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École Polytechnique de Montréal
PHS2107 – Mécanique Supérieure
EXAMEN FINAL – Automne 2011
par Renaud Lavoie, Stéphane Durand, et Thomas Gervais
Date : Jeudi le 8 décembre 2011,
Heure : 13h30 à 16h00
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L’examen est sur 100 points.
Deux feuilles 8,5po X 11po manuscrites recto-verso sont permises
Prenez soin d’expliquer votre démarche et au besoin exprimer vos hypothèses, car la
correction en tiendra compte.
Répondre dans le cahier de réponses fourni avec l’examen
Remettre la copie d’examen en même temps que le cahier de réponses
Calculatrice non programmable (autorisée par l’École) permise
Questions à calculs ou développement courts (5 points chacune = 15 points)
1) La comète Hale-Bopp, observée pendant 18 mois en 1997 possède un périhélie de
1,36×108 km (0,9 u.a.). Son périhélie est estimé à 5,55×1010 km (370 u.a.). Quelles
sont vos chances de la revoir de votre vivant? Justifiez en calculant sa période
orbitale.
2) Dans un référentiel S usuel, soit un photon qui se déplace verticalement vers le haut
(selon l’axe des y).
a) En utilisant les formules d’addition des vitesses, calculez la vitesse du photon
dans le référentiel S’ qui se déplace à la vitesse V selon l'axe des x positif.
b) Calculez l’angle que fait le photon avec la verticale dans ce nouveau
référentiel S’. Donnez votre réponse en termes de β et γ.
3) On désire utiliser un modèle semi-classique pour analyser un atome d’hélium ionisé
He+. Cet atome est constitué d’un électron « orbitant » autour d’un noyau formé de 2
protons et 2 neutrons. À l’aide des données suivantes, calculez l’énergie de liaison de
l’électron dans son état fondamental (en eV, en J, ou en kJ/mol selon votre choix).
- Masse de l’électron : 9,1×10-31 kg
- Masse du noyau: 6,64×10-27 kg
h= 2πh = 6,63 × 10 −34 J⋅ s
- Constante de Planck réduite : 
- Charge de l’électron : 1,6×10-19 C
- Nombre d’Avogadro : N A = 6,02×1023
1
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Solutions :
Question 1 :
rmin 1 − ε
=
. De cette expression, on trouve : ε = 0,995. Ensuite, de l’expression d’une
rmax 1+ ε
ellipse en coordonnées polaires : rmin rmax (1 − ε 2 ) = c 2 = a 2 (1 − ε 2 ) . En réarrangeant :
2
 r r 3 / 2
rmin rmax
1

a=
,Τ = 2π  min max
= 2487ans . Ceci veut dire que la prochaine fois que
2
2 
GM
1
−
ε
(1 − ε )
(
)
S


la comète sera observée, nous serons en 4484. Donc vous ne l’observerez pas.
Question 2 :
2
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Question 3 :
La masse réduite est à 0,1% près la masse de l’électron.
3
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2
µ  Ze 2  µZ 2e 4
−E =
= 2 = 2
 = 2 2 = 8,75aJ = 54,1eV = 5196 kJ/mol .
2c
2h
2h
4
πε
8h ε 0


0


(Wikipédia donne E = 5250,5 kJ/mol dans l’article sur l’hélium. Une différence de 1%)
Une réponse plus rapide mais tout aussi valable : L’énergie de liaison de l’atome
d’hydrogène est de 13,6eV. Or la seule différence ici est que le noyau comporte deux
protons (Z=2). Ainsi, l’énergie de liaison de l’atome d’He+ est 4 fois plus grande que celle
de l’atome d’hydrogène. E = 4⋅ 13,6 = 54eV .
γ
µγ 2
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Problème 1 : Oscillateurs couplés (15 points)
On considère un oscillateur composé de deux essieux, comportant chacun deux roues de
rayon R et de masses M. Les deux essieux sont reliés entre eux par un ressort de constante de
rappel k. La Fig. 2 illustre la situation. Considérez que la longueur du ressort au repos est
négligeable.
Figure 1: Schéma du problème.
En utilisant les coordonnées generalisées données sur la figure,
a) Montrez que le comportement dynamique du système est donné par le système
matriciel suivant: (5 points)
0   x1 
 k − k   x1 
 3M
 0 3M   x  = −  − k k   x 
 2 

 2 

b) Donnez les valeurs et vecteurs propres du système. (4 points)
c) Donnez la solution générale du système. (2 points)
d) Illustrez chacun de ces modes propres. (4 points)
Rappel: le moment d’inertie d’un disque de rayon R et de masse M est donné par:
1
I = MR 2
2
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Solution :
a) Comme il y a deux roues par essieux, l’énergie cinétique est donnée par:
1
1

 1
1
T = 2 Mx12 + Iω12  + 2 Mx 22 + Iω22 
2
2

 2
2
Mais,
x
1
ω=
et I = MR 2
R
2
Donc,
3
T = M (x12 + x 22 )
2
L’énergie potentielle est donnée par:
1
2
U = k ( x2 − x1 )
2
Le lagrangien s’écrit donc:
3
1
2
L = M (x12 + x22 ) − k ( x2 − x1 )
2
2
A l’aide de l’équation d’Euler-Lagrange, on trouve les deux equations différentielles du
mouvement:
3Mx1 = k ( x2 − x1 ) et 3Mx2 = −k ( x2 − x1 )
Qui peuvent s’écrire sous la forme matricielle suivante:
0   x1 
 k − k   x1 
 3M
 0 3M   x  = −  − k k   x 
 2 


 2 
b)
La matrice K – ω2M s’écrit:
k − 3ω 2 M
−k 
K − ω2M = 

k − 3ω 2 M 
 −k
Pour ne pas avoir la solution triviale, le determinant de la matrice doit être nul. Ce qui
nous mêne au polynome suivant:
9 M ω 4 − 6k ω 2 = 0
Les frequences propres sont donc données par:
2k
ω1 = 0 et ω2 =
3M
En insérant les frequences propres dans l’équation matricielle,
 
K − ω2M v = 0
On trouve les deux vecteurs propres:
(
)
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 1
 1
v1 =   et v2 =  
1
 − 1
c)
La solution générale du système est donc,
1
 x1  1
  =  (x 0 + vt )+   Acos(ω 2 t − δ )
−1
 x 2  1
d)
Le premier mode correspond à une translation à vitesse constant du systeme et le second
mode correspond à une oscillation hors phase des deux essieux. La figure suivante
illustre les deux modes.
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Problème 2 : Mécanique hamiltonienne (25 points)
Une voiture quitte un stationnement à étage par une piste hélicoïdale tel qu’illustré à la Fig.
2. En sortant du garage, le chauffeur se met au point mort (neutre) et se laisse rouler
librement à partir du sommet de la piste où elle est initialement au repos. Supposez qu’il n’y
a aucun frottement dans le sens du déplacement, mais que le frottement statique latéral entre
les pneus et la chaussée est suffisante pour prévenir tout dérapage.
v
En coordonnées polaires (ρ, ϕ, z), la forme de la rampe satisfait l’expression 
r= (ρrˆ + zzˆ ) où
z = -cϕ et ρ = R ou c et R sont des constantes positives.
En utilisant ϕ comme coordonnée généralisée on vous demande de:
a) Déterminer l’énergie cinétique de la voiture ainsi que son énergie potentielle par
rapport au haut de la piste (5 points).
b) Déterminer l’hamiltonien du système (10 points).
c) Tracer la trajectoire suivie par la voiture dans le plan de phase (P ϕ , ϕ) pour des
conditions initiales telles que P ϕ (t=0s)=0 et ϕ(t=0s) = 0. (5 points)
d) Déduire l’équation différentielle du mouvement en φ grâce aux équations
d’Hamilton. (3 points)
e) Trouver la solution ϕ(t) du problème pour les conditions initiales données. (2 points)
Figure 2 : Schéma de la voiture glissant
sur la rampe hélicoïdale du
stationnement.
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Solution
a)
L’énergie cinétique de l’anneau est donné par:
2
1
1
T = m (RφÝ) + zÝ2 = m(R 2 + c 2 )φÝ2 car z = −cφ
2
2
L’énergie potentielle de l’anneau est donné par:
U = mgz = −mgcφ
b)
Comme le système est conservatif, on peut écrire directement:
Pφ
∂T
Pφ =  → Pφ = m R 2 + c 2 φ → φ =
m R2 + c2
∂φ
Donc,
Pφ2
H = T +U =
− mgcφ
2m(R 2 + c 2 )
(
)
(
)
(
)
c)
Le système est conservatif → H = E = constant. D’après les conditions initiales, on
trouve que E =0. Ceci nous permet d’écrire:
Pφ = ± 2m 2 (R 2 + c 2 )gcφ
À l’aide de cette formule, on est en mesure de tracer la trajectoire suivie par la voiture
dans l’espace de phase. Comme la quantité de mouvement augmente quand l’angle
augmente, il faut prendre la racine positive. La figure ci-dessous illustre cette trajectoire.
Trajectoire suivie par l’anneau dans l’espace des phases
d)
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Selon Hamilton,
φ =
∂H
∂Pφ
et
∂H
Pφ = −
∂φ
Donc,
φÝ=
Pφ
m(R 2 + c 2 )
et
PÝφ = mgc
e)
En combinant les deux equations trouvés en (d) on obtient :
gc
Ý= gc
φÝ
→ φ (t ) =
t 2 + c1t + c 2
2
2
2
2
R +c
2(R + c )
φ (0) = 0, φÝ(0) = 0,
Comme
φ (t ) =
on trouve:
gc
t2
2
2
2(R + c ) .
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Problème 3 : Mouvement à force centrale (25 points)
Figure 3 : Extraits de « On a marché sur la lune » d’Hergé.
Dans « On a marché sur la Lune » d’Hergé, la fusée pilotée par le professeur Tournesol
et transportant à son bord Tintin et le capitaine Haddock se trouve à passer près d’un
astéroïde nommé Adonis alors qu’ils se rendent sur la Lune. À ce moment, le capitaine
Haddock, complètement ivre, décide de quitter la fusée pour rentrer chez lui, à
Moulinsart. Il est alors happé par le champ gravitationnel de l’astéroïde et se déplace,
selon l’auteur, sur une orbite circulaire autour d’Adonis.
Comme le rapporte le professeur Tournesol, Adonis possède un diamètre de 700 m. En
supposant une densité de 3g/cm3, la masse de l’astéroïde peut être estimée à M A =
5,4×1011 kg. On estime le rayon orbital du capitaine à environ 100 km (probablement
beaucoup plus selon le dessin).
A) Quelle devrait être la vitesse orbitale du capitaine s’il était vraiment sur une orbite
circulaire autour de l’astéroïde? (4 points)
B) Quelle serait la période orbitale du capitaine? (4 points)
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C) Ces données sont-elles réalistes? Tournesol a-t-il raison de croire qu’Haddock
deviendra un satellite de l’astéroïde? Justifiez. (2 points)
Pour secourir le capitaine, la fusée adopte une vitesse orbitale identique à celle du
capitaine Haddock. Une fois la manœuvre de sauvetage réussie, la fusée s’extirpe du
champ gravitationnel de l’astéroïde en accélérant de manière radiale par rapport à
l’astéroïde. Selon le livre, le moteur atomique impose une accélération linéaire de 9,8
m/s2 pour créer une gravité artificielle.
D) Déterminez après combien de temps l’orbite elliptique de la fusée sera rompue pour
faire place à une trajectoire non-liée. (10 points)
E) Y a-t-il d’autres incongruités que vous pouvez relever dans l’énoncé et dans la
séquence présentée à la Fig. 3? Nommez en au moins deux. (2 points bonis)
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Solution :
MA =
ρπD3
6
3000π ⋅ (700)
= 5,4 × 1011 kg
=
6
3
A) Il existe plusieurs façons de calculer cette vitesse. On peut passer par l’équilibre des
forces centrifuges et gravitationnelles ou encore utiliser l’expression du moment
cinétique comme suit :
l2
r(φ ) = z γµ , l’excentricité est nulle pour une orbite circulaire


l
GM A µ 2 R ,
z = µvR = γµr(φ ) =

GM A
= 2cm /s !!
R
v=
R3
2π 2πR
B) La période orbitale se calcule par : Τ = Ý =
= 2π
= 2,2 × 10 8 s ≈ 1an
v
GM A
φ
C) Selon la BD, il faudrait donc que la vitesse relative du capitaine soit d’à peine 2
cm/s. Sachant que la fusée et l’astéroïde se déplacent à plusieurs km/s, à moins de
faire un effort extrêmement grand pour suivre cet astéroïde, il est impossible que
cette situation se produise accidentellement. Finalement, l’astéroïde se trouve entre la
Terre et la lune et que même une faible perturbation de l’orbite du capitaine par ces
corps serait suffisante pour faire sortir le capitaine de son orbite.
D) Il existe aussi plusieurs façons de calculer ce travail d’extraction. On peut utiliser le
principe travail-énergie et intégrer la fonction potentiel pour trouver quand l’énergie
cinétique de la fusée dépasse l’énergie potentielle de liaison. On peut aussi utiliser la
notion d’excentricité. La fusée s’échappe lorsque l’excentricité devient égale à 1.
Ainsi, il revient simplement à calculer la portion radiale de l’énergie cinétique
nécessaire pour faire passer la fusée du fond du puits de potentiel à E=0.
∆E =
γ
(ε
2c
2
−1)
ε =1
−
γ
(ε
2c
2
−1)
ε =0
=
γ
1
= ∆T = µ(gt) 2
2
2c
1 γ 2 GM A v
1 γ
= = 2ms!!!
=
=
t=
vRg g
g µc g l 2z


E) Il y en a plusieurs :
i)
L’astéroïde se trouve entre la Terre et la lune. Et pourtant, la gravité de la
Terre et de la lune sont négligées dans les trajectoires présentées même si ces
forces sont bien plus grandes que celles exercées par l’astéroïde. (sur la lune,
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GMT
≈ 3mm /s2 alors que
384e6 2
celle de l’astéroïde, à une distance de 100km, vaut un millions de fois moins :
GM A
2
gT =
2 ≈ 4nm /s )
1e5
Tintin dit « Le malheureux. Je comprends… Adonis l’entraîne dans son
orbite. Il est perdu. ». Alors comment se fait-t-il qu’Adonis entraine le
capitaine et pas la fusée? Les deux (fusée et capitaine) devraient maintenir
une vitesse relative constante étant tous deux attirés par l’astéroïde.
La BD illustre que le capitaine a accompli environ la moitié d’une orbite
complète autour de l’astéroïde. Il devrait donc logiquement s’être écoulé 6
mois dans le processus.
l’attraction gravitationnelle terrestre vaut : gT =
ii)
iii)
La BD« On a marché sur la lune » d’Hergé est certainement un chef d’œuvre de
science fiction. Mais, comme bien des récits, il est truffé d’erreurs scientifiques. La
prochaine fois que vous lirez ce classique, amusez-vous à les déceler grâce à votre
expertise nouvelle en mécanique orbitale et en propulsion.
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Problème 4 : Relativité (20 points)
À t = 10 ans du point de vue d’un observateur terrestre, une supernova explose en x = 60 a-l
(années-lumière) de la Terre (c.-à-d. que l’explosion a lieu à t = 10 ans). Quinze ans plus
tard, à t = 25 ans, toujours sur la Terre, on observe (c.-à-d. qu’on reçoit la lumière) d’une
deuxième explosion qui a eu lieu en x = - 30 a-l.
A) Tracez un diagramme d’espace-temps de cette situation du point de vue de la Terre.
Indiquez clairement les deux événements associés aux deux explosions, ainsi que
l’événement correspondant à la lumière reçue sur Terre de l’explosion qui a lieu en x = - 30
a-l. Tentez de faire votre diagramme à l’échelle. Indiquez clairement toutes les coordonnées
(position et temps). (5 points)
B) Quelle doit être la vitesse d’un observateur S’ par rapport à la Terre pour que les deux
explosions soient simultanées pour lui ? (10 points)
C) Donnez une 2e méthode de résolution différente pour la question (b). (5 points)
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Solution :
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