TES spé Chapitre III Graphe étiquetés et graphes probabilistes I

TES spé
Chapitre III
Graphe étiquetés et graphes probabilistes
I.
Graphes étiquetés
1. Vocabulaire
Un graphe étiqueté est un graphe orienté, ou non, dont les arêtes sont affectées d’étiquettes.
Si toutes les étiquettes sont des nombres positifs, on parle de graphe pondéré.
Le poids d’une chaîne dans un graphe pondéré est la somme des poids des arêtes qui la composent.
Une plus courte chaîne entre deux sommets est, parmi les chaînes qui les relient, une chaîne de
poids minimum.
Le graphe G ci-contre est un graphe pondéré.
La chaîne (C-B-A-E-F) a pour poids : 1 + 1 + 3 + 8 = 13
La plus courte chaîne entre A et F est la chaîne (A-G-F)
2. Algorithme de Dijkstra
Lorsque qu’un graphe pondéré est trop complexe, la recherche d’une plus courte chaîne peut être
longue. L’algorithme suivant, trouvé en 1959 par Dijkstra, informaticien néerlandais, permet de
répondre de façon sûre au problème.
Procédons sur un exemple : On veut trouver la plus courte chaîne
reliant E à S dans le graphe ci-contre.
E
0
A
B
C
D
∞
∞
∞
∞
0+3 0+1
∞
∞
3(E) 1(E)
1+1
1+3 1+5
2(B)
4(B) 6(B)
2+3
6(B)
4(B)
4+1
5(C)
S
∞
Sommet sélectionné
E
∞
B
∞
A
∞
C
4+3
7(C)
5+1
6(D)
D
S
1ere ligne :
• On affecte le coefficient 0 à l’origine E, et le coefficient ∞ à tous les autres sommets.
• On sélectionne le sommet de plus petit coefficient
ici E, puis on raye les autres cases de la colonne E.
2ème ligne :
• On ne s’intéresse qu’aux sommets adjacents au sommet sélectionné à l’étape précédente.
Ici : A et B. les coefficients de C, D, S, non adjacents à E sont les mêmes qu’à la ligne
précédente.
•
Calcul du coefficient affecté à A
TES spé
-
On calcule le nombre suivant : « coefficient du sommet E sélectionné précédent »+
« poids de l’arête (E-A) » = 0+3=3
On compare ce nombre au coefficient précédent de A (ici ∞) et on affecte à A le plus petit
des 2 nombres 3 et ∞ : ici 3.
Il est commode d’écrire 3(E) pour rappeler que le sommet précédemment sélectionné est
E.
•
Calcul du coefficient affecté à B.
- On procède le manière analogue, et on obtient 1(E)
•
On sélectionne alors le sommet de plus petit coefficient
Ici le sommet B.
Lignes suivantes :
• On remplit ainsi, de proche en proche, chacune des lignes suivantes. On arrête lorsque tous
les sommets ont été sélectionnés.
Attention, si le nouveau poids calculé pour un sommet est supérieur au poids précédent,
on conserve l’ancien.
Lecture du tableau :
• Plus courte chaîne de E à S : (E-B-C-D-S)
On l’obtient en l’écrivant de droite à gauche, de la manière suivante : dans la colonne « S »,
on repère le point inscrit le plus en bas, à savoir D. Puis dans la colonne « D », le point inscrit
le plus en bas : C. Etc
•
Poids de cette chaîne : 6
Obtenu en lisant le coefficient de l’extrémité S.
Exercice : On considère le graphe pondéré ci-contre.
1. En utilisant l’algorithme de Dijkstra, trouvez une plus courte chaîne
entre A et C et précisez son poids.
2. Indiquez, à l’aide de l’algorithme de Dijkstra, une plus courte chaîne
entre A et chacun des autres sommets du graphe, et donnez le
poids de chacune d’entre elles.
II.
Graphes probabilistes
Définition : Un graphe probabiliste est un graphe orienté, pondéré, tel que
la somme des arêtes sortant de chaque sommet donné vaut 1.
Les graphes probabilistes sont utilisés pour modéliser l’évolution d’un individu pouvant changer
aléatoirement d’état : Les sommets du graphe sont les états possibles de l’individu et le poids d’une
arête orientée issue du sommet i et d’extrémité j est la
probabilité de transition de l’état i à l’état j.
Exemple : dans ce graphe, il y a 3 états possibles : A, B et C.
La probabilité de rester à l’état A est de 0,9, celle de passer de B
à A est de 0,3.
Lorsque l’on est à l’état C, on peut soit y rester (avec une
probabilité de 0,8), soit passer à l’état A (avec une probabilité
de 0,2). On ne peut pas directement passer de C à B.
TES spé
Définitions : L’état probabiliste de l’individu est une loi de probabilité sur l’ensemble des états
possibles : cette loi sera ici représentée par une matrice ligne.
La matrice de transition d’un graphe probabiliste d’ordre n est une matrice ݊ × ݊. Le terme à
l’intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne a pour valeur le poids de l’arête orientée allant
de i vers j si cette arête existe, 0 sinon.
La somme des éléments d’une ligne de la matrice de transition est toujours égale à 1.
Ex : En reprenant le graphe probabiliste de l’exemple précédent, on obtient une matrice de transition
3 × 3 donnée par :
0,9 0,1 0
‫ = ܯ‬൭0,3 0,2 0,5൱
0,2 0 0,8
Propriété : Soit M la matrice de transition d’un graphe probabiliste.
Po est la matrice ligne décrivant l’état initial, et Pn l’état probabiliste à l’étape n.
Alors ܲ݊ = ܲ‫ܯ × ݋‬௡
Démonstration : elle est simple, mais pas encore faisable à cette époque de l’année.
Propriété : Considérons un graphe probabiliste d’ordre n dont la matrice de transition M ne
comporte pas de 0 :
•
•
L’état Pn à l’étape n converge vers un état P indépendant de l’état initial Po.
P vérifie ܲ = ܲ × ‫( ܯ‬et c’est la seule matrice solution de l’équation ܺ = ܺ × ‫)ܯ‬