Propriétés des transformées de Fourier Quelques démonstrations. Le reste des propriétés peut être démontré de façons analogues. Autres notations dans les transformées de Fourier: En posant !=2"f : $ TF [ g (t )] & G ( f ) & # g ( t )e % i 2"ft $ # g ( t )e dt ' G (! ) & %$ % i!t dt %$ !=2"f, d!=2"df ! df=d!/2": $ g (t ) & TF (G ( f )) & # G ( f )e %1 i 2"ft %$ $ 1 df ' g(t) & # G (! )e d! / 2" & 2" %$ i!t $ # G(! )e i!t d! %$ Linéarité: a1g1(t) + a2g2(t) ( a1G1(f) + a2G2(f) TF +a1 g1 (t ) - a2 g 2 (t ), & $ # +a g (t ) - a g (t ),e 1 1 2 % i 2"ft 2 dt %$ $ & # a g ( t )e % i 2"ft 1 1 $ dt - # a2 g 2 (t )e %i 2"ft dt & a1G1 ( f ) - a2G2 ( f ) %$ %$ Symétrie: $ g (t ) & $ i 2"ft # G( f )e df . Changer t ( -t ) g (%t ) & %$ # G ( f )e % i 2"ft df %$ $ En interchangeant t et f: g ( % f ) & # G (t )e %i 2"ft dt & TF (G (t )) %$ Échelle du temps: !!"#" # $ TF [ g ( at )] & $ $%$ ( &' ) # g (at )e % % i 2"ft dt avec a * R*. x = at ) dx = adt ) dt = dx/a %$ $ Si a > 0: FT [ g ( at )] & 1 1 g ( x )e %i 2"fx / a dx & G ( f / a ) # a %$ a C'est l'argument de l'exponentiel qui donne l'argument de G. Cours IMN 359. Automne 2010. Page 48/138 Si a < 0: FT [ g (at )] & FT [ g (at )] & 1 a %$ % i 2"fx / a dx & # g ( x )e $ $ 1 1 g ( x)e % i 2"fx / a dx & G ( f / a ) # % a %$ a 1 G ( f / a) a Parité: G(!) est la transformée de Fourier de g(t) Si g(t) est réelle et paire ) G(!) est réelle et paire Si g(t) est réelle et impaire ) G(!) est imaginaire et impaire Si G(!) est réelle et positive ) elle fait un angle 0 avec l'axe des réels ) la phase vaut zéro (.(!) = 0). Si G(!) est réelle et négative ) elle fait un angle de ± " avec l'axe des réels ) la phase vaut ± " (.(!) = ± "). Cours IMN 359. Automne 2010. Page 49/138 Cours IMN 359. Automne 2010. Page 50/138 La fonction de Dirac / La fonction de Dirac / peut être définie comme la dérivée de la fonction de Heaviside qui est définie comme: 30 0 H (t ) & u (t ) & 2 1 2 0 11 si t 5 0 si t & 0 si t 4 0 et /(x) est définie comme: 3$ si x & 0 / ( x) & 2 10 si x 6 0 < 31 si i & j9 7 : / de Kronecker / ij & 2 : 7 10 si i 6 j 8 ; Figure. Fonction de Dirac /. Les propriétés de /(x): $ # / ( x)dx & 1 %$ $ # f ( x)/ ( x)dx & f (0) %$ $ # f ( x)/ ( x % a)dx & f (a) %$ / (ax) & 1 / ( x) a Cours IMN 359. Automne 2010. Page 51/138 Le peigne de Dirac ou train d'impulsions: / T (t ) & $ = / (t % nT ) n & %$ Figure. Peigne de Dirac ou train d'impulsions. Cours IMN 359. Automne 2010. Page 52/138 Transformées de Fourier généralisées Certaines fonctions ne sont pas de carrés intégrables: $ # g (t ) 2 dt & $ %$ c'est le cas des fonctions périodiques comme le sinus et le cosinus, la fonction de Heaviside, une constante etc.... 30 0 Fonction de Heaviside: H (t ) & u (t ) & 2 1 2 0 11 si t 5 0 si t & 0 si t 4 0 Par définition, une fonction généralisée à progrès lent g(t) est une fonction associée à une fonction symbolique .(t) qui décroît rapidement: $ g (t ),. (t ) & # g (t ). (t )dt %$ Pour calculer les transformées de Fourier de fonctions généralisées, on utilise la formule de Parseval. La formule de Parseval $ # $ # F ( x) g ( x)dx f ( x)G ( x)dx & %$ %$ Celle-ci peut être démontrée de la façon suivante, en utilisant les transformées de Fourier: $ F ( y) & # f ( x )e % ixy dx %$ $ G( x ) & # g ( y )e %ixy dy %$ $ # %$ $ # %$ $ @ C$ f ( x)G ( x)dx & # f ( x) A # g ( y )e %ixy dy >dx %$ ?> BA% $ $ @ C$ f ( x)G ( x)dx & # g ( y ) A # f ( x)e %ixy dx >dy >? AB% $ %$ $ # %$ $ f ( x)G ( x)dx & # g ( y)F ( y)dy %$ Cours IMN 359. Automne 2010. Page 53/138 et en changeant la variable y en x: $ # $ f ( x)G ( x)dx & %$ # g ( x)F ( x)dx %$ Cette équation peut se rapporter aux transformées de Fourier comme suit, en intégrant sur !: $ # %$ $ f (! )TF [ g (t )]d! & # TF [ f (t )]g (! )d! %$ ou bien, en intégrant sur t: $ %1 # TF [ F (! )]G(t )dt & %$ $ # F (t )TF [G (! )]dt %1 %$ Dans les deux cas, nous avons conservé la même variable ! ou t pour f et F et pour g et G. Exemple 1: Trouver la TF d'une constante, soit g(t) = 1. g(t) = 1 est à progrès lent. En utilisant la formule de Parseval avec la fonction rapidement décroissante .(t): Soit la formule de Parseval: $ $ %$ %$ # G( x). ( x)dx & # g ( x)D( x)dx qui devient: $ $ %$ %$ $ $ # G(! ). (! )d! & # g (t )D(t )dt @ C$ % i!t G ! . ! d ! t dt t e dt ( ) ( ) ( ) ( ) & D & D > A # # # %$ %$ ?>! & 0 BA% $ C$ @ & TF +D (t ),! & 0 A # D (t )e %i!t dt > AB% $ >?! & 0 et par la propriété de la symétrie: TF +D (t ),! & 0 & +2". (%! ),! & 0 & 2". (0) $ Par la propriété de /(x): # f ( x)/ ( x)dx & f (0) %$ Cours IMN 359. Automne 2010. Page 54/138 $ 2". (0) & 2" # / (! ). (! )d! %$ $ $ %$ %$ Finalement, en reprenant l'équation de départ # G(! ). (! )d! & # g (t )D(t )dt et en $ remplaçant le second membre par le résultat précédent qui est 2" # / (! ). (! )d! %$ $ $ %$ %$ # G(! ). (! )d! &2" # / (! ). (! )d! et en identifiant le contenu des intégrales des deux membres de l'équation: TF[g(t)] = G(!) = 2"/(!) Noter que dans cet exemple nous avons conservé ! pour simplifier les écritures au lieu de travailler avec 2"f. Exemple 2: Calculer la TF de /(t). /(t) est une fonction généralisée à progrès lent. Par définition: $ soit # $ $ %$ %$ # G(! ). (! )d! & # g (t )D(t )dt G (! ). (! )d! & %$ $ # / (t )D(t )dt & D(0) %$ $ $ C$ @ aussi D(0) & TF +. (t ),! &0 & A # . (t )e%i!t dt > & # . (t )dt & # . (! )d! par changement de %$ B%$ ?! & 0 % $ variable t " !. $ ainsi # G (! ). (! )d! & %$ $ #1. (! )d! %$ et par identification: FT +/ (t ), & G (! ) & 1 $ On aurait pu faire le calcul directement : FT[/ (t)] = # / (t )e %i!t dt & e %i!t %$ t &0 &1 En conclusion, la TF d'une constante est une fonction /, et la TF d'une fonction / est une constante. Cours IMN 359. Automne 2010. Page 55/138 Exemple 3: Calculer la TF de g(t)=exp(i!ot) g(t) peut être réécrite sous la forme g(t)=f(t)exp(i!ot). Par la propriété du décalage de la fréquence: TF[f(t)exp(i!0t)] = F(!-!0). Et comme f(t) = 1, et de l’exemple 1 ci-dessus: TF[1] = 2"/(!) ! TF[exp(i!ot)] = 2"/(!%!o). C’est un décalage de fréquence de la fonction /. Exemple 4: Calculer la TF de cos(!ot) et sin(!ot). cos(!ot) = (exp(i!ot) + exp(-i!ot))/2 TF[cos(!ot)] = TF[(exp(i!ot) + exp(-i!ot))/2] = "/(!%!o) + "/(!-!o) Pour le sinus : TF[sin(!ot)] = -i"/(!%!o) + i"/(!-!o) Cours IMN 359. Automne 2010. Page 56/138 Quelques fonctions courantes et leur transformée de Fourier Cours IMN 359. Automne 2010. Page 57/138 Transformée de Fourier à deux dimensions Si l'on remplace 2"f par !, la paire de Fourier s'écrit: G (! ) & FT ( g (t )) & $ # g ( t )e % i!t dt %$ $ g (t ) & FT %1 (G (! )) & # G (! )ei!t df %$ Par analogie, on détermine les paires en 2 dimensions (2D): $ $ G (u, v ) & TF ( g ( x, y )) & # # g ( x , y )e % i ( ux - vy ) dxdy % $% $ %1 g ( x, y ) & TF (G (u, v )) & $ $ 1 ( 2" ) 2 # # G (u, v )e i ( ux - vy ) dudv % $% $ Exercices : 1. Calculer la TF de /(t-t0). 2. Calculer la TF de /(t+t0). 3. Montrer que TF[/(t+t0) + 2/(t) + /(t-t0)] = 4cos2(!t0/2). Cours IMN 359. Automne 2010. Page 58/138