TES spé Chapitre III Graphe étiquetés et graphes probabilistes I. Graphes étiquetés 1. Vocabulaire Un graphe étiqueté est un graphe orienté, ou non, dont les arêtes sont affectées d’étiquettes. Si toutes les étiquettes sont des nombres positifs, on parle de graphe pondéré. Le poids d’une chaîne dans un graphe pondéré est la somme des poids des arêtes qui la composent. Une plus courte chaîne entre deux sommets est, parmi les chaînes qui les relient, une chaîne de poids minimum. Le graphe G ci-contre est un graphe pondéré. La chaîne (C-B-A-E-F) a pour poids : 1 + 1 + 3 + 8 = 13 La plus courte chaîne entre A et F est la chaîne (A-G-F) 2. Algorithme de Dijkstra Lorsque qu’un graphe pondéré est trop complexe, la recherche d’une plus courte chaîne peut être longue. L’algorithme suivant, trouvé en 1959 par Dijkstra, informaticien néerlandais, permet de répondre de façon sûre au problème. Procédons sur un exemple : On veut trouver la plus courte chaîne reliant E à S dans le graphe ci-contre. E 0 A B C D ∞ ∞ ∞ ∞ 0+3 0+1 ∞ ∞ 3(E) 1(E) 1+1 1+3 1+5 2(B) 4(B) 6(B) 2+3 6(B) 4(B) 4+1 5(C) S ∞ Sommet sélectionné E ∞ B ∞ A ∞ C 4+3 7(C) 5+1 6(D) D S 1ere ligne : • On affecte le coefficient 0 à l’origine E, et le coefficient ∞ à tous les autres sommets. • On sélectionne le sommet de plus petit coefficient ici E, puis on raye les autres cases de la colonne E. 2ème ligne : • On ne s’intéresse qu’aux sommets adjacents au sommet sélectionné à l’étape précédente. Ici : A et B. les coefficients de C, D, S, non adjacents à E sont les mêmes qu’à la ligne précédente. • Calcul du coefficient affecté à A TES spé - On calcule le nombre suivant : « coefficient du sommet E sélectionné précédent »+ « poids de l’arête (E-A) » = 0+3=3 On compare ce nombre au coefficient précédent de A (ici ∞) et on affecte à A le plus petit des 2 nombres 3 et ∞ : ici 3. Il est commode d’écrire 3(E) pour rappeler que le sommet précédemment sélectionné est E. • Calcul du coefficient affecté à B. - On procède le manière analogue, et on obtient 1(E) • On sélectionne alors le sommet de plus petit coefficient Ici le sommet B. Lignes suivantes : • On remplit ainsi, de proche en proche, chacune des lignes suivantes. On arrête lorsque tous les sommets ont été sélectionnés. Attention, si le nouveau poids calculé pour un sommet est supérieur au poids précédent, on conserve l’ancien. Lecture du tableau : • Plus courte chaîne de E à S : (E-B-C-D-S) On l’obtient en l’écrivant de droite à gauche, de la manière suivante : dans la colonne « S », on repère le point inscrit le plus en bas, à savoir D. Puis dans la colonne « D », le point inscrit le plus en bas : C. Etc • Poids de cette chaîne : 6 Obtenu en lisant le coefficient de l’extrémité S. Exercice : On considère le graphe pondéré ci-contre. 1. En utilisant l’algorithme de Dijkstra, trouvez une plus courte chaîne entre A et C et précisez son poids. 2. Indiquez, à l’aide de l’algorithme de Dijkstra, une plus courte chaîne entre A et chacun des autres sommets du graphe, et donnez le poids de chacune d’entre elles. II. Graphes probabilistes Définition : Un graphe probabiliste est un graphe orienté, pondéré, tel que la somme des arêtes sortant de chaque sommet donné vaut 1. Les graphes probabilistes sont utilisés pour modéliser l’évolution d’un individu pouvant changer aléatoirement d’état : Les sommets du graphe sont les états possibles de l’individu et le poids d’une arête orientée issue du sommet i et d’extrémité j est la probabilité de transition de l’état i à l’état j. Exemple : dans ce graphe, il y a 3 états possibles : A, B et C. La probabilité de rester à l’état A est de 0,9, celle de passer de B à A est de 0,3. Lorsque l’on est à l’état C, on peut soit y rester (avec une probabilité de 0,8), soit passer à l’état A (avec une probabilité de 0,2). On ne peut pas directement passer de C à B. TES spé Définitions : L’état probabiliste de l’individu est une loi de probabilité sur l’ensemble des états possibles : cette loi sera ici représentée par une matrice ligne. La matrice de transition d’un graphe probabiliste d’ordre n est une matrice ݊ × ݊. Le terme à l’intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne a pour valeur le poids de l’arête orientée allant de i vers j si cette arête existe, 0 sinon. La somme des éléments d’une ligne de la matrice de transition est toujours égale à 1. Ex : En reprenant le graphe probabiliste de l’exemple précédent, on obtient une matrice de transition 3 × 3 donnée par : 0,9 0,1 0 = ܯ൭0,3 0,2 0,5൱ 0,2 0 0,8 Propriété : Soit M la matrice de transition d’un graphe probabiliste. Po est la matrice ligne décrivant l’état initial, et Pn l’état probabiliste à l’étape n. Alors ܲ݊ = ܲܯ × Démonstration : elle est simple, mais pas encore faisable à cette époque de l’année. Propriété : Considérons un graphe probabiliste d’ordre n dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0 : • • L’état Pn à l’étape n converge vers un état P indépendant de l’état initial Po. P vérifie ܲ = ܲ × ( ܯet c’est la seule matrice solution de l’équation ܺ = ܺ × )ܯ