Activité Encadrer une intégrale en utilisant un algorithme

!"#$%$#&'
Encadrer(une(intégrale(en(utilisant(un(algorithme(
(
()*+"#$,-'
! Amener'les'élèves'à'comprendre'la'nécessité'de'ce'type'de'méthodes'dans'le'cas,'FRÉQUENT,'où'il'est'impossible'de'
déterminer'une'primitive'explicite'
! ./0'/1'232+'#452+6'+1#07$1+0'8+-'&85%+-'9'8$0+-':$,,&0+1#-'#;<+-':=78>?0$#42+-'+#'9'+1'"?2<0+1:0+'8+-':$,,&0+1"+-':+'
,?1"#$?11+2+1#''
'
Partie(A(:(La(méthode(des(rectangles(
'
@1'+A+2<8+'-$2<8+'
Soit'!!la'fonction'positive'et'strictement'croissante'sur'ℝ!'définie'par':'!!=!'
On'souhaite'calculer'une'valeur'approchée'de':'
!!!"
!
!
'
'
Pour'cela'on'va'utiliser'l’algorithme'suivant':'
'
1. Décrire,'étape'par'étape,'ce'qui'se'passe'si'on'entre'!=4'
2. Que'représente'!'?'!'?'
3. Que'nous'donne'cet'algorithme'?'
4. Programmer'cet'algorithme'sur'Algobox,''
''''''''''''''ou'votre'calculatrice,'et'préciser'les'valeurs'de'!'et'!'si''
''''''''''''''on'entre'!=25.'
5. Comparer'le'résultat'obtenu'avec'celui'donné'par'la'
''''''''''''''calculatrice.'
'
'
'
'
'
@#$8$-7#$?1':+'87'"78"/87#0$"+'<?/0'"78"/8+0'/1+'$1#&>078+'
Entrer'l’expression'de'la'fonction'et'faire'apparaître'la'courbe'représentative'
!%+"'87'B!.C('
SHIFT'DE'(FG-?8%)'puis'choisir'le'menu' !"'
H?I+0'J'borne'inférieure'''@<<+0'J'borne'supérieure'
'
!%+"'87'KC'
2nde'("78"/8-)'puis'choisir'le'menu' !(!)!"'
L?01+C1,'J'borne'inférieure'''L?01+./<'J'borne'supérieure'
'
'
@1'7/#0+'+A+2<8+'
Soit'!!la'fonction'définie'sur' 0!;1'par':'!!=!!!'
1. Justifier'que'la'fonction'est'continue,'positive'et'croissante'sur' 0!;1'
2. Pour'chacun'des'deux'algorithmes'ci!dessous,'expliquer'ce'que'représente'la'variable'!"##$%&''.'
3. Quelle'est'la'variable'inutile'dans'ces'deux'algorithmes'?'
4. Écrire,'en'utilisant'le'symbole'Σ,'le'calcul'qu’il'faudrait'faire'pour'obtenir'la'valeur'en'sortie'de'l’78>?0$#42+'M'
si'l’entrée'est'!=!10.'
5. Expliquer'en'quoi,'l’78>?0$#42+'N'permet'd’obtenir'une'meilleure'approximation'de' !!!!"
!
!'que'
l’78>?0$#42+'M.'
'
'
O1#0&+-':'Saisir'
!'
'
C1$#$78$-7#$?1':'!←0!;!←0!;!←0'
'
K07$#+2+1#':''Pour'!'de'0'à'!−1'Faire'
' ' !←!+!
!
×!(!)!;'
' ' !←!+!
!
!;'
' ' !←!+!
!
×!(!)!;'
''''''''''''''''''''''''FinPour'
'
!,,$"4+0':'Afficher'!!,!'
'
'''''''''

!8>?0$#42+'M'''''''!8>?0$#42+'N'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
Partie(B(:(La(méthode(des(trapèzes(
'
On'cherche'une'valeur'approchée'de'!=!
!!!!
!
!!!".'
1. Justifier'que'la'fonction'f'définie'par'!!=!
!!!!'est'continue,'positive'et'strictement'décroissante'sur'ℝ!'
2. On'propose'l’algorithme'suivant'afin'de'déterminer'une'valeur'approchée'de'!':'
'
a. Décrire,'étape'par'étape,'ce'qui'se'passe'si'
on'entre'!=2'
(On'pourra's’aider'de'la'figure'ci!dessous'représentant'la'
courbe'de'!')'
En'déduire'une'justification'du'titre':'«(Méthode(des(
trapèzes(».'
b. Modifier'cet'algorithme'pour'calculer'une'
valeur'approchée'de' !!!"
!
!'où'!'et'!'sont'des'réels'
quelconques'positifs'avec'!<!.'
'
'
'
'
'
'
O1#0&+':''' !'un'nombre'entier'supérieur'à'
10
'
.?0#$+':''' !"##$%&''un'nombre'réel'
'
K07$#+2+1#':'''!'prend'la'valeur'1/!'
' ' !"##$%&''prend'la'valeur'0'
' ' Pour'!'allant'de'0'à'!−1'
'''!'prend'la'valeur'k*e'
'''!'prend'la'valeur''
'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''!"#((!∗!)^2)'
'''!"##$%&''prend'la'valeur''
'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''!"##$%&' +!∗!'
' ' FinPour'
' ' Afficher'sommeinf'
'
O1#0&+':''' !"#$%'un'nombre'réel'strictement'positif''
' ' inférieur'à'0,1'
.?0#$+':''' !"##$%&''un'nombre'réel'
'
K07$#+2+1#':'''!'prend'la'valeur'10'
'''''''''''''''''!"##$%$&'$'prend'la'valeur'1'
' ' Tant'que'!"##$%$&'$!>!!"#$%'faire'
'''!'prend'la'valeur'1/!'
'''!"##$%&''prend'la'valeur'0'
'''Pour'!'allant'de'0'à'!−1'
' ' ' ' !'prend'la'valeur'k*e'
' ' ' ' !'prend'la'valeur''
' ' ' ' !"#((!∗!)^2)'
' ' ' ' !"##$%&''prend'la'valeur''
''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''!"##$%&' +!∗!'
'''FinPour'
'''!"##$%&''prend'la'valeur'0'
'''Pour'!'allant'de'1'à'!'
' ' ' ' !'prend'la'valeur'k*e'
' ' ' ' !'prend'la'valeur''
' ' ' ' !"#((!∗!)^2)'
' ' ' ' !"##$!%&'prend'la'valeur''
''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''!"##$!%& +!∗!'
'''FinPour'
'''!"##$%$&'$'prend'la'valeur''
'''!"##$!%& −!"##$%&''
'''!'prend'la'valeur'!+10'
' ' Fin'Tant'que'
' ' Afficher'!"##$%&''
'
P&)/#''
Q70$7)8+-':'' !,!'des'entiers'
' ' !,!,!,!'des'réels'
'
Entrer'!'
!'prend'la'valeur'0'
R?/0'!'78871#':+!!'9'!−!'
'!'prend'la'valeur'!!
!'
'!'prend'la'valeur'!(!!!)
!'
'!'prend'la'valeur'!!!
!(!(!)+!(!))'
'!'prend'la'valeur'!+!'
D$1'R?/0'
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D$1'
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