09/2005 National CORRECTION Calculatrice interdite EXERCICE III : LE TRANSIT DE VÉNUS DU 8 JUIN 2004 (5,5 points) 1. Étude des caractéristiques du mouvement de Vénus 1.1. Le référentiel d'étude est le centre d'inertie du Soleil, on le nomme référentiel héliocentrique. 1.2. Appelons F S V la force exercée par le Soleil sur Vénus. SV Définissons le vecteur unitaire u SV = où S est le centre du Soleil et V le centre de Vénus. SV Effectuons le schéma, ensuite nous l'utiliserons pour donner l'expression vectorielle de F S V . u SV F S V S V Il faut impérativement utiliser les lettres de l'énoncé, le signe – est M1 M 2 . u SV nécessaire car le vecteur force est opposé au vecteur unitaire choisi 2 R2 1.3. D'après la deuxième loi de Newton, appliquée au système Vénus, dans le référentiel héliocentrique considéré galiléen: F S V = M2 . a M F S V Soit a = donc a = – G . 21 u SV R2 M2 1.4. Étude théorique de la vitesse orbitale de Vénus v2 dv 2 1.4.1. Dans la base de Frenet: a = avec n vecteur unitaire tel que n = – u SV . + 2 . n R2 dt F S V = – G . et vecteur unitaire, orienté dans le sens du mouvement de Vénus et perpendiculaire à n . dv 2 Le mouvement étant uniforme alors v2 = cte donc = 0. dt v2 L'expression de l'accélération de Vénus devient a = 2 . n . R2 Caractéristiques du vecteur a : direction : droite (SV), sens de Vénus vers le Soleil, valeur = 1.4.2. donc a =–G. G. v 22 M1 u .n SV = R2 R22 or n = – u SV M1 = v22 R2 On retrouve l'expression proposée v2 = G.M 1 . R2 1.4.3. ATTENTION, il faut convertir la distance R2 en mètres!!! 1019 6,6 1011 2,0 1030 13, 2 1019 13 v2 = = = = 3,6 108 = 3,6104 m.s–1 1011 1,0 108 103 1,0 1011 v 22 R2 1.5. Étude de la période de Vénus 1.5.1. T2 est la durée nécessaire à la planète Vénus pour effectuer un tour complet autour du Soleil. 1.5.2. Un tour complet représente une distance d = 2R2 qui est parcourue en une durée égale à T2. 2 R2 2 R2 Donc v2 = , soit T2 = T2 v2 2 1, 0 108 103 là encore attention R2 à exprimer en mètres 3, 6 104 2 T2 = 107 = 1,7107 s 3, 6 1.6. La 3ème loi de Kepler 4 ² R22 2 R2 1.6.1. D'après 1.5.2. T2 = , donc T22 = expression dans laquelle on introduit l'expression de v 22 v2 T2 = v2 du 1.4.2. v2 = Soit T22 = 4 ² R22 G.M1 R2 T22 = 4²R22. T22 = G.M 1 . R2 R2 G.M 1 4 ² R23 G.M1 Finalement on obtient la 3ème loi de Kepler: T22 4 ² . 3 R2 G.M 1 4 ²R23 T22G 2. Exploitation du transit de Vénus 2.1. OE est égale au diamètre du Soleil donc OE = D1 = 1,4106 km 3 AB = .D1 4 3 1, 4 4, 2 AB = 106 = 106 = 1,05106 km 4 4 donc AB = 1,1109 m. A'B' 2.2.1. v1 = , il faut donc déterminer la distance A'B'. t AB 1.6.2. M1 = D'après le théorème de Thalès, appliqué dans le triangle Q1BA, on a Q 1 Q1B' A'B' = . Q1B AB D'autre part, on a Q1B = R1 et Q1B' = Q1B – BB' = R1 – R2 R R2 R R 2 A'B' = donc 1 soit A'B' = AB. 1 R1 AB R1 v1 = v1 = AB R1 R 2 . t AB R1 1,05 106 1,5 108 1,0 108 1,05 10 2 0,5 105 0,5 52,5 = = = 17,5 km.s–1 = 1,5 1,5 108 3 2,0 104 2,0 3 On retrouve la valeur proposée v1 18 km.s-1. 2.2.2. vT vitesse de la Terre, vT = 30 km.s–1 QQ vT = 1 2 donc Q1Q2 = vT.tAB t AB Q1Q2 = 30 2,0104 = 6,0105 km cette distance parcourue par la Terre n'est pas négligeable face à la distance AB. (AB = 1,05106 km). La Terre ne peut pas être considérée comme étant immobile pendant le transit de Vénus. 2.2.3. On voit bien que A'B" > A'B'. Ce qui explique l'erreur précédente sur la vitesse de Vénus. B'' B A