Électromagnétisme TD2 : Magnétostatique et courant électrique 1

Électromagnétisme TD2 : Magnétostatique et courant électrique
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Quelle est l'unité de la densité volumique de courant ?
→
−
Quel est le lien entre l'intensité du courant I électrique et la densité volumique de courant j ?
→
−
Citer les plans de symétrie et d'antisymétrie d'un l inni parcouru par un courant. Déduisez-en la direction de B .
Citer l'expression du champ créé par un l et à l'intérieur d'un solénoïde inni. Vérier qu'elle sont homogènes.
Quelledd est l'unité de la perméabilité du vide µ0 ?
Calculs de champ magnétique
Exercice 1 : Nappe de courant innie
z
x
O
y
∞
∞
∞
∞
On étudie une distribution de courant planaire constituée de ls innis,
parallèles, parcourus par une intensité I . La distribution est donc innie,
et occupe tout le plan (xOy). Le nombre de ls par unité de longueur
(dans la direction x) est noté n. Chaque l est parcouru par un courant
d'intensité I .
→
−
−
a) Montrer que B (M ) = B(z)→
ex
b) Montrer que la fonction B(z) est impaire.
c) Déterminer la fonction B(z) à l'aide du théorème d'Ampère.
Exercice 2 : ligne coaxiale
I
I
Un câble coaxial (ou ligne coaxiale) est constitué de deux conducteurs cylindriques
(voir gure), parcouru par un courant d'intensité I , mais le sens du courant est opposé
dans les deux conducteurs. On note Rint le rayon du conducteur intérieur, R1 et R2 les
rayons intérieurs et extérieurs du conducteur extérieur. On suppose que la ligne est de
longueur innie.
a)
−→
Associer à chaque conducteur une densité de volumique de courant (notées jint ,
−−→
jext ), que l'on supposera uniformes.
Examiner les symétries et invariances.
Déterminer le champ magnétique en tout point de l'espace à l'aide du théorème
d'Ampère.
b)
c)
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Courant électrique, loi d'Ohm
Exercice 3 : Loi d'Ohm locale : Le modèle de Drude (1900)
On se propose dans cet exercice d'étudier un modèle simple de la conduction électrique proposé par le physicien Paul Drude
en 1900. On considère un électron libre dans matériau conducteur. A l'intérieur de ce conducteur règne un champ électrique
→
−
E (t) :
→
−
→
−
• E (t) = 0 si t < 0
→
−
−
• E (t) = E0 →
ex si t > 0
−
→
−
On supposera de plus que l'électron est soumis à une force du même type qu'une force de frottement uide : Ff = −α→
v,
qui modélise le fait que l'électron est freiné par ses collisions successives avec les atomes du conducteur.
1
1) En considérant que l'électron n'est soumis qu'à la force de Lorentz et à la force de frottements uide déterminer la vitesse
de l'électron en fonction du temps. Faire apparaitre une durée caractéristique τ .
2) On note n le nombre d'électron par unité de volume à l'intérieur du matériau. Montrer que l'on peut écrire, en régime
permanent :
→
−
→
−
j = γE
(Loi d'Ohm locale)
→
−
où j est la densité volumique de courant dans le conducteur. γ est la conductivité électrique du matériau, donnez son
expression en fonction de n, τ , m et e (m, e : masse d'un électron et charge élémentaire).
3) Dans un cristal métallique de cuivre, il y a un électron libre par atome de cuivre. En déduire un ordre de grandeur du
temps τ pour le cuivre à partir des données numériques. Commentaire.
Données :
Pour le cuivre : γ = 6.107 S.m−1 ; ρ = 8, 96.103 kg.m−3 ; M = 63 g.mol−1
Charge et masse de l'électron : q = −e = −1, 6.10−19 C ; m = 9, 11.10−31 kg
Nombre d'Avogradro : NA = 6, 02.1023 mol−1 .
Exercice 4 : De la loi d'Ohm locale à la loi d'Ohm
I
A
B
I
xA
xB
On considère un conducteur de section S et de longueur L
parcouru par un courant I . Ce courant est dû au fait que l'on
impose une diérence de potentiel (à l'aide d'un générateur de
tension aux bornes A et B de ce conducteur) : UAB = VA −VB .
x
→
−
→
−
−
1) On suppose que la densité de courant j est uniforme au sein du conducteur. Exprimer j en fonction de I , S et →
ex .
→
−
→
−
2) On suppose que le champ électrique à l'intérieur du conducteur est uniforme E = E0 ex . Déterminer E0 en fonction de
UAB et L.
3) Montrer que la résistance du conducteur s'écrit :
R=ρ
L
S
où ρ =
1
est la résistivité électrique du matériau.
γ
4) En déduire un ordre de grandeur de la résistance d'un l de TP (voir données exercice précédent pour la conductivité du
cuivre). Pourquoi peut-on assimiler ce l à un l idéal ?
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