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Thèse de doctorat
pour l’obtention du grade de
Docteur de l’université Paris-Est
Spécialité Informatique
au titre de l’École Doctorale de Mathématiques
et des Sciences et Techniques de l’Information et de la Communication
Présentée et soutenue publiquement par
Vincent Penelle
le 14 novembre 2015
Réécriture suffixe d’arbres de piles
et
traces de systèmes à compteurs
Devant le jury composé par
Christof Löding Rapporteur
Géraud Sénizergues Rapporteur
Marie-Pierre Béal Examinatrice
Didier Caucal Examinateur
Thomas Colcombet Examinateur
Jérôme Leroux Examinateur
Antoine Meyer Examinateur
Laboratoire d’informatique Gaspard-Monge
UMR 8049 LIGM
5, bd Descartes, Champs-sur-Marne, 77454 Marne-la-Vallée Cedex 2, France

ii

iii
Merci !

iv Remerciements

v
Réécriture suffixe d’arbres de piles et traces de systèmes à compteurs —
Ground Stack Tree Rewriting Systems and Traces of Counter Systems
Résumé
Dans cette thèse, nous nous attachons à étudier des classes de graphes infinis et leurs pro-
priétés, notamment celles de vérification de modèles, d’accessibilité et de langages reconnus.
Nous définissons une notion d’arbres de piles ainsi qu’une notion liée de réécriture suffixe,
permettant d’étendre à la fois les automates à piles d’ordre supérieur et la réécriture suffixe
d’arbres de manière minimale. Nous définissons également une notion de reconnaissabilité sur
les ensembles d’opérations à l’aide d’automates qui induit une notion de reconnaissabilité sur les
ensembles d’arbres de piles et une notion de normalisation des ensembles reconnaissables d’opé-
rations analogues à celles existant sur les automates à pile d’ordre supérieur. Nous montrons
que les graphes définis par ces systèmes de réécriture suffixe d’arbres de piles possèdent une
FO-théorie décidable, en montrant que ces graphes peuvent être obtenu par une interprétation
à ensembles finis depuis un graphe de la hiérarchie à piles.
Nous nous intéressons également au problème d’algébricité des langages de traces des sys-
tèmes à compteurs et au problème lié de la stratifiabilité d’un ensemble semi-linéaire. Nous
montrons que dans le cas des polyèdres d’entiers, le problème de stratifiabilité est décidable et
possède une complexité coNP-complète. Ce résultat nous permet ensuite de montrer que le pro-
blème d’algébricité des traces de systèmes à compteurs plats est décidable et coNP-complet. Nous
donnons également une nouvelle preuve de la décidabilité des langages de traces des systèmes
d’addition de vecteurs, préalablement étudié par Schwer.
Abstract
In this thesis, we study classes of infinite graphs and their properties, especially the model-
checking problem, the accessibility problem and the recognised languages.
We define a notion of stack trees, and a related notion of ground rewriting, which is an
extension of both higher-order pushdown automata and ground tree rewriting systems. We also
define a notion of recognisability on the sets of ground rewriting operations through operation
automata. This notion induces a notion of recognisability over sets of stack trees and a nor-
malisation of recognisable sets of operations, similar to the known notions over higher-order
pushdown automata. We show that the graphs defined by these ground stack tree rewrit-
ing systems have a decidable FO-theory, by exhibiting a finite set interpretation from a graph
defined by a higher-order automaton to a graph defined by a ground stack tree rewriting system.
We also consider the context-freeness problem for counter systems, and the related problem
of stratifiability of semi-linear sets. We prove the decidability of the stratifiability problem for
integral polyhedra and that it is coNP-complete. We use this result to show that the context-
freeness problem for flat counter systems is as well coNP-complete. Finally, we give a new
proof of the decidability of the context-freeness problem for vector addition systems, previously
studied by Schwer.