OSCILLATEURS AMORTIS 1 Doubleur de tension Une source de tension continue de f.e.m E = 10V est montée en série avec un interrupteur (K), une diode idéale, une bobine idéale d’inductance L = 10 mH et un condensateur idéal de capacité C = 0, 1 µF. Le condensateur étant déchargé à t = 0, l’interrupteur (K) est fermé. Déterminer les variations de la tension uC (t) aux bornes du condensateur. 2 Dipôle R,L,C parallèle On considère un dipôle R,L,C parallèle alimenté à l’instant t = 0 par une source de courant de c.e.m i0 . Données numériques : R = 50 Ω , L = 0, 10 mH, C = 10 nF, i0 = 1, 0.10−2 A. 1) Montrer que l’équation différentielle vérifiée par u(t) est de la forme : d2 u ω0 du + + ω02 u = 0 dt2 Q dt Calculer ω0 et Q. 2) Quel est le régime de variation de u(t) ? À l’instant t = 0, le courant est nul dans la bobine et le condensateur n’est pas chargé. Donner les expressions littérales et numériques de u(t). q 1 Réponses : 1) ω0 = √LC , Q = RCω0 = R CL ; 2) u(t) = iC0 t e−ω0 t . 1 3 Décrément logarithmique On étudie la réponse u(t) à un échelon de tension e(t) dans le circuit ci-contre. 1) Déterminer la valeur u∞ vers laquelle tend u(t) lorsque la valeur de e(t) est E, en dessinant un schéma équivalent du circuit en régime permanent. d2 u(t) du 2) Démontrer que + 2λ + ω02 u(t) = ω02 u∞ 2 dt dt et exprimer λ et ω0 en fonction de L, C, R1 et R2 . 3) Définir et tracer un échelon de tension. Expliquer comment on le réalise expérimentalement. 4) On observe sur un oscilloscope la courbe u(t) ci-contre. 4.a ) Déterminer la valeur numérique de la pseudopériode T . 4.b) Déterminer la valeur numérique du décrément logarithmique u(t) − u∞ 1 δ = ln n u(t + nT ) − u∞ 5) Exprimer la forme mathématique de u(t) en fonction de λ, ω0 , u∞ et t. On ne cherchera pas à déterminer les constantes d’intégration. 6) Déterminer la relation entre δ, λ et T . En déduire la valeur numérique de λ. Sachant que R1 = 200 Ω, R2 = 5, 0 kΩ, L = 100 mH, déterminer la valeur numérique de C, puis du facteur de qualité Q. 2 4 Portrait de phase Attribuer à chaque portrait de phase le bon facteur de qualité parmi les valeurs suivantes : 0.1 ; 0.2 ; 0.5 ; 1 ; 5 ; 50. 3