sur quelques fonctions des cotés et des angles d`un - E

SUR QUELQUES FONCTIONS DES COTÉS ET
DES ANGLES D'UN TRIANGLE
Autor(en): Petrovitch, Michel
Objekttyp: Article
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 18 (1916)
Heft 1: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-16875
PDF erstellt am: 24.05.2017
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SUR QUELQUES FONCTIONS
DES COTÉS ET DES ANGLES D'UN TRIANGLE
PAR
Michel Petrovitch (Belgrade, Serbie).
I. ?Une fonction des angles.
Soient a, b, cles côtés d'un triangle, «, /3, yles angles
qui leur sont opposés. Envisageons la fonction des angles
(*)
En posant pour abréger
l'identité
transforme l'expression (1) en
où
Or, l'inégalité et l'identité
montrent que

1
la limite inférieure -^ étant atteinte pour |=tj et la limite
supérieure 1lorsque Tune des valeurs £et 7? est négligeable
par rapport àl'autre.
On en conclut
ou encore
Par suite
avec
ou bien encore
(2)
avec
(3)
L'égalité (3) aura lieu :1° pour £=y? ;2° lorsque l'une ou
l'autre des quantités £et yj devient négligeable par rapport
àl'autre. Au premier cas correspond
et au second
On en conclut que
(«)
où l'erreur relative ene surpassejamais la grandeur tg2--7?-;2 --7?-;

cette erreur est nulle pour le cas où a= jS ,et atteint son
maximum tg2?r ~T lorsque l'un des deux angles <x et (3 tend
vers zéro.
La proposition présente un intérêt particulier pour les
triangles àangle yobtus. Dans ce cas en prenant pour
<j>(«, /3, y) la valeur cos2?r ~Tl'erreur relative commise e
n'atteintjamais la valeur
et cette erreur décroît rapidement lorsque l'angle ys'approche
de 180°.
Ainsi, Ton a
(5)
Les triangles pour lesquels Terreur relative sest, en valeur
absolue, plus petite qu'une valeur g' donnée àl'avance, sont
ceux pour lesquels l'angle y, exprimé en parties de tt, est
plus grand que la différence
où, pour esuffisamment petit
ATaide de ce qui précède on peut, par exemple, calculer,
avec une approximation connue àl'avance, le troisième côté
d'un triangle dont on ne connaît que la somme a+bde
deux côtés et l'angle obtus yqu'ils forment entre eux.
En effet, désignons par hla somme donnée; des

on tire
et par suite
II s'ensuit que
(6)
où l'erreur relative eest celle commise sur la fonction <p qu'on
vient d'étudier.
En prenant
(')
on commet une erreur relative qui pour les angles ysupé
rieurs à140° n'atteindra pas 4°/0,pour les angles supérieurs
à150° 1,8 °/0,pour les angles supérieurs à160° 0,7 °/<n pour
les angles supérieurs à170° 0,2°/01 etc.
II. ?Une fonction des côtés.
L'identité
écrite sous la forme
(8)
montre que, a, b, cétant des quantités positives, dont une
ou deux peuvent être nulles, la valeur du rapport
(9)
11
est toujours comprise entre -? et 1, la limite inférieure ??
étant atteinte pour a=b=cet la limite supérieure 1étant