LE TRANSIT DE VÉNUS DU 8 JUIN 2004

09/2005 National CORRECTION Calculatrice interdite
EXERCICE III : LE TRANSIT DE VÉNUS DU 8 JUIN 2004 (5,5 points)
1. Étude des caractéristiques du mouvement de Vénus
1.1. Le référentiel d'étude est le centre d'inertie du Soleil, on le nomme référentiel héliocentrique.
1.2. Appelons
S V
F
®
ur
la force exercée par le Soleil sur Vénus.
Définissons le vecteur unitaire
SV
u
r
=
SV
SV
uuur
uuur
oùS est le centre du Soleil et V le centre de Vénus.
Effectuons le schéma, ensuite nous l'utiliserons pour donner l'expression vectorielle de
S V
F
®
ur
.
S V
F
®
ur
=–G .
1 2
2
2
M M
R
´
SV
u
r
.
1.3. D'après la deuxième loi de Newton, appliquée au système Vénus, dans le référentiel héliocentrique
considérégaliléen:
S V
F
®
ur
= M
2
.
a
r
Soit
a
r
=
2
S V
F
M
®
ur
donc
a
r
=–G .
1
2
2
M
R
SV
u
r
1.4. Étude théorique de la vitesse orbitale de Vénus
1.4.1. Dans la base de Frenet:
a
r
=2
dv
.
dt
t
r
+
2
2
2
v
R
.
n
r
avec
n
r
vecteur unitaire tel que
n
r
=–
SV
u
r
et
t
r
vecteur unitaire, orientédans le sens du mouvement de Vénus et perpendiculaire à
n
r
.
Le mouvement étant uniforme alors v
2
= cte donc
2
dv
dt
= 0.
L'expression de l'accélération de Vénus devient
a
r
=
2
2
2
v
R
.
n
r
.
Caractéristiques du vecteur
a
r
:direction : droite (SV), sens de Vénus vers le Soleil, valeur =
2
2
2
v
R
1.4.2.
a
r
=–G .
1
2
2
M
R
SV
u
r
=
2
2
2
v
R
.
n
r
or
n
r
=–
SV
u
r
donc G.
1
2
M
R
= v
22
On retrouve l'expression proposée v
2
=
1
2
.
G M
R
.
1.4.3. ATTENTION, il faut convertir la distance R
2
en mètres!!!
v
2
=
11 30
8 3
6,6 10 2,0 10
1,0 10 10
-
´ ´ ´
´ ´
=
19
11
13,2 10
1,0 10
´
´
=
13
´
19
11
10
10
= 3,6´
8
10
=3,6´10
4
m.s
–1
SV
S V
F
®
ur
SV
u
r
Il faut impérativement utiliser les lettres de l'énoncé, le signe
–est
nécessaire car le vecteur force est opposéau vecteur unitaire choisi

1.5. Étude de la période de Vénus
1.5.1. T
2
est la durée nécessaire àla planète Vénus pour effectuer un tour complet autour du Soleil.
1.5.2. Un tour complet représente une distance d = 2pR
2
qui est parcourue en une duréeégale àT
2
.
Donc v
2
=
2
2
2
R
T
p
, soit T
2
=
2
2
2
v
R
p
T
2
=
8 3
4
2 1,0 10 10
3,6 10
p ´ ´ ´
´
làencore attention R
2
àexprimer en mètres
T
2
=
2
3,6
p
´10
7
=1,7´10
7
s
1.6. La 3
ème
loi de Kepler
1.6.1. D'après 1.5.2. T
2
=
2
2
2
v
R
p
, donc T
22
=
2
2
2
2
4²
v
R
p
expression dans laquelle on introduit l'expression de
v
2
du 1.4.2. v
2
=
1
2
.
G M
R
.
Soit T
22
=
2
2
1
2
4²
G.M
R
R
p
T
22
= 4p²R
22
.
2
1
.
R
G M
T
22
=
3
2
1
4²
G.M
R
p
Finalement on obtient la 3
ème
loi de Kepler:
2
23
2 1
4²
.
T
R G M
p
= .
1.6.2. M
1
=
3
2
2
2
4²
R
T G
p
2. Exploitation du transit de Vénus
2.1. OE est égale au diamètre du Soleil donc OE = D
1
= 1,4´10
6
km
AB =
3
4
.D
1
AB =
3 1,4
4
´
´10
6
=
6
4,2
10
4
´= 1,05´10
6
km
donc AB = 1,1´10
9
m.
2.2.1. v
1
=
AB
A'B'
t
, il faut donc déterminer la distance A'B'.
D'après le théorème de Thalès, appliquédans le triangle Q
1
BA, on a
1
1
Q B'
A'B'
=
Q B AB
.
D'autre part, on a Q
1
B = R
1
et Q
1
B' = Q
1
B–BB' = R
1
–R
2
donc
1 2
1
R R
A'B'
=
R AB
-
soit A'B' = AB.
1 2
1
R R
R
æ ö
-
ç ÷
è ø
v
1
=
AB
AB
t
.
1 2
1
R R
R
æ ö
-
ç ÷
è ø
v
1
=
6
4
1,05 10
2,0 10
´
´
´
8 8
8
1,5 10 1,0 10
1,5 10
æ ö
´ - ´
ç ÷
´
è ø
=
2
1,05 10
2,0
´
´
0,5
1,5
=
105 0,5
3
´
=
52,5
3
= 17,5 km.s
–1
On retrouve la valeur proposéev
1
»
18 km.s
-1
.
Q

2.2.2. v
T
vitesse de la Terre, v
T
= 30 km.s
–1
v
T
=
1 2
AB
Q Q
tdonc Q
1
Q
2
= v
T
.t
AB
Q
1
Q
2
= 30 ´2,0´10
4
=6,0´10
5
km cette distance parcourue par la Terre n'est pas négligeable face àla
distance AB. (AB = 1,05´10
6
km).
La Terre ne peut pas être considérée comme étant immobile pendant le transit de Vénus.
2.2.3. On voit bien que A'B" > A'B'. Ce qui explique l'erreur précédente sur la vitesse de Vénus.
B''
B
A