PHQ057 Techniques expérimentales

PHQ057 Techniques expérimentales
7 janvier 2011
Autiwa
Table des matières
2
Table des matières
1 Variable aléatoire
3
2 Loi de probabilité
3
3 Erreur de mesure et sa propagation
4
4 Limite de détection
4
5 Résolution en énergie
5
6 Temps mort sur une chaîne de mesure
6
2.1
2.2
2.3
3.1
3.2
4.1
4.2
6.1
6.2
6.3
Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi de poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erreur statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propagation de l'erreur statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Échantillon réellement inactif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Échantillon réellement actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Système non extensible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Système extensible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthode des deux sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Chambre à ionisation
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
Processus d'ionisation . . . . . . . . . . . .
Régimes de fonctionnement . . . . . . . . .
Signal de sortie . . . . . . . . . . . . . . . .
Variation maximale de la tension à l'anode
Forme temporelle de Va . . . . . . . . . . .
8 Détecteur à scintillation
8.1
8.2
8.3
Les cristaux scintillants . . . . . . . . . . .
8.1.1 Loi de Birks . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Détermination du type de particule .
Photomultiplicateur . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Photocathode . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Amplicateur d'électron . . . . . . .
8.2.3 Signal en sortie de l'anode . . . . . .
Une application : mesure de position . . . .
9 Détecteurs à semi-conduction
9.1
9.2
9.3
Milieux semi-conducteurs
9.1.1 Dopage de type n .
Dopage de type p . . . . .
Jonction P-N . . . . . . .
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3
3
3
4
4
4
5
6
6
8
9
10
11
12
12
13
14
15
15
15
15
15
15
16
17
18
18
19
19
20
3
2
1
Loi de probabilité
Variable aléatoire
Soit x une variable aléatoire.
On dénit l'espérance de x (valeur moyenne x) par
X
E(x) =
p(xi )xi
ˆ
(1.1a)
i
xP (x) dx
(1.1b)
p(xi )(xi − x)2
(1.2a)
(x − x)2 P (x) dx
(1.2b)
E(x) =
On dénit la variance de x par
V (x) =
X
ˆ
V (x) =
i
On dénit l'écart-type σ comme la racine carrée de la variance σ(x) =
de x autour de x (σ = E [(x − x)2 ]).
p
V (x). σ représente la dispersion
Soient deux variables aléatoires x et y . On dénit de plus la covariance cov(x, y) comme
¨
cov(x, y) =
(x − x)(y − y)P (x, y) dx dy
(1.3)
La covariance donne une idée de la linéarité qui pourrait exister entre x et y . En eet, celui-ci vaudra
1 s'il existe une relation y = ax + b et 0 si x et y ne sont pas correlés.
2
Loi de probabilité
2.1
Loi binomiale
Dans le cas d'un processus aléatoire à deux états, la
de probabilité p parmis N essais :
P(x/N ) =
loi binomiale
donne la probabilité d'avoir x états
N!
px (1 − p)N −x
x!(N − x)!
(2.1)
(2.2a)
σx 2 = N p(1 − p)
(2.2b)
x = Np
2.2
Loi de poisson
Si, de plus, N 1 et p 1, alors on peut assimiler la
P(x) = xx
loi binomiale
e−x
x!
à une
loi de poisson
dénit par :
(2.3)
σx 2 = N p
(2.4a)
x = Np
(2.4b)
(comme p 1, on a (1 − p) ∼ 1)
2.3
la
Loi de Gauss
Si la valeur moyenne de la variable x régie par une
tend vers une gaussienne :
loi de poisson
est de l'ordre de 10 (x & 10) alors
loi de poisson
P(x) =
(x−x)2
1
√ e− 2σ2
σ 2π
(2.5)
4
Remarque :
3
À noter que la largeur à mi-hauteur ∆x (FWHM) d'une gaussienne d'écart-type σx vaut :
√
(2.6)
∆x = 2 2 ln 2σx ' 2, 35σx
Erreur de mesure et sa propagation
3.1
Erreur statistique
Si on fait une mesure d'une grandeur aléatoire x et qu'on prend un temps de mesure susamment
grand pour que x x va alors suivre une loi de Gauss.
√ 10. √
Si x 1 alors x ' x.
D'après la loi de Gauss, on peut déterminer, suivant la barre d'erreur que l'on donne à notre mesure,
le pourcentage de chance que la valeur vraie soit contenue dans l'intervalle :
x ∈ [x − σ; x + σ] ≡ 68, 3%
(3.1a)
x ∈ [x − 2σ; x + 2σ] ≡ 95, 5%
(3.1b)
x ∈ [x − 3σ; x + 3σ] ≡ 99, 7%
(3.1c)
Dans la pratique, on a en fait l'inverse. C'est à dire qu'on mesure x et on encadre la valeur de x. Le
principe des barres d'erreurs reste cependant le même.
3.2
Propagation de l'erreur statistique
On mesure deux variables aléatoires x ± σx et y ± σy . On construit une 3e grandeur u = f (x, y). u est
une variable aléatoire avec une barre d'erreur statistique σu .
2
σu = σx
2
∂f
∂x
2
+ σy
2
∂f
∂y
2
+ 2 cov(x, y)
∂2f
∂x∂y
Si x et y ne sont pas correlés, alors cov(x, y) = 0. On a ainsi :
s
2
2
∂f
∂f
2
2
σu = σx
+ σy
∂x
∂y
(3.2)
(3.3)
Remarque :
Cette barre d'erreur ne s'applique
que si les erreurs sont purement statistique.
Quand on fait ∆u = ∆x ∂∂xf + ∆y ∂∂yf , on majore en fait les barres d'erreurs.
4
Limite de détection
On veut mesurer l'activité d'un échantillon très peu radioactif. Soit NE le comptage obtenu avec
l'échantillon et soit NB le comptage pour le bruit de fond seulement. le nombre d'évènements intrinsèques
à l'échantillon est alors
Ns = NE − NB
(4.1)
On va alors chercher à dénir une valeur seuil L telle que si Ns < L on considère l'échantillon inactif,
et actif sinon.
4.1
Échantillon réellement inactif
On se place dans le cas où l'échantillon est inactif. On fait cette première étape pour déterminer la
valeur de L. On souhaite que dans 95% des cas, on arrive à la bonne conclusion.
La valeur vraie de Ns est Ns = Ns = 0.
5
5
Résolution en énergie
L'expérience nous donne
p
NB
p
NE ± NE
NB ±
L'incertitude sur la valeur de Ns vaut alors, d'après (3.3)
p
√ p
σs = NB + NE ' 2 NB
(4.2)
On a NE ∼ NB .
On veut donc avoir P(Ns < L) = 0, 95. Pour se ramener à la loi normale centrée réduite, on fait le
. En eet, à partir de la loi normale centrée réduite :
changement de variable aléatoire suivant x → x−x
σ
2
1
t
P(t) = √ exp −
(4.3)
2
2π
avec t = x−x
, on retrouve bien notre loi de Gauss avec pour espérance x et pour écart-type σ .
σ
On trouve alors
0
7
x −
x
6 1, 645
σs
√ p
L = 1, 645 2 NB
L = 2, 326σNB
4.2
(4.4)
Échantillon réellement actif
Notre valeur L est maintenant xée. On cherche alors la valeur minimale de x pour qu'on ait 95%
de chance d'avoir raison en disant que l'échantillon est actif. Il faut donc que 95% de la surface de la
gaussienne soit supérieur à la valeur L.
On veut
P(Ns > L) = 0, 95
(4.5)
Ns − Ns
L − Ns
>
) = 0, 95
σs
σs
(4.6)
On se ramène à une loi centrée réduite
P(
(4.7)
Comme précédemment, ceci nous donne
L − Ns
= 1, 645
σs
Ns = 1, 645σs + L
Ns = 4, 653σNB
(4.8)
(on considère que NE ∼ NB )
5
Résolution en énergie
Expérimentalement, la probabilité de mesurer l'énergie Ed sachant que l'énergie vaut E suit une
distribution gaussienne de largeur à mi-hauteur ∆E essentiellement due à la physique du détecteur. En
eet, pour un détecteur à ionisation, scintillation ou semi-conducteur, le nombre N de paires électron-ion,
de photons ou de paires électron-trou sont des variables aléatoires.
Par dénition, la résolution R vaut
R=
∆E
E
(5.1)
6
√
Pour une loi gaussienne, ∆n = 2, 35 N . On arrive donc à
2, 35
R= √
N
2, 35
=√
kE
où k , facteur liant la grandeur mesurée (nombre N de paires électron-ion, de photons ou de paires
électron-trou) et l'énergie E dépend du détecteur.
Remarque : Plus k sera important et plus les pics seront ns. Par exemple les détecteurs à semiconducteurs ont un k beaucoup plus grand que les scintillateurs.
On introduit de plus le facteur de Fano F qui dépend du détecteur. C'est un facteur correctif qui rend
compte du fait que dans la pratique, les résolutions que l'on mesurait n'étaient pas celles prédites.
√
2, 35 F
R= √
kE
(5.2)
F vaut 1 pour un détecteur à scintillation et est inférieur à 1 pour les détecteurs à ionisation et à
semi-conducteur.
6
Temps mort sur une chaîne de mesure
particules
incidentes
t
évènements
détectés par un
système non extensible
t
évènements
détectés par un
système extensible
t
Figure 1 Nombres de particules détectés pour un système extensible ou non. τ
électronique.
6.1
est le temps mort de la chaîne
Système non extensible
Lors du comptage d'un évènement, s'en suit un temps de paralysie τ appelé temps mort de la chaîne
électronique, pendant lequel si une particule arrive, elle ne sera pas détectée.
On appelle m le taux de particules incidentes par unité de temps. Soit k le nombre d'évènement
comptabilisés pendant un temps T .
mT = k + (kτ )m
k(1 + τ m) = mT
mT
k=
1 + mτ
6.2
(6.1)
Système extensible
Pour un système extensible, le comptage d'un évènement n'a lieu que si aucun autre évènement n'est
présent pendant la durée τ qui suit l'arrivée de l'évènement concerné (voir [Figure 1]). Le nombre
d'évènements k pendant un temps T est alors dénit par
k = mT P (τ )
(6.2)
7
6
Temps mort sur une chaîne de mesure
où m est le taux de particules incidentes par unité de temps et P (τ ) la probabilité de ne pas avoir de
particule dans une durée τ (τ étant bien évidemment le temps mort du détecteur).
P (τ ) tend vers 1 si τ tend vers 0 (quasiment aucune chance que deux particules arrivent en même
temps). Cette probabilité tend vers 0 si τ devient très grand (si le temps est inni, alors 100% de chance
d'avoir des désintégrations dans ce temps là).
Remarque :
On rappelle que pour des distributions continues, seul n'a de sens la probabilité par unité
de temps fois un intervalle de temps P (τ ) dt
P (τ ) dt = e−λτ dt
(6.3)
où e−λτ représente la probabilité de ne pas avoir de particule pendant le temps τ .
Démonstration 1
La probabilité de ne pas avoir de particules pendant le temps t + dt est égale à la probabilité de ne pas
avoir de particule pendant le temps t multiplié par la probabilité dp de ne pas avoir de particule pendant
le temps dt. On sait que λ dt représente la probabilité d'avoir une particule pendant le temps dt. D'où
dp = (1 − λ dt).
P (t + dt) = P (t) × (1 − λ dt)
P (t + dt) − P (t) = −λ dtP (t)
P (t + dt) − P (t)
= −λ dt
P (t)
ln(P (t)) = −λt + C
P (t) = Ae−λt
Sachant que P (t = 0) = 1
P (τ ) = e−λτ
Pour s'en convaincre, il sut de remarquer que tout ce qui importe, c'est que pour un temps t, il
n'y ait pas de particules durant ce labs de temps. En n de compte, peu importe qu'une particule arrive
juste après ou pas. Pour s'en rendre compte, il sut de voir que le détecteur ne s'intéresse qu'à une durée
τ suite à l'arrivée d'une particule. Une fois la durée τ écoulée, il peut à nouveau compter autre chose,
donc ça n'importe pas de savoir ce qu'il se passe après la durée τ (et donc une durée t de manière plus
générale).
On cherche maintenant à connaître λ, qui n'est pas ici la probabilité de désintégration par unité de
temps, mais la probabilité de comptage.
Le temps moyen d'arrivée entre deux particules est par dénition de m :
hti =
1
m
(6.4)
(m étant dénit comme le taux de particules par seconde, son inverse est directement le temps moyen
entre deux particules.)
Mathématiquement, on dénit le temps moyen hti par
´∞
tP (t) dt
hti = ´0∞
(6.5)
P (t) dt
0
1
=
(6.6)
λ
´
Remarque : 0∞ P (t) dt est le facteur de normalisation, vu que la distribution P (t) n'est pas normalisée.
6.3
Méthode des deux sources
8
Figure 2 Évolution du taux de comptage k en fonction du nombre de particules incidentes m (pour un temps
de comptage T et un temps mort τ xés).
D'où λ = m. Ainsi, on obtient l'expression :
(6.7)
k = mT e−mτ
Sur [Figure 2] on remarque que pour une valeur de k , on a deux valeurs de m qui correspondent.
Dans la pratique, pour savoir laquelle est la bonne, on rapproche le détecteur de la source, ainsi, on va
augmenter m.
Si m = m1 , alors une augmentation de m entraînera une augmentation de k . Par contre, si m = m2 ,
alors en augmentant m, on va faire diminuer k .
6.3
Méthode des deux sources
Soit I1 le nombre de particules qui vont dans le détecteur pendant le temps t et qui sont émises par
la source S1 .
Soit I2 le nombre de particules qui vont dans le détecteur pendant le temps t et qui sont émises par
la source S2 .
Soit I12 le nombre de particules qui vont dans le détecteur pendant le temps t et qui sont émises par
les sources S1 et S2 .
Soit If le nombre de particules qui vont dans le détecteur pendant le temps t et qui sont dues au bruit
de fond.
Soient C1 , C2 , C12 et Cf les comptages associées à ces 4 mesures.
On fait ici une première hypothèse qui consiste à dire que Cf ∼ If . Les hypothèses que nous faisons
devront bien entendu être vériées à postériori.
C1 = I1 + If − (C1 τ ) ×
I1 + If
t
(6.8)
où τ est le temps mort du détecteur (c'est ce qu'on cherche). C1 τ représente le temps total de paralysie du
I +I
détecteur, temps durant lequel toute particule qui rentre ne sera pas comptée. 1 t f représente l'activité ;
ce qui nous permet donc de calculer un nombre statistique de particules qui sont rentrées dans le détecteur
pendant le temps t et n'ont pas été comptées.
C1 τ
(I1 + If ) 1 −
= C1
t
(6.9)
Donc
I1 + If =
C1
1 − C1 τt
(6.10)
9
7
Chambre à ionisation
On fait une deuxième hypothèse, c'est que C1 τt 1, on peut donc faire un développement limité
de (6.10)
τ
I1 + If = C1 1 + C1
t
2τ
= C1 + C1
t
(6.11)
De même :
I2 + If = C2 + C2 2
τ
t
I12 + If = C12 + C12 2
(6.12a)
τ
t
(6.12b)
Remarque :
On a I12 = I1 + I2 . ceci impose que les positions des sources S1 et S2 soient xes durant
toute la durée de la manipulation. Dans la pratique, on fait le comptage de la source S1 , puis on rajoute
la source S2 à coté (sans toucher à S1 ) et on mesure S1 + S2 . Enn, on enlève la source S1 pour faire la
mesure de S2 . Ainsi, les sources auront les mêmes positions, et donc les mêmes quantités de particules
qui rentrent dans le détecteur, durant toute la manipulation.
I12 = I1 + I2
τ
2τ
2τ
C12 + C12 2 − I
f = C1 + C1 t − I
f + C2 + C2 t − If
t
τ
C12 2 − C1 2 − C2 2 = C1 + C2 − If − C12
t
7
(6.13)
Chambre à ionisation
L
V0
-Q
R
b
C
a
+Q
v
anode (là où vont
les électrons)
Ra
surface prise pour
le théorème de Gauss
cathode
Figure 3 Schéma de principe d'un détecteur à ionisation. La chambre est remplie d'un gaz (généralement rare,
pour qu'il soit inerte). Ra représente l'impédance de l'appareil de mesure.
Par symétrie des charges, on peut déjà dire que le champ électrique dans le détecteur est dans le plan
perpendiculaire à l'axe du cylindre (on considère le cylindre très grand et on néglige les eets de bord).
→
−
De plus, il y a invariance par rotation, donc le champ électrique E est radial :
→
−
E = E(r)êr
(7.1)
On applique le théorème de Gauss sur la surface visible sur [Figure 3] (cylindre de longueur L et de
rayon r). Le ux du champ électrique est nul sur les deux disques (mais non nul sur la surface du cylindre
en lui même, dont la surface est celle d'un rectangle de coté L et 2πr), on a donc :
2πrLE(r) =
E(r) =
Q
ε0
Q 1
2πε0 L r
(7.2)
7.1
Processus d'ionisation
10
→
−
E est donc plus important près de l'anode. On cherche le potentiel V (r) associé à ce champ électrique :
→
−
→
−
E = − ∇ (V )
Q
V (r) = K −
ln(r)
2πε0 L
On a comme condition aux limites V (a) = Va = V0 , la constante vaut donc :
K = Va +
Q
ln(a)
2πε0 L
Il vient :
r
Q
ln
2πε0 L
a
V (r) = Va −
(7.3)
On sait de plus que V (b) = 0 (relié à la masse). Par contre, on ne connait pas Q. On va donc chercher
à utiliser cette information pour faire disparaître Q qui est inconnu.
V (b) = Va −
Q
ln
2πε0 L
b
a
=0
2πε0 LVa
Q=
ln ab
On arrive donc aux expressions
E(r) =
Va 1
ln ab r
V (r) = Va −
Va ln ar
ln ab
(7.4a)
(7.4b)
On introduit la capacité du détecteur Cdét :
Q
Va
2πε0 L
=
ln ab
Cdét =
Cdét
Remarque :
(7.5)
On néglige ici la permittivité relative du gaz (εr ∼ 1 si basse pression)
On obtient alors de nouvelles expressions de E(r) et V (r) :
Cdét Va 1
2πε0 L r
Va Cdét r V (r) = Va −
ln
2πε0 L
a
E(r) =
7.1
Processus d'ionisation
On peut avoir ionisation directe
p + X → p + X + + e−
ou ionisation par excitation
p + X → p + X∗
X∗ + Y → X + Y + + e −
(7.6a)
(7.6b)
11
7
Chambre à ionisation
En moyenne, il faut fournir plus d'énergie que l'énergie d'ionisation à cause de l'excitation qui prend
de l'énergie sans donner d'électrons. Le nombre de paires électron-ion est donc fonction de cette énergie
moyenne ε :
Epart
ε
est l'énergie cinétique de la particule incidente.
(7.7)
Ne− −ion =
où Epart
→
−
→
−
Une fois les paires créées, on aura recombinaison si E = 0 , et migration sinon.
Remarque :
Les électrons vont migrer très rapidement. Pour un champ électrique de l'ordre de quelques
kV.cm−1 les vitesses seront de l'ordre de :
vion ' 10 cm.ms−1
ve− ' 1000 cm.ms−1
Régimes de fonctionnement
Nombres de paires électron-ion collectées
7.2
5
6
4
3
Régime de
Geiger-Müller
2
1
Régime
proportionnel
Chambre à
ionisation
particule α
particule β
Tension inter-électrodes (V)
Figure 4 Les diérents modes de fonctionnement des détecteurs à gaz
Région 1
régime de recombinaison partielle
Région 2
régime d'ionisation primaire
Région 3
régime de proportionnalité
Pour une diérence de potentiel inférieure à 100 V, les ions se recombinent totalement ou partiellement avant d'atteindre l'électrode et l'amplitude de l'impulsion est nulle ou faible.
Aucun détecteur ne fonctionne dans cette région.
Au dessus de 100 V, la recombinaison est négligeable et tous les électrons sont collectés.
Pour une particule donnée, l'amplitude de l'impulsion est constante et indépendante de la diérence
de potentiel appliquée entre les électrodes, mais elle dépend de l'énergie de la particule.
Les détecteurs qui fonctionnent dans cette région sont les chambres d'ionisation.
Entre 300 et 1000 V, les ions crées par le rayonnement ionisant sont susamment accélérés par le
champs électrique pour provoquer des ionisations secondaires s'ajoutant à l'ionisation primaire. Le
nombre d'électrons collectés, N , est proportionnel au nombre d'électrons primaires, n :
N = kn
(7.8)
où k est le coecient de multiplication gazeux.
Il varie avec la tension appliquée entre les électrodes et peut atteindre des valeurs de 105 à 106,
mais est il indépendant du nombre d'ions primaires.
Les détecteurs qui fonctionnent dans cette région sont les compteurs proportionnels.
7.3
Signal de sortie
12
Région 4
régime de semi-proportionnalité
Région 5
régime de
Entre 1000 et 1100 V, k n'est plus indépendant de n. Comme il n'y a plus de proportionnalité,
aucun détecteur ne fonctionne dans cette région.
Geiger-Müller
À partir de 1100 V, chaque ionisation primaire entraîne une avalanche d'ions secondaires et le
nombre d'ions collectés devient indépendant du nombre d'ions primaires.
C'est une ionisation quasi-totale du gaz de l'enceinte et l'amplitude de l'impulsion est grande mais
constante. Le détecteur fonctionne en régime de Müller et les détecteurs qui fonctionnent dans
cette région sont les compteurs de Geiger-Müller.
Région 6 Au dessus de 1400 à 1500 V, le détecteur devient instable du fait de décharges permanentes
et donc inutilisable.
Certains compteurs Geiger-Müller et certains compteurs proportionnels fonctionnent cependant
avec des tensions pouvant atteindre respectivement 3000 V et 4000 V.
7.3
Signal de sortie
On se place maintenant dans le régime proportionnel.
Le signal n'est pas dû directement à la collection des charges.
Soit une paire électron-ion formée à une distance r de l'axe de symétrie du détecteur (a < r < b).
Électron et ion sont soumis au champ électrique E(r). Ceux-ci se déplacent respectivement des quantités
−
−
r e− et d→
r ion pendant le temps dt. La variation d'énergie cinétique est égale au travail de la force
d→
→
−
→
−
électrique F = q E :
∂V
−
−
d→
r e−
(7.9)
dEc (e ) = −qe
∂r
∂V
−
d→
r ion
(7.10)
dEc (ion) = −qion
∂r
Remarque :
Ces deux quantités sont positives car l'élément de distance n'est pas dans le même sens
pour l'électron ou l'ion. Elles sont donc bien accélérées toutes les deux.
La migration se passe sur un temps très court (de l'ordre de la milliseconde). pendant ce temps là,
le générateur ne va pas être capable de répondre. On peut donc considérer que pendant ce temps là, le
système { détecteur + électrons + ions } est un système isolé.
L'énergie du détecteur, assimilé à un condensateur, est
Edét =
1
Cdét Va 2
2
(7.11)
Cdét étant constant, c'est donc la tension Va aux bornes de l'anode qui va varier pendant dt. En eet, par
conservation de l'énergie on a
dEdét + dEc (ion) + dEc (e− ) = 0
avec dEdét = Cdét Va dVa on obtient le théorème de Ramo-Schockley :
1
∂V
∂V
→
−
→
−
dVa =
qe
d r e− + qion
d r ion
Cdét Va
∂r
∂r
(7.12)
(7.13)
qui rend compte de la modication de la tension de l'anode via le déplacement des charges.
7.4
Variation maximale de la tension à l'anode
Soit une paire électron-ion créée en r = a + r0 .
La migration de l'électron depuis la position a + r0 jusqu'à la position a se traduit (calcul élémentaire,
on connait V (r), il ne reste plus qu'à remplacer et à intégrer dEc (e− ) de a + r0 jusqu'à a) :
e
a
ln
(7.14)
∆Va − =
2πε0 L
a + r0
13
7
De même, la migration de l'ion depuis a + r0 vers b donne
e
b
−
∆Va + = −
ln
2πε0 L
a + r0
Chambre à ionisation
(7.15)
Ainsi, la variation de la tension à l'anode est indépendante de la position de l'ionisation et vaut :
∆Va = −
e
Cdét
(7.16)
0
En régime proportionnel, l'ionisation se fait préférentiellement près
de− l'anode.
Ainsi
r a, b. Les
− ions sont donc les principaux responsables de la modication de Va ( ∆Va + ∆Va − ).
7.5
Forme temporelle de
Va
On reste toujours dans un système isolé. À l'intant t = 0, une particule fait une paire électron-ion à
la position r(0).
On fait l'approximation que la variation de tension provient essentiellement des ions. On a donc
ˆ r(t)
dr
e
∆Va (t) = −
2πε0 L r(0) r
e
r(t)
=−
ln
(7.17)
2πε0 L
r(0)
On a besoin de l'expression de r(t). On sait que l'ion va migrer à la vitesse
vion = µE
où µ est un coecient de proportionnalité. Cette relation s'explique par le fait que l'ion va rentrer en
collision avec des particules du gaz, ce qui va induire un eet de frottement (identique aux frottements
uides) qui dépendent donc de la vitesse. En conséquence, il existe une vitesse limite pour l'ion, que celuici atteint très rapidement étant donné le nombre de collisions. On a donc une relation de proportionnalité
entre la vitesse de l'ion et le champ électrique. Dans la pratique, même si le champ électrique varie, on
considère que l'ion atteint sa vitesse limite très rapidement, donc tout se passe comme si, à tout instant
t, l'ion atteint la vitesse limite correspondant au champ électrique E(r) auquel il est soumis.
Cdét Va 1
2πε0 L r
E=
On a donc l'expression de v :
Cdét Va 1
2πε0 L r
Cdét Va
r dr = µ
dt
2πε0 L
dr
dt
Remarque :
=µ
On dit que les variations de Va sont faibles, donc Va ∼ V0 .
En intégrant l'équation de 0 à t il vient :
r
r(t) =
a2 +
µCdét V0
t
πε0 L
(7.18)
on a r(0) = a.
Soit
t0 =
a2 πε0 L
µCdét V0
(7.19)
D'où :
∆Va (t) = −
e
t
ln 1 +
4πε0 L
t0
(7.20)
14
Figure 5 Représentation du circuit électronique servant à la mise en forme du signal
On a
Va (t) =
or
q
+ vs
c
(7.21)
vs = R a i
i=
dq
dt
D'où :
vs
s
(7.22)
+ dv
dt
Ra C
L'intérêt du condensateur est qu'on ne va être sensible qu'aux variations de tension car V0 est grand.
s
s
a
Si dv
RvasC alors dv
= dv
. On a donc
dt
dt
dt
dVa
dt
=
vs (t) = ∆Va (t)
Si
dvs
dt
vs
Ra C
alors
a
vs (t) = τ dv
dt
8
Détecteur à scintillation
Un cristal scintillant va réagir à un rayonnement incident et produire des photons visibles dit de
scintillation que l'on va vouloir compter. Les photons n'étant pas pratiques à compter, on va les convertir
en électrons via une photocathode qui va produire des électrons par eet photoélectrique.
Photocathode
Anode
Electrons
Scintillateur
Photon Incident
miroir
Photon visible
Focaliseur
Dynode
Photomultiplicateur
Figure 6 Schéma d'un détecteur à scintillation
Le cristal doit être transparent pour que les photons visibles puissent se propager à l'intérieur. Si
possible, la conversion de l'énergie (entre le nombre de photons visibles et l'énergie déposée) doit être
linéaire.
Dans le cristal, les photons sont émis de manière isotrope ; mais la photocathode ne couvre pas tout.
On recouvre donc les autres faces d'une matrice rééchissante.
Le temps d'émission doit être le plus court possible (pour limiter le temps mort). L'évolution du
nombre de photon en fonction du temps est de la forme :
t
t
Nhν (t) = Ae− /τr + Be− /τl
(8.1)
où τr est le temps caractéristique de la uorescence et τl celui de la phosphorescence.
Les temps de uorescence et de phosphorescence sont respectivement de l'ordre de la nanoseconde et
de la microseconde.
15
8.1
8
Détecteur à scintillation
Les cristaux scintillants
8.1.1 Loi de Birks
C'est une loi empirique qui relie la quantité de lumière L émise par une particule massive en traversant
un milieu scintillant.
S dE
dx
dL
=
(8.2)
dx
1 + kB dE dx
où S est l'ecacité de scintillation, kB la constante de Birks et dE
le pouvoir d'arrêt de la particule.
dx
Même si les mathématiciens s'arracheraient surement les cheveux en voyant ça, on divise par la
diérentielle d'énergie et multiplie par la diérentielle de longueur et on obtient :
dL
dE
=
S
dE 1 + kB (8.3)
dx
dL
On veut que la relation entre E et L soit linéaire. On doit donc avoir dE
= cte . On voit qu'ici ce n'est
pas le cas, mais dans la limite où kB dE
1
,
on
a
bien
une
relation
linéaire.
dx
8.1.2 Détermination du type de particule
pouvoir d'arrêt
Pour un noyau, on sait qu'il dépose une grande partie de son énergie à la n de sa course ; c'est ce
qu'on appelle le pic de Bragg .
profondeur de pénétration
Figure 7 Évolution de l'énergie déposée en fonction de la distance pour un noyau.
Dans la zone du scintillateur où se trouve le pic de bragg, il y aura donc un fort dépôt d'énergie qui
va xer les populations de uorescence et de phosphorescence. Par défaut, la uorescence est privilégiée
mais au pic de bragg, le dépôt d'énergie sera tellement important que la phosphorescence sera elle aussi
signicative.
Le rapport entre le dépôt par uorescence et phosphorescence permet de dire quel est le type de la
particule détecté. En eet, le temps caractéristique de la uorescence est beaucoup plus court que celui
de la phosphorescence, ce qui permet de discriminer les deux phénomènes.
8.2
Photomultiplicateur
8.2.1 Photocathode
Elle convertit par eet photoélectrique des photons visibles en électrons. Elles sont principalement
caractérisées par deux grandeurs :
La longueur d'onde λ pour laquelle il y a un maximum pour l'eet photoélectrique
l'ecacité quantique de conversion, généralement inférieure à 30%
8.2.2 Amplicateur d'électron
Exemple : Soit un photon incident d'énergie E = 1 MeV. On considère que les photons de scintillation
ont une énergie Es = 1 eV. En considérant que toute l'énergie incidente est convertie en photons de
scintillations, on arrive environ à un million de photons, d'où un million d'électrons (en considérant que
tous les photons sont convertis en électrons). Ceci nous donne un courant de 10−13 C. Même dans le
meilleur des mondes possibles, le courant créé n'est pas mesurable. On doit donc l'amplier.
8.2
Photomultiplicateur
16
Le système est composé d'un ensemble de dynodes émissives qui sont caractérisées par le nombre
moyens d'électrons k que l'on retrouve en sortie de la dynode pour un électron en entrée. Soit Vd la
diérence de potentiel entre deux dynodes successives (k dépend de Vd ).
Remarque :
Pour des tensions Vd < 100 V, il y a linéarité entre k et Vd .
On va considérer qu'on est dans ce cas, on a donc :
(8.4)
k = αVd
Si on a un électron en entrée d'un système composé de n dynodes, on aura en sortie (αVd )n électrons
sur l'anode. On a donc un gain
G = (αVd )n
Remarque :
(8.5)
Va = nVd est la tension totale entre l'anode et la cathode.
Dans la pratique, le générateur a toujours une petite dérive en tension. Va varie donc de la quantité
∆Va au cours du temps.
On montre facilement que
∆Vd
∆G
=n
G
Vd
∆Va
=n
Va
(8.6)
(8.7)
Exemple
: Prenons une tension Va = 500 V aux bornes d'un système composé de 15 dynodes. On
considère que la variation sur Va est de l'ordre de 1%, c'est à dire de ±5 V. On arrive à
∆G
= 15%
G
(8.8)
On voit ici qu'une dérive en tension, même minime, est considérablement ampliée par le système,
la stabilisation en tension du générateur est donc primordiale.
8.2.3 Signal en sortie de l'anode
On fait l'hypothèse qu'on n'a que de la uorescence. On a donc, d'après (8.1) :
t
N (t) = N0 e− /τr
(8.9)
où N0 dépend de l'énergie déposée dans le cristal scintillant.
Photon Incident
Scintillateur
Photomultiplicateur
Figure 8 Schéma électronique d'un détecteur à scintillation
On a donc l'expression du courant ia (t) en sortie du scintillateur
t
ia (t) = i0 e− /τr
(8.10)
17
8
Détecteur à scintillation
On cherche maintenant à exprimer i0 , que l'on ne connait pas à priori. La charge totale à l'anode
Qtot
anode est une quantité qui va être reliée à l'énergie déposée, et elle s'écrit en fonction du courant :
ˆ ∞
ia (t) dt
Qtot
=
anode
0
Qtot
anode = i0 τr
(8.11)
D'où :
ia (t) =
Qtot
anode −t/τr
e
τr
(8.12)
On utilise la loi de n÷uds
ia (t) = iR (t) + ic (t)
(8.13)
q
C
(8.14a)
sachant que
v(t) = RiR (t) =
iC (t) =
dq
dt
(8.14b)
Il vient alors l'équation diérentielle :
v
dv
+C
R
dt
dv
1
ia (t)
Qtot
t
+ v(t) =
= anode e− /τr
dt
τ
C
τr C
ia (t) =
(8.15)
où on a fait apparaître la constante de temps τ = RC .
Remarque :
La tension v(t) est la tension aux bornes de chaque composant, vu qu'ils sont en parallèle.
En prenant comme condition initiale v(t = 0) = 0, la solution générale vaut :
t
τ Qtot
t
anode
v(t) =
e− /τr − e− /τ
τr − τ C
(8.16)
Remarque : On peut (et on doit) jouer sur la valeur de l'impédance R de l'appareil de mesure pour
inuencer le résultat de la mesure. Si l'impédance est trop grande, on aura τ τr . Le maximum du
signal sera directement relié à l'énergie déposée.
Par contre, si l'impédance est petite (i.e τ τr ), alors le maximum ne nous donnera plus le dépôt
d'énergie de manière simple, par contre, la décroissance exponentielle nous donnera la valeur de τr , c'est
à dire le temps de uorescence.
Enn, si à ceci on rajoute la phosphorescence, on aura deux temps de décroissance, et en échelle log,
on pourra se ramener aux temps de uorences et de phosphorescence τr et τl
8.3
Une application : mesure de position
Le cristal scintillant, comme tout milieu matériel, absorbe un peu de lumière. Cette absorption se fait
selon une loi exponentielle dépendant de la distance.
L'émission des photons scintillants étant isotrope, il y a autant de photons qui partent vers chacun
des détecteurs. Cependant, en fonction de la position x du passage de la particule, le facteur d'atténuation ne sera pas le même pour chacun des photomultiplicateurs. On a donc une transmission qui vaut
respectivement pour le photomultiplicateur 1 et 2 :
TPM1 = e−µ(L−x)
(8.17a)
−µ(L+x)
(8.17b)
TPM2 = e
18
x
photomultiplicateur
2
cristal
scintillant
photomultiplicateur
1
amplitude 1
amplitude 2
L
E2
E1
Figure 9 Schéma de montage de deux photomultiplicateurs autour d'un même cristal scintillant.
Le rapport des amplitudes nous donne :
e−µ(L−x)
E1
= −µ(L+x)
E2
e
= e−2µx
On obtient donc :
x=
9
9.1
1
ln
2µ
E2
E1
(8.18)
Détecteurs à semi-conduction
Milieux semi-conducteurs
Énergie
Bande
pleine
Énergie
Bande
vide
Énergie
Bande de conduction
Énergie de Fermi
Bande de conduction
Eg
Bande de conduction
Bande de valence
Métal
Eg
Bande de valence
Bande de valence
Isolant
Semi-conducteur
Figure 10 Structure en bande pour un métal, un isolant et un semi-conducteur
Les propriétés de conduction électrique d'un solide cristallin sont déterminées par deux bandes d'énergie particulières : d'une part, la bande de valence, qui correspond aux électrons impliqués dans les liaisons
covalentes ; d'autre part, la bande de conduction, comprenant les électrons dans un état excité, qui peuvent
se déplacer dans le cristal.
Un solide est dit conducteur si sa bande de valence et sa bande de conduction se chevauchent. Les
électrons peuvent donc passer d'un état lié à un état non lié facilement.
Pour un isolant, la bande de valence est totalement remplie, et la bande permise suivante est située
à une énergie Eg ∼ eV interdisant tout passage d'électrons dans celle-ci par agitation thermique (Ecth ∼
25 meV).
Un semi-conducteur sera sensiblement identique à un isolant à ceci près que l'énergie du gap Eg est
plus faible, ce qui fait qu'il y aura plus ou moins d'électrons dans la bande de conduction en fonction
19
9
Détecteurs à semi-conduction
de la température. Le nombre de paire électron-trou ne− trou créés en fonction de la température T du
système est de la forme :
3
ne− trou ∼ T /2 e−
Eg
/k T
B
(9.1)
Remarque :
Si on se contente des semi-conducteurs intrinsèques, on aura peu de paires car l'énergie
du gap reste quand même très supérieure à l'énergie d'agitation thermique. On a donc recours à des
semi-conducteurs extrinsèques.
Pour diminuer l'énergie du gap, on prend un semi-conducteur intrinsèque que l'on dope avec des éléments donneurs ou accepteurs d'électrons. Par exemple, le silicium et le germanium sont semi-conducteur
intrinsèques. Ce sont des atomes tétravalents, c'est à dire qu'ils ont 4 électrons pour faire des liaisons
chimiques.
Le dopage provoque l'apparition de nouveaux niveaux accepteurs et donneurs d'électrons dans la
structure de bande du matériau dopé dû à un excès ou un défaut d'électrons induits par les éléments
dopants. Ces niveaux apparaissent dans le gap, entre la bande de conduction et la bande de valence.
9.1.1 Dopage de type n
On réalise un dopage avec des éléments donneurs d'électrons (éléments pentavalents qui vont se retrouver en moyenne avec un électron qui ne peut pas réaliser de liaison chimique, étant entouré d'éléments
de pouvant faire que 4 liaisons).
E eSi
‒
‒
‒
‒
‒
‒
‒
‒
‒
Si
Si
Si
e-
Bande de conduction
Ef
Si
‒
‒
‒
qqe meV
‒
électron
Bande de valence
Si
P
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Figure 11 Structure en bande d'un semi conducteur extrinsèque dopé n
Il apparaît un niveau dans la bande interdite dû au dopage où sont placés les électrons excédentaires.
La diérence d'énergie entre ce niveau et la bande de conduction est susamment faible pour que certains
électrons passent dans la bande de conduction sous l'eet de la température. On dit que ce dopage est
de type n car les porteurs de charge libre sont des électrons.
9.2
Dopage de type p
On réalise un dopage avec des éléments accepteurs d'électrons (éléments tétravalents. À ces endroits
là, il manquera un électron pour faire toutes les liaisons covalentes initiales. Il y a donc un trous, c'est à
dire une zone qui va capturer un électron si elle en a la possibilité).
E eSi
Ef
‒
‒
‒
‒
‒
‒
‒
‒
‒
‒
‒
‒
qqe meV
‒
Bande de valence
Si
Si
Si
Si
e-
Bande de conduction
électron
Si
P
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Figure 12 Structure en bande d'un semi conducteur extrinsèque dopé n
j'avoue que là, j'ai un peu plus de mal à me représenter le fonctionnement de ce truc là. À la base
ya un défaut d'électron, donc je vois pas comment, en plus de ça, on pourrais prendre des électrons à la
bande de valence pour les mettre sur le niveau du gap.
9.3
Jonction P-N
20
E e-
Ef
‒
‒
‒
‒
‒
‒
+
dopage n
excès de charge
+++
++++
+
+
+
+
+
+
dopage p
défaut de charge
‒
‒‒‒‒‒
‒‒
Figure 13 Structure en bande d'une jonction P-N
9.3
Jonction P-N
Il y a deux choses à considérer : les parties dopées n et p d'une part, et la bande de valence et
de conduction d'autre part. À la base, chaque partie dopée est électriquement neutre, mais à cause du
décalage de la structure en bande, il s'en suit une diusion des charges. Cette diusion va faire que la
neutralité électrique dans chaque partie dopée ne sera plus respectée, induisant un champ électrique qui
va à son tour, par convection, transporter des charges dans l'autre sens. À l'équilibre, la diusion et la
convection se compensent.
À l'équilibre, on a donc un champ électrique à la jonction qui est ainsi déplétée. Quand une particule
neutre rentre dans cette zone, elle va créer des paires électron-trou (il y a aussi de l'ionisation, mais ce
phénomène est ici négligé). Les électrons vont migrer vers la partie dopée n tandis que les trous vont
migrer vers le dopé p. On aura donc une impulsion de courant.
Pour que cette impulsion soit représentative de l'énergie de la particule, elle doit perdre toute son
énergie dans le zone déplétée. Cette zone doit donc être la plus grande possible. De plus, la fenêtre d'entrée
(dopé p ou dopé n) doit être le plus petit possible pour ne ralentir que très peu la particule.
On met le dopé n à la masse et on veut augmenter la taille de la zone de déplétion. Pour cela on
applique une diérence de potentiel au dopé p.