Rapport du projet

Université de Nice-Sophia Antipolis
Faculté de Sciences Rapport de l’U.E. projet tutoré en laboratoire
Tuteur: Baldi Pascal
Lanceur de Laplace
Bourdelle Anthony
Nice, le 22 Avril 2012

Introduction
La force de Laplace a fait germer dans l’esprit des hommes des concepts novateurs utilisant cette dite force :
les canons électriques ou railguns, rendus connus par les oeuvres de science-fiction. Il a été envisagé de s’en ser-
vir autant comme lanceur multirôle (pour mettre en orbite des satellites aussi bien que pour catapulter des
avions) que comme arme. Il consiste en deux rails conducteurs entre lesquels on établit une différence de po-
tentiel, l’introduction entre ces rails d’une partie mobile conductrice (ou d’un projectile conducteur) permet
l’établissement d’un courant électrique. Le courant passant dans les rails va créer un champ magnétique, ce
champ va agir sur l’élément de courant parcourant la partie mobile via la force de Laplace et donc accélérer
cette dernière. La force développée est directement proportionnelle au carré de l’intensité du courant, comme
nous le verrons plus loin, il est donc nécessaire, suivant la masse de ce que l’on veut lancer, de fournir des
courants de très grandes intensités afin d’obtenir un lanceur efficace.
Aujourd’hui à l’état de projet pour de nombreux services (par exemple la DARPA) on est encore loin d’un
développement industriel et du remplacement des technologies actuelles. En effet bien que ce type d’outils
ait de grandes qualités, notamment la très grande accélération fournie à l’objet lancé, elle possède des défauts
inhérents à sa structure même. Le principal défaut est la chaleur dissipée par effet joule qui peut entraîner une
fusion du lanceur et présente un danger pour ses opérateurs. A titre d’exemple, l’US Navy envisage d’équi-
per la prochaine génération de porte-avions de classe Ford d’un Electromagnetic Aircraft Launch System, une
catapulte permettant de lancer un avion de quarante-cinq tonnes à plus de deux cent quarante kilomètres par
heure et rechargeable en quarante-cinq secondes.
Dans le cadre de l’unité d’enseignement Projet tutoré en laboratoire nous avons proposé la réalisation d’une
maquette d’un tel lanceur, mettant à profit nos connaissances en électromagnétisme et en programmation.
Notre maquette, par sa taille et donc l’intensité du courant utilisé, minimisera les pertes par effet Joule et aura
une puissance moindre mais présentera toutefois un modèle simplifié d’un véritable railgun alimenté par un
bloc de condensateurs. En hommage au physicien nous allons parler dans la suite de ce rapport d’un Lanceur
de Laplace. Ce lanceur, bien moins complexe que le projet envisagé par l’US Navy nous permettra de lancer
des billes en acier. Le but principal est d’utiliser nos connaissances physiques pour la réalisation d’un projet
concret et de mettre en évidence l’utilité des simulations dans le cadre d’une telle mise en oeuvre.
Dans un premier temps nous aborderons la partie théorique de notre projet, cette dernière nous conduira
à la seconde partie concernant les simulations. La troisième partie sera consacrée aux expériences et nous fini-
rons par conclure sur le projet, tant sur un plan scientifique que sur notre ressenti.
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Chapitre 1 - Théorie physique
1.1 Le lanceur
Notre système est composé de deux plaques métalliques de longueur L, de largeur Det de hauteur hainsi
que d’une bille métallique de rayon Ret de masse mplacée entre les plaques et faisant contact entre elles. Un
rail de matière isolante (plexiglas) permet de maintenir le centre de la bille au niveau du centre des plaques,
les pentes de ce rail sont à 45˚ de l’horizontale et donc d’équerre l’une de l’autre. Dans la suite de ce rapport
nous plaçons l’origine de notre référentiel de travail à hauteur de ces centres, en début de plaque et au milieu
des deux plaques. L’axe Ox sera l’axe vertical, l’axe Oy l’axe dans le sens de la largeur et l’axe Oz l’axe dans la
direction de la longueur. De cette manière notre système sera symétrique suivant les plans xOz et xOy. (c.f. la
représentation ci-dessous).
Figure 1.1 : Représentation 3D du système
Un bloc de condensateur fait office de générateur de courant et ses deux bornes sont reliées aux deux
plaques. Le sens de parcours du courant dans les plaques ne changera pas la direction de la force de Laplace,
cependant pour effectuer nos calculs nous considérons un courant positif (suivant ~ez) dans la plaque de droite
et négatif (suivant - ~ez) dans la plaque de gauche, de cette manière le sens de parcours du courant dans la bille
est suivant −~ey.
1.2 Champ magnétique créé par le lanceur
1.2.1 Modèle équivalent et hypothèses
En considérant le système décrit plus haut nous nous sommes aperçus que le champ magnétique était
très difficilement calculable et nous n’y sommes pas parvenu malgré l’emploi d’outils performants comme le
logiciel de calcul Mathematica. Cependant nous avons pu nous affranchir de cette difficulté en considérant
un modèle simplifié et équivalent au système des deux plaques. Nous faisons donc quelques hypothèses pour
faciliter les calculs et obtenir un champ magnétique équivalent à celui généré par les deux plaques :
1. Une plaque peut être assimilée à un ensemble de câbles épais de diamètre égal à la hauteur des plaques.
De cette manière la largeur de la plaque doit être un multiple entier de sa hauteur et on parlera de câbles
liés aux plaques.
2. Au centre des plaques le champ magnétique créé par les deux plaques est de même nature que celui créé
par un système de câbles.
3. Le courant électrique se répartit de manière uniforme dans chaque plaque, de cette manière chaque câble
lié d’une même plaque possède la même densité volumique de courant. Un câble lié est donc parcouru
par une intensité Ic(t)égale à l’intensité totale I(t)parcourant sa plaque divisé par le nombre de câbles.
4. On suppose que le contact entre la bille et les plaques se fait de manière ponctuelle.
5. On suppose, étant donné la taille des billes que nous considérons (moins de 5mm de diamètre), que le
courant dans la bille est un courant linéaire qui passe par le plan équatorial de la bille d’une extrémité à
l’autre de celle-ci.
Nous obtenons donc un système équivalent résumé par la représentation ci-dessous (dans cet exemple les
plaques sont de largeur 4h).
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Figure 1.2 : Représentation 3D du modèle du système
1.2.2 Calcul du champ magnétique
On appellera dans la suite la plaque de gauche la plaque 1 et la plaque de droite la plaque 2. Chaque câble
d’une plaque sera couplé avec un câble de l’autre plaque (le symétrique par rapport au plan xOz ). Les couples
seront repérés dans les calculs par la lettre nqui désignera l’ordre des câbles à partir de l’origine. Les câbles
seront nommés câble 1n(pour la plaque 1) et 2n(pour la plaque 2). Ainsi le premier couple sera repéré par le
numéro 1, le second par le numéro 2 et ainsi de suite.
Les positions b1et b2du centre des câbles 1net 2nsuivant l’axe Oy sont déterminées par :
b1=−R−(2n−1)h
2
b2=R+ (2n−1)h
2
On considère trois points : deux points sources de champ magnétique P1net P2nsitués dans les câbles 1net
2nainsi qu’un point Msitué en dehors des plaques où on mesure le champ magnétique. Au vu des hypothèses
établies dans la sous-section 1.2.1 nous ne nous intéressons qu’au champ magnétique situé au niveau du centre
de la bille. Les positions de ces points sont alors définies comme :
P1n:= (0, b1, c)
P2n:= (0, b2, c)
M:= (0, y, L(t))
Si notre bloc de condensateurs fournit un courant I(t)le courant traversant un câble est Ic(t) = I(t)/n. On
a alors, via la loi de Biot et Savart, le champ magnétique infinitésimal généré par une portion dc des câbles 1n
et 2n:
−→
dB =µ0.Ic(t)
4π −~
dl ∧
−−−→
P1nM
P1nM3+~
dl ∧
−−−→
P2nM
P2nM3!
A noter que nous utilisons la perméabilité magnétique du vide puisque la perméabilité relative de l’alu-
minium vaut 1.000022, à l’échelle où nous travaillons et au vu des approximations et hypothèses que nous
avons faites nous pouvons considérer que la perméabilité du vide et celle de l’aluminium sont égales. D’où en
considérant que ~ dl =~ez et en développant :
−→
dB =µ0.Ic(t)
4π(y−b1)
[(y−b1)2+ (L(t)−c)2]3/2−(y−b2) [(y−b2)2+ (L(t)−c)2]3/2dc. ~ex
Il convient maintenant d’intégrer ce champ infinitésimal suivant dc de 0 à L(t)afin d’obtenir le champ magné-
tique total créé par le couple de câble n. On obtient alors :
−→
B=µ0.Ic(t).L(t)
4π
1
(y−b1)q(y−b1)2+L(t)2
−1
(y−b2)q(y−b2)2+L(t)2
~ex (1.2.1)
4

1.3 Force de Laplace générée par le lanceur
Le système est parcouru par un courant d’intensité I(t)nous verrons plus loin son expression. La force
de Laplace exercée par le couple nsur le courant I(t)traversant la bille selon −~ey est donnée par −→ dF =
−I(t).dy. ~ey ∧
−→
B. D’où :
−→
dF =µ0.I(t).Ic(t).L(t).dy
4π
1
(y−b1)q(y−b1)2+L(t)2
−1
(y−b2)q(y−b2)2+L(t)2
~ez
En intégrant cette force infinitésimale exercée sur une portion infinitésimale de courant traversant la bille
suivant yde −RàRon obtient l’expression de la force totale exercée par le couple nsur la bille. En sommant
sur nde 1 à N, où Nest le nombre de câbles liés à une plaque, et en remplaçant b1et b2par leurs valeurs on
obtient la force totale obtenue par l’ensemble des deux plaques sur la bille :
−−→
Ftot =
N
X
n=1
µ0.I(t)2
2π.n 
ln 
q(2R+ (2n−1)h
2)2+L(t)2−L(t)
2R+ (2n−1)h
2
−ln 
q((2n−1)h
2)2+L(t)2−L(t)
(2n−1)h
2
~ez
(1.3.1)
1.4 Forces de frottements exercées sur le projectile
1.4.1 Frottements solides
De part le contact entre la bille avec les plaques et le rail en plexiglas, des forces de frottements cinétiques
apparaissent. Ces forces dépendent du coefficient de frottement cinétique µcqui varie suivant le type des
matériaux en contact et du poids apparent Nadu corps sur la surface considérée :
fc=µc.Na(1.4.1)
1.4.2 Frottements fluides
La bille se déplaçant dans l’air, il apparait une force de trainée qui s’exerce sur la bille. Cette force va
dépendre (son expression est purement empirique) de la masse volumique ρde l’air, du coefficient de trainée
Cx, du maître couple Aet de la vitesse Vde la bille par rapport à l’air (on considère l’air immobile dans notre
expérience puisque nous serons dans une salle fermée) :
ff=1
2.ρ.Cx.A.V 2(1.4.2)
1.5 Evolution de l’intensité au cours du temps dans le système
Soit un condensateur de capacité Cbranché au système composé des deux plaques de résistance Rpet du
projectile de résistance Rb. Le condensateur applique une différence de potentiel U(t). On fait l’approximation
que le courant se répartit uniformément dans les plaques et dans la bille.
La variation de la quantité de charges dans le système au cours du temps est donnée par l’intensité : I(t) =
dq(t)
dt . La charge totale dans le condensateur est donnée par : q(t) = C.U(t). Cette dernière étant conservée, il
est évident que la charge qui sort des condensateurs est égale à l’opposé de celle traversant le système, d’où :
I(t) = −CdU(t)
dt . De plus, la loi d’Ohm donne de manière générale pour une résistance Re:U(t) = Re.I(t).
D’où l’équation différentielle du premier ordre :
I(t)
Re.C +dI(t) dt = 0
Dont la solution est :
I(t) = I(0)e(−t/R.C)⇔I(t) = U(0)
Re
e(−t/Re.C)(1.5.1)
Dans notre cas la résistance Redoit être remplacée par la somme des résistances du système. Donc on a
Re=Rb+Rb+Raoù Raest la résistance de contact entre la bille et les plaques. C’est la résistance de la
couche d’air située entre ces deux éléments. Dans nos expériences la tension aux bornes des armatures sera la
tension au temps t= 0, on pose donc U(0) = U0. Dans cette section et les suivantes on ne fera pas de distinc-
tions entre un et plusieurs condensateurs du même type, si on a Nccondensateurs la capacité est simplement
Nc.C.
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