imprécisions du calcul numérique.
La Terre tourne alors sur une orbite quasi stable sur une durée de 50 ans, sa vitesse et
sa distance au soleil oscillant autour d’une orbite moyenne (figure 1) au-delà de cette durée le
système devient chaotique et la Terre s’écroule sur le soleil.
Le programme de base étant correctement ajusté, on va maintenant pouvoir tenir
compte des facteurs de l’effet Poynting, sur une même durée et avec les mêmes conditions
initiales, et observer ainsi leurs conséquences.
La pression de radiation change l’orbite de la poussière qui devient elliptique. On ne
tient compte que de la composante répulsive radiale de la pression et de la composante radiale
attractive de la gravitation. On a donc simplement un champ de pesanteur modifié où la
trajectoire n’est plus circulaire, l’excentricité est due au fait que la vitesse initiale reste la
même pour une orbite plus grande(figure 2). On remarque que ce modèle est moins stable
dans le temps. On pourrait aussi éjecter la poussière du système solaire en diminuant la taille
de la particule, la pression de radiation deviendrait plus importante que la gravitation.
Dans un premier temps l’effet relativiste n’est pas observable car la vitesse de la
poussière est trop faible pour notre modèle qui est limité sur la durée. Nous avons d’abord
solutionné le problème en réduisant la vitesse de la lumière d’un facteur 40 (on multiplie alors
la taille de la poussière par le même facteur pour conserver le rapport du module des forces).
Ainsi on observe clairement que pour une même durée la poussière est freinée et tombe sur le
soleil en accélérant.
Une manière plus élégante de solutionner le problème sans modifier la vitesse de la
lumière consiste à se placer sur une orbite beaucoup plus proche du soleil avec une vitesse
initiale plus importante. Un second programme (progsol2.m) modélise cet effet, mais les
conditions initiales sont plus imprécises (sans effet Poynting la trajectoire n’est pas très
stable).
Qualitativement les résultats sont identiques : la poussière part de l’orbite elliptique
précédente et chute progressivement sur le soleil. Sur un cycle, la distance au soleil et la
vitesse varient sinusoidalement et en opposition de phase, d’après la loi de Kepler l’aire
balayée par le vecteur position reste constante sur pour une même durée. Donc la poussière se
déplace moins rapidement quand elle est loin du soleil. Sur toute la durée, la valeur moyenne
de la distance décroît et la valeur moyenne de la distance augmente. L’effet relativiste
provoque des frottements qui tendent à réduire la vitesse, la poussière évolue en passant sur
7
une orbite plus basse qui correspond à une vitesse plus élevée (orbite circulaire
RV²=constante). Ainsi par transformation de l’énergie potentielle en énergie cinétique et avec
les frottements le rayon de l’orbite diminue et la vitesse augmente (figure 3).
3.2 Mouvement autour d’une planète (progpla.m)
De la même manière que précédemment la Lune tourne autour de la Terre sur une orbite
stable pendant une durée de 3 ans sur une orbite circulaire (figure 4).
En ajoutant la pression de radiation constante la vitesse et la distance à la planète
oscillent autour d’une valeur moyenne constante avec des amplitudes croissantes. Au cours
d’un cycle la poussière s’éloigne puis se rapproche, l’écart entre la distance minimale et
maximale augmente dans le temps. La vitesse varie en corrélation, elle augmente quand la
poussière se rapproche et diminue quand elle s’éloigne. L’effet de la pression de radiation est
de décaler progressivement l’orbite vers une ellipse, sans pertes d’énergie car la force
s’oppose au mouvement sur un demi-cycle et pousse la poussière sur l’autre moitié du cycle.
La variation d’énergie sur un cycle entier est presque constante c’est pourquoi les valeurs
moyennes de la distance et de la vitesse restent constantes.
4 Discussion
Il est en fait difficile de faire tourner la Terre autour du soleil sans quelle s’écroule sur
une durée très longue. En effet on doit apporter une correction sur les conditions initiales
réelles car celles du modèle ne sont pas réalistes : on ne considère qu’un problème à 2 corps
(Terre – Soleil) alors qu’en fait la Lune ou Jupiter par exemple ont une influence sur l’orbite
de la Terre.
De plus les imperfections numériques ne permettent pas d’obtenir l’orbite circulaire
théorique, par exemple sur les figures on voit des arcs droits car on a un nombre fini de
valeurs.
Lorsqu’on ajoute la pression de radiation seule on est dans un champ de pesanteur
modifié si la pression est moins importante que la gravitation, les conditions initiales étant
bien choisies le résultat serait le même qu’avec une gravitation moins importante. Par contre
on peut en réduisant la taille de la poussière avoir une force résultante répulsive au quel cas la
poussière peut être éjectée du système solaire mais ce cas ne nous intéresse pas car nous
cherchons à modéliser des poussières qui tombent sur le soleil.
Enfin pour modéliser l’effet relativiste nous avons exploité deux possibilités, la seule
qui ait un sens physiquement est celle où on se place sur une orbite différente mais les deux
résultats sont qualitativement identiques car on s’est placé sur une orbite de façon à ce que la
vitesse initiale soit 40 fois plus importante.
Le modèle de la poussière autour de la planète est assez simpliste. Nous n’avons pas
eu le temps de tenir compte de l’effet relativiste, ni de l’effet d’écran lorsque la poussière est
dans l’ombre de la planète. On pourrait aussi considérer un problème à trois corps où la
poussière tourne autour de la Terre, qui tourne autour du soleil. De plus comme la gravité et la
8
pression de radiation ne sont pas colinéaire, elles ne s’équilibrent pas. Il faut que la force de
pression soit petite ( de l’ordre du millième) devant la force d’attraction sinon la poussière est
immédiatement libérée de l’attraction terrestre.
5 Conclusion
En somme nous pouvons voir comment les poussières dans le système solaire
soumises à l’effet Poynting Robertson tombent progressivement vers le soleil, d’autres
situations sont possibles où elles sont éjectées du système solaire mais nous ne les avons pas
retenues.
Nous avons été confrontés à l’élaboration d’une simulation numérique et aux
problèmes inhérents à ce travail.
- Il faut choisir un modèle de référence, l’orbite de la Terre, et déterminer les
« bonnes » conditions initiales. Il est également nécessaire de connaître le domaine de validité
du modèle, la durée au-delà de laquelle les résultats ne seront pas exploitables.
- On complexifie ensuite le modèle en intégrant un à un les effets physiques, du plus
important au plus petit
- Il peut s’avérer nécessaire de faire des compromis entre la modélisation et le sens
physique, en modifiant la vitesse de la lumière par exemple, avant d’arriver à un modèle plus
rigoureux
Ce travail nous a donc permit d’élaborer et de mettre en œuvre une méthode de travail
pour développer un modèle numérique d’un système physique et obtenir des résultats
crédibles.
9
Figure 1
10
Figure 2
11
Figure 3
12
Figure 4
13
Figure 5
14
6 Annexes
6.1 Programme progsol.m
clear all
%%%% Definition des Constantes
G=6.67259e-11;
Ms=1.9889e30;%% Masse du Soleil
Mt=0;%%Masse de la Terre
L=(3.845e26); %% L= Luminosité du Soleil
c=2.99792458e8/40;
R=1.8014*1e-6*40; %% R= rayon de la particule (parametre)
p=1000; %% p= densite (parametre)
m=(4/3)*pi*R^3*p;
global A
global B
d=input('Sur combien d années faire la simulation (au maximum 50 ans)? ');%Durée pour la
modelisation
f=1 ;
while f>0 ,
k=menu('Effet Poyting Robertson dans le systeme solaire','Terre','Pression radiale','Effet
Poynting relativiste','fin') ;
%%%% Cas de la Terre autour du Soleil
if k==1
a=0;
A=(a-G*Ms);
B=0;
end
%%%% Cas de la poussière autour du Soleil avec la pression de radiation seule
if k==2
a=(L*R^2)/(4*m*c);
A=(a-G*Ms);
B=0;
Grav_sur_press=(G*Ms*16*c*p*R)/(L*3) %% Rapport des modules des forces
end
%%%% Cas de la poussière autour du Soleil avec la pression de radiation et effet relativiste
if k==3
a=(L*R^2)/(4*m*c);
A=(a-G*Ms);
B=a/c;
15
Grav_sur_press=(G*Ms*16*c*p*R)/(L*3) %% Rapport des modules des forces
end
if k==4
f=0;
end
if f==1
%% Résolution
t0=0; tf=24*3600*365.25*d;
x0=[149.597870610e9 0 0 2.9865e4*(0.995)];
e=1e-1;
%options = odeset('RelTol',1e-8, 'AbsTol',[e e e e]);
[t,x]=ode15s('reseqsol',t0,tf,x0);
%% Affichages
figure(1)
subplot(2,1,1), plot(sqrt((x(:,1)).^2+(x(:,2)).^2)), title('Rayon de l
orbite'),xlabel('Temps'),ylabel('Rayon')
subplot(2,1,2), plot(sqrt((x(:,3)).^2+(x(:,4)).^2)), title('Vitesse de la
poussière'),xlabel('Temps'),ylabel('Vitesse')
figure(2)
subplot(1,1,1), plot(x(:,1),x(:,2)), title('Trajectoire de la poussière'),xlabel('Position en
x'),ylabel('Position en y')
axis equal
%% Dessin du soleil
rs=6.96e7; %% Rayon du Soleil
o=(0:0.1:2*pi);
xs=rs.*cos(o);
ys=rs.*sin(o);
hold on
plot(ys,xs,'y');
xf=x(:,1);
yf=x(:,2);
plot(0,0,'y+')
axis equal
end
end
Sous programme pour la résolution : reseqsol.m
function xdot=reseq(t,q)
global A
global B
16
xdot=[q(3);q(4);(q(1).^2+q(2).^2).^(3/2).*(A.*q(1)+B.*(q(3).^2+q(4).^2)^(1/2).*q(2));(q(1).^2+q(2).^2).^(-3/2).*(A.*q(2)B.*(q(3).^2+q(4).^2)^(1/2).*q(1))];
Remarque : Le programme progsol2.m est identique sauf pour les conditions initiales et que
l’on ne peut pas choisir le durée de la modelisation.
6.2 Programme progpla.m
clear all
%%% Constantes
G=6.67259e-11;
u0=G*5.9736e24;%% u0=M*G
L=(3.845e26); %% L= Luminosité du Soleil
R=1.18*1e-3; %% R= rayon de la particule (parametre)
p=1000; %% p= densite (parametre)
c=2.99792458e8;
rs=6.4e6;%% Rayon de la Terre
m=(4/3)*pi*R^3*p;
global A
global a
A=(-u0);
f=1 ;
while f>0 ,
k=menu('Titre','Lune','Pression constante','fin') ;
%%%% Cas de Lune
if k==1
a=0;
%% Résolution
t0=0; tf=24*3600*365.25*3;
x0=[3.83398e8 0 0 1.0196e3];
options = odeset('RelTol',1e-8, 'AbsTol',[1e-10 1e-10 1e-10 1e-10]);
[t,x]=ode15s('reseqpla',t0,tf,x0);
%% Affichages
figure(1)
subplot(2,1,1), plot(sqrt((x(:,1)).^2+(x(:,2)).^2)), title('Rayon de l
orbite'),xlabel('Temps'),ylabel('Rayon')
subplot(2,1,2), plot(sqrt((x(:,3)).^2+(x(:,4)).^2)), title('Vitesse de la
poussière'),xlabel('Temps'),ylabel('Vitesse')
17
figure(2)
subplot(1,1,1), plot(x(:,1),x(:,2)), title('Trajectoire de la poussière'),xlabel('Position en
x'),ylabel('Position en y')
axis equal
%% Dessin de la Terre
o=(0:0.1:2*pi);
xs=rs.*cos(o);
ys=rs.*sin(o);
hold on
plot(ys,xs,'y');
xf=x(:,1);
yf=x(:,2);
plot(0,0,'y+')
axis equal
end
%%%% Cas poussiere
if k==2
a=(L*R^2)/(4*m*c*(150e9)^2);
%% Résolution
t0=0; tf=24*3600*365.25*3;
x0=[3.83398e8 0 0 1.0196e3];
options = odeset('RelTol',1e-8, 'AbsTol',[1e-10 1e-10 1e-10 1e-10]);
[t,x]=ode15s('reseqpla',t0,tf,x0);
%% Rapport des modules des forces
Grav_sur_press=(u0*16*c*p*R*(150e9)^2)/(L*3*(3.84e8)^2)
%% Affichages
figure(1)
subplot(2,1,1), plot(sqrt((x(:,1)).^2+(x(:,2)).^2)), title('Rayon de l
orbite'),xlabel('Temps'),ylabel('Rayon')
subplot(2,1,2), plot(sqrt((x(:,3)).^2+(x(:,4)).^2)), title('Vitesse de la
poussière'),xlabel('Temps'),ylabel('Vitesse')
figure(2)
subplot(1,1,1), plot(x(:,1),x(:,2)), title('Trajectoire de la poussière'),xlabel('Position en
x'),ylabel('Position en y')
axis equal
%% Dessin de la Terre
o=(0:0.1:2*pi);
xs=rs.*cos(o);
ys=rs.*sin(o);
hold on
plot(ys,xs,'y');
xf=x(:,1);
18
yf=x(:,2);
plot(0,0,'y+')
axis equal
end
%%%%Fin
if k==3
f=0;
end
end
Sous programme pour la résolution : reseqpla.m
function xdot=reseq(t,q)
global A
global a
xdot=[q(3);q(4);(q(1).^2+q(2).^2).^(-3/2).*(A.*q(1))+a;(q(1).^2+q(2).^2).^(-3/2).*(A.*q(2))];
19