Noter - SCIL

Cours IMN 359. Automne 2010. Page 48/138
Propriétés des transformées de Fourier
Quelques démonstrations. Le reste des propriétés peut être démontré de façons
analogues.
Autres notations dans les transformées de Fourier:
En posant !=2"f :
!=2"f, d!=2"df ! df=d!/2":
### $
$%
$
$%
$
$%
%&&'&&
!!
"
"!!
!!"
deGdeGdfefGfGTFtg titifti )(
2
1
2/)(g(t) )())(()( 21
Linéarité:
a1g1(t) + a2g2(t) ( a1G1(f) + a2G2(f)
Symétrie:
#
$
$%
&dfefGtg
fti " 2
)()(
. Changer t ( -t )
#
$
$%
%
&% dfefGtg
fti
" 2
)()(
En interchangeant t et f:
#
$
$%
%&&% ))(()()( 2tGTFdtetGfg fti
"
Échelle du temps:
!!"#"#$
$%$& '( %) avec a * R*.
x = at ) dx = adt ) dt = dx/a
Si a > 0:
C'est l'argument de l'exponentiel qui donne l'argument de G.
dtetgGdtetgfGtgTF tifti ## $
$%
%
$
$%
%&'&&
!" !
)()( )()()]([ 2
+ , + ,
)()()()(
)()()()(
2211
2
22
2
11
2
22112211
fGafGadtetgadtetga
dtetgatgatgatgaTF
ftifti
fti
-&-&
-&-
##
#
$
$%
%
$
$%
%
$
$%
%
""
"
dteatgatgTF fti
#
$
$%
%
&
" 2
)()]([
)/(
1
)(
1
)]([
/2
af
G
a
dxexg
a
atgFT
afxi
&& #
$
$%
%
"

Cours IMN 359. Automne 2010. Page 49/138
Si a < 0:
Parité:
G(!) est la transformée de Fourier de g(t)
Si g(t) est réelle et paire ) G(!) est réelle et paire
Si g(t) est réelle et impaire ) G(!) est imaginaire et impaire
Si G(!) est réelle et positive ) elle fait un angle 0 avec l'axe des réels ) la phase vaut
zéro (.(!) = 0).
Si G(!) est réelle et négative ) elle fait un angle de ± " avec l'axe des réels ) la phase
vaut ± " (.(!) = ± ").
)/(
1
)(
1
)(
1
)]([ /2/2 afG
a
dxexg
a
dxexg
a
atgFT afxiafxi &
%
&& ## $
$%
%
%$
$
%
""
)/(
1
)]([ afG
a
atgFT &

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Cours IMN 359. Automne 2010. Page 51/138
La fonction de Dirac /
La fonction de Dirac / peut être définie comme la dérivée de la fonction de Heaviside qui
est définie comme:
et /(x) est définie comme:
Figure. Fonction de Dirac /.
Les propriétés de /(x):
0
1
0
2
3
4
&
5
&&
0t si1
0t si
2
1
0t si
tutH
0
)(
)(
1
2
3
6
&$
&0x si0
0x
si
x)(
/
7
7
8
9
:
:
;
<
1
2
3
6
&
&ji
si 0
ji si 1
Kronecker de ij
//
#
$
$%
&1)( dxx
/
#
$
$%
&)0()()( fdxxxf
/
#
$
$%
&% )()()( afdxaxxf
/
)(
1
)( x
a
ax
// &

Cours IMN 359. Automne 2010. Page 52/138
Le peigne de Dirac ou train d'impulsions:
Figure. Peigne de Dirac ou train d'impulsions.
=
$
%$&
%&
n
TnTtt )()(
//