09/2005 National

09/2005 National CORRECTION Calculatrice interdite
EXERCICE III : LE TRANSIT DE VÉNUS DU 8 JUIN 2004 (5,5 points)
1. Étude des caractéristiques du mouvement de Vénus
1.1. Le référentiel d'étude est le centre d'inertie du Soleil, on le nomme référentiel héliocentrique.
1.2. Appelons
SV
F
la force exercée par le Soleil sur Vénus.
Définissons le vecteur unitaire
SV
u
=
SV
SV
où S est le centre du Soleil et V le centre de Vénus.
Effectuons le schéma, ensuite nous l'utiliserons pour donner l'expression vectorielle de
SV
F
.
SV
F
= – G .
12
2
2
MM
R
SV
u
.
1.3. D'après la deuxième loi de Newton, appliquée au système Vénus, dans le référentiel héliocentrique
considéré galiléen:
SV
F
= M2 .
a
Soit
a
=
2
SV
F
M
donc
a
= – G .
1
2
2
M
R
SV
u
1.4. Étude théorique de la vitesse orbitale de Vénus
1.4.1. Dans la base de Frenet:
a
=
2
dv .
dt
+
2
2
2
v
R
.
n
avec
n
vecteur unitaire tel que
n
= –
SV
u
et vecteur unitaire, orienté dans le sens du mouvement de Vénus et perpendiculaire à
n
.
Le mouvement étant uniforme alors v2 = cte donc
2
dv
dt
= 0.
L'expression de l'accélération de Vénus devient
a
=
2
2
2
v
R
.
n
.
Caractéristiques du vecteur
a
: direction : droite (SV), sens de Vénus vers le Soleil, valeur =
2
2
2
v
R
1.4.2.
a
= – G .
1
2
2
M
R
SV
u
=
2
2
2
v
R
.
n
or
n
= –
SV
u
donc G.
1
2
M
R
= v22
On retrouve l'expression proposée v2 =
1
2
.GM
R
.
1.4.3. ATTENTION, il faut convertir la distance R2 en mètres!!!
v2 =
11 30
83
6,6 10 2,0 10
1,0 10 10
=
19
11
13,2 10
1,0 10
=
13
19
11
10
10
= 3,6
8
10
= 3,6104 m.s–1
S
V
SV
F
SV
u
Il faut impérativement utiliser les lettres de l'énoncé, le signe – est
nécessaire car le vecteur force est opposé au vecteur unitaire choisi

1.5. Étude de la période de Vénus
1.5.1. T2 est la durée nécessaire à la planète Vénus pour effectuer un tour complet autour du Soleil.
1.5.2. Un tour complet représente une distance d = 2R2 qui est parcourue en une durée égale à T2.
Donc v2 =
2
2
2R
T
, soit T2 =
2
2
2
v
R
T2 =
83
4
2 1,0 10 10
3,6 10
là encore attention R2 à exprimer en mètres
T2 =
2
3,6
107 = 1,7107 s
1.6. La 3ème loi de Kepler
1.6.1. D'après 1.5.2. T2 =
2
2
2
v
R
, donc T22 =
2
2
2
2
4²
v
R
expression dans laquelle on introduit l'expression de
v2 du 1.4.2. v2 =
1
2
.GM
R
.
Soit T22 =
2
2
1
2
4²
G.M
R
R
T22 = 4²R22.
2
1
.
R
GM
T22 =
3
2
1
4²
G.M
R
Finalement on obtient la 3ème loi de Kepler:
2
23
21
4²
.
T
R G M
.
1.6.2. M1 =
3
2
2
2
4²R
TG
2. Exploitation du transit de Vénus
2.1. OE est égale au diamètre du Soleil donc OE = D1 = 1,4106 km
AB =
3
4
.D1
AB =
3 1,4
4
106 =
6
4,2 10
4
= 1,05106 km
donc AB = 1,1109 m.
2.2.1. v1 =
AB
A'B'
t
, il faut donc déterminer la distance A'B'.
D'après le théorème de Thalès, appliqué dans le triangle Q1BA, on a
1
1
Q B' A'B'
=
Q B AB
.
D'autre part, on a Q1B = R1 et Q1B' = Q1B – BB' = R1 – R2
donc
12
1
RR A'B'
=
R AB
soit A'B' = AB.
12
1
RR
R
v1 =
AB
AB
t
.
12
1
RR
R
v1 =
6
4
1,05 10
2,0 10
88
8
1,5 10 1,0 10
1,5 10
=
2
1,05 10
2,0
0,5
1,5
=
105 0,5
3
=
52,5
3
= 17,5 km.s–1
On retrouve la valeur proposée v1 18 km.s-1.
Q
1

2.2.2. vT vitesse de la Terre, vT = 30 km.s–1
vT =
12
AB
QQ
t
donc Q1Q2 = vT.tAB
Q1Q2 = 30  2,0104 = 6,0105 km cette distance parcourue par la Terre n'est pas négligeable face à la
distance AB. (AB = 1,05106 km).
La Terre ne peut pas être considérée comme étant immobile pendant le transit de Vénus.
2.2.3. On voit bien que A'B" > A'B'. Ce qui explique l'erreur précédente sur la vitesse de Vénus.
B''
B
A