Estimation de probabilité d`événement rare sous contraintes de

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Estimation de probabilité d’événement rare sous contraintes
de monotonie
Journée MAS
27-29.08.2014
Vincent Moutoussamy
Nicolas Bousquet, Bertrand Iooss - EDF R&D - MRI
Fabrice Gamboa, Thierry Klein - Université Toulouse Paul Sabatier
Contexte
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➧ Fournir des indicateurs de fiabilité d’un composant par des
méthodes statistiques
➧ on dispose de peu d’observations, cette étude de fiabilité passe
par un modèle numérique simulant le comportement physique
du composant
➧ ce code permet d’obtenir une grandeurs physique représentant
la fiabilité du composant étudié
➧ on considère qu’il y a évévenement indésirable lorsque la sortie
du code dépasse un seuil fixé
➧ de plus ce code est
- coûteux en temps de calcul
- déterministe
- de type boîte noire
- présence possible d’effets-falaises
Notations
➧ On note
- X = (X1 , . . . , Xd ) le vecteur aléatoire d’entrée
- g le code numérique
➧ Sans perte de généralité
- X ∼ Nd (0, Id )
- G (X) = g (X) − seuil
- on veut estimer Pf = P(G (X) ≤ 0)
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Quelques méthodes classiques
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➧ Méthode de Monte Carlo, on estime Pf par
n
X
1{G (Xi )≤0} où (Xi )i ≥1 est une suite de variables
p̂n = n1
i =1
aléatoires indépendantes de même loi que X
➧ facile à estimer et aucune hypothèse sur le code n’est
nécessaire
➧ mais pour obtenir un coefficient de variation de 10% lorsque
Pf = 10−k il faut environ 10k+2 appels au code numérique
➧ si un appel au code dure une seconde, il faut pour
- k = 3 attendre 1 jour
- k = 4 attendre 11 jours
- k = 5 attendre 4 mois
- k = 6 attendre 3 ans
Quelques méthodes classiques
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➧ Méthode de simulation préférentielle (ou tirage d’importance),
n
1 X fX (Vi )
1{G (Vi )≤0} où (Vi )i ≥1 est
on estime Pf par p̃n =
n
f˜(Vi )
i =1
une suite de variables aléatoires indépendantes ayant pour
fonction de densité f˜
➧ f˜ doit être facile à calculer et Vi facile à simuler
➧ obtenir f˜ qui minimise la variance de p̃n revient à connaître Pf
Quelques méthodes classiques
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➧ Méthode de Subset Simulation, consiste à décomposer
l’ensemble U− = {x : G (x) ≤ 0} en plusieurs ensembles
A0 = IR d ⊃ A1 ⊃ · · · ⊃ Ak−1 ⊃ Ak = U− et
k
Y
Pf =
P(X ∈ Ai |X ∈ Ai −1)
i =1
➧ on estime
Carlo
P(X ∈ Ai |X ∈ Ai −1) par une méthode de Monte
➧ Si Pf = 10−k et P(X ∈ Ai |X ∈ Ai −1 ) = 10−1 , avoir un
coefficient de variation de 10% sur chacune des quantités
nécessitera 103 appels au code numérique
➧ si un appel au code dure une seconde, il faut pour k = 7
attendre 2 heures
Quelques méthodes classiques
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➧ Méthode FORM est une méthode "ingénieure"
➧ consiste à approcher l’état limite Γ = {x : G (x) = 0} par une
surface linéaire
➧ Deux étapes
1) trouver le point x∗ le plus proche de l’origine appartenant
àΓ
2) estimer Pf par Φ(−kx∗ k)
➧ nécessite peu d’appels au code, facile à coder
➧ il faut que le code soit régulier et l’approximation dépend
fortement de la forme de Γ
➧ aucun contrôle sur l’estimation (pas d’intervalle de confiance)
➧ peut être couplé au tirage d’importance en prenant
V ∼ Nd (x∗ , Id )
Quelques méthodes classiques
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0
1
0
x∗
Apport de la monotonie
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➧ Connaissance partielle du phénomène étudié : hypothèse de
monotonie
➧ permet d’encadrer les probabilités de façon sûre à 100%
➧ obtenir une délimitation fine de l’espace des entrées menant à
l’événement indésirable
➧ on considère maintenant que G renvoi une valeur binaire
−1\ + 1
Principe général 1/5
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{1}d
{G (x) > 0}
{G (x) = 0}
{G (x) < 0}
{0}d
Principe général 2/5
11/28
{1}d
{G (x) > 0}
{G (x) = 0}
x1
{G (x) < 0}
{0}d
Principe général 3/5
12/28
{1}d
{G (x) > 0}
{G (x) = 0}
x2
x1
{G (x) < 0}
{0}d
Principe général 4/5
13/28
{1}d
{G (x) > 0}
{G (x) = 0}
x2
x3
x1
{G (x) < 0}
{0}d
Principe général 5/5
14/28
{1}d
{G (x) > 0}
x8
{G (x) = 0}
x4
x2
x7
x5
x3
x1
{G (x) < 0}
{0}d
x6
Première approche: tirage uniforme
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➧ A l’étape n, on simule xn uniformément dans l’espace non
dominé [Bousquet, 2012]
!
−
Pf − pn−1
ξxn = 1{G (xn )≤0} ∼ Ber
+
−
pn−1
− pn−1
➧ l’estimateur du maximum de vraisemblance conditionnel p̂nu
maximise
!ξx
!1−ξx
n
−
+
k
k
Y
p − pk−1
pk−1
−p
Ln (p) =
+
−
+
−
pk−1
− pk−1
pk−1
− pk−1
k=1
et l’information de Fisher associée est égale à
n
h
X
+
−1 i
−
Jn (Pf ) =
E
pk−1 − p
Pf − pk−1
k=1
sous certaines conditions théoriques:
1/2
Jn (Pf )(p̂nu − Pf )
L
−→
n→+∞
N (0, 1)
Tirage d’importance séquentiel
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➧ On propose de revenir dans l’espace gaussien:
X ∼ Nd (0, Id )
U = IR d et
➧ à l’étape i, on pose Vi ∼ Nd (xi , Id ) de fonction de densité
f˜i −1 et xi ∈ Ui −1
n
1 X fX (Vi )
ξ
➧ on estime Pf par p̂n,1 =
˜i −1 (Vi ) Vi
n
f
i =1
➧ on a
L
(p̂n,1 −Pf )
√
−→
vn,1
n→+∞
n
X
vn,1 =
1
n2
Var
i =1
N (0, 1) avec
!
fX (Vi )
ξVi
f˜i −1 (Vi )
Tirage d’importance séquentiel
/ Ui −1 alors ξVi
➧ Mais à l’étape i, P(Vi ∈
/ Ui −1 ) > 0. Si Vi ∈
est connu sans faire d’appel au code numérique
➧ On pose T0 = 0 et pour tout
(k−1)
∈ UTk−1 }
k ≥ 1, Tk = inf {j ≥ 1 : Vj
➧ pour un budget de n appels au code, on a donc fait
n
X
Nn =
Tk simulations.
k=1
➧ on propose d’estimer Pf par
(k−1)
n Tk
)
fX (Vj
1 XX
ξV(k−1)
p̂n,2 =
(k−1)
Nn
˜k−1 (V
j
)
f
k=1 j=1
j
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Résultats numériques
➧ Un exemple test en dimension d . Soit X = (X1 . . . , Xd ) avec
Xi ∼ Γ(i + 1, 1)
➧ on note
Zd =
X1
d
X
∼ Beta(2, (d + 1)(d + 2)/2 − 3)
Xi
i =1
➧ G (X) = Zd − qd,Pf où qd,p est le quantile d’ordre p de Z
➧ on cherche à estimer Pf = P(G (X) ≤ 0)
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19/28
0.004
0.003
IS
0.002
0.001
0.000
0.001
0.000
MLE
0.002
0.003
0.004
Méthode d’estimation de probabilité - d = 3 ;
Pf = 10−3
0
50
100
d = 3 ; p = 0.001
150
0
50
100
d = 3 ; p = 0.001
150
Encadrement de quantiles
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➧ Etude connexe à l’estimation de probabilité d’événement
indésirable
➧ pour une valeur de Pf fixée on cherche à estimer le seuil qPf
définissant une enveloppe de sécurité
➧ comme pour l’estimation de probabilité on peut obtenir deux
bornes sûres à 100% pour qPf
➧ travaux en cours: méthode géométrique
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{1}d
{0}d
22/28
{1}d
{0}d
23/28
{1}d
11
00
00
11
11
00
00
11
00
11
11
00
00
11
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
{0}d
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{1}d
1
0
0
1
0
1
00
11
00
11
∂Γ− (p +
ε+ )
11
00
00
11
00
11
11
00
00
11
00
11
{0}d
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{1}d
1
0
0
1
0
1
11
00
00
11
00
11
00
11
∂Γ− (p +
ε+ )
11
00
00
11
11
00
00
11
00
11
11
00
00
11
00
11
11
00
00
11
∂Γ+ (1 − p + ε− )
11
00
00
11
{0}d
Résultats numériques
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➧ Un un exemple test en dimension d . Soit X = (X1 . . . , Xd )
avec Xi ∼ Γ(i + 1, 1)
➧ on note
G (X) =
X1
∼ Beta(2, (d + 1)(d + 2)/2 − 3)
d
X
Xi
i =1
➧ soit qd,p le quantile d’ordre p de G (X)
➧ soit Pf la probabilité de l’événement indésirable
➧ on cherche à estimer qPf = inf y ∈IR (P(G (X) ≤ y ) > Pf )
Résultats numériques
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n = 1000, Pf = 10−2
Dimension qn−
qn+
qPf
2
0.44927246 0.04199864
3
0.18560746 0.01965787
4
0.23161791 0.01182391
n = 1000, Pf = 10−3
qPf
qn+
Dimension qn−
2
0.03320955
0.01302295
3
0.192127468 0.006048936
4
0.195553283 0.003628516
Références
[1] Bousquet N. (2012). Accelerated monte carlo estimation of exceedance
probabilities under monotonicity constraints. Annales de la Faculté des Sciences
de Toulouse. XXI(3), 557 − 592
[2] De Rocquigny, E. (2009). Structural reliability under monotony: A review of
properties of form and associated simulation methods and a new class of
monotonous reliability methods (MRM). Structural Safety 31, 363 − 374
[3] Hall P. & Heyde C. C. (1980). Martingale limit theory and its application.
Academic press New York.
[4] Kroese D. & Rubinstein R. (2007). Simulation and the Monte Carlo Method
(Wiley ed.)
[5] Lemaire M. (2009). Structural reliability. Wiley
[6] Madsen H. & Ditlevsen O.(1996). Structural reliability methods (Wiley ed.)
[7] V. Moutoussamy, N. Bousquet, B. Iooss, P. Rochet & F. Gamboa (2013).
Comparing conservative estimations of an exceedance probabilities using
sequential designs of experiments. ICOSSAR.
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