Téléchargement

École Polytechnique de Montréal PHS2107 – Mécanique Supérieure
1
EXAMEN FINAL – Automne 2011
par Renaud Lavoie, Stéphane Durand, et Thomas Gervais
Date : Jeudi le 8 décembre 2011,
Heure : 13h30 à 16h00
• L’examen est sur 100 points.
• Deux feuilles 8,5po X 11po manuscrites recto-verso sont permises
• Prenez soin d’expliquer votre démarche et au besoin exprimer vos hypothèses, car la
correction en tiendra compte.
• Répondre dans le cahier de réponses fourni avec l’examen
• Remettre la copie d’examen en même temps que le cahier de réponses
• Calculatrice non programmable (autorisée par l’École) permise
Questions à calculs ou développement courts (5 points chacune = 15 points)
1) La comète Hale-Bopp, observée pendant 18 mois en 1997 possède un périhélie de
1,36×108 km (0,9 u.a.). Son périhélie est estimé à 5,55×1010 km (370 u.a.). Quelles
sont vos chances de la revoir de votre vivant? Justifiez en calculant sa période
orbitale.
2) Dans un référentiel S usuel, soit un photon qui se déplace verticalement vers le haut
(selon l’axe des y).
a) En utilisant les formules d’addition des vitesses, calculez la vitesse du photon
dans le référentiel S’ qui se déplace à la vitesse V selon l'axe des x positif.
b) Calculez l’angle que fait le photon avec la verticale dans ce nouveau
référentiel S’. Donnez votre réponse en termes de β et γ.
3) On désire utiliser un modèle semi-classique pour analyser un atome d’hélium ionisé
He+. Cet atome est constitué d’un électron « orbitant » autour d’un noyau formé de 2
protons et 2 neutrons. À l’aide des données suivantes, calculez l’énergie de liaison de
l’électron dans son état fondamental (en eV, en J, ou en kJ/mol selon votre choix).
- Masse de l’électron : 9,1×10-31 kg
- Masse du noyau: 6,64×10-27 kg
- Constante de Planck réduite :
h=2
π
h=6,63×10−34 J⋅s
- Charge de l’électron : 1,6×10-19 C
- Nombre d’Avogadro : NA = 6,02×1023

École Polytechnique de Montréal PHS2107 – Mécanique Supérieure
2
Solutions :
Question 1 :
r
min
r
max
=1−
ε
1+ ε
. De cette expression, on trouve :
ε =0,995
. Ensuite, de l’expression d’une
ellipse en coordonnées polaires :
r
min
r
max
1−
ε
2
( )
=c
2
=a
2
1− ε
2
( )
2
. En réarrangeant :
a=rminrmax
1−
ε
2
( ),Τ = 2
π
rminrmax
1− ε
2
( )
3/2 1
GMS
=2487ans
. Ceci veut dire que la prochaine fois que
la comète sera observée, nous serons en 4484. Donc vous ne l’observerez pas.
Question 2 :

École Polytechnique de Montréal PHS2107 – Mécanique Supérieure
3
Question 3 :
La masse réduite est à 0,1% près la masse de l’électron.

École Polytechnique de Montréal PHS2107 – Mécanique Supérieure
4
−E=
γ
2c=
µγ
2
2h2=
µ
2h2Ze2
4 πε
0
2
=
µ
Z2e4
8h2 ε
0
2=8,75aJ =54,1eV =5196 kJ/mol
.
(Wikipédia donne E = 5250,5 kJ/mol dans l’article sur l’hélium. Une différence de 1%)
Une réponse plus rapide mais tout aussi valable : L’énergie de liaison de l’atome
d’hydrogène est de 13,6eV. Or la seule différence ici est que le noyau comporte deux
protons (Z=2). Ainsi, l’énergie de liaison de l’atome d’He+ est 4 fois plus grande que celle
de l’atome d’hydrogène.
E=4⋅13,6 =54eV
.

École Polytechnique de Montréal PHS2107 – Mécanique Supérieure
5
Problème 1 : Oscillateurs couplés (15 points)
On considère un oscillateur composé de deux essieux, comportant chacun deux roues de
rayon R et de masses M. Les deux essieux sont reliés entre eux par un ressort de constante de
rappel k. La Fig. 2 illustre la situation. Considérez que la longueur du ressort au repos est
négligeable.
Figure 1: Schéma du problème.
En utilisant les coordonnées generalisées données sur la figure,
a) Montrez que le comportement dynamique du système est donné par le système
matriciel suivant: (5 points)
−
−
−=
2
1
2
1
30
03
x
x
k
k
kk
x
x
M
M
b) Donnez les valeurs et vecteurs propres du système. (4 points)
c) Donnez la solution générale du système. (2 points)
d) Illustrez chacun de ces modes propres. (4 points)
Rappel: le moment d’inertie d’un disque de rayon R et de masse M est donné par:
2
2
1MRI =